测量误差理论

1、 8.1 观测及分类8.2 测量误差8.3 衡量精度的标准8.4 误差传播定律8.5 等精度直接平差8.6 不等精度直接平差第八章测量误差理论基础一、观测的定义一、观测的定义测定未知量的过程。即观测者使用一定的仪器的工具，采用一定的方法和程序，在一定的环境条件下测定未知量与计量单位之比的过程。8.18.1观测及分类观测及分类二、分类二、分类1、按观测方法分：2、按观测量之间的关系分：3、按观测时所处的条件分：4、按观测量在观测 过程中的状态分：直接观测间接观测独立观测条件观测等精度观测不等精度观测静态观测动态观测8.2 8.2 测量误差测量误差一、定义一、定义： 真误差： i= Li - X

2、X为真值，Li为观测值 二、观测误差的来源二、观测误差的来源： 1、仪器误差 2、人差 3、环境影响 观测条件三、误差的分类三、误差的分类v1、系统误差系统误差：在相同的条件下，对某量进行一系列观测，其误差的数值或符号具有规律的误差。 特点：积累性。 消除或减弱的方法：q 进行计算改正； q 采用合适的观测方法；q 在平差计算中，将其当作未知参数纳入平差函数模型中一并计算。 2、偶然误差偶然误差：在相同的条件下，对某量进行一系列观测，其误差的数值和符号没有规律的误差。 偶然误差实际上服从一定的统计规律。说明：测量过程中的失误造成的观测结果与理想结果的差异，也称为粗差粗差。在观测成果中，不允许粗

3、差的存在。 发现粗差的方法：进行必要的重复观测（多余观测）；采用必要而又严格的检核。四、四、 偶然误差的特性偶然误差的特性v绝对值不超过一定范围（有界性）v小误差的密集性（单峰性）v绝对值相同的正、负误差出现的机会相同（对称性）v偶然误差的算术平均值趋于零（抵偿性）0lim0nn偶然误差的分布曲线 是标准差ef22221)(+-f ()五、测量平差五、测量平差对含有误差的观测结果进行处理的过程测量平差的任务：测量平差的任务：1、确定未知量的最或然值。2、评定测量成果的精度。8.3 8.3 衡量精度的标准衡量精度的标准 精度精度指在对某一个量的多次观测中，各观测值之间的离散程度。 根据误差的性质

4、，精度可分为：v精密度精密度：表明测量成果中偶然误差的大小程度v正确度正确度：表明测量成果中系统误差大小的程度v准确度准确度：是测量结果中系统误差与偶然误差的综合，表明测量结果与真值的一致程度。 1、定义：n 当n 有限时，采用m表示的估值，即： 2、 中误差的 概率意义： 中误差越小，精度越高 3、中误差的几何意义： m就是误差分布曲线的两个拐点一、中误差一、中误差nm二、极限误差二、极限误差根据概率理论： P | m =68.3% P | 2m=95.4% P | 3m=99.7%因此，在一定的观测条件下，取 限=2m 或 限=3m作为极限误差，当观测值的误差大于限差时应剔除。三、相对误差

5、三、相对误差误差与观测值之比。v 相对真误差 v相对中误差v相对较差 其中：相对误差不带量纲，用分子为1的形式表示。LKLmK LLdKLd8.4 8.4 误差传播定律误差传播定律 用于阐述独立观测值中误差与函数中误差关系的定律一、一般公式一、一般公式 设未知量 z 与 t 个独立观测值x1,x2,xt之间有如下的函数关系式：z= f (x1,x2, xt) xi的真误差xi引起z产生真误差z 则：z+ z=f (x1+ x1, x2+ x2, xt+ xt) xi均是小量，上式按泰勒级数展开，并舍去二次及以上诸项，得： xxxxxxxxxxxxxxxttztttzfffffffz221122

6、1121),.,(即：2222111313121212222112)()()(xxxxxxxxxxxxxxxfxxxfxxxfttttttzzfffffft两边平方后求和：结论： 各独立观测值任意函数的中误差的平方，等于该任意函数对各观测值的偏导函数值与该观测值中误差乘积的平方和。mxfmxfmxfmxxxfxxxfxxxfxxxtxxntnnntznnzzii222222222221121)()()()()()(2121210求任意函数中误差的四个步骤：1、列出函数关系式： z=f (x1,x2, xt)xfxfxft,214、转换为中误差表达式并求其值3、列出函数真误差表达式：2、求函数对

