平面问题有限元法

1、有限元法基础有限元法基础Finite Element Method2022-6-282第三章 弹性力学平面问题的有限元分析 弹性力学与我们十分熟悉的材料力学既有联系又有区别。弹性力学与我们十分熟悉的材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。而应用的范围更广泛。 但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严

2、谨，因而解算问题时，往形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定关于材料性质的假定： 弹性力学的研究内容弹性力学的研究内容 弹性体在外部因素（外力、温度等）作用下而产生的应力和应变，以及与应变有关的位移。一一 弹性力学简介弹性力学简介 2022-6-283 弹性力学假设弹性力学假设 v 连续性假设连续性假设v 完全弹性假设完全弹性假设v 均匀性和各向同性假设均匀性和各向同性假设v 小变形、小转动假设小变形、小转动假设v

3、自然状态假设（无初始应力）自然状态假设（无初始应力）2022-6-284Q基本定律基本定律v 牛顿定律v 几何连续性定律v 物性定律 应力和应变之间的关系 ( 物理方程 ) 动量平衡原理 平衡(运动)微分方程 动量矩平衡原理 应力张量的对称性 作用与反作用定律 位移和变形的关系 ( 几何方程 ) 位移边界条件()()nntt 2022-6-285 弹性力学的基本方法弹性力学的基本方法 从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求解，最后利用边界条件确定解中的常数。按照方程中保留的未知量，求解方法可分为按照方程中保留的未知量，求解方法可分为 应力法（

4、以应力为未知量） 位移法（以位移为未知量） 混合法（同时以应力和位移为未知量）精确解法：采用数学分析的手段求得精确解近似解法：最有效的是基于能量原理的变分方法数值方法：有限元法，有限差分法，边界元法等2022-6-286 wvuzyx zyxzxxyxy zyxzxxyyz 位移 和应变 和应力和1)、基本力学量：2022-6-287 载载 荷荷 Institute of Mechanical Engineering and Automation作用于弹性体的外力作用于弹性体的外力(或称荷载或称荷载)可能有两种可能有两种： l 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物表面力，是分布于物体

5、表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表来表示。示。l 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号号X、Y、Z表示。表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。、2022-6-288 应力的概念应力的概念 Institute of Mechan

6、ical Engineering and Automation弹性体内微小的平行六面体弹性体内微小的平行六面体PABC，称为，称为体素体素。PA=dx,PB=dy,PC=dz正应力正应力剪应力剪应力 图 1每一个面上的应力每一个面上的应力分解为一个正应力和分解为一个正应力和两个剪应力，分别与两个剪应力，分别与三个坐标轴平行三个坐标轴平行2022-6-289 应力的概念应力的概念 Institute of Mechanical Engineering and Automation 为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力角码，

7、例如，正应力x是作用在垂直于是作用在垂直于x轴的面上同时也轴的面上同时也沿着沿着x轴方向作用的。轴方向作用的。正应力正应力 加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力剪应力xy是作用在垂直于是作用在垂直于x轴的面上而沿着轴的面上而沿着y轴方向作用的。轴方向作用的。剪应力剪应力2022-6-2810 应力的概念应力的概念 Institute of Mechanical Engineering and Automation应力的正负应力

8、的正负 如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。 相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。向为负。剪应力互等定律剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。的剪应力是互等的。( (大小相

9、等，正负号也相同大小相等，正负号也相同) )。因此。因此剪应力记号的两个角码可以对调。即：剪应力记号的两个角码可以对调。即：(1) xzzxzyyzyxxy，2022-6-2811应力的概念应力的概念Institute of Mechanical Engineering and Automation 可以证明：如果可以证明：如果 这六这六个量在个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量应

10、力分量。 一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标常量，而是坐标x、y、z的函数。的函数。 六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：来表示：zxyzxyzyx、(2) Tzxyzxyzyxzxyzxyzyx2022-6-2812 位位 移移 Institute of Mechanical Engineering and Automation 弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的弹性体在受外力以

