第二章 误差的基本性质与处理

1、合肥工业大学误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理 合肥工业大学误差理论与数据处理 本章分别详细阐述随机误差、系统误差、粗大误差三类误差的来源、性质、数据处理的方法以及消除或减小的措施。特别是在随机误差的数据处理中，分别掌握等精度测量和不等精度测量的不同数据处理方法。通过学习本章内容，使读者能够根据不同性质的误差选取正确的数据处理方法并进行合理的数据处理。教学目教学目标标合肥工业大学误差理论与数据处理n三大类误差的特征、性质以及减小各三大类误差的特征、性质以及减小各类误差对测量精度影响的措施类误差对测量精度影响的措施n掌握等精度测量的数据处理方法掌握等精度测量的数据处理方法n掌握不等精度

2、测量的数据处理方法掌握不等精度测量的数据处理方法重点与重点与难难点点合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差一、随机误差产生的原因一、随机误差产生的原因合肥工业大学误差理论与数据处理 当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统一个数据的大小和方向。但就误

3、差整体而言，却明显具有某种统计规律。计规律。 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构成，主要有以下几方面：成，主要有以下几方面： 测量装置方面的因素测量装置方面的因素 环境方面的因素环境方面的因素 人为方面的因素人为方面的因素零部件变形及其不稳定零部件变形及其不稳定性，信号处理电路的随性，信号处理电路的随机噪声等。机噪声等。温度、湿度、气压的变温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场化，光照强度、电磁场变化等。变化等。瞄准、读数不稳定，人瞄准、读数不稳定，人为操作不当等。为操作不当等。第一节随机误差一、随机误差产生的原因一、随机误差

4、产生的原因合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差对称性对称性单峰性单峰性有界性有界性抵偿性抵偿性正态分布误差概率密度曲线和直方图正态分布误差概率密度曲线和直方图22/(2)1( )2fe)(0Llii合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差 0)(f)()(ff)0()(maxff)0()(ff0lim1nniin合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差oiiLl )2/(2221)(efdeF)2(2221)(0)(dfEdf)(2254)(|df326745.0令为随机误差，满足正态分布，则令为随机误差，满足正态分布，则标准差（或均方根误差）：标准差（或均方根误差）： 数学期

5、望：数学期望：方差：方差：平均误差：平均误差：或然误差：或然误差：反映随机误差反映随机误差分布的中心位分布的中心位置置反映随机误差反映随机误差相对于中心的相对于中心的分散程度分散程度合肥工业大学误差理论与数据处理 图2-1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。值为曲线上拐点A的横坐标，值为曲线右半部面积重心B的横坐标，值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。 第一节随机误差合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差三、算术平均值三、算术平均值( (一一) ) 定义定义niinlnnlllx1211( (二二) ) 算术平均值的意义算术平均值的意义 由由 得得 即即oiiLl onnnLlll)

6、(2121nioiniinLl11nnlLniiniio110lim1nniin01Lnlxnii算术平均值可算术平均值可以作为被测量以作为被测量真值的估计值真值的估计值合肥工业大学误差理论与数据处理若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量 ，即满足无偏性、有效性、一致性，并满足最小二乘法原理；在正态分布条件下满足最大似然原理。第一节随机误差nillloii, 2 , 1xxii0010111)(xlnllnnllnllnlxniinioiniionii( (三三) ) 残差残差( (四四) )算术平均值的简便求法算术平均值的简便求法 选一个接近所有测得值的数

7、选一个接近所有测得值的数 作为参考值作为参考值ol合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差0l64.187901. 065.187900 xlxil64.187901. 065.1879x序号序号1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101879.641879.641879.691879.691879.601879.601879.691879.691879.571879.571879.621879.621879.641879.641879.651879.651879.641879.641879.651879.65-0.01-0.01+0.04+0.04-0.05-0.0

8、5+0.04+0.04-0.07-0.07-0.03-0.03-0.01-0.010 0-0.01-0.010 00 0+0.05+0.05-0.04-0.04+0.05+0.05-0.07-0.07-0.02-0.020 0+0.01+0.010 0+0.01+0.0101. 01niiv01.0101010iilxilivx选参考值选参考值 =1879.65=1879.65，合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差01niivxAnvnii21Anvnii)5.02(1xxxnxvniinii11常用常用合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差例例2-32-3 测量某直径测量某直径

9、1111次，得到结果如表次，得到结果如表2-22-2所所 示，求算术平均值并进行校核。示，求算术平均值并进行校核。 序号 (mm) (mm)1 12 23 34 45 56 67 78 89 9101011112000.072000.072000.052000.052000.092000.092000.062000.062000.082000.082000.072000.072000.062000.062000.052000.052000.082000.082000.062000.062000.072000.07+0.003+0.003-0.017-0.017+0.023+0.023-0.00

