第四章概率论

1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 龚小庆4.1 数学期望数学期望引例引例1 分赌本问题(产生背景) 甲、乙甲、乙 两人赌技相同两人赌技相同, 各出各出赌金赌金50元元,并约定先胜三局者为并约定先胜三局者为胜胜, 取得全部取得全部 100 元元.由于出现意由于出现意外情况外情况 ,在在 A 胜胜 2 局局 B 胜胜1 局时局时,不得不终止赌博不得不终止赌博, 如果要分赌金如果要分赌金,该如何分配才算公平该如何分配才算公平?甲甲 胜胜 2 局局 乙乙 胜胜 1 局局前三局前三局: :后二局后二局: :把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果相结合,即 甲和乙 赌完五局,A

2、 AA B B AB B甲甲胜胜乙乙 胜胜 分析：分析：假设继续赌两局, 用A和B分别表示甲和乙获胜，则结果有以下四种情况:A AA B B AB B因此, 甲 能“期望期望”得到的数目应为 31100044 75(),元而乙 能“期望期望”得到的数目, 则为13100044 25().元 故有, 在赌技相同的情况下,甲、乙 最终获胜的可能性大小之比为3:1.即甲 应获得赌金的3/4，而 乙 只能获得赌金的1/4.因而甲期望所得的赌金即为X的 “期望”值,等于即, X 的可能值与其概率之积的累加.31100075().44 元 若设随机变量 X 为:在甲胜2局乙胜1局的前提下, 继续赌下去甲最

3、终所得的赌金.则X 的分布列为:10003/41/4 设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下引例引例2 射击问题试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?5432101513220103090159013902902090109030命中环数命中环数 k命中次数命中次数频率频率knnnk解解平均射中环数平均射中环数射击次数射击次数射中靶的总环数射中靶的总环数 0 2 1 13 2 15 3 10 4 20 5 3090 21315102030012345909090909090 .37. 3 50kknnk 50kknnk 平均射中环数平均

4、射中环数频率随机波动频率随机波动随机波动随机波动 50kknnk n 50kkpk随机波动随机波动 稳定值稳定值 “平均射中环数平均射中环数”的稳定值的稳定值? “平均射中环数平均射中环数”等于等于射中环数的可能值与其概率之积的累加射中环数的可能值与其概率之积的累加2.2.2 数学期望的定义数学期望的定义 定义定义2.2.2 设连续型随机变量 X 的概率密度为f(x) ,若积分( )dxfxx绝对收敛,则称 的值为 X 的数学期望数学期望,记为E(X),即有( )dxfxx()( )dE Xxf xx数学期望数学期望简称为期望期望,又称为均值均值. 例例4.1.14.1.1 甲、乙两个人进行射

5、击,所得的分数分别为,21XX它们的分布律分别为1X2Xkpkp6 . 02 . 02 . 02104 . 05 . 01 . 0210试评定他们成绩的好坏.解解 甲乙两个人得分的数学期望分别为4 . 16 . 022 . 012 . 00)(1XE3 . 14 . 025 . 011 . 00)(2XE由于)()(21XEXE故甲的成绩强于乙的成绩. 例例4.1.24.1.2 设随机变量X服从参数为p的0-1分布， 试求X 的数学期望.解解 由题意知X的分布律为011XPpp故pppXE1)1 (0)( 例例4.1.3 4.1.3 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方法,记使用寿命

6、为X(以年计),规定 一台付款1500元;, 1X 一台付款2000元;, 21 X 一台付款2500元;, 32 X 一台付款3000元;, 3X设寿命X服从参数为0.1的指数分布,试求该商店一台收费Y的数学期望. 解解 由题意, X的分布函数为Y的可能的取值为1500,2000,2500,3000，且10( )1 exF x )0( x0952. 0e1) 1 (115001 . 0FXPYP0861. 0) 1 ()2(212000FFXPYP0779. 0)2()3(322500FFXPYP7408. 0) 3(133000FXPYP所以15.27327408. 03000779. 0

