系统的机械能守恒问题

1、4.5 系统的机械能守恒问题Fm问题问题1、在拉力、在拉力F的的作用下使质量为作用下使质量为m的物体匀速上升机的物体匀速上升机械能是否守恒？为械能是否守恒？为什么？什么？提出问题提出问题守恒条件是什么？守恒条件是什么？问题问题2、小球机械能守恒吗？、小球机械能守恒吗？知识回顾：知识回顾：机械能守恒条件之（机械能守恒条件之（3 3）：）： 有系统内的内力做功，但是做功代数和为零，有系统内的内力做功，但是做功代数和为零，系统机械能守恒系统机械能守恒F F1 1F F2 2A AB B 1 1、系统：系统：系统是指相互作用着的两个物体的组系统是指相互作用着的两个物体的组合合。 我们知道，机械能是动能

2、和势能（包括重力势能我们知道，机械能是动能和势能（包括重力势能和弹性势能）的总称，而是势能总是属于系统的，和弹性势能）的总称，而是势能总是属于系统的，不是只属于单个物体，例如重力势能属于重物和地不是只属于单个物体，例如重力势能属于重物和地球组成的系统，弹性势能则属于弹性体组成的系统，球组成的系统，弹性势能则属于弹性体组成的系统，机械能是属于系统。机械能是属于系统。 有时，习惯上把机械能说成是单个物体的，这样有时，习惯上把机械能说成是单个物体的，这样做不是严谨的，而且常常导致我们对机械能的问题做不是严谨的，而且常常导致我们对机械能的问题无法作出正确的分析。无法作出正确的分析。一、明确几个概念一、

3、明确几个概念 2 2、内力和外力：首先要明确、内力和外力：首先要明确“内力内力”和和“外力外力”都是指系统内的物体所受到的力，其中，都是指系统内的物体所受到的力，其中，系统内物体系统内物体间的间的 相互作用力叫做系统的内力，相互作用力叫做系统的内力，系统外的物体对系系统外的物体对系统内的物体的作用力叫做系统的外力，统内的物体的作用力叫做系统的外力，在处理机械能在处理机械能问题时，内力中总有重力问题时，内力中总有重力重物和地球相互作用的重物和地球相互作用的引力，但不一定有弹力和摩擦力。引力，但不一定有弹力和摩擦力。 3 3、内力的功和外力的功：各个内力对系统内各物、内力的功和外力的功：各个内力对

4、系统内各物体所做的功代数和，叫做内力的功；各个外力对系统体所做的功代数和，叫做内力的功；各个外力对系统内各物体所做的功的代数和，叫做外力的功。功的代内各物体所做的功的代数和，叫做外力的功。功的代数不为零叫做数不为零叫做“做功做功”，功代数和等于零叫做，功代数和等于零叫做“不做不做功功”。 4 4、机械能的转化：是指重力势能、弹性势能、机械能的转化：是指重力势能、弹性势能和动能之间的转化，和动能之间的转化，内力中的重力做功时重力势内力中的重力做功时重力势能和动能相互转化；能和动能相互转化；内力中的弹力做功，使弹性内力中的弹力做功，使弹性势能和动能相互转化，势能和动能相互转化，这样的功显然是不会使

5、系这样的功显然是不会使系统得机械能发生变化的。统得机械能发生变化的。 5 5、机械能守恒：是指我们所研究的系、机械能守恒：是指我们所研究的系统的机械能统的机械能重力势能、弹性势能、重力势能、弹性势能、动能的总和保持不变。动能的总和保持不变。1 1、没有外力做功、没有外力做功; ;2 2、内力中没有重力和弹力以外的力做功、内力中没有重力和弹力以外的力做功。 这是因为：这是因为：1 1、外力对系统不做功则系统的机械能不与外界、外力对系统不做功则系统的机械能不与外界发生交换。发生交换。2 2、内力中没有重力和弹力以外的力做功（若有摩、内力中没有重力和弹力以外的力做功（若有摩擦力、粘滞阻力及类似这样的

6、内力做功擦力、粘滞阻力及类似这样的内力做功, ,系统的机械能将增系统的机械能将增加），则系统内部不发生机械能与其它形式能量的转化。加），则系统内部不发生机械能与其它形式能量的转化。所以具备了这两个条件，系统的机械能就保持不变。所以具备了这两个条件，系统的机械能就保持不变。守恒条件的理解：守恒条件的理解：条件：条件：系统内只有重力、弹力做功系统内只有重力、弹力做功 （动能、重力势能和弹性势能）（动能、重力势能和弹性势能）二、机械能守恒条件及理解二、机械能守恒条件及理解机械能守恒的判断方法有三个：机械能守恒的判断方法有三个： 由机械能守恒的条件判断，看是否只有由机械能守恒的条件判断，看是否只有系统