10、7-0.007+0.013+0.013+0.003+0.003-0.007-0.007-0.017-0.017+0.013+0.013-0.007-0.007+0.003+0.00374.22000111iil003. 0111iiv22表合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差计算算术平均值计算算术平均值校核校核规则：规则：规则：规则：mmmmxnmmlii737.22000067.20001174.22000111mmmmmmxlviiii003. 0737.2200074.2200011111111mmAnmmvmmAnii005. 05 . 02003. 0001. 0, 55 .

11、 02115 . 02111mmmmmmlxii067.20000673.20001174.2200011111计算正确计算正确x合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差四、测量的标准差四、测量的标准差（一）单次测量标准差（一）单次测量标准差 精度评定指标之一精度评定指标之一 . . 的意义的意义: :反映了随机误差分布的分散性反映了随机误差分布的分散性值愈小，值愈小， 高而陡，误差分布高而陡，误差分布范围小，测量精度高。范围小，测量精度高。值愈大，低而平坦，误差分值愈大，低而平坦，误差分布范围大，测量精度低。布范围大，测量精度低。测量结果被测量估计值（或）估计值的精度评定测量结果被测量估

12、计值（或）估计值的精度评定ilx)(f)(f合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差. . 的计算的计算根据随机变量标准差的定义，得根据随机变量标准差的定义，得112nvniinnii12i i未知时未知时BesselBessel公式公式更准确更准确条件：条件：n5n5四、测量的标准差四、测量的标准差合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人之一。1784 年7 月22日生于明登 ，1846 年3月17日卒于柯尼斯堡。15岁辍学到不来梅一家出口公司当学徒，在学习航海术的同时学习天文、地理和数学。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1806年成为天

13、文学家施特勒尔的助手。1810年，奉普鲁士国王之命，任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。 贝塞尔（Bessel，Friedrich Wilhelm，17841846）合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差0iilL0022011LxxlLxxlLxxlnnxLx)(0令，则令，则xnnxxvvv2211xniiniinv11nnvnniiniiniix111212122122nnnnjijiniiniix当当n n适当大时，可以认为适当大时，可以认为 趋近于零趋近于零niji1nvniiniinii121212niivn122212nvi推导过程：推导过

14、程：21212xniiniinv合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差3. 3. 的其他计算公式的其他计算公式别捷尔斯法别捷尔斯法（PetersPeters公式公式) ) 由残差绝对值之和求由残差绝对值之和求nnvniii1221niiniivnn12121111nnvniiniiniiniivnnn11)1(1) 1(253. 1253. 12nnvi合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差mmmm0330. 011010250. 0253. 1)(mmli)(mmvimmx045.750101iiv序号序号1 12 23 34 45 56 67 78 89 9101075.017

15、5.0175.0475.0475.0775.0775.0075.0075.0375.0375.0975.0975.0675.0675.0275.0275.0575.0575.0875.080.0350.0350.0050.0050.0250.0250.0450.0450.0150.015+0.045+0.045+0.015+0.015-0.025-0.025+0.005+0.005+0.035+0.0350.0012250.0012250.0000250.0000250.0006250.0006250.0020250.0020250.0002250.0002250.0020250.002025

16、0.0002250.0002250.0006250.0006250.0000250.0000250.0012250.001225 2101200825. 0mmvii)(2mmvi32表例例2-42-4 用别捷尔斯法求得表用别捷尔斯法求得表2-32-3的标准差。的标准差。合肥工业大学误差理论与数据处理n2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 201.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 3.08 3.17 3.26 3.34 3.41 3.47 3.53 3.59 3.64 3.69 3.74nd42表第

17、一节随机误差极差法极差法1 1）极差）极差n n2 2）的计算的计算若等精度多次测量测得值若等精度多次测量测得值 服从正态分布，则服从正态分布，则nxxx,21minmaxxxnnndE)()(nndEnnd合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差mmmmmmlln09. 000.7509.75minmaxmmmmdn0292.008.309.010 08. 310d合肥工业大学误差理论与数据处理nK1nK1n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151.25 0.88 0.75 0.68 0.64 0.61 0.58 0.56 0.55 0.53 0.52 0

18、.51 0.50 0.50 0.49n16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300.48 0.48 0.47 0.47 0.46 0.46 0.45 0.45 0.45 0.44 0.44 0.44 0.44 0.43 0.43n2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 301.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.44nK152表第一节随机误差最大误差法：最大误差法：当各个独立测量值服从正态分布时，当各个独立测量值服从正态分布时，max|1inKmax