7、25000861. 020000952. 01500)(YE即平均一台收费2732.15元 例例4.1.44.1.4 设X服从参数为 的泊松分布,求 X 的数学期望.解解 由于X的分布律为()e0,1,2,!kP Xkkk故101()eeee!(1)!kkkkE Xkkk101e!(1)!kkxkkxxkk例例4.1.54.1.5 设,baUX求)(XE解解 由于 X 的概率密度为1,( )0,elseaxbf xba故()( )ddbaxE Xxf xxxba22112baxabba 例例4.1.64.1.6 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布,求).(XEe,0( )0,elsexxf

8、 x解解例例4.1.74.1.7 设随机变量 ,求E(X).),(2NX 解解22()21()e2xE Xxdx令xu则2222221()()ed2eded22uuuE Xuuuuu例例4.1.8 柯西分布的数学期望不存在柯西分布的数学期望不存在 设随机变量 X 服从柯西分布柯西分布，则其概率密度为211( ),1f xxx 由于211|d1xxx 故 E(X) 不存在.4.1.3 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 在很多实际问题中，经常遇到求在很多实际问题中，经常遇到求随机变量函数的数学期望问题下随机变量函数的数学期望问题下面两个定理给出了求随机变量函数面两个定理给出了求随机变量

9、函数的数学期望的简便方法利用这二的数学期望的简便方法利用这二个定理可以省略求随机变量函数的个定理可以省略求随机变量函数的分布分布解解 由定理4.1.1，得22222()20.100.410.340.23.9E X 解解 由定理2.2.1，得 例例4.1.104.1.10 设某种商品每周的需求量X服从区间10,30上的均匀分布,而经销商进货数为区间10,30中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利500元;若供大于求则削价处理,每处理一单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每单位仅获利300元.为使商店所获利润期望值不少于9280,试确定最小的进货量.500()300,30(

10、)500()100,10aaXaaXYg XXaXXaaXaXXaaX10,10060030,200300解解 设进货数为a,则利润为故期望利润为30101()()( ) ( )d( )d20aE YEg Xg x f xxg xx而由题意知,X的概率密度为1,1030( )200,xf x其它301011(600100 )d(300200 )d2020aaxaxxax52503505 . 72aa040303505 . 72aa263220 a 故利润期望值不少于9280元的最少进货量为21单位依题意,有928052503505 . 72aa2()7.53505250aE Yaa ()( ,

11、 )d dE Xxf x yx y 类似的还有( )( , )d dE Yyf x yx y 解解 ,d dE XYxyfx yx y 1200d12dxxxyyy15013d2xx4.1.4 数学期望的性质数学期望的性质(1) 设C为常数,则有CCE)(2) 设X是随机变量,k是常数,则()()E kXkE X(3) 设X,Y是随机变量,则)()()(YEXEYXE性质(2)(3)称为数学期望的线性性质,可写成1212()()( )E k Xk Yk E Xk E Y证明证明1212()() ( , )d dE k Xk Yk xk y f x yx y 12( , )d d( , )d d

12、kxf x yx ykyf x yx y 12()( )k E Xk E Y(4) 若X,Y相互独立,则有()() ( )E XYE X E Y证明证明d)(d)(dd)()(yyfyxxxfyxyfxxyfYXYX yxyxxyfXYEdd),()()()(YEXE性质(3)和(4)可推广到n维随机变量的情形.)()()(1111nnnnXECXECXCXCE(5) 若 相互独立,则有nXXX,21)()()()(2121nnXEXEXEXXXE(6) 例例4.1.124.1.12 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停

13、车的次数,求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立) 解解 引入随机变量站无人下车第站有人下车第iiXi, 0, 110, 2 , 1 ,i则有1021XXXX又由题意，有,) 9 . 0(020iXP,) 9 . 0(1120iXP所以209 . 01)(iXE10, 2 , 1i由数学期望的性质，得1210()()()()E XE XE XE X20910 18.78410 重要结论重要结论:设随机变量 相互独立且均服从参数为p的0-1分布：nXXX,21则1( ,)niiXB n p 证明证明 设有一个n重伯努利试验,每次试验中成功的概率为p,引进随机变