7、各观测值的偏导函数值：xxxxxxttzfff2211mxfmxfmxfmxtxxtz2222222)()()(2121例：某建筑场地已划定为长方形，独立地测定其长和宽分别为a=30.000m、b=15.000m,其中误差分别为ma=0.005m、 mb=0.003m，求该场地面积A及其中误差mA。解：显然这是一个任意函数。mabAmbaA000.30,000.15baAab222222013725. 0mmambmbaAmmA117.01、列出函数关系式，并求函数值A=ab=450.000m22、求函数对各观测值的偏导函数3、列出函数的真误差表达式4、转换为中误差表达式并求其值 xkxkxk

8、nnz22111.线性函数)21(nikxzii、全微分：nndxkdxkdxkdz2211中误差关系：22222221212nnzmkmkmkm二、特例二、特例2.和差函数xxxnz21mmmmxxxnz222221 则：函数对各观测值的偏导函数值为 )21(1nixzi、真误差表达式为：中误差表达式为nzxxx213. 倍数函数 z = k x 中误差表达式为真误差表达式为xkzxzkmm 以上三种公式可以不经过上述计算步骤直接应用。让我们来看几个例题吧例1：用30米的钢尺丈量某两点间的水平距离L，恰好为12个整尺段，每尺段 li 的中误差均相等，为ml=5mm,求该段水平距离及其中误差

9、mL、相对中误差mL/L.解法一：依题意，有2100013 .1712000.3601221LmmmmmmlllLLlL解法二：600010 .6012000.36012LmmmmmmlLLlL哪一个解法是正确的呢？练习：P200 8-13，8-14例2. 设有函数 z=3x-y+2l 10其中： x=2l+5, y=3l-6已知 l 的中误差为 ml ,计算函数z的中误差 mz 。解法1. mx=4ml , my=9ml mz2=9mx2+my2+4ml2 = 49ml2 mz=7ml解法2.z=3x-y+2l 10， x=2l+5, y=3l-6z=6l+15-3l+6+2l 10 =5l

10、+11 所以：mz =5ml两种方法，两样结果，哪里错了？例3. 已知AB两点间的水平距离D=206.2050.020 米，在A点安置经纬仪测得AB直线的高度角 =12 20 30 30 ，计算AB间的高差h，及其中误差 mh 。解：函数式 ： h=D tg = 45.130(m) 全微分： dh=tg dD+D sec2 d 中误差关系： mh2=tg2 mD2+D2 sec4 m 2/2 =0.04787400+1.09804900 =1007.38 mh =31.7(mm)解法2.对函数 h=Dtg 取自然对数： lnh=lnD+ln(tg )全微分： 注意到：所以：dtgDdDhdh2

11、secdDdDtgdh2secDtgtghdh,三、应用误差传播定律注意事项三、应用误差传播定律注意事项1. 函数式中各观测值应相互独立；2. 观测值的量纲应统一。8.5 等精度直接平差 根据对同一个量的多次观测结果，确定最或然值并评定精度的过程，称为直接平差。 一、最小二乘准则一、最小二乘准则 在科学实验中，经常有这样的问题：试验中获得的自变量与因变量的若干组对应数据（x1,y1), （x2,y2)，（xn,yn),怎样找出一个已知类型的函数 y = f (x)，使之与观测数据最好的拟合？ 例如，已知自变量与因变量的关系为线性函数 y = ax +b 如何根据观测值xi ,yi确定常数 a,

12、 b，使该直线最好地与观测结果拟合。最小二乘准则：最小二乘准则： 设对某一量进行多次观测，获得一组观测值l1， l2， ln ，该量的最或然值x按如下准则确定:等精度观测时，在 为最小即 vv=min的条件下确定；不等精度观测时， 在pvv=min的条件下确定。其中： vi= li - x称为观测值 li 的改正数， pi 是观测值li 的权。vivv21. 算术平均值 设 L1, L2, Ln 为一组独立观测值，根据最小二乘准则，其最或然值 x 必须满足： vv=(x - L1 )2+ (x - L2 )2+(x - Ln)2=min 求vv 对 x 的一阶和二阶导数： 02)(2)(2)(

