第三讲模糊逻辑与推理

1、 模糊逻辑与模糊推理1）精确逻辑（传统逻辑）的一些概念命题逻辑、布尔代数、和集合论是同构的。隐含是重要的概念。 传统的命题逻辑中，命题的“真”和“假”必须具有意义。逻辑推理是给定一个命题，组合成另一个命题的过程。组合的基本操作：1）合取 Conjunction, ,“交”2）析取 Disjunction , “并”3）隐含 Implication , “if then”逆操作 Inversion 4) 5) 等效关系 Equivalence ，“p即q”。qpqpqppqp 妻子： Do you love me?丈夫： Yes.(传统逻辑)妻子： How much? (模糊逻辑) qppqqp

2、qp qp pTFTTTTTTTTTTTTTTFFFFFFFFFFFF一个隐含是“真”，必须满足三个条件之一：1） 前提是真，结论是真； 在教书，是教师；2） 前提是假，结论是假； 不教书，不是教师；3） 前提是假，结论是真。 不在教书，是教师；隐含是“假”时，则：4） 前提是真，结论是假。 在教书，不是教师。逻辑关系用真值表示 pqp qq)( qp)(qppqp )(TFTTTTTTTTTTTTTTTTTFFFFFFFFFFFFF传统命题逻辑的基本公理：传统命题逻辑的基本公理：1。 每一命题是真或假，但不能既真又假；2。 由确定的术语所组成的表达式，都是命题；3。 合取、析取、隐含、等效、

3、逆运算组成的表达式也是命题。有二个重要的同义反复（隐含）隐含）qpqpqpqpqp)()()()()(从真值表可以获得证明：1-1- 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1)(xp)(yq)(yq)(xp)(),(1maxyxqp)(1 ),(min1yxqp隐含隶属函数表达式)(1 (),(min1),(1),(yxyxyxqpqpqp)(),(1max( )(),(max),(),(yxyxyxyxqpqpqpqp或 )()( )(1)(1),(（乘积）qpqpyxyxqpqp（有界和）qpyxyxqpqp)( )()(1 ( , 1

4、min(),(传统命题逻辑的推理)( , 2 1 Ponens) (Modus 1qqppByBythenAxifAx是结论是是（规则）前提是（事实）前提假言推理）)( , 2 1 Tollens) (Modus )2pqpqAxBythenAxifBy是不结论是是（规则）前提不是（事实）前提否定前提的假言推理2）模糊逻辑与模糊推理关于“工程隐含工程隐含”的概念。模糊隐含原则上可以引用传统隐含的表达式。)()(1 ( , 1min(),( )(1 ()(1),( )(),(1max(),( )(1 (),(min1),( 1 , 0),(yxyxyxyxyxyxyxyxyxyxBABABABA

5、BABABABABA或表示为：隐含关系的真实程度。和是衡量在连续域情况下，应用于推理会发生问题！If-then规则Ax为By为),(yxBA)(yB),()(sup)(*yxxyBAAAxB关于 的计算)(yB )(1 (),(min1),( ),(, 1min),( 1 )( ),( )( ),( )(sup)( (min),( )2; ,0)(, ; 1)(, 1*yxyxyxyxxxyxxyxxyyxUxxxxxxxBABABABABAABAAAxBBAAA对三角范式计算。用极小对对假定）图示如后：图示如后：111)(yB)(xA)(1yB)(1),(minyxBA)(yByy有限支集无

6、限支集1 ),(0, min1)( 0 ),(,0min ),( 0 ),( )( *yxxyyxxyxxyxxxxBABBABABAA取上界：说明二点：1）对 一个特定的规则（其结果是具有有限支集的特定模糊集合），激发的结果是一个具有无限支集的模糊集合。2）对 所有各点，规则将以最大可能的输出隶属函数值1，来激发规则。 从工程观点看，以上二点，违反了工程中的因果关系，即有因才有果。无因不能有果。xxxxMamdani 和 Larsen 分别提出极小和乘积的隐含运算。)()(),()(),(min),(yxyxyxyxBABABABA 这二种计算并不是基于因果关系，是出于计算的简单性，但保留了

7、因果关系，与传统的命题逻辑推理不符。称为工程隐含 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0)(),(minyxBA)()(yxBA)(xA)(yB用真值表表示：(精确隐含)11111)(),(min),(yxyxBABA)()(),(yxyxBABA)(xA)(xA)(yB)(yB)(yB模糊隐含xxxx模糊推理1. 单个前提单个规则:ByBythenAxifAx是结果（结论）是是（规则）前提是（事实）前提 , 2 1复合运算）（minmax )( )()()( )()()()(yyxxyxxyBBAAxBAAxBCzCthenByAxifByAx是结果（结论）是是和是）

8、（规则前提是是（事实）前提 Z, 1 2, 12. 多前提单规则)()( )()()()()( )()()()()( )()()()()()(21,zzyyxxzyxyxzyxyxycCBByAAxCBABAyxCBABAyxB，隶属函数的计算CzCthenByAxifCthenByAxifByAx是结果（结论）是是和是）（规则前提是是和是）（规则前提是是（事实）前提 Z, 23 Z, 12, 12221113) 多前提多规则1C1C2C2C隶属函数的计算C212121CC )()( )()(RBARBARRBAC )()()()()( )()()()()()(2122211122211211