14、量次试验没有成功第次试验成功第iiXi, 0, 1ni, 2 , 1则Xi服从参数为p的0-1分布，令,1nkiXX 则它表示在这个伯努利试验中成功的次数,故有),(pnBX4.2 方差方差 数学期望数学期望是随机变量取值的平均值，是一种位置特征数位置特征数，但数学期望毕竟只反映了中心位置，它无法反映出随机变量围绕中心位置取值的“波动”的幅度大小 (1)若X是离散型随机变量,分布律为1,2,kkP Xxpk则21()()kkkD XxE Xp(2) 若X是连续型随机变量,概率密度为f(x)，则2()()( )dD XxE Xf xx由于)()(2)()(222XEXXEXEXEXEXD2222

15、)()()()()(2)(XEXEXEXEXEXE所以有下列公式22)()()(XEXEXD例例4.2.14.2.1 设X服从参数为p的0-1分布,则E(X)=p又pppXE2221)1 (0)(故有)1 ()()()(222ppppXEXEXD因此若X服从参数为p的0-1分布,则)1 ()()(ppXDpXE0-1分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差例例4.2.24.2.2 若 ,则)(PX,)(XE又22011()e(1)ee!kkkkkkkE Xk kkkkk2222e(2)!kkk2222)()()(XEXEXD所以)()(XDXE泊松分布的数学期望和方差泊松分布的数学期望和方差

16、例例4.2.3 三角分布、均匀分布三角分布、均匀分布和倒三角分布倒三角分布的数学期望、方差和标准差.-11xO1( )f x1.1.三角分布三角分布111,10( )1,010,xxXf xxx 其它1()0E X0122211101()()(1)d(1)d6D XE Xxxxxxx11()0.4082XD X设则由对称性，有于是2.2.均匀分布均匀分布-11xO2( )fx设2( 1,1)XU ，则221/2,11( )0,xXfx 其它2()0E X则由对称性，有2122211()()d23xD XE Xx22()0.5774XD X故3.3.倒三角分布倒三角分布33,10( ),010,

17、xxXfxxx 其它3()0E X0122233101()()()dd2D XE Xxxxxx x33()0.7071XD X设则由对称性，有于是-11xO1( )f x三个分布方差之间的比较三个分布方差之间的比较-11xO1( )f x-11xO2( )fx-11xO3( )fx 三角分布三角分布在中间较为集中，故方差最小方差最小；倒三角倒三角分布分布集中于两侧，故方差最大方差最大；均匀分布均匀分布介于其中，故方差也介于其中方差也介于其中.即三角分布均匀分布倒三角分布123()()()D XD XD X参数为参数为 指数分布的数学期望和方差指数分布的数学期望和方差22()()()D XE X

18、E X2221122()1/()1/E XD X故0, 00,e)(xxxfXx设4.2.2 方差的性质方差的性质性质性质1 常数的方差为0，即( )0D c 22( )( )()0D cE cE cE cc其中c为常数证明证明 若c为常数，则性质性质2 若a, b为常数，则2()()D aXba D X2()()D aXbE aXbE aXb22 ()()E a XE Xa D X证明证明因此，由性质2，有()()DXD X另外，由22()() ()0D XE XE X知，若E( X 2)=0,则E(X)=0,且D(X)=0.性质性质3 对任意常数c，)()(2cXEXD且等号成立的充分必要

19、条件为c=E(X).证明证明222)()()()(cXEcXEXEXEXD)(2cXE若)(XEc 性质性质4 若X与Y相互独立,则有22()() ()D X YE X YE X Y证明证明)()()(2)()()(2)(2222YEYEXEXEYEXYEXE()( )2 ()() ( )D XD YE XYE X E Y(最后的一个等式由X与Y的独立性推得)()()( )D XYD XD Y()( )D XD Y11()nnkkkkDXD X并且还有211()nnkkkkkkDa Xa D X于是，若X与Y独立，则)()()(YDXDYXD)(9)(4)32(YDXDYXD注意注意：以下两个

20、式子是等价的,即)()()()()()(YDXDYXDYEXEXYE切比雪夫不等式切比雪夫不等式 定理定理4.2.1 （切比雪夫不等式）（切比雪夫不等式） 设随机变量的X的数学期望和方差均存在，则对任意的 ，有02()()D XP XE X或等价地，有 2()()1D XP XE X 证明证明仅对连续型随机变量给出证明 ()()( )dx E XP XE Xf xx22()()( )dx E XxE Xf xx222()()( )dRxE XD Xf xx 上述不等式给出了在随机变量X的分布未知时对事件 的概率下界的一个估计.| )(|XEX 记 , 则有 )(),(XDXE983|XP1|