13、22221ndxvvdLnxLxLxdxvvd二、等精度直接平差二、等精度直接平差0)(2)(2)(2 21LxLxLxdxvvdn令nLx 则： 这说明，在等精度观测条件下，未知量的最或然值就是算术平均值。或者说，算术平均值是满足最小二乘准则条件下，等精度观测值的最或然值。(1)观测值的中误差 设有n个独立观测值 L1 , L2 , Ln， 其算术平均值为x, 改正数为 vi= x Li , 真误差 i = Li X Xxvii 2 2vnvv两式相加得：2.精度评定iiv即：从而：考虑到 vi= x Li ； v= nx L=0而 nnXLnXx)(1)(2)(112122212222nn

14、nnnn22n右边第二项趋近于0，所以有： 这就是用改正数计算观测值中误差的公式，称为白塞尔公式代入前式得：nvvvnvv2 2 1 vvnnn最后得：1 nvvm(2) 算术平均值 x 的中误差 MnLnLnLnLxn21nmMnmnmnmnmM从而有：22222222由误差传播定律得：(3) 增加观测次数与提高精度的关系 当n增大时，能提高算术平均值的精度。但当n大于20次后，精度提高很慢。 最根本、最经济的办法是提高每次观测的精度m.v 提高仪器精度v 选择合理的观测方法v 选择有利的观测时间v 提高观测者的操作技能 8.6 不等精度直接平差不等精度直接平差一、加权平均值原理一、加权平均

15、值原理 一列观测值L1，L2，Ln,，其精度值分别为h1,h2,hn，选定一个精度值h,并同时选定一组正数p1,p2,pn，使得下列诸式同时成立： )( ,.,2222222121ahphhphhphnn 根据最小二乘准则，应使pvv=min，即： pvv=p1(x-L1)2+ p2(x-L2)2 +pn(x-Ln)2=minL , 0L 2 2 0 22 2 2 22)(2221)()(ppxpxppdxpvvdpLxpLxpLxpLxpdxpvvdnn得令21这就是不等精度观测时未知量的最或然值，也就是说，不等精度观测值的最或然值是加权平均值。1、定义： 表示观测结果质量相对可靠程序的一种

16、权衡值。2、权与中误差的关系 由式(a)( 22bmpii二、权二、权)( ,.,2222222121ahphhphhphnn得：上式表明： 在不等精度观测中，某独立观测值的权与该观测值的中误差的平方成反比，即mmmpppn22221n211:1:1: 可见，用中误差衡量精度是绝对的，而用权衡量精度是相对的，即权是衡量精度的相对标准。三、确定权的常用方法三、确定权的常用方法v 水准测量中，当每测站高差中误差相同时，则各条水准路线高差观测值的权与测站成反比 )2 , 1( Nniicpiv 水准测量中，当每公里高差中误差相同时，则 各条水准路线高差观测值的权与路线长度成反比 )2 , 1( ni

17、Lcpiiv角度测量中，当每测回角度观测中误差相同时，各角度观测值的权与其测回数成正比 CNpii scpiiv 距离测量中，当单位距离测量的中误差相同时，各段距离观测值的权与其长度成反比。四、单位权中误差四、单位权中误差22n222211mpmpmpn设对某量进行n次不等精度观测，观测值为：L1，L2，Ln，对应的精度值为：h1，h2，hn (权为：p1，p2，pn)真误差为：1 ，2， ，n改正数为：v1，v2，vn中误差为：m1，m2，mn1.由真误差计算单位权中误差 值恰为1的权称为单位权，与之对应的观测值、精度值和中误差分别称为单位权观测值，单位权精度和单位权中误差。构成一个新的观测

18、列(新列中各个观测值等于原列中对应观测值与其权的平方根之积)ppppppnnnnmm mmmmLL LLLL22112211hhhh1pppmmmn21n21n21则： 则新列是一个权为1，精度为h,中误差为的等精度观测列，各独立观测值的中误差为： 2211npnpnppnnpp2. 由改正数求中误差 2220 222pvpvvpppvvpppvppXxpvpLxppvXppLpLixviXLiiiiiiiiiiii 11 ) 1( 11 2, 02n21n2122222222112102112222211npvvnpvvnppvvnpnpnpnppppppppppppppppppppppppppppppvnnnniiiiiiii无穷大时五、观测值中误差与最或然值的中误差五、观测值中误差与最或然值的中误差iipm1. 观测值的中误差 是