第3讲概率的加法公式与乘法公式(1)

1、经济数学基础第三节 概率的运算法则一、概率的加法公式二、条件概率三、概率的乘法公式0)(APA有对任一个事件1)(,P有对必然事件)()(,1121iiiiAPAPAA则是两两互不相容的事件若设E是随机试验，是它的样本空间，对E的每一个事件A，将其对应于唯一实数，记为P(A )，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件：一、概率的公理化定义1 非负性2 规范性3 可列可加性1. 事件互不相容时的加法法则事件互不相容时的加法法则公理公理3 3则则 )()()(BPAPBAP 一、加法法则一、加法法则设事件设事件A与与B互不相容互不相容例如：一枚硬币抛两次，A表示两次都是正面，B表示两次都

2、是反面，C表示一次正面一次反面，求（1）两次是同一面的概率（2）至少一次正面的概率推论推论1若事件若事件 两两互不相容，则两两互不相容，则,21nAAA )()()()(2121nnAPAPAPAAAP 推论推论2 )(1)(APAP 推论推论2 2在概率的计算上很有用，如果正面计算事件在概率的计算上很有用，如果正面计算事件 的的概率不容易，而计算其对立事件概率不容易，而计算其对立事件 的概率较易时，可的概率较易时，可以先计算以先计算 再计算再计算AA),(AP).(AP 例如：口袋中有一只黑球，一只白球，现随机地取一个球，然后放入一只黑球，依次进行，求第三次取球时取到黑球的概率。 投骰子三次

3、，求至少有一个6点的概率推论推论3 3设设 为任意二事件，则为任意二事件，则 BA, )()()(ABPBPABP 特别，若特别，若 则则 ,BA )()()(APBPABP 证证 )(ABABBAABB 其中其中 与与 互不相容，互不相容，AB)(AB 由定理由定理1 得：得：)()()(ABPABPBP 复习：0)(P1212()()()()nnP AAAP AP AP A两两互不相容，则若事件nAAA,21性质1性质2（有限可加性）性质3)(1)(APAPA有对任一事件，则有满足若事件BABA,)()()(BPAPBAP)()(BPAP性质4 )()()(ABPAPBAP例例1 袋中有红

4、、黄、白色球各一个，每次任取一只，袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一只，有放回地抽三次，求三次抽取有放回地抽三次，求三次抽取“颜色全同颜色全同”、“至至少一只红球少一只红球”的概率的概率解解 )()(全全白白全全黄黄全全红红颜颜色色全全同同 PP)()()(全全白白全全黄黄全全红红PPP 91313131333 )()(无无红红球球至至少少一一只只红红球球PP )(1无红球无红球P 271932133 练习： 设有一批产品共100件，其中5件是次品，任取3件，求：至少有一件是次品的概率。解 法一.,21321BBBBBA且两两互不相容。于是3B设A为“任取三件至少有一件次品”，Bi表示“任

5、取三件恰好有i件次品”，则123123122130595595595333100100100P( )P()P()P()P() 0. 1440ABBBBBBC CC CC CCCC=热=+=+法二.表示“任取三件全是正品”，而A8560. 0)(3100395CCAP1440. 08560. 01)(1)(APAP )()()()(ABPBPAPBAP 2 .一般情况下的加法公式一般情况下的加法公式定理定理 2 对于任意两个事件对于任意两个事件A,B，有，有证证BBABA 互互不不相相容容 ,BBAABABA 又又AAB )()()(BPBAPBAP )()()( BPABPAP 推论推论CBA

6、,为任意三个事件，则有为任意三个事件，则有)()()()(CPBPAPCBAP )()()(BCPACPABP )(ABCP )()()( ABPBPAP ).()()(BPAPBAP可由归纳法证得。个事件一般地，对任意nAAAn,21例例2 在例在例1中，求中，求“取到的三个球里没有红球或取到的三个球里没有红球或没有黄球没有黄球”的概率的概率解解)()(无无黄黄无无红红无无红红或或无无黄黄 PP)()()(无无黄黄且且无无红红无无黄黄无无红红PPP 95271278278 )()()()(ABPAPBAPBAP3 . 0)(BP6 . 0)( BAP)( BAPAB例3 设 、 为两事件，且

7、设 ， 求解)()()()(ABPBPAPBAP而)()()()(ABPAPBPBAP所以3 . 03 . 06 . 0)(BAP于是解：解：因为A、B、C 都不出现的概率为= 1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)= 11/41/41/4+0+1/6+1/60 =15/12 = 7/12()1()P ABCP ABC 例4 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求 A、B、C 都不出现的概率. 前面讲的概率问题没有什么附加条件，但实际中前面讲的概率问题没有什么附加条件，但实际中可能会经常遇到许多有条件的

8、概率问题比如：可能会经常遇到许多有条件的概率问题比如：(1)两个小孩的家庭，已知有一个是男孩，求另一两个小孩的家庭，已知有一个是男孩，求另一个也是男孩的概率；个也是男孩的概率；(2)在不放回取球中（黑球在不放回取球中（黑球5只，白球只，白球5只）已知第只）已知第一人取到的是黑球，求第二人取到黑球的概率。一人取到的是黑球，求第二人取到黑球的概率。(3)人寿保险中常常会考虑：已知某人已经活了人寿保险中常常会考虑：已知某人已经活了x岁，求他能再活岁，求他能再活y岁的概率。岁的概率。二、条件概率 例例6：E：将一枚硬币抛二次，观察正反面出现的情况。：将一枚硬币抛二次，观察正反面出现的情况。=HH，HT