7、内的重力（或弹性力）做功。系统内的重力（或弹性力）做功。 根据能量的转化情况判断，看是否只有根据能量的转化情况判断，看是否只有系统内的动能和势能的转化。系统内的动能和势能的转化。 直接观察，看系统的机械能是否发生了直接观察，看系统的机械能是否发生了变化。第变化。第种方法避开了有时比较麻烦的受种方法避开了有时比较麻烦的受力分析和做功情况的分析，显的更为简捷。力分析和做功情况的分析，显的更为简捷。三、机械能守恒的判断三、机械能守恒的判断四、机械能守恒定律常用表达式：四、机械能守恒定律常用表达式：1、E1=E2 （ E1、E2表示系统的表示系统的初初、末态末态时的机械能）时的机械能）2、 EK=EP

8、 （系统（系统动能的增加量动能的增加量等于系统等于系统势能的减少量势能的减少量）3、 EA=EB （系统由两个物体构成时，（系统由两个物体构成时，A的机械能的增量的机械能的增量 等于等于B的机械能的减少量的机械能的减少量） 因为需要计算重力势能，所以解题时须建立重力势能的零位置，一般以因为需要计算重力势能，所以解题时须建立重力势能的零位置，一般以 题目中的最低位置为重力势能的零位置，而且在题目中的最低位置为重力势能的零位置，而且在同一问题中必须选取同一零同一问题中必须选取同一零 势能参考面。势能参考面。注意：注意： 在某些机械能守恒的问题中，运用式在某些机械能守恒的问题中，运用式1 (E1=E

9、2)求解不太方便，而运用求解不太方便，而运用式式2 ( EK=EP ) 、 3 ( EA=EB )较为简单。较为简单。运用式运用式2、3的一个最大优点的一个最大优点是不必选取零势能参考面，只要弄清楚过程中是不必选取零势能参考面，只要弄清楚过程中物体重力势能的变化物体重力势能的变化即可。即可。 例例1. 1. 如图，一轻杆两端固定质量分别为如图，一轻杆两端固定质量分别为m1和和m2的小球，的小球，m m1 1mm2 2, ,该系统可绕过杆中的水平轴在该系统可绕过杆中的水平轴在竖直平面内做无摩擦的转动。由静止释放后，该装竖直平面内做无摩擦的转动。由静止释放后，该装置由水平位置转到竖直位置的过程，下

10、列说法正确置由水平位置转到竖直位置的过程，下列说法正确的是：的是：.m1的机械能守恒的机械能守恒B.B.m m2 2 的机械能减少的机械能减少C.C.杆对杆对m2的弹性力不做功的弹性力不做功D. m1和和m2 的总机械能守恒的总机械能守恒轻杆质量不计！例题讲解：例题讲解：分析二：用第二种方法判断分析二：用第二种方法判断m m1 1和和m m2 2形成的系统机械能的守恒问形成的系统机械能的守恒问题：因为不存在摩擦，过程中只有题：因为不存在摩擦，过程中只有m m1 1和和m m2 2之间的动能和势能的之间的动能和势能的转化，所以和组成的系统机械能守恒。转化，所以和组成的系统机械能守恒。 分析一：分

11、析一：用直接观察的方法来判断用直接观察的方法来判断m m1 1和和m m2 2的机械能是否守恒：的机械能是否守恒：由于由于m m1 1由静止向下运动，由静止向下运动，m m2 2由静止向上运动，显然由静止向上运动，显然m m2 2的动能和的动能和势能都增加，势能都增加，m m2 2的机械能不守恒。的机械能不守恒。m m2 2的机械能的增加显然来的机械能的增加显然来源于源于m m的机械能的减少，所以的机械能的减少，所以m m的机械能不守恒。由于的机械能不守恒。由于m m2 2 、m m2 2只受重力和杆对它们的弹性力，所以，肯定是杆对只受重力和杆对它们的弹性力，所以，肯定是杆对m m2 2的弹的

12、弹性力对性力对m m2 2做正功，对做正功，对m m做负功。先项错误，选项正做负功。先项错误，选项正确。确。例例1 1：（讲义手册：（讲义手册P52P52） 如图所示，质量为如图所示，质量为2 2m m和和m m可看可看做质点的小球做质点的小球A A、B B，用不计质量的不可伸长的细线相连，用不计质量的不可伸长的细线相连，跨在固定的半径为跨在固定的半径为R R的光滑圆柱两侧，开始时的光滑圆柱两侧，开始时A A球和球和B B球与球与圆柱轴心等高，然后释放圆柱轴心等高，然后释放A A、B B两球，则两球，则B B球到达最高点时球到达最高点时的速率是多少的速率是多少? ?例例2 2：如图，倾角为：如