19、|1invK合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差mmvi045.0max57.0110KmmmmKvi0256. 0045. 057. 010max合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差例例2-7 2-7 某激光管发出的激光波长经检定为某激光管发出的激光波长经检定为 ， 由于某些原因未对次检定波长作误差分析，但后来由于某些原因未对次检定波长作误差分析，但后来 又用更精确的方法测得激光波长又用更精确的方法测得激光波长 ， 试求原检定波长的标准差。试求原检定波长的标准差。 解：解：后测得的波长是用更精确的方法，故认为其测得值为后测得的波长是用更精确的方法，故认为其测得值为 实际波长实

20、际波长( (或约定真值或约定真值) )，则原检定波长的随机误差为，则原检定波长的随机误差为： 故标准差为：故标准差为：m63299130. 0m63299144. 0mmm8101463299144. 063299130. 025. 111KmmK7811075. 1101425. 1合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差四种计算方法的优缺点四种计算方法的优缺点贝塞尔公式贝塞尔公式: :最常用，适用于最常用，适用于测量次数较多测量次数较多的情况，计的情况，计算精度较高，但较麻烦。对重要的测量或多种结果矛算精度较高，但较麻烦。对重要的测量或多种结果矛盾时，以盾时，以贝塞尔公式贝塞尔公式为准

21、。为准。别捷尔斯公式：最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科别捷尔斯公式：最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的算误差为贝氏公式的1.071.07倍。倍。极差法：简单、迅速，当极差法：简单、迅速，当n10n10n10以后，以后， 的减的减小很慢。此外，由于增加测量次小很慢。此外，由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定，从数难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误差，因此一般情况而引入新的误差，因此一般情况下取下取n=10n=10以内较为适宜。以内较为适宜。总之，提高测量精度，应采取适总之，提高测

22、量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量当精度的仪器，选取适当的测量次数。次数。x合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差五、测量的极限误差（容许误差）五、测量的极限误差（容许误差）（一）极限误差定义（一）极限误差定义指在一定的观测条件下，测量误差不应超出的范围极限指在一定的观测条件下，测量误差不应超出的范围极限值。若测量误差落在范围内的概率为，超值。若测量误差落在范围内的概率为，超出该范围的概率为，则为置信概率的极限出该范围的概率为，则为置信概率的极限误差。误差。,limlimxxxlim（二）单次测量的极限误差（二）单次测量的极限误差dedfp22221)(合肥工业大学误差理论与数

23、据处理第一节随机误差ddtt,)(2222102222tdtedteptttttdtettt02221)(标准正态分标准正态分布，其值可布，其值可由标准正态由标准正态分布表（附分布表（附录表）查录表）查得得)(21t置信概率置信概率)(ttt合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差p=2(t)p=2(t)=1-2(t)=1-2(t)2 6表t t不超出不超出 的概率的概率超出超出 的概率的概率测量测量次数次数n n超出的测超出的测量次数量次数0.670.671 12 23 34 40.670.671 12 23 34 40.49720.49720.68260.68260.95440.954

24、40.99730.99730.99990.99990.50280.50280.31740.31740.04560.04560.00270.00270.00010.00012 23 3222237037015626156261 11 11 11 11 1t合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差由于在一般测量中，测量次数很少超过由于在一般测量中，测量次数很少超过几十次，因此可以认为绝对值大于几十次，因此可以认为绝对值大于33的的误差是不可能出现的，通常把这个误差误差是不可能出现的，通常把这个误差称为单次测量的极限误差，即称为单次测量的极限误差，即 （p p99.7399.73）其它其它t t

25、值也可值也可一般情况下，测量列单次测量的一般情况下，测量列单次测量的极限误差可用下式表示：极限误差可用下式表示：若已知测量的标准差若已知测量的标准差，选定置信系数，选定置信系数t t，则可由上式求，则可由上式求得单次测量的极限误差。得单次测量的极限误差。 3limxtxlim合肥工业大学误差理论与数据处理（三）算术平均值的极限误差（三）算术平均值的极限误差算术平均值误差：算术平均值误差：oxLx 当多个测量列的算术平均值误差当多个测量列的算术平均值误差 为正态分为正态分布时，根据概率论知识，可得布时，根据概率论知识，可得), 2 , 1(Nii xxtxlimt t为置信系数为置信系数， 为算