9、，TH，TTA=“至少有一次为至少有一次为H”=HH，HT THB=“两次为同一面两次为同一面”=HH，TT已知事件已知事件A发生的条件下，求事件发生的条件下，求事件B发生的概率。发生的概率。解解：(1)事件事件A发生这个条件告诉我们，试验的结果发生这个条件告诉我们，试验的结果TT不能出现，而只出现不能出现，而只出现HH，HT ，TH，这时，这时B要发生只能出现要发生只能出现结果结果HH。从而。从而P(“事件事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生发生”)=1/3P(“事件事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B不发生不发生”)=2/3(|)defP B A(|)defP B A 事件事件

10、A与事件与事件B同时发生的概率为：同时发生的概率为：31( ), ()44P AP AB从而有公式：从而有公式：()1(|)( )3P ABP B AP A 思考前面的三个问题，称是两个事件，且设0)(,APBA)()()(APABPABP(3)可以验证，条件概率P(|A)满足概率公理化定义中的三条公理 定义1为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率1)|(0ABPB，有对任一个事件1)|( AP)|()|(,1121ABPABPBBBiiiin有，对两两互不相容的事件1 非负性2 规范性3 可列可加性( |)0;PB);|(1)|(BAPBAP )|()|()|()|(212121BAAPB

11、APBAPBAAP 由此可知，前面推出的概率的性质对条件概率同由此可知，前面推出的概率的性质对条件概率同样适用，例如：样适用，例如：概率概率 P(B|A)与与P(AB)的区别与联系的区别与联系联系联系：事件：事件A，B都发生了都发生了 区别区别： （1）在）在P(B|A)中，事件中，事件A，B发生有时间上的差异，发生有时间上的差异，A先先B后；在后；在P（AB）中，事件）中，事件A，B同时发生。同时发生。（2）样本空间不同，）样本空间不同，在在P(B|A)中，事件中，事件A成为样本成为样本空间；在空间；在P（AB）中，样本空间仍为）中，样本空间仍为 。因而有因而有 )()|(ABPABP例7

12、一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球，依次从袋中不放回取两球。试求：已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的是黑球的概率.解次取到黑球第iAi)2, 1(i记因为15191023)(21AAP103)(1AP所以 92)()()(22121APAAPAAP思考题：为什么不是 将球编号，黑球为1,2,3；白球为4,5,6，7,8,9,10，已知第二次摸到1号球，（1）求第一次摸到2号球的概率（2） 求第一次摸到黑球的概率31 0例例8 考虑恰有两个小孩的家庭，若已知此家庭有一个男孩求另一个小孩也是男孩的概率；若已知此家庭第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率（假定生男生

13、女为等可能）于是得 43P(A)41 P(B)P(AB)41 P(B)P(BA1所求的两个条件概率为 314341P(A)P(AB)A)|P(B212141)P(A)P(BA)A|P(B111三、概率的乘法公式定理1 （乘法公式）)()()(, 0)(APABPABPAP则有设0)(,12121nnAAAPnAAA个事件，且是一般地，若0)(,BPBA此，若的位置具有对称性，因由于)()()(BPABPBAP)()()(BPBAPABP则由归纳法可得：则由可得)|()|()|()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP例例8 8 关于某产品的检验方案为从关于某产品

14、的检验方案为从100100件中任取一件，无放回，件中任取一件，无放回，如为次品，认为不合格；如为正品，再抽一件；如此连续至多如为次品，认为不合格；如为正品，再抽一件；如此连续至多4 4次，如连续抽取次，如连续抽取4 4件正品，则认为这批产品合格，现假定这批产件正品，则认为这批产品合格，现假定这批产品中品中5%5%是次品，问产品被拒收的概率是次品，问产品被拒收的概率 。解产品被拒收A设4 , 3 , 2 , 1,iiBi次抽得正品第4321BBBBA 则)(1)(1)(4321BBBBPAPAP因此)|()|()|()BBBPBBBPBBPBP188. 09792989

15、39994100951解：解：例例9：据以往资料，某一：据以往资料，某一3口之家，患某种传染病的概率有口之家，患某种传染病的概率有以下特点：以下特点：( )0.6, (|)0.5, (|)0.4P AP B AP C AB设设A=孩子得病孩子得病，B母亲得病母亲得病，C父亲得病父亲得病P(孩子得病孩子得病)0.6，P(母亲得病孩子得病母亲得病孩子得病)0.5P(父亲得病母亲及孩子得病父亲得病母亲及孩子得病)0.4求求“母亲及孩子得病但父亲未得病母亲及孩子得病但父亲未得病”的概率。的概率。()(|) (|) ( )P ABCP C AB P B A P A0.6 0.5 0.60.18小小 结结加法公式加法公式事件互斥时的加法公式事件互斥时的加法公式