材料力学第五章弯曲强度1

1、材料力学材料力学9何斌2022年6月26日星期日Page 2 何斌何斌材料力学Page 3 何斌何斌材料力学Page 4 何斌何斌材料力学 实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载能实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。拉压拉压：,FFllAEA 扭转：扭转：m ax,PPPTTTlIWGI 弯曲：弯曲：max,zzMyMIW A, IP, WP, Iz, Wz表征截表征截面几何性质的面几何性质的量量Page 5 何斌何斌材料力学Page 6 何斌何斌材料力学

2、一、一、 静矩静矩zAyASydASzdA zyoyzdA积分积分分别称为对坐标轴分别称为对坐标轴z和和y的静矩的静矩或一次矩。或一次矩。静矩的量纲：静矩的量纲：3LPage 7 何斌何斌材料力学二二. . 形心形心回顾理论力学的回顾理论力学的质心计算公式：质心计算公式：VcydmyM AAchydAydAyhAA zcycSy A Sz A zyoyzdACzcyc均质等厚薄板质均质等厚薄板质心位于中面形心心位于中面形心,zyAASydASzdA 静矩静矩：,yzccSSyzAA 或或如果截面对某轴的静矩为零，则该轴为形心轴。如果截面对某轴的静矩为零，则该轴为形心轴。 形心轴：通过截面形心的

3、坐标轴。形心轴：通过截面形心的坐标轴。Page 8 何斌何斌材料力学三、三、 组合截面的静矩与形心组合截面的静矩与形心zAAAAcccSydAydAydAydAyAyAyA231123123123 zyoA1A2A311inniciziicSyASyAAA zyoA1A2()()zzzSSS 整整孔孔()()()()zzcSSyAA 整整孔孔整整孔孔负面积法负面积法Page 9 何斌何斌材料力学例例: 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。轴的静矩。 解：解：取平行于取平行于x轴的狭长条，轴的狭长条，)()(yhhbyb易求yyhhbAd)(d

4、 因此所以对所以对x轴的静矩为轴的静矩为6d)(d20bhyyyhhbAyShAxOxyb(y )ydyhbPage 10 何斌何斌材料力学例：例： 确定下图所示截面的形心位置确定下图所示截面的形心位置60105010yzA1A2112212cccyAyAyAA 解：解：将截面分为两部分，将截面分为两部分，利用组合截面的公式：利用组合截面的公式：Page 11 何斌何斌材料力学Page 12 何斌何斌材料力学zyoyzdA 22,zyAAIy dAIz dA 2pAIdA 一、一、 截面对截面对o点的极惯性矩或二次极矩点的极惯性矩或二次极矩二、二、 截面对截面对z轴或轴或y轴的惯性矩轴的惯性矩

5、 或二次轴矩或二次轴矩三、三、 一个恒等式一个恒等式222()pzyIIIzy Page 13 何斌何斌材料力学zyoyzdA 五、五、 截面对截面对z轴或轴或y轴的惯性半径轴的惯性半径,yzyzIIiiAA 四、四、 截面对截面对z轴与轴与y轴的惯性积轴的惯性积yzAIyzdA 六、六、 惯性矩与惯性积的组合截面公式惯性矩与惯性积的组合截面公式zyoA1A2A3y111,nnnzziyiyzyziiiiIIIIII Page 14 何斌何斌材料力学AyAzId2AArId2PAyzAyIzdAzAyId2 0 0 或或 0 0 0zyOdAyzPage 15 何斌何斌材料力学例例: 试计算图

6、试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和和y的惯性矩。的惯性矩。 解：解：取平行于取平行于x轴的狭长条，轴的狭长条，则则 dA=b dy12dd32222bhybyAyIhhAx同理同理123hbIyyhCx dyyb(a)Page 16 何斌何斌材料力学已知：已知：圆截面直径圆截面直径d求：求：Iy， Iz， IPrrAd2d64d 2214202drrrd4P232yIdI AzyArIIId2122PdrdrdACyz解：解：取圆环微元面积取圆环微元面积Page 17 何斌何斌材料力学Page 18 何斌何斌材料力学设有面积为设有面积为A的任

7、意形状的截面。的任意形状的截面。C为其形心，为其形心，Cxcyc为形心坐标为形心坐标系。与该形心坐标轴分别平行系。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标系为的任意坐标系为Oxy ,形心形心C在在在在Oxy坐标系下的坐标为坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元任意微面元dA在两坐标系在两坐标系下的坐标关系为：下的坐标关系为：ayybxxCCaycyxcxCObdAxcycyxPage 19 何斌何斌材料力学AaIAayAaIAaAyaAyAayAyIccxcxAAcAcAcAx2222222dd2ddd同理，有：同理，有：AaIIcxx2AbIIcyy2abAIIccyxxy（此为此为平行移轴公式

8、平行移轴公式 ）注意：注意： 式中的式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。代表坐标值，有时可能取负值。等号右边各首项为相对于形心轴的量。等号右边各首项为相对于形心轴的量。Page 20 何斌何斌材料力学Page 21 何斌何斌材料力学任意面元任意面元dA 在旧坐标系在旧坐标系oxy和和新坐标系新坐标系ox1y1的关系为：的关系为：sincossincos11xyyyxx代入代入惯性矩惯性矩的定义式：的定义式：AyIAxd211xyOxyxy11ABCDEdAxy11Page 22 何斌何斌材料力学cossin2sincos dcossin2 dsindcos2222221xyyxAAAxII

