第2章_随机过程的基本概念

1、第二章第二章 随机过程随机过程的基本概念的基本概念2.1 随机过程的基本概念及定义随机过程的基本概念及定义2.2 随机过程的统计描述随机过程的统计描述2.3 平稳随机过程平稳随机过程2.4 随机过程的联合分布和互相关函数随机过程的联合分布和互相关函数2.5 随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度2.6 典型的随机过程典型的随机过程2.7 基于基于MATLABMATLAB的随机过程分析方法的随机过程分析方法2.8 信号处理实例信号处理实例本章学习要点：本章学习要点：（1 1）理解随机过程的概念、平稳随机过程的定义、）理解随机过程的概念、平稳随机过程的定义、各态历经性；各态历经性；（2 2）掌握

2、功率谱密度和相关函数的关系；）掌握功率谱密度和相关函数的关系；（3 3）掌握相关函数的性质；）掌握相关函数的性质；（4 4）理解白噪声的定义和特点；）理解白噪声的定义和特点；本章是本课程的基础和核心本章是本课程的基础和核心2.1随机过程的基本概念及定义随机过程的基本概念及定义1.1.实际背景实际背景0( )cos()X nAn例例2.1 2.1 分析随机相位信号分析随机相位信号R（-， +）随机相位信号随机相位信号许多样本函数的集合许多样本函数的集合 0( ,)cos()iiix nAn 样本函数样本函数01020304050607080-10101020304050607080-101010

3、20304050607080-10101020304050607080-1011234050100150200-505050100150200-505050100150200-505050100150200-505接收机噪声接收机噪声 t1随时间变化的随机变量随时间变化的随机变量-随机变量的集合随机变量的集合例例2.2 2.2 分析接收机的噪声分析接收机的噪声随机过程的直观解释随机过程的直观解释: :对随机相位信号或噪声信号作一次观测相当于做一次随对随机相位信号或噪声信号作一次观测相当于做一次随机试验，每次试验所得到的观测记录结果机试验，每次试验所得到的观测记录结果x xi i(t(t) )是

4、一个是一个确定的函数，称为样本函数，所有这些样本函数的全体确定的函数，称为样本函数，所有这些样本函数的全体构成了随机过程。构成了随机过程。 在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产生的时间序列，它是一个确定性的时间序列，但它的变化生的时间序列，它是一个确定性的时间序列，但它的变化过程表现出随机序列的特征，我们把它称为过程表现出随机序列的特征，我们把它称为伪随机序列伪随机序列，伪随机序列可以用来模拟自然界实际的随机过程伪随机序列可以用来模拟自然界实际的随机过程 。05010015020000.20.40.60.81伪随机序列 伪随机序列应用举例

5、伪随机序列应用举例GPS系统中的码分多址（CDMA）GPS接收机接收机GPS卫星卫星伪随机码自相关函数伪随机码自相关函数02.2.随机过程的定义随机过程的定义定义一：设随机试验E的样本空间为S=e，对其每一个元素ei(i=1,2,)都以某种法则确定一个样本函数x(t,ei),由全部元素e所确定的一族样本函数X(t,e)称为随机过程，简记为X(t)。定义定义2 2： 设有一个过程X(t) ，若对于每一个固定的时刻tj(j=1,2,) ，X(tj)是一个随机变量，则X(t)称为随机过程。 随机过程随机过程X(t,eX(t,e) )四种不同情况下的意义：四种不同情况下的意义：当当t t固定，固定，e

6、 e固定时，固定时， X(tX(t) ) 是一个是一个确定值确定值； 当当t t固定，固定，e e可变时，可变时， X(tX(t) ) 是一个是一个随机变量随机变量； 当当t t可变，可变，e e固定时，固定时， X(tX(t) ) 是一个确定的是一个确定的时间函数时间函数； 当当t t可变，可变，e e可变时，可变时， X(tX(t) ) 是一个是一个随机过程随机过程； 2 2、随机过程分类随机过程分类（1 1）按状态及时间参数分类）按状态及时间参数分类状态时刻连续型随机过程连续连续连续随机序列连续离散离散型随机过程离散连续离散随机序列离散离散（2 2）按概率分布分类按概率分布分类u高斯随机

