基本不等式的证明

1、高二数学高二数学(必修五必修五)多媒体课件多媒体课件【问题【问题1 1】 把一个物体放在天平的一个盘子上把一个物体放在天平的一个盘子上, ,在另一个盘子上放砝码使天平平衡在另一个盘子上放砝码使天平平衡, ,称得称得物体的质量为物体的质量为a. a.如果天平制造得不准确如果天平制造得不准确, ,天天平的两臂长略有不同平的两臂长略有不同( (其它因素不计其它因素不计), ),那么那么并非实际质量并非实际质量. .不过不过, ,我们可作第二次测量：我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一盘上把物体调换到天平的另一盘上, ,此时称得此时称得物体的质量为物体的质量为b b. .那么如何合理地表示物体那

2、么如何合理地表示物体的质量呢？的质量呢？1.猜测：2.讨论：物体的实际质量应为2ba 3.提示： 应用力学原理求解4.求解： 问题一：把一个物体放在天平的一个盘子上把一个物体放在天平的一个盘子上, ,在另一在另一个盘子上放砝码使天平平衡个盘子上放砝码使天平平衡, ,称得物体的质量为称得物体的质量为a. a.如果如果天平制造得不准确天平制造得不准确, ,天平的两臂长略有不同天平的两臂长略有不同( (其它因素其它因素不计不计), ),那么并非实际质量那么并非实际质量. .不过不过, ,我们可作第二次测量：我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一盘上把物体调换到天平的另一盘上, ,此时称得物体的质

3、量为此时称得物体的质量为b.b.那么如何合理地表示物体的质量呢？那么如何合理地表示物体的质量呢？5.结论： 物体的实际质量应为ab(一)定义新概念1.算术平均数：2.几何平均数：(二)提出新问题【问题【问题2 2】 两个非负数的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？对于正数a,b,我们把叫做a,b的算术平均数2ba 对于正数a,b,我们把叫做a,b的算术平均数ab【问题【问题2 2】 两个非负数的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？1.试验：2.猜测：3.证明：).(2号时取当且仅当babaab证法一：).(2号时取当且仅当babaab 证明：如果a,b是正数，那么 证明

4、不等式的方法一：比较法00babababa2.比较法（作差法）的解题步骤： 作差变形判断结论 1. 依据：证法二：).(2号时取当且仅当babaab 证明：如果a,b是正数，那么 证明不等式的方法二：分折法 筒单地说就是“执果索因”. 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法. 说明：分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法. 分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B真，

5、只需要证明命题B1为真，从而有只需要证明命题B2为真，从而又有 只需要证明命题A为真而已知A为真，故B必真证法三：).(2号时取当且仅当babaab 证明：如果a,b是正数，那么 证明不等式的方法三：综合法 利用某些已经证明过的不等式（如基本不等式）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法 。 筒单地说就是“由因导果”. 证明不等式的方法证明不等式的方法（一）比较法（一）比较法作差作差变形变形判号判号结论。结论。（二）综合法（二）综合法结合已知条件，再利用熟知的事结合已知条件，再利用熟知的事实或已经证明过的不等式作为基实或已经证明过的不等式作为基础推导出所要求证的不

6、等式。础推导出所要求证的不等式。（三）分析法（三）分析法- 从求证的不等式出发，寻求使从求证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件，直至这些它成立的充分条件，直至这些条件都已具备，那么就可以断条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立。定原不等式成立。 (三)定理：如果a,b是正数，那么 ).(2号时取当且仅当babaab两个两个非负数非负数的的算术平均数算术平均数不小于不小于它们它们的的几何平均数几何平均数. 定理的变形公式：).(2)2(号时取当且仅当baabba).(2)4(22号时取当且仅当baabba).()2() 1 (2号时取当且仅当babaab).(2,0)3(号时取当且仅当时当b

7、aabbaab“半径不小于半弦半径不小于半弦” (四)定理的几何解释).(33号时取当且仅当cbacbaabc三个三个非负数非负数的的算术平均数算术平均数不小于不小于它们它们的的几何平均数几何平均数. (五)定理的拓广： 1.如果a,b,c是非负数，那么 2.如果naaaaaannn 2121).(21号时取当且仅当 aaanaaan,21 都是非负数,那么(一)证明不等式例1.证明：).0( 11122号时取当且仅当aaa【变式1】已知a,b.c是不全相等的实数,证明：acbcabcba222【变式2】已知a,b.c,d都是正数,证明：4accdabbdbcad(一)证明不等式例2.证明：若0 x2,则3)36(3 xx【变式1】若0 x0,y0且2x+y=1,证明：81xy(一)证明不等式例3.已知a,b