9、IAxyAxAyI 利用二倍角函数代入上式，得利用二倍角函数代入上式，得转轴公式转轴公式 ：2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIIIPage 23 何斌何斌材料力学注：注：上式中的上式中的 的符号为：从旧轴的符号为：从旧轴x至新轴至新轴x1逆时针为正，逆时针为正，顺时针为负。顺时针为负。yxyxIIII11（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标

10、原点的极惯性矩标原点的极惯性矩 ）将前两式相加得将前两式相加得Page 24 何斌何斌材料力学Page 25 何斌何斌材料力学 由惯性积的转轴公式可知，当坐标轴旋转时，惯性由惯性积的转轴公式可知，当坐标轴旋转时，惯性积将随着积将随着 角作周期性变化，且有正有负。因此，必有一角作周期性变化，且有正有负。因此，必有一特定的角度特定的角度 0，使截面对于新坐标轴，使截面对于新坐标轴x0、y0的惯性积等于的惯性积等于零。零。(1) 主惯性轴主惯性轴: :截面对其惯性积等于截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。的一对坐标轴。(2) 主惯性矩主惯性矩: :截面对于主惯性轴的惯性矩。截面对于主惯性轴的惯性矩。(

11、3) 形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。形心重合时。(4) 形心主惯性矩形心主惯性矩: :截面对于形心主惯性轴的惯性矩。截面对于形心主惯性轴的惯性矩。Page 26 何斌何斌材料力学确定确定主惯性轴主惯性轴的位置的位置 设设 0 0是旧轴是旧轴x 逆时针转向逆时针转向主惯性主惯性轴轴x0的角度，则由的角度，则由惯性惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得积的转轴公式及主惯性轴的定义，得02cos2sin200 xyyxIII可改写为可改写为yxxyIII22tan0（注：将负号置于分子上有利于确定（注：将负号置于分子上有利于确定2 0

12、0角的象限）角的象限）Page 27 何斌何斌材料力学 由上面由上面tan2 0的表达式求出的表达式求出cos2 0、sin2 0后，再代入后，再代入惯性矩的转轴公式惯性矩的转轴公式 ，化简后可得，化简后可得主惯性矩的计算公式：主惯性矩的计算公式：IIIIIIxyyxyxx2242120IIIIIIxyyxyxy2242120极大值Imax极小值IminPage 28 何斌何斌材料力学几个结论几个结论若截面有一根对称轴，则此轴即为形心若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，主惯性轴之一，另一另一形心形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。若若截面

13、有二根对称轴，则此二轴即为形心截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。主惯性轴。若若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。主惯性轴，且主惯性矩相等。Page 29 何斌何斌材料力学Page 30 何斌何斌材料力学Page 31 何斌何斌材料力学 将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形的形心位将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形的形心位置。置。 以形心为坐标原点，设以形心为坐标原点，设Oyz坐标系，坐标系，y、z 轴轴 一般与简单图一般与简单图形的形心主轴平行。确定简形的形心主轴平行。确定简 单图形对自

14、身形心轴的惯性矩，利单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移轴用移轴 定理（必要时用转轴定理）确定各个简单定理（必要时用转轴定理）确定各个简单 图形对图形对y、z轴轴的惯性矩和惯性积，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的的惯性矩和惯性积，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的Iy、Iz 和和Iyz。 计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩Iy0和和Iz0。 确定形心主轴的位置，即形心主轴与确定形心主轴的位置，即形心主轴与 z 轴的夹角。轴的夹角。Page 32 何斌何斌材料力学例题例题 已知：已知：图形尺图形尺寸如图所示。寸如图所示。 求：求：图形的形图形的形心主矩心主矩5027030300解解 ：1 1将

15、所给图形分解为简单图形的组合将所给图形分解为简单图形的组合 C1C22.2.建立初始坐标，确定形心位置建立初始坐标，确定形心位置 233312333310270 1050 10150 10m=90mm300 1030 10270 1050 10iCiiCiiA yyAPage 33 何斌何斌材料力学例题例题 Iy0=Iy0()+Iy0(II) 4-93-3-93-3m12105010270121030010304745mm10037m10037.90C1C2Cyz150603. 3. 确定形心主惯性矩确定形心主惯性矩 y0z0Page 34 何斌何斌材料力学例题例题 Iz0=Iz0()+Iz0

16、() 12103010300-93-312100721050-93-34844mm10042m10042.-3-362103010300109026-3-346010270 1050 10m3. 3. 确定形心主惯性矩确定形心主惯性矩 90C1C2Cyz15060y0z0Page 35 何斌何斌材料力学思考思考：O为直角三角形为直角三角形ABD斜边上的中点，斜边上的中点，x、y轴为过点轴为过点且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案有四种答案(已知已知ba)： （A）Ixy （B） Ixy (C) Ixy= （D） Ix=Iy正确答案是正确答案是(C)xABDyOabPage 36 何斌何斌材料力学思考：等腰直角三角形如图所示，思考：等腰直角三角形如图所示，x、y轴是过斜边中点轴是过斜边中点的任意一对坐标轴（即图中的任意一对坐标轴（即图中 为任意值），该图形的为任意值），该图形的: :(1)(1)惯性积惯性积Ixy (2)(2)惯性矩惯性矩I Ix 、 I Iy。yxaa答案：答案：0；a4/24; a4/24 Page 37 何斌何斌材料力学1. 静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标系中的数值静矩、惯性矩