26、术平均值的标准差。为算术平均值的标准差。x当测量列的测量次数较少时，应按当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏学生氏”分布分布(“student” (“student” distribution)distribution)或称或称t t分布来计算：分布来计算：xatxlim第一节随机误差合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差式中的式中的 为置信系数，它由给定的置信概率为置信系数，它由给定的置信概率 和自由度和自由度 来确定，具体数值见附录来确定，具体数值见附录3 3； 为超出为超出极限误差的概率（称显著度或显著水平），通常取极限误差的概率（称显著度或显著水平），通常取 =0.01=0.0

27、1或或0.02,0.050.02,0.05；n n为测量次数；为测量次数； 为为n n次测量的算术次测量的算术平均值标准差。平均值标准差。 对于同一测量列，按正态分布和对于同一测量列，按正态分布和t t分布分别计算时，分布分别计算时，即使置信概率的取值相同，但由于置信系数不同，因此即使置信概率的取值相同，但由于置信系数不同，因此求得的算术平均值极限误差也不同。求得的算术平均值极限误差也不同。at1vn1px合肥工业大学误差理论与数据处理随机误差计算实例il64.187901. 065.1879x序号序号1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101879.641879.641

28、879.691879.691879.601879.601879.691879.691879.571879.571879.621879.621879.641879.641879.651879.651879.641879.641879.651879.65-0.01-0.01+0.04+0.04-0.05-0.05+0.04+0.04-0.07-0.07-0.03-0.03-0.01-0.010 0-0.01-0.010 00 0+0.05+0.05-0.04-0.04+0.05+0.05-0.07-0.07-0.02-0.020 0+0.01+0.010 0+0.01+0.0101. 01niiv

29、01.0101010iilxilivx合肥工业大学误差理论与数据处理随机误差计算实例例例2-22-2 测量某直径测量某直径5 5次，得到结果：次，得到结果： 2000.07 2000.05 2000.09 2000.06 2000.08 ，求测量求测量 结果结果( (显著度显著度0.05)0.05)。 例例2-32-3 对某量进行对某量进行6 6次测量，测得数据如下：次测量，测得数据如下： 802.40802.40，802.50802.50，802.38802.38，802.48802.48， 802.42 802.42，802.46802.46。求算术平均值及其。求算术平均值及其 极限误差。

30、极限误差。 合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差例例2-3 2-3 对某量进行对某量进行6 6次测量，测得数据如下：次测量，测得数据如下：802.40802.40，802.50802.50，802.38802.38，802.48802.48，802.42802.42，802.46802.46。求算术。求算术平均值及其极限误差。平均值及其极限误差。 解：算术平均值解：算术平均值 标准差标准差 因测量次数较少，应按因测量次数较少，应按t t分布计算算术平均值的极分布计算算术平均值的极限误差。已知限误差。已知 ，取，取 ，则由附录表，则由附录表3 3查查得得 ，44.80266611iini

31、illx047.016161212iiniivnv019. 06047. 0nx51 nv01. 003. 4at合肥工业大学误差理论与数据处理076. 0019. 003. 4limxatx99. 01p01. 0049.0019.060.2limxtx第一节随机误差合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差六、不等精度测量六、不等精度测量（一）不等精度测量列（一）不等精度测量列不同测量条件，不同仪器，不同测量方法，不同测量条件，不同仪器，不同测量方法，不同测量次数，不同的测量者等不同测量次数，不同的测量者等nnlll,2121mmxmmnmmxnxnxlllxlllxlll,212222

32、211112112211合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差（二）权的概念（二）权的概念权权: :描述不等精度测量列中各个值的可信赖程度。描述不等精度测量列中各个值的可信赖程度。PiPi越大，说明该测量值越可信赖。越大，说明该测量值越可信赖。等精度测量：等精度测量： P P1 1=P=P2 2= = =P Pn n不等精度测量：不等精度测量： P P1 1PP2 2 P Pn n（三）权的确定（三）权的确定以第种情况为例：以第种情况为例：P Pi i= =n ni i一般情况：权的大小是由测量值的标准差决定一般情况：权的大小是由测量值的标准差决定22221211:1:1:nnPPP合肥

33、工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差（四）测量结果估计加权算术平均值（四）测量结果估计加权算术平均值x仍以特例说明：仍以特例说明：miimiiimmmmmmmnimimniiniiPxPPPPxPxPxPnnnxnxnxnxnlxnlxnlxm11212211212211121221111,21合肥工业大学误差理论与数据处理不等精度测量列，经单位权化处理后，就可按等精度测量列来处理。第一节随机误差（五）单位权化使不等精度测量列转化为等精度测量列（五）单位权化使不等精度测量列转化为等精度测量列等精度：等精度：P Pi i=P=1 =P=1 单位权标准差单位权标准差 不等精度：不等精度：1ii

