电磁场与电磁波第3讲坐标系变换矢量积分

1、 电磁场与电磁波电磁场与电磁波主讲教师：黄文主讲教师：黄文 重庆邮电大学重庆邮电大学 光电工程学院光电工程学院 电磁场与无线技术教学部电磁场与无线技术教学部 Email: 办公室：老办公室：老1教教1403 2复习复习1. 直角坐标系直角坐标系xzy1planexx1planeyy1planezzxazaya111,P xyzo sxxyyzzxyzdsdsaa dsa dsa dsa dydza dxdza dxdy3位置矢量位置矢量:111xyzopx ay az a 111( ,)p x y zxxyyzzAA aA aA a xxyyzzA BA BA BA B 222xyyAA AA

2、AA 任意矢量任意矢量A:点积点积:叉积叉积: = xyzzyyzxxzzxyyxxyzxyzxyzA BaA BABaABA BaA BA BaaaAAABBB 微分长度微分长度:xxyyzzxyzdldl adl adl adxadyadza微分体积微分体积:dvdxdydz微分面积微分面积:42. 圆柱坐标系圆柱坐标系A P(r, ,z)xyzor0r 02z, ,rzr, , z 和x, y, z 之间的之间的关系关系是：是：cosrx sinry zz 22yxrxyarctanzz 和和5yzxP0 0 = 0r = r0z = z0raza aO63. 球坐标系球坐标系ARxyz

3、oP(R, , )0R 002, ,R R, , 和和x, y, z 之间的关系是：之间的关系是：sincosxRsinsinyRcoszR222Rxyzzyx22arctanxyarctan和和7xzy = 0 0 0R= R0 = 0 aRa aP0OR08度量系数度量系数 坐标增量向长度增量变换的系数坐标增量向长度增量变换的系数hhh123， ，9Main topic1. 不同坐标系之间的转换不同坐标系之间的转换2. 矢量函数的积分矢量函数的积分ABABBAcos101. 不同坐标系之间的转换不同坐标系之间的转换两个矢量的点积两个矢量的点积(1)小于小于或等于二者模的乘积或等于二者模的乘

4、积; (2) 可为正或负值，可为正或负值，这决定于两个矢量之间的夹角是小于或大于这决定于两个矢量之间的夹角是小于或大于 /2 弧度弧度 (90); (3) 等等于一个矢量的于一个矢量的模模和另一个矢量在该矢量上的和另一个矢量在该矢量上的投影投影的乘积；的乘积；(4) 当当两个矢量互相垂直时为两个矢量互相垂直时为零零。问题问题: 如何在直角坐标系中表示？如何在直角坐标系中表示？rrzzAA aA aA a xxyyzzAA aA aA a 11首先首先:()xxrrzzxrrxxzzxAA aA aA aA aaA aaA aaA aa 类似地类似地:yyrryyzzyzzrrzzzzzAA a

5、A aaA aaA aaAA aA aaA aaA aa 所以所以:coscos()2cos()cos2xryrzzAAAAAAAAyzxP0 0 = 0r = r0z = z0raza aO12现在现在:coscos()cos()cos 22rxryzzAAAaAAaA a 其次其次: 同时同时, Ar, A , 和和 Az 本身也许就是关于本身也许就是关于r, , 和和 z的函数。在这种情的函数。在这种情况下，在最终的结果里它们也应该转化为况下，在最终的结果里它们也应该转化为 关于关于x, y, 和和z的函数。的函数。r, , z 和和x, y, z之间的关系是：之间的关系是：cosrx

6、sinry zz 22yxrxyarctanzz 和和结束结束.cossin0sincos0001xryzzAAAAAA13coscos()2cos()cos2xryrzzAAAAAAAA为了为了简便简便，将直角坐标和圆柱坐标之间的矢量分量的关系表示成，将直角坐标和圆柱坐标之间的矢量分量的关系表示成矩阵矩阵形式形式:14写成矩阵的形式写成矩阵的形式圆柱圆柱- -直角直角写成矩阵的形式写成矩阵的形式直角直角- -圆柱圆柱15写成矩阵的形式写成矩阵的形式球球- -直角直角写成矩阵的形式写成矩阵的形式直角直角- -球球From EXAMPLE 2-11 (p23-24)16EXAMPLE 2-9 (

7、p30-31)172. 矢量函数的积分矢量函数的积分在电磁学著作中我们时常会遇到矢量函数的积分，包括在电磁学著作中我们时常会遇到矢量函数的积分，包括线积分线积分，面积面积分和体积分分和体积分。1线积分线积分一般有三种类型的线积分一般有三种类型的线积分 CCCdlF dlFdlxyzdldxadyadzarzdldrard adza sinRdldRaRd aRd a 18EXAMPLE 2-14 (p26-27)1920212) 面积分面积分（通量）（通量）通常有三种类型的面积分通常有三种类型的面积分 SSSdSF dSFdSrzdsard dzadrdzardrd2sinsinRdsRd d

8、 aRdRd aRdRd a xyzdsa dxdya dxdza dydz1. 如果积分的面如果积分的面S是包围一个体积的是包围一个体积的封闭面封闭面, 则则an 的正方向总是由该体的正方向总是由该体积积朝外朝外的指向。的指向。2. 如果如果S是一个是一个开曲面开曲面，则，则an 的正方向取决于开曲面周长所经过的方向。的正方向取决于开曲面周长所经过的方向。使用使用右手定则右手定则。22EXAMPLE 2-15 (p27-28)23243、体积分、体积分（电荷）（电荷）Qdvdvdxdydzdvrdrd dz2sindvRdRd d See: EXAMPLE 2-12 (p36)总结总结251. 坐标系间的转换坐标系间