7、过程高斯随机过程u瑞利随机过程瑞利随机过程u对数正态随机过程对数正态随机过程（3 3）按统计特性分类按统计特性分类平稳随机过程平稳随机过程非平稳随机过程非平稳随机过程 2.2 随机过程的统计描述随机过程的统计描述 X(tX(t) )在任意时刻在任意时刻t t是一个随机变量，这个随机变量的概率是一个随机变量，这个随机变量的概率分布和概率密度定义为随机过程的一维概率分布和概率分布和概率密度定义为随机过程的一维概率分布和概率密度。密度。(1)(1)一维概率分布一维概率分布对于随机序列对于随机序列1.随机过程的概率分布随机过程的概率分布(2)(2)二维概率分布二维概率分布对于任意的两个时刻 是两个随机

8、变量， 定义这两个随机变量的联合概率分布和联合概率密度为随机过 程的二维概率分布和二维概率密度。解: : 本题的随机过程只有两个样本函数, , 且两个样本函数都具有确定的形式, , 是一种可预测的随机过程。它的两个样本函数为这个过程在任意的时刻都只有两个可能的取值，所以它是一个离散型随机过程。对于离散型随机过程，只要确定了它的概率分布列就可 以确定它的概率密度( (一串冲激函数) )。时间不同，概率密度不同，时间不同，概率密度不同，概率密度是时间的函数。概率密度是时间的函数。二维概率分布(3) N维概率分布2.随机过程的数字特征随机过程的数字特征随机过程的均值是时间t t的函数，也称为均值函数

9、，统计均值是对随机过程中所有样本函数在时间t t的所有取值进行概率加权平均，所以又称为集合平均。随机过程的均值可以直观地 理解为在t t时刻所有样本函数取值的一个取值中心，它反映了样本函数统计意义下的平均变化规律。对于随机序列：均值与方差的物理意义：均值与方差的物理意义：如果：如果：X(t)-单位电阻上的电压交流平交流平均功率均功率直流平直流平均功率均功率总的平总的平均功率均功率3. 自相关函数自相关函数可正可负，其绝对值越大，表示相关性越强。一般说来，时间相隔越远，相关性越弱，自 相关函数的绝对值也越弱；当两个时刻重合时，其 相关性应是最强的，所以RX RX ( (t t, ,t t) )最

10、大。4. 自协方差函数常用的一些概念：5. 5. 离散型随机过程的数字特征6. 6. 计算举例例2 2 离散型随机过程自相关函数计算举例每一个样本函数出现的概率相等2.3 平稳随机过程平稳随机过程随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所有信号都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析要容易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程的主要物理条件在时间的进程 中不改变, 或变化极小, 可以忽略, 则此信号可以认为是平稳 的。如接收机的噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度的变化, 使得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间后, 温度变化趋于稳定, 这时的噪声电压信号可以认为

11、是平稳的。1. 平稳随机过程的定义（1）严格平稳随机过程定义：如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变化， 即当时间平移时，其任意的n维概率密度不变，则称是严格平稳的随机过程或称为狭义平稳的随机过程。对于严格平稳的随机过程，它的均值和方差是与时间无关的常数，而自相关函数只与t t1 1和t t2 2的差值有关，而与本身的取值是无关的。严格平稳最基本的特征是时间起点的平移不影响它的统计特性，即X(tX(t) )与X(t+X(t+t t) )具有相同的统计特性。（2）广义平稳随机过程当随机过程是高斯分布时，两者等价。例1. 设随机过程Z(t)=Xcost +Ysint ，- t +，其中X、Y为相

12、互独立的随机变量，且分别以概率2/3、1/3取值-1和2。试讨论随机过程Z(t)的平稳性。解：解：所以，所以，Z(t) 是广义平稳的。Z(t) 不是严格平稳的。由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论（一、二阶矩）的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。而 相关理论之所以重要，是因为在实际中，一、二阶矩能给出有 关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，比如，如果随机过 程代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以给出直流 分量、交流分量、平均功率及功率在频域上的分布（我们将在后面讨论功率谱密度）等。另外，在电子系统中经常遇到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它的任意维分布