21、4 16PX 由于切比雪夫不等式对任何分布都成立，因此在很多情况下我们就不能指望得到的概率上界能够非常接近于真正概率比如 |1PX11()0()nXE XXE Xn所以11()0)()nP XE XPXE Xn11()nP XE Xn21()01nD Xn二项分布数字特征的简便求法二项分布数字特征的简便求法nXX,1 设 相互独立且均服从参数为p的0-1分布,则由前面的讨论知1 ( , )nkkXXb n p则由数学期望与方差的性质,有npXEXEnkk)()(11()()(1)nkkD XD Xnpp正态分布的数学期望和方差正态分布的数学期望和方差由于221( )ed02uE Uuu2222

22、1( )()ed2uD UE Uuu221()de2uu222211()eed122uuuu故()()0E XEU 22()()( )D XDUD U 因此，正态分布的两个参数恰好就是相应随机变正态分布的两个参数恰好就是相应随机变量的数学期望和方差量的数学期望和方差 结论结论: 若2( ,),XN 则2()()E XD X 例例4.2.44.2.4 设随机变量X与Y相互独立且均服从正态分布 ，试求 .21 , 0N(|)DXY解解 令Z=X-Y，则Z服从正态分布，由于( )()( )0E ZE XE Y( )()( )1D ZD XD Y所以) 1 , 0( NZ，故221(|)(|)|ed2

23、zEXYEZzz2e2de22020222zzzz1)()()|(|22ZDZEZE222(|)(|)()(|)1D XYD ZE ZE Z 4.3 4.3 协方差与相关系数协方差与相关系数 为了刻划两个随机变量之间的关系,本节讨论两个重要的数字特征:协方差与相关系数4.3.1协方差协方差由前面的讨论知,若X与Y相互独立,则有0)()()(YEXEXYE 因此,若上式不成立,则X与Y 必不相互独立,也就是说,当上式的左端不等于零时,两个随机变量之间就存在着某种关系.因此量E(XY)E(X)E(Y)在某种程度上刻划了两个随机变量之间的关系.我们将其称之为协方差协方差.定义定义3.4.1 设(X,

24、Y)是二维随机变量，若 ( )( )E XE XYE Y存在，则称此数学期望为X与Y的协方差协方差,并记作Cov( , )( )( )X YE XE XYE Y特别地，有Cov(,)Var()X XX性质性质1Cov(, )()() ( )X YE XYE X E YCov(, )()( )X YEXE XYE Y)()()()(YEXEYXEXYEXYE)()()(YEXEXYE)()()()()()()(YEXEYEXEXEYEXYE证明证明 性质性质2 若X与Y相互独立，则Cov(X,Y)=0, 反之不然.证明证明 这是因为若X与Y独立，则()() ( )E XYE X E YCov(,

25、 )0X Y X与Y不相关X与Y相互独立见下面的反例.反之不然，即 例例4.3.14.3.1 设(X,Y)服从单位圆 上的均匀分布,则它们的联合密度为 1| ),(22yxyxD221,1( , )0,xyf x y其它( )( , )dXfxf x yy22111d| | 10,xxyx其它其它,01|,122xx-11-11x21 xy21 xy由对称性可知221,| 1( )0,Yyyfy其它( , )( )( )XYf x yfx fy因为所以X与Y不相互独立.221()( , )d dd dxyxE Xxf x yx yx y 0dd1221111yyxxy由对称性0)(YE2211

26、()( , )d dd d0 xyE XYxyf x yx yxy x y 所以0)()()(),cov(YEXEXYEYX即X与Y不相关 性质性质3 对于任意的二维随机变量(X,Y)，有()()( )2Cov(, )D XYD XD YX Y22()() ()D X YE X YE X Y)()()(2)()()(2)(2222YEYEXEXEYEXYEXE()( )2 ()() ( )D XD YE XYE X E Y()( )2Cov(, )D XD YX Y证明证明因此，若X与Y不相关，则()()( )D XYD XD Y以下四个命题是等价的：以下四个命题是等价的：()() ( )E

