第二章 导热基本定律和导热微分方程

1、一、付立叶导热定律一、付立叶导热定律热导率（导热系数）热导率（导热系数）（Thermal conductivity）W (mC):导热基本定律：导热基本定律：垂直导过等温面的热流密度，正比于该处垂直导过等温面的热流密度，正比于该处的温度梯度，方向与温度梯度相反。的温度梯度，方向与温度梯度相反。直角坐标系中：直角坐标系中：一维导热：一维导热：注：注：傅里叶定律只适用于傅里叶定律只适用于各向同性材料各向同性材料各向同性材料：各向同性材料：热导率在各个方向是相同的热导率在各个方向是相同的各向异性材料中：各向异性材料中： 有些天然和人造材料，如：石英、木材、叠层有些天然和人造材料，如：石英、木材、叠层

2、塑料板、叠层金属板，其导热系数随方向而变化塑料板、叠层金属板，其导热系数随方向而变化 各向异性材料各向异性材料二、导热系数二、导热系数 物质的重要热物性参数物质的重要热物性参数2.2.影响热导率的因素：影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等。湿度、压力、密度等。W (mC)1.1.热导率的数值：热导率的数值：就是物体中单位温度梯度、单位时间、就是物体中单位温度梯度、单位时间、通过单位面积的导热量，表征物质导热能力大小。通过单位面积的导热量，表征物质导热能力大小。（实验（实验测定）测定）3.3.温度的影响：温度的影响：式中：式中： 为温度为为

3、温度为tt的导热系数；的导热系数；o为温度为为温度为00的导热系数；的导热系数； 为材料为材料导热系数导热系数的温度系数，为实验值。的温度系数，为实验值。 4.4.保温材料：保温材料： 国家标准规定，温度低于国家标准规定，温度低于350350度时热导率小于度时热导率小于0.12W/(0.12W/(m mK)K) 的材料（绝热材料）。的材料（绝热材料）。1.1.气体气体导热导热气体分子不规则热运动导致相互碰撞的结果气体分子不规则热运动导致相互碰撞的结果三、导热的物理本质三、导热的物理本质气体的热导率：气体的热导率：0.0060.6W (m C)气体0: 0.0244W (m C) ;C空气20:

4、 0.026W (m C) C空气气体分子运动理论：常温常压下气体热导率可表示为：气体分子运动理论：常温常压下气体热导率可表示为：n气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程减气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程减小、而两者的乘积保持不变。小、而两者的乘积保持不变。：气体分子运动的均方根速度气体分子运动的均方根速度：气体分子在两次碰撞间平均自由行程气体分子在两次碰撞间平均自由行程：气体的密度；气体的密度；：气体的定容比热气体的定容比热13vulculvcn除非压力很低或很高，在除非压力很低或很高，在2.672.67* *1010-3-3MPaMPa2.02.0* *10103 3

5、MPaMPa范围内，范围内，气体的热导率基本不随压力变化。气体的热导率基本不随压力变化。n气体的温度升高时：气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随气体分子运动速度和定容比热随T T 升高而增大。升高而增大。气体的热导率随温度升高而增大。气体的热导率随温度升高而增大。n分子质量小的气体（分子质量小的气体（H H2 2、H He e）热导率较大热导率较大 分子运分子运动速度高动速度高。（。（如下图如下图）2.2.导热导热自由电子运动、碰撞的结果（与气体类似）自由电子运动、碰撞的结果（与气体类似）（1 1）纯金属纯金属的导热：的导热：依靠自由电子的迁移依靠自由电子的迁移和和晶格的振动晶格的振

6、动( (主主要依靠要依靠前者前者）n金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：n 晶格振动的加强干扰自由电子运动晶格振动的加强干扰自由电子运动CuCu10K:12000W (m C)15K :7000W (m C)（2 2）合金：金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性，）合金：金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性， 干扰自由电子的运动干扰自由电子的运动如常温下：如常温下：0398w/m. c纯铜0109w/m. c黄铜黄铜：黄铜：70%Cu, 30%Zn70%Cu, 30%Znn金属的加工过程也会金属的加工过程也会造成晶格的缺陷造成晶格的缺陷n合金的

7、导热：依靠自由电子的迁移和合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动晶格的振动；n 主要依靠主要依靠后者后者n温度升高温度升高晶格振动加强晶格振动加强导热增强导热增强与纯金属相反与纯金属相反n非金属的导热：非金属的导热：依靠晶格的振动依靠晶格的振动传递热量；比较小传递热量；比较小n建筑隔热保温材料：建筑隔热保温材料：3.3.非金属固体非金属固体导热导热晶格振动、碰撞的结果晶格振动、碰撞的结果n大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构n多孔材料的热导率与多孔材料的热导率与密度密度和和湿度湿度有关有关0.0253W (m C)与合金相似与合金相似4.4.