13、都只由它的一、二阶矩来确定，广义平稳的正态随机过程必定是严格平稳的。例2. 2. 设随机过程X X( (t t)=)=tXtX，X X为标准正态分布的随机变量。试问X(tX(t) )是否平稳？解：解：所以X(t)是非平稳的。2. 平稳随机过程自相关函数的性质性质：(5)若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有周期分量，例3 3 已知平稳随机过程X(tX(t) )的自相关函数为求X(t)的均值和方差。解:3. 相关系数及相关时间（1）相关系数：（2）相关时间：标准化相标准化相关函数关函数工程上我们常取工程上我们常取相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依赖性越强，变化越缓慢；相关时间越小，反

14、映随 机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越快。两个不同相关时间随机过程的样本函数4. 随机过程的各态历经性定义：对于平稳随机过程X X( (t t) )，若有时间平均以概率1等于集合平均，时间相关函数以概率1等于集合相关函数。即均值遍均值遍历性历性相关函数相关函数的遍历性的遍历性如果平稳随机过程的均值和相关函数都具有遍历性，则如果平稳随机过程的均值和相关函数都具有遍历性，则X(tX(t) )为各态历经性。为各态历经性。解：各态历经过程与非各态历经过程示意图均值遍历性的充要条件：相关函数遍历性的充要条件：零均值平稳正态随机信号：一般而言，不同的样本函数，时间平均的结果不同，所以，一般说来时间平

15、均是随机变量，但对于各态历经的随机过 程而言，时间平均趋向于一个常数。这就表明，各态历经随机 过程的各个样本函数的时间平均可以认为是相同的，因此随机 过程的均值可以用它的任意的一条样本函数的时间均值来代 替。同样，相关函数亦可以用任意的一条样本函数的时间相关 函数来代替。对于各态历经过程，可以通过对一条样本函数的观测，就可以估计出随机过程的均值、方差和相关函数。连续随机过程：例6 6 判断随机过程X X( (t t)=)=Y Y的遍历性，其中Y Y是方差不为零的随机变量。解：随机序列： 2.4 随机过程的联合分布和互相关函数1.联合分布函数和联合概率密度N N + + M M 维联合分布函数：

16、N N + + M M 维联合概率密度：2. 互相关函数及其性质（1）互相关函数（2）互协方差函数如果则称X X( (t t) )与Y Y( (t t) ) 严格联合平稳。如果则称X X( (t t) )与Y Y( (t t) ) 广义联合平稳。解：所以，所以，X(t)与Y(t)是联合平稳的。 2.5 2.5 随机过程的功率谱1. 定义能量型信号：能量有限的信号功率型信号：平均功率有限、能量无限的信号随机信号的样本函数能量是无限的，但功率往往是有限的。随机过程的样本函数及其截尾函数定义随机过程的功率谱密度物理意义：功率谱密度是从频域描述随机过程的一个重要的数字特征，表示单位频带内信号的频率分量

17、消耗在单位电阻上的平均功率的统计平均值。2. 功率谱密度与相关函数的关系维纳辛钦定理：维纳辛钦定理需要满足两个条件：物理谱定义：3 .功率谱的性质(1) (1) 若随机过程均值非零，则功率谱在原点有一函数；若含有周期分量，则在相应的频率处有冲激函数；(2) (2) 对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；(3) (3) 相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱越宽平；相关性越强，功率谱越陡窄。解：由因式分解解：4. 随机序列的功率谱收敛域是一个包含单位圆的环形区域。其中C C是收敛域内包含平面原点逆时针的闭合围线由于由于GX(z)的收敛域包含单位圆，因此可以令的收敛域包含单位圆，因此可以令z=ejw随机序列功率谱的性质：1 1）功率谱是实偶函数2 2）功率谱密度是非负的解：5. 互功率谱设有两个随机过程X(t)和Y(t)，它们的互功率谱定义为其中，如果X(t)和Y(t)是联合平稳的， 绝对可积，则性质：2.6 2.6 典型的随机过程功率谱密度为常数的平稳随机过程，即白噪声的功率谱密度和自相关函数白噪声样本函数波形2. 正态随机过程正态随机过程（1） 定义及其分布如果一个随机过程X X(