13、图，倾角为q q的光滑斜面上有一质量为的光滑斜面上有一质量为M的物体，通过一根的物体，通过一根跨过定滑轮的细绳与质量为跨过定滑轮的细绳与质量为m的物体相连，开始时两物体均处于静的物体相连，开始时两物体均处于静止状态，且止状态，且m离地面的高度为离地面的高度为h，求它们开始运动后，求它们开始运动后m着地时的速度？着地时的速度？分析：分析： 对对M、m和细绳所构成的系统，受到外界四个力的作用。它们分和细绳所构成的系统，受到外界四个力的作用。它们分别是：别是：M所受的重力所受的重力Mg，m所受的重力所受的重力mg，斜面对，斜面对M的支持力的支持力N，滑，滑轮对细绳的作用力轮对细绳的作用力F。 M M

14、、m的重力做功不会改变系统的机械能，支持力的重力做功不会改变系统的机械能，支持力N垂直于垂直于M的运的运动方向对系统不做功，滑轮对细绳的作用力由于作用点没有位移也对动方向对系统不做功，滑轮对细绳的作用力由于作用点没有位移也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是细绳的拉力，拉力做功只能使机械能在系统内部进行等量的作用力是细绳的拉力，拉力做功只能使机械能在系统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。解：在能量转化中

15、，解：在能量转化中，m的重力势能减小，动能增加，的重力势能减小，动能增加，M的重力的重力势能和动能都增加，用机械能的减少量等于增加量：势能和动能都增加，用机械能的减少量等于增加量：可得可得例例3.如图所示，物体如图所示，物体A、B用绳子连用绳子连接穿过定滑轮，已知接穿过定滑轮，已知mA=2mB, 绳绳子的质量不计，忽略一切摩擦，此子的质量不计，忽略一切摩擦，此时物体时物体A、B距地面高度均为距地面高度均为H，释，释放放A，求当物体，求当物体A刚到达地面时的速刚到达地面时的速度多大（设物体度多大（设物体B到滑轮的距离大到滑轮的距离大于于H）？）？用三种表达式列方程用三种表达式列方程例例4 4、如

16、图，一固定的劈形木块、如图，一固定的劈形木块, ,其斜面倾角为其斜面倾角为30300 0 且光且光滑，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的轻滑，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的轻线绕过顶滑轮分别与两物体线绕过顶滑轮分别与两物体A A和和B B相连，相连，m mA A=4m,m=4m,mB B =m =m 把物体把物体B B从地面由静止开始释放，当从地面由静止开始释放，当A A沿斜面下滑沿斜面下滑s s后，后，细线突然断了，求物体细线突然断了，求物体B B上升的最大距离。上升的最大距离。22vMgsMBB2sin2vMgsMAAq2sin222vMgsMvMgsMAABBq由于由

17、于A A的机械能的减小等于的机械能的减小等于B B的机械能的增加，有的机械能的增加，有 解：用机械能守恒的第三中表达式列方程；不须建立重力解：用机械能守恒的第三中表达式列方程；不须建立重力势能的零位置，但须准确的确定两物体初末位置的高度差，势能的零位置，但须准确的确定两物体初末位置的高度差，进而准确的确定系统势能的变化，在细线末断之前，进而准确的确定系统势能的变化，在细线末断之前，A、B组组成的系统势能守恒成的系统势能守恒,此时两者的速度大小相同均为此时两者的速度大小相同均为 ,该过程中该过程中B的机械能的增加为的机械能的增加为 A的机械能的减小为的机械能的减小为解解: :取取A A端到达斜面

18、顶端链条刚好伸直时的重端到达斜面顶端链条刚好伸直时的重心心O O点为零势能位置点为零势能位置, ,初状态时初状态时 AOAO段的势能为段的势能为8)sin2()4sin2(21qqmgLLLmgEpOBOB段的势能为段的势能为 8422mgLLmgEp初状态链条的总势能为初状态链条的总势能为 8)sin3(21qmgLEEEPpP例例5 5、一条长、一条长L L的均匀链条，其一半置于倾角为的均匀链条，其一半置于倾角为的光滑斜的光滑斜面上面上, ,如图如图5 5所示所示, ,把链条由静止释放把链条由静止释放, ,求链条的求链条的A A端刚刚滑离端刚刚滑离斜面顶端时速度的大小斜面顶端时速度的大小?