34、iiiiiivplpvpl单位权化：任何一个量值乘以自身权数的平方根。单位权化：任何一个量值乘以自身权数的平方根。合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差（六）加权算术平均值的标准差（六）加权算术平均值的标准差1112111mvpppppmiiiniiniiiiniix近似近似精确精确合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差例例2-10 2-10 对一级钢卷尺的长度进行了三组不等精度测量，对一级钢卷尺的长度进行了三组不等精度测量， 其结果为其结果为mmmmxmmmmxmmmmxxxx10.0,60.200020.0,15.200005.0,45.2000321321例例2-11 2-1

35、1 工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较， 得到工作基准米尺的平均长度为得到工作基准米尺的平均长度为999.9425mm(999.9425mm(三三 次测量的次测量的) )，999.9416mm(999.9416mm(两次测量的两次测量的) )，999.9419999.9419 mm( mm(五次测量的五次测量的) )，求最后测量结果。求最后测量结果。合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差例例2-11 2-11 工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较， 得到工作基准米尺的平均长度为得到工作基准米尺的

36、平均长度为999.9425mm(999.9425mm(三三 次测量的次测量的) )，999.9416mm(999.9416mm(两次测量的两次测量的) )，999.9419999.9419 mm( mm(五次测量的五次测量的) )，求最后测量结果。，求最后测量结果。解：按测量次数来确定权：解：按测量次数来确定权： ，选，选 则有则有5, 2, 3321pppmmx94.9990mmmmmmx9420.9995230019. 050016. 020025. 0394.999合肥工业大学误差理论与数据处理第一节随机误差 mmx9420.999mvmvmvxxx1 .0,4 .0,5 .03215,

37、 2, 3, 3321pppmmmmmmx0002. 024. 02012. 1) 523 () 13 () 1 . 0(5) 4 . 0(25 . 0322合肥工业大学误差理论与数据处理七、随机误差的其他分布七、随机误差的其他分布 正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律，但不是唯正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律，但不是唯一分布规律。下面介绍几种常见的非正态分布。一分布规律。下面介绍几种常见的非正态分布。( (一一) )均匀分布均匀分布 在测量实践中，均匀分布是经常遇到的一种分布，其主在测量实践中，均匀分布是经常遇到的一种分布，其主要特点是，误差有一确定的范围，在此范围内，误差出现的要特

38、点是，误差有一确定的范围，在此范围内，误差出现的概率各处相等，故又称矩形分布或等概率分布。概率各处相等，故又称矩形分布或等概率分布。数学期望：数学期望：标准差：标准差：第一节随机误差aa21)(fa图 2-5o021)(afaadaE023a合肥工业大学误差理论与数据处理( (二二) )反正弦分布反正弦分布 反正弦分布实际上是一种随机误差的函数分布规反正弦分布实际上是一种随机误差的函数分布规律，其特点是该随机误差与某一角度成正弦关系。律，其特点是该随机误差与某一角度成正弦关系。反反正弦分布的分布密度正弦分布的分布密度 （图（图2-62-6）)(faaaf当当011)(22第一节随机误差022d

39、aEaa2a合肥工业大学误差理论与数据处理（三）三角形分布（三）三角形分布 当两个误差限相同且服从均匀分布的随机误差当两个误差限相同且服从均匀分布的随机误差求和时，其和的分布规律服从三角形分布，又称辛求和时，其和的分布规律服从三角形分布，又称辛普逊（普逊（SimpsonSimpson）分布。分布。 三角形分布的分布密度三角形分布的分布密度 （图（图2-72-7）：）：)(faaaaaaaf当当当000)(22第一节随机误差0E6a合肥工业大学误差理论与数据处理 如果对两个误差限为不相等的均匀分布随机误差求和时，如果对两个误差限为不相等的均匀分布随机误差求和时，则其和的分布规律不再是三角形分布而

40、是梯形分布。则其和的分布规律不再是三角形分布而是梯形分布。 在测量工作中，除上述的非正态分布外，还有直角分布、在测量工作中，除上述的非正态分布外，还有直角分布、截尾正态分布、双峰正态分布及二点分布等，在此不做一一叙截尾正态分布、双峰正态分布及二点分布等，在此不做一一叙述。述。（四）（四） 分布分布 令令 为为 个独立随机变量，每个随机变量都服从个独立随机变量，每个随机变量都服从标准化的正态分布。定义一个新的随机变量标准化的正态分布。定义一个新的随机变量 随机变量随机变量 称为自由度为称为自由度为 的卡埃平方变量。自由度的卡埃平方变量。自由度 表示表示上式中项数或上式中项数或独立变量的个数。独立