8、液体液体导热导热气体导热机制非导电固体导电机制。气体导热机制非导电固体导电机制。液体的导热：主要液体的导热：主要依靠晶格的振动依靠晶格的振动（1 1）大多数液体（分子量）大多数液体（分子量M M不变）：不变）：（2 2）液体的热导率随压力）液体的热导率随压力p p的升高而增大的升高而增大 水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变化。在不同温度水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变化。在不同温度下，热导率随温度的变化规律不一样。下，热导率随温度的变化规律不一样。一、一、 导热微分方程的推导导热微分方程的推导傅里叶定律傅里叶定律 + + 热力学第一定律热力学第一定律(1) (1) 所

9、研究的物体是所研究的物体是各向同性各向同性的连续介质。的连续介质。 (2) (2) 热导率、比热容和密度均为已知。热导率、比热容和密度均为已知。 (3) (3) 物体内具有内热源：内热源均匀分布；物体内具有内热源：内热源均匀分布；q qv v表表示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量W/mW/m3 3 。据付立叶定律：据付立叶定律：沿沿x x 轴方向、轴方向、x+dxx+dx的热流密度：的热流密度：同理，沿同理，沿y y、z z 轴方向的热流密度：轴方向的热流密度：dydxdztdxdzdytdydzdxtdydxddzzqqdxdzddyyqqdyd

10、zddxxqqdydxdqdxdzdqdydzdqQQQzzyyxxdzzdyydxxdzzdyydxx导出总热量dxdydzdztdxdydzdytdxdydzdxt222内热源发热量内热源发热量 dxdydzdqvvqvqvq式中，式中， 内热源发热率（内热源发热率（w/w/），表示每单位体积微元体单位），表示每单位体积微元体单位时间发出的热量，如为吸热时间发出的热量，如为吸热, , 则则 0， 可以是坐标、时间的可以是坐标、时间的函数。函数。热蓄集热蓄集dxdydzdtCn微元体热焓的变化（质量为微元体热焓的变化（质量为mkgmkg）：）：(d )tmc tdxdydzcdnd d 时间

11、内微元体中热力学能的增量。时间内微元体中热力学能的增量。导热微分方程导热微分方程 二、导温系数（热扩散率）二、导温系数（热扩散率）(1)(1)物理意义物理意义综合反映综合反映导热能力导热能力和和蓄热能力蓄热能力。a a大则导热能大则导热能力强而蓄热能力弱，温度变化传播快，整个材料的温度趋于均力强而蓄热能力弱，温度变化传播快，整个材料的温度趋于均匀化；反之则反。匀化；反之则反。(2)a(2)a与与的比较的比较(3)a(3)a只在只在非稳态传热非稳态传热过程中起作用。对稳态传热：过程中起作用。对稳态传热：三、导热微分方程的简化三、导热微分方程的简化无内热源：无内热源： 付立叶方程付立叶方程稳态导热

12、：稳态导热： 泊松方程泊松方程 稳态导热稳态导热& &无内无热源：无内无热源：拉普拉斯方程拉普拉斯方程 稳态导热稳态导热& &无内无热源无内无热源& &二维：二维：稳态导热稳态导热& &无内无热源无内无热源& &一维：一维：四、非直角坐标系的导热微分方程四、非直角坐标系的导热微分方程 （1 1）圆柱坐标系）圆柱坐标系（r, r, , z, z）zzryrx ;sin ;cos1rztqrtqrtqz （2 2）球坐标系）球坐标系（r, r, ， ）11sinrtqrtqrtqr sincos ; sinsin ;

13、cosxryrzr导热微分方程式导热微分方程式的的不适应不适应范围范围: : 非傅里叶非傅里叶导热过程导热过程n极短极短时间产时间产生极大的热流密度的热量传递现象生极大的热流密度的热量传递现象，如，如激光激光加工过程加工过程。n极低温度极低温度( (接近于接近于0 K)0 K)时的导热问题。时的导热问题。五、导热微分方程的定解条件五、导热微分方程的定解条件 （1 1）定解条件的定义）定解条件的定义使微分方程得到特定解的附加条件使微分方程得到特定解的附加条件( (数学称谓数学称谓) )。（2 2）定解条件的分类）定解条件的分类A.A.几何条件几何条件几何形状，如：平壁或圆筒壁；厚度、几何形状，如

14、：平壁或圆筒壁；厚度、直径等（常为已知）。直径等（常为已知）。B.B.物理条件物理条件说明导热体的物理特征，如：物性参数说明导热体的物理特征，如：物性参数 、c c 和和 的数值，是否随温度变化；有无内热源、大的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布；是否各向同性（常为已知）。小和分布；是否各向同性（常为已知）。C.C.初始条件初始条件初始时刻的温度分布；初始时刻的温度分布；思考稳态导热有思考稳态导热有无初始条件无初始条件 n稳态导热过程不需要时间条件稳态导热过程不需要时间条件 与时间无关与时间无关n对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温

15、度分布：的温度分布：D.D.边界条件边界条件边界上的温度或换热情况，边界上的温度或换热情况，说明导热体说明导热体边界上过程进行的特点反映过程与周围环境相互作用的边界上过程进行的特点反映过程与周围环境相互作用的条件。条件。a.a.第一类第一类边界条件边界条件给定边界上的给定边界上的温度值温度值。如：。如：wstts s 边界面边界面; ; t tw w = f = f ( (x,y,zx,y,z) ) 边界面上的温度边界面上的温度例：例：120, , wwxttxttoxtw1tw2稳态导热：稳态导热： t tw w = = constconst非稳态导热：非稳态导热： t tw w = f = f ( ( ) )b.b.第二类第二类边界条件边界条件给定边界上的给定边界上的热流密度热流密度。( ,)wsqqfrqw根据傅里叶定律：根据傅里叶定律：()wntqn ()wnqtn第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法向的第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法向的温度梯度值温度梯度值。稳态导热：稳态导热：非稳态导热：非稳态导热：wqconst()wqf特例：绝热边界面特例：绝热边界面0 0wwwttqnnc.c.第三类第三类边界条件边界条件给定边界上物体与周围介质间的给