9、CCCBABAyxCBABAyxBzyxyxzyxyxy）（）（，模糊推理可以分几步： 1）计算兼容度； 2）求激励强度； 3）求定性（演译）结果； 4）求总输出结果。模糊推理系统规则库推理机去模糊器模糊器精确输入精确输出模糊输入集合模糊输出集合模糊推理系统1）模糊化和模糊器单点模糊化),()(0)( ; 1)( yxxyxxxxxxABABAA。时，时，即：是单点模糊器，输入模糊集合非单点模糊化lGplAlAxxXxBpxxApxAxAAxAAAlppXpXxxxxyxxxxpxxxAlxxxxxxxxxxA )()( )()(sup)( )()()( )()()( )( 0)( ; 1)(

10、 211111111简写：的维数）。是（可写出：条规则，模糊集合对第为向量，逐渐减小。考虑），的变化（偏离随，时，时，即：是非单点模糊器，输入模糊集合Mll, 2 , 1 是规则数目，按三角范式交换性和单调性，可以重写：)(ylB )(sup )( )(sup )()( )()(sup)(1111211 pkQXxlGpkklAkxXxlGplAlAxxXxlGBxxxxxxxylklxklpl /)(21exp)( /)(21exp)(:22lklklkkkkAAkkAxxkkxmxxmxx设kxmkx2最大化，其值产生在：)/()(2222max,lkkklklkkAxxAAxkmmx的滤

11、波。对有噪音数据可解释为模糊推理系统则令xxmxmxlkklklkkxAxkAAxkkk)/()(,2222max,)(sup)()(1max,pkkQXxlGBxyylkll., 00 max,2xxkxk即为单点模糊情况，即当输入不确定性为pkxxxxxxlklklkkkAkAkQxkkkx ,1 ),()()(1/)(21exp)(max,max,2max，x,yx=10,x=0 x=202. 规则库llppllllGvthenAuAuAuifRR是是，是是可以表示如下：一般情况下，规则 , :2211 装卸站台90举例：货车倒车27090，4040，20, 0 x)90,10(),(f

12、fx货车终点位置 S3 S2 S3 S3 S3 B1 S1 S2 S3 S2 B2 B2 CE S2 S2 B2 B3 B2 B1 S1 B3 B3 B3 B2 B3 B2S2S3S2S3CEB1B2B3S2S1CEB1B2x规则：规则：; , :; , :; , :; , :223)5 , 7()3 , 4(221)5 , 3(313)2, 1 (BthenBxBifRCEthenCExCEifRSthenBxSifRSthenSxSifR是是和是是是和是是是和是是是和是140195x)()(xx数！必须规定它们的隶属函和对于输入xx=6x=143.推理机规则推理相当于隐含对离散论域,规则R

13、l由多变量 决定),(yxlR),(),(),(),( ),(),(111yxxyxxyxxxxyxyxpBApRRTpBARlll lGplAlARllxxyx )()(),(211XxxxxpXxxA , )()()(11输入的模糊集合每条规则的输出每条规则的输出:RRABlxl., 2 , 1 ),()(sup )()(mlyxxyyBAAAxRABXXlXl 对所有规则对所有规则,imiXmXRARRRAB121, )(xxA)(1yRAx)(2yRAx)(ymxRA )(1yB)(2yB)(ymB12m)(yB模糊预滤波自适应滤波推理举例:条规则：时，激活当货车状态为36)(,140

14、)(iitxt; , : ) 1221)1 ,5(BthenSxBifR是是和是; , : )2311)2, 5(BthenSxBifR是是和是; , : )3312)2, 6(BthenSxBifR是是和是)()(max-min乘积总的输出模糊集合3条规则合成所获得的输出为:4. 去模糊化最小最大最大平均面积中心面积平均)(yy)(yy输出隶属函数的一般形式:1. 极大去模糊化lyyylii/ )21最大平均去模糊化)(/)( )(/ )( )311iBliiBliisBsByyyydyydyyyy对离散域：重心或面积中心去模糊byByaBdyydyy)()( )4面积均分去模糊liiBiB

15、lilhyyyyll11)(/)( )5高度去模糊化方法liliBliBlilmhyyyyll1221)/()(/)/()( )6修正高度去模糊化方法模糊基函数 模糊推理系统有4部分组成。对常用的各种模糊化、去模糊化、推理机制和隶属函数有不同的选择：1. 模糊化形式: 单点,非单点.2.隶属函数形式: 三角、梯形、高斯、分段线性。 对每一规则相应的输出隶属函数求面积重心，然后求平均高度。)(11yB)(22yB)(33yB)(44yB)(yBy3. 隶属函数参数: 事先确定、训练过程中调整。4. 复合方式: max-min 、max-乘积或sup-min,sup-乘积。5.推理方法：最小、乘积

16、。6. 去模糊化方法: 极大、极大平均、面积中心、高度 法、高度修正法。种选择！， 072131217为了在数学上进行描述必须作选择：1）单点模糊化、max-乘积复合运算、乘积推理、高度去模糊化 )(/ )()(1111mlpiiAmlpiiAlsxxyxfylili)( )()(),()(11ipiAlGipiAlBAlBxyxyxylillil)(min/)(min)(1, 11, 1mliApiiAmlpilxxyxfylilipkkQlBxylkl1max,)()(2）单点模糊化、max-min复合运算、乘积推理、高度去模糊化3）非单点模糊化、max-乘积复合运算、乘积推理、高度去模糊化)()(1xyxfglmil )(/ )()(111mlpiiApiiAlxAxxlili去下标，上面几式可简化为单点模糊化：非单点模糊化： )(/ )()(11max,11max, mlpikQmlpikQlmxxyxfylili )(/)()(11max,1max,mlpikQpikQlxxxlili 模糊逻辑控制器的基本结构模糊逻辑控制器的基本结构决策逻辑去模糊化