19、 ?因为在高中阶段不研究任意形状物体的因为在高中阶段不研究任意形状物体的 重心问重心问题，所以在题，所以在 计算链条及相似物体的重力势能时，采计算链条及相似物体的重力势能时，采取的方法如下：取的方法如下： 分割法：把形状不规则的分割法：把形状不规则的 链条分割成几个链条分割成几个形状规则的部分，分别计算各部分的重力势能并求形状规则的部分，分别计算各部分的重力势能并求和。和。链条的机械能守恒问题链条的机械能守恒问题 整体法：把整体法：把 规则形状的链条当作一个整体规则形状的链条当作一个整体来研究，重心在其几何中心上。来研究，重心在其几何中心上。1、一根细绳绕过光滑的定滑轮，两端分别系住质一根细绳

20、绕过光滑的定滑轮，两端分别系住质量为量为M和和m的长方形物块，且的长方形物块，且Mm,开始时用手握开始时用手握住住M，使系统处于如图示状态。求（，使系统处于如图示状态。求（1）当）当M由静由静止释放下落止释放下落h高时的速度（高时的速度（h远小于半绳长，绳与远小于半绳长，绳与滑轮的质量不计）。（滑轮的质量不计）。（2）如果）如果M下降下降h 刚好触地，刚好触地，那么那么m上升的总高度是多少？上升的总高度是多少？巩固练习巩固练习Mm解：（解：（1）对于）对于M、 m构成的系统，只有构成的系统，只有重力做功，由机械能守恒有：重力做功，由机械能守恒有：m上升的总高度：上升的总高度：解得：解得：（2）

21、M触地，触地，m做竖直上抛运动，机械能守恒：做竖直上抛运动，机械能守恒：v=2(Mm)ghM+m 12Mghmgh = （M+m）v2mgh=12mv2 H = h+h=2MhM+m2、如图所示，长为、如图所示，长为2L的轻杆的轻杆OB，O端装端装有转轴，有转轴，B端固定一个质量为端固定一个质量为m的小球的小球B，OB中点中点A固定一个质量为固定一个质量为m的小球的小球A，若，若OB杆从水平位置静止开始释放转到竖直位杆从水平位置静止开始释放转到竖直位置的过程中，求置的过程中，求A、B球摆到最低点的速度球摆到最低点的速度大小各是多少。大小各是多少。解：解：选选A A、B B及地球为一系统，及地球

22、为一系统，此系统中只有动能和重力势能此系统中只有动能和重力势能发生转化，系统机械能守恒，发生转化，系统机械能守恒，有：有：2211222ABmvmvmglmg lABvv2又又所以所以1.2,4.8ABvgl vgl3、如图所示如图所示,半径为半径为r,质量不计的圆盘与地质量不计的圆盘与地面垂直面垂直,圆心处有一个垂直盘面的光滑水平圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴固定轴O,在盘的最右边缘固定一个质量为在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球的小球A,在在O点的正下方离点的正下方离O点点r/2处固定处固定一个质量也为一个质量也为m的小球的小球B.放开盘让其自由放开盘让其自由转动转动,求：求：（1

23、）A球转到最低点时的线速度是多少？球转到最低点时的线速度是多少？（2）在转动过程中半径）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角向左偏离竖直方向的最大角度是多少？度是多少？AB解：解：(1)该系统在自由转动过程中该系统在自由转动过程中,只有重力只有重力做功做功,机械能守恒机械能守恒.设设A球转到最低点时的线球转到最低点时的线速度为速度为VA,B球的速度为球的速度为VB,则据则据机械能守恒定律可得机械能守恒定律可得:AB2211222ABmgrmgrmvmv据圆周运动的知识可知据圆周运动的知识可知:VA=2VB25Agrv 所以所以AB(1 sin )cos02rmgrmgqq3arcsin5q所以所以(2)设在转动过程中半径设在转动过程中半径OA向左向左偏离竖直方向的最大角度是偏离竖直方向的最大角度是(如所示如所示),则据机械能守恒定律则据机械能守恒定律可得可得:D D：物体：物体P P的机械能增加的机械能增加. .4 4、劈形物、劈形物P P静止于光滑水平面上，其斜面光滑，一静止于光滑水平面上，其斜面光滑，一物体物体Q Q从劈形物体上端由开始下滑到低端的过程中，从劈形物体上端由开始下滑到低端的过程中，下列说法正确的是：下列说法正确的是：A：物体：物体Q的机械能守恒；的机械能守恒；B：物体：物体Q的机械能减少；的机械能减少；