41、变量的个数。 2v,21v222212v2v第一节随机误差v合肥工业大学误差理论与数据处理 分布的分布密度分布的分布密度 式中的式中的 函数。函数。 它的数学期望为：它的数学期望为： 它的方差和标准差分别为：它的方差和标准差分别为： 在本书最小二乘法中要用到在本书最小二乘法中要用到 分布，此外它也是分布，此外它也是 t t 分布和分布和 F F 分布分布的基础。的基础。 由图由图2-82-8的两条的两条 理论曲线看出，当理论曲线看出，当 逐渐增大时，曲线逐渐接近逐渐增大时，曲线逐渐接近对称。可以证明当对称。可以证明当 足够大时，曲线趋近正态曲线。值得提出的是，在这足够大时，曲线趋近正态曲线。值

42、得提出的是，在这里称里称 为自由度，它的改变将引起分布曲线的相应改变。为自由度，它的改变将引起分布曲线的相应改变。2)(2f000)()2(2)(222122222当当evfvv为)2(v022122222)()2(2vdevEvvv22v222vvv第一节随机误差合肥工业大学误差理论与数据处理 令令 和和 是独立的随机变量，是独立的随机变量， 具有自由度为具有自由度为 的的 分布函数，分布函数， 具有标具有标准化正态分布函数，则定义新的随机变量为准化正态分布函数，则定义新的随机变量为 随机变量随机变量t t称自由度为称自由度为 的学生氏的学生氏t t变量。变量。 t t分布的分布密度分布的分

43、布密度 为为（图（图2-92-9）：）： 它的数学期望为：它的数学期望为： 它的标准差为：它的标准差为： t t分布和标准化正态分布密度曲线不同，如图分布和标准化正态分布密度曲线不同，如图2-92-9所示。当自由度较小时，所示。当自由度较小时，t t分布与正态分布有明显区别，但当自由度分布与正态分布有明显区别，但当自由度 时，时，t t分布曲线趋于正态分布分布曲线趋于正态分布曲线。曲线。t t分布是一种重要分布，当测量列的测量次数较少时，极限误差的估计，分布是一种重要分布，当测量列的测量次数较少时，极限误差的估计，或者在检验测量数据的系统误差时经常用到它。或者在检验测量数据的系统误差时经常用到

44、它。 v2vtv)(tf2/ )1(2)1 ()2()21()(vvtvvvtfdtvtvvvEv2/ )1(2)1 ()2()21(2vvv第一节随机误差（五）（五）t t分布分布合肥工业大学误差理论与数据处理（六）（六）F F分布分布 若若 具有自由度为具有自由度为 的卡埃平方分布函数，的卡埃平方分布函数， 具有自由度为具有自由度为 的卡埃的卡埃平方分布函数，定义新的随机变量为平方分布函数，定义新的随机变量为 随机变量随机变量F F称为自由度为称为自由度为 、 的的F F变量。变量。 F F分布的分布密度分布的分布密度 如图如图2-102-10所示。所示。 它的数学期望为：它的数学期望为：

45、 它的方差和标准差分别为：它的方差和标准差分别为： F F分布也是一种重要分布，在检验统计假设和方差分析中经常应用。分布也是一种重要分布，在检验统计假设和方差分析中经常应用。12212211/vvvvF11v22v1v2v)(Ff000)()2()2()2()(2/ )(1212/21212/22/121121FFFvvFvvvvvvFfvvvvv当当)0(2)(E2022vvvdFFFf) 4() 4() 2() 2(22222121222vvvvvvv)4()4()2()2(2222212122vvvvvvv第一节随机误差合肥工业大学误差理论与数据处理第二节 系统误差 u 系统误差的产生原

46、因系统误差的产生原因u 系统误差的特征与分类系统误差的特征与分类u 系统误差的发现方法系统误差的发现方法u 系统误差的减小和消除方法系统误差的减小和消除方法合肥工业大学误差理论与数据处理一、系统误差产生的原因一、系统误差产生的原因 系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成，在条系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成，在条件充分的情况下这些因素是可以掌握的。主要来源于：件充分的情况下这些因素是可以掌握的。主要来源于： 测量装置方面的因素测量装置方面的因素 环境方面的因素环境方面的因素 测量方法的因素测量方法的因素 测量人员的因素测量人员的因素第二节系统误差计量校准后发现的偏差、