27、XYE X E Y（1）（2）()()( )D XYD XD Y（3）Cov(, )0X Y 推广：推广：（4）X与Y不相关111()2Cov(,)nniiijiiij nDXD XXX 协方差的基本性质协方差的基本性质(1) 对称性对称性Cov(, )Cov( ,)X YY X(2) 任意随机变量X与常数a的协方差为零,即Cov(, )0X a (3) 对任意常数a,b，有Cov(,)Cov(, )aX bYabX Y(4) 设X,Y,Z是任意三个随机变量，则Cov(,)Cov(,)Cov( ,)XY ZX ZY Z2111()2Cov(,)nniiiiijijiiij nDa Xa D X

28、a aXX 由前面所述性质，有由于2Cov(,)Cov(, )kX kYkX Y 因此,协方差的大小依赖于度量单位,这是它的一个明显缺陷.为了克服这个缺陷,我们引入相关系数的概念.4.3.2 相关系数相关系数定义定义4.3.2 假设 X,Y 的方差均存在，则称Cov(,)Cov(,)()( )XYXYX YX YD XD Y 为X与Y的相关系数相关系数 注：注：相关系数是一个无量纲的数.它与协方差具有相同的符号.两个随机变量标准化后不会影响它们的相关系数两个随机变量标准化后不会影响它们的相关系数则, 0)()(*YEXE*()()1,D XD Y*()XYX YE X Y*()()XE XXD

29、 X*( )( )YE YYD Y令相关系数的性质相关系数的性质性质性质1| 1XY证明证明将随机变量X和Y标准化,即*(),()XE XXD X*( )( )YE YYD Y则有*()()0,E XE Y*()()1D XD Y*XYX Y因此,有* *()()()2()()X YD XYD XD YD XD Y2(1)0XY由此可推出| 1XY注：注：由该性质立即可得如下的施瓦茨不等式施瓦茨不等式|Cov(, )|XYX Y * *()()()2()()X YD XYD XD YD XD Y*()2(1)0XYD XY因此，有*()01P XYE XYP XY即()1YXP YXEXEY取

30、,YXa ( )()YXbE YE X,YXa( )()YXbE YE X()1YXP YXEXEY几点说明：几点说明：1XY XY1XYXYXY01XY10XY 解解因为 121)()(APABPABP）()1( )()6P ABP BP A B从而XY的分布律为 111(1)(),(0)1212P XYP ABP XYX的边缘分布律为41) 1(XP43)0(XP所以 121121101211)(XYECov,()( )X YE XYE XE Y2416141121Cov,()( )XYX YD XD Y151365163241解解 34()9 ( )6Cov,D XYD XD YX Y(

31、)9 ( )6()( )XYD XD YD X D Y516369解解（1）由题意有 2212e21d ),(d ),(xyyxyyx2212e21d ),(d ),(yxyxxyx于是有222211222e21e2121e2121d),(),(21d ),()(xxxyyxyxyyxfxf222212222e21e2121e2121d),(),(21d ),()(yyyxyxyxxyxfyfCov(, )()( , )d dX YE XYxyf x yx y 12121( , )( , )d d21( , )d d( , )d d2xyx yx yx yxyx yx yxyx yx y 1

32、1102 33因此 0XY（2）由题设ee283),()32(169)32(1692222yxyxyxyxyxf22122e21)()(yxxfxf)()(),(21xfxfyxf所以X与Y不独立。 注：注：如果随机变量X和Y都服从正态分布，只有当只有当X和和Y的联合分布是二维正的联合分布是二维正态分布时两个随机变量相关系数等于零态分布时两个随机变量相关系数等于零才是它们独立的充分必要条件才是它们独立的充分必要条件。否则，即使两个随机变量都服从正态分布，它们的联合分布也不一定是二维正态分布，此时相关系数等于零就仅仅是它们独立的必要条件。4.3.3 4.3.3 协方差矩阵和多维正态分布协方差矩阵和多维正态分布12()( (),(),()nE XE XE XE X为n维随机向量X的数学期望向量数学期望向量，简称为X的数学期望，而称111212122212nnnnnnbbbbbbBbbb111212122212nnnnnnbbbbbbBbbb 定义定义3.4.43.4.4 若n维随机变量 的联合概率密度为),(1nXX 11()()21