47、仪器设计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的计原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。不正确等。测量时的实际温度对标准温度的测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差。按一定规律变化的误差。采用近似的测量方法或计算公式采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等。引起的误差等。测量人员固有的测量习性引起的测量人员固有的测量习性引起的误差等。误差等。合肥工业大学误差理论与数据处理第二节系统误差二、系统误差的分类和特征二、系统误差的分类和特征系统误差的特征：系统误差的特征：在同一条件下，多次测量同一测量值时，在同一条件下，多次

48、测量同一测量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化，按一定的规律变化，不具有抵偿性不具有抵偿性。根据系统误差在测量过程中所根据系统误差在测量过程中所具有的不同变化特性，将系统具有的不同变化特性，将系统误差分为误差分为不变系统误差不变系统误差和和变化变化系统误差系统误差两大类。两大类。合肥工业大学误差理论与数据处理第二节系统误差（一）不变系统误差（固定系统误差）（一）不变系统误差（固定系统误差） 在整个测量过程中，误差的大小和符号始终不在整个测量过程中，误差的大小和符号始终不变。变。 egeg: :千分尺或测长仪

49、读数装置的调零误差；千分尺或测长仪读数装置的调零误差；量块或其它标准件尺寸的偏差等量块或其它标准件尺寸的偏差等（二）变化系统误差（二）变化系统误差 在整个测量过程中，误差的大小和方向随测试的在整个测量过程中，误差的大小和方向随测试的某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化。某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化。egeg: :量块中心长度随温度的变化量块中心长度随温度的变化mmTLLL)(00 线性变化的系统误差线性变化的系统误差合肥工业大学误差理论与数据处理第二节系统误差 周期变化的系统误差周期变化的系统误差sineL 复杂规律变化的系统误差复杂规律变化的系统误差例如例如: :微安表的指针

50、偏转角与偏转力距间不严格保持线微安表的指针偏转角与偏转力距间不严格保持线性关系，而表盘仍采用均匀刻度所产生的误差就属于复性关系，而表盘仍采用均匀刻度所产生的误差就属于复杂规律变化的系统误差。杂规律变化的系统误差。 e e9090o o0 0o o180180o o270270o oe eL L0 0O O9090O O180180O O360360O Oegeg: :指针在任一转角指针在任一转角 处引起的读数误差处引起的读数误差 。合肥工业大学误差理论与数据处理第二节系统误差 我们可针对不同性质的系统误差，可按照下述两类方法加以识别：我们可针对不同性质的系统误差，可按照下述两类方法加以识别：

51、1 1、用于发现测量列组内的系统误差用于发现测量列组内的系统误差，包括实验对比法、残余误差，包括实验对比法、残余误差观察法、残余误差校核法和不同公式计算标准差比较法；观察法、残余误差校核法和不同公式计算标准差比较法； 2 2、用于发现各组测量之间的系统误差用于发现各组测量之间的系统误差，包括计算数据比较法、秩，包括计算数据比较法、秩和检验法、和和检验法、和t t 检验法。检验法。三、系统误差的发现方法三、系统误差的发现方法检验法秩和检验法计算数据比较法组间不同公式计算标准差法残余误差校核法残余误差观察法实验对比法组内发现系统误差的方法t合肥工业大学误差理论与数据处理第二节系统误差 1 1、实验

52、对比法、实验对比法 实验对比法是改变产生系统误差的条件，进行不同条件的测量，实验对比法是改变产生系统误差的条件，进行不同条件的测量，以发现系统误差。以发现系统误差。 这种方法适用于发现不变的系统误差这种方法适用于发现不变的系统误差。 2 2、残余误差观察法、残余误差观察法 残余误差观察法是根据测量残余误差观察法是根据测量列的各个残余误差大小和符号的列的各个残余误差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无系统误差。差曲线图形来判断有无系统误差。 这种方法适于发现有规律变这种方法适于发现有规律变化的系统误差化的系统误差。（一）测量列组内的系统误差发现

53、方法（一）测量列组内的系统误差发现方法合肥工业大学误差理论与数据处理第二节系统误差 3 3、残余误差校核法残余误差校核法( (有两种方法有两种方法) ) 用于发现线性系统误差用于发现线性系统误差nKjjiKinKjjKiixlxlvv1111)()( 若上式的两部分值若上式的两部分值显著不为显著不为O O，则有理由认为测则有理由认为测量列存在线性系统误差量列存在线性系统误差。这种校核法又称。这种校核法又称“马列科夫准马列科夫准则则”，它能有效地发现线性系统误差。但要注意的是，它能有效地发现线性系统误差。但要注意的是，有时按残余误差校核法求得差值有时按残余误差校核法求得差值=0=0，仍有可能存在

54、系仍有可能存在系统误差。统误差。 合肥工业大学误差理论与数据处理第二节系统误差 用于发现周期性系统误差用于发现周期性系统误差nnniiivvvvvvvvu1322111121nu若若则认为该测量列中含有周期性系统误差。这种校核法又则认为该测量列中含有周期性系统误差。这种校核法又叫叫阿卑阿卑赫梅特准则（赫梅特准则（Abbe-HelmertAbbe-Helmert准则准则），它能有，它能有效地发现周期性系统误差。效地发现周期性系统误差。 合肥工业大学误差理论与数据处理4 4、不同公式计算标准差比较法不同公式计算标准差比较法 对等精度测量，可用不同分式计算标准差，通过比较以发现系统对等精度测量，可用

55、不同分式计算标准差，通过比较以发现系统误差。按贝塞尔公式：误差。按贝塞尔公式： 按别捷尔斯公式：按别捷尔斯公式： 令令 若若 则怀疑测量列中存在系统误差。则怀疑测量列中存在系统误差。 121nvi) 1(253. 12nnviu12112nu在判断含有系统误差时，违反在判断含有系统误差时，违反“准准则则”时就可以直接判定，而在遵守时就可以直接判定，而在遵守“准则准则”时，不能得出时，不能得出“不含系统不含系统误差误差”的结论，因为每个准则均有的结论，因为每个准则均有局限性，不具有局限性，不具有“通用性通用性”。 第二节系统误差合肥工业大学误差理论与数据处理则任意两组结果则任意两组结果 与与 间

56、间不存在系统误差的标志是：不存在系统误差的标志是： 若对同一量独立测量得若对同一量独立测量得 m m 组结果，并知它们的算术平均值和标组结果，并知它们的算术平均值和标准差为：准差为：( (二二) )测量列组间的系统误差发现方法测量列组间的系统误差发现方法mmxxx,;,;,2211jixx ji22ixjxjijixx222第二节系统误差而任意两组结果之差为：而任意两组结果之差为：其标准差为：其标准差为：1 1、计算数据比较法、计算数据比较法 对同一量进行多组测量得到很多数据，通过多组数据计算比较，对同一量进行多组测量得到很多数据，通过多组数据计算比较，若不存在系统误差，其比较结果应满足随机误

57、差条件，否则可认为若不存在系统误差，其比较结果应满足随机误差条件，否则可认为存在系统误差。存在系统误差。合肥工业大学误差理论与数据处理2 2、秩和检验法、秩和检验法 对某量进行两组测量，这两组间是否存在系统误差，可用秩和对某量进行两组测量，这两组间是否存在系统误差，可用秩和检验法根据两组分布是否相同来判断。检验法根据两组分布是否相同来判断。第二节系统误差 若独立测得两组的数据为：若独立测得两组的数据为： 21,2, 1,2, 1niynixii 将它们混和以后，将它们混和以后，从从1 1开始，按从小到大的顺序重新排列开始，按从小到大的顺序重新排列，观察测，观察测量次数较少那一组数据的序号，它的

58、测得值在混合后的次序编号（即量次数较少那一组数据的序号，它的测得值在混合后的次序编号（即秩），再将所有测得值的次序相加，得到的序号号即为秩和秩），再将所有测得值的次序相加，得到的序号号即为秩和 T T。10,21nnTTT 1 1） 两组的测量次数两组的测量次数 ，可根据测量次数较少的组的次，可根据测量次数较少的组的次数数 n n1 1 和测量次数较多的组的次数和测量次数较多的组的次数 n n2 2 ，由秩和检验表，由秩和检验表2-102-10查得查得 T T- - 和和 T T+ + （显著度（显著度0.050.05），），若若 则无根据怀疑两组间存在系统误差。则无根据怀疑两组间存在系统误差

59、。 合肥工业大学误差理论与数据处理TTnn212 24 43 311112 25 53 313132 26 64 414142 27 74 416162 28 84 418182 29 94 420202 210105 521213 33 36 615153 34 47 717173 35 57 720203 36 68 822223 37 79 924243 38 89 927273 39 9101029293 31010111131314 44 4121224244 45 5131327274 46 6141430304 47 7151533334 48 8161636364 49 917

60、1739394 41010181842425 55 5191936365 56 6202040405 57 7222243435 58 8232347475 59 9252550505 51010262654546 66 6282820206 67 7303054546 68 8323258586 69 9333363636 61010353567677 77 7393966667 78 8414171717 79 9434376767 71010464680808 88 8525284848 89 9545490908 81010575795959 99 966661051059 91010