11、后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出、给出各点的位移各点的位移；2、给出、给出各体素的变形各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个坐标轴上的投影三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。2022-6-2813 应应 变

12、变 Institute of Mechanical Engineering and Automation体素的变形体素的变形( (应变应变) )可以分为两类：可以分为两类： 一类是长度的变化，一类是角度的变化。一类是长度的变化，一类是角度的变化。 任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变( (或或称正应变称正应变) )，用符号，用符号 来表示。沿坐标轴的线应变，则加上来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用相应的角码，分别用 来表示。当线素伸长时，其线来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力应变

13、为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。的正负号规定相对应。 任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变，用符号值称为角应变或剪应变，用符号 来表示。两坐标轴之间的来表示。两坐标轴之间的 角应变则加上相应的角码分别用角应变则加上相应的角码分别用 来表示。规定来表示。规定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应对应 ( (正的正的 引起正的引起正的 ，等等，等等) )。zyx、zxyzxy、xyxy2022-6-2814xyxz

14、xxyyzyxzyzzxyzXxyzYxyzZ 000其中：X、Y、Z为三个方向的均匀分布体力三三 弹性力学基本方程弹性力学基本方程 平衡方程（外力与应力的关系）平衡方程（外力与应力的关系）2022-6-2815 几何方程、刚体位移几何方程、刚体位移 Institute of Mechanical Engineering and AutomationvudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBbax xy y0 0图图 2A点在点在x方向的位移分量方向的位移分量为为u；B点在点在x方向的位移：方向的位移：ABCD-ABCD(应变分量和应变分量的关系

15、应变分量和应变分量的关系)求线素求线素AB、AD的正应变的正应变 ，用位移分量来表示：，用位移分量来表示：yx、dxxuuuu线素线素AB的正应变的正应变为：为：xudxudxxuux)(同理，同理，AD的正应变的正应变为：为：yvdyvdyyvvy)(2022-6-2816 几何方程、刚体位移几何方程、刚体位移 Institute of Mechanical Engineering and AutomationvudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBbax xy y0 0图图 3线素线素AB的转角为：的转角为：x向线素向线素AB的转角的转角

16、y向线素向线素AD的转角的转角求剪应变求剪应变 ，也就是线素，也就是线素AB与与AD之间的直角的改变之间的直角的改变xyabA点在点在y方向的位移分量方向的位移分量为为v；B点在点在y方向的位移分量：方向的位移分量：dxxvvBABBtg aaxuxvdxxudxvdxxvv1)(2022-6-2817 位移及应变、几何方程、刚体位移位移及应变、几何方程、刚体位移 Institute of Mechanical Engineering and Automation由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小得多的得多的 略去，得略去，得xuxvayubyux

17、vxyba同理，同理，y向线素向线素AD的转角的转角因此，因此，剪应变剪应变为：为：2022-6-2818 位移及应变、几何方程、刚体位移位移及应变、几何方程、刚体位移 Institute of Mechanical Engineering and Automation以上是考察了体素在以上是考察了体素在xoy一个平面内的变形情况一个平面内的变形情况yuxvxybaxuxyvy同样方法来考察体素在同样方法来考察体素在xoz和和yoz平面内的变形情况，可得：平面内的变形情况，可得：zuxwywzvzwzxyzz，联立得到联立得到几何方程几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系，表明应变分量与位

18、移分量之间的关系:(3) zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx，2022-6-2819 位移及应变、几何方程、刚体位移位移及应变、几何方程、刚体位移 Institute of Mechanical Engineering and Automation 可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个

19、量可以完全确定该点的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量应变分量。 六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示来表示：(4) Tzxyzxyzyxzxyzxyzyx2022-6-2820 位移及应变、几何方程、刚体位移位移及应变、几何方程、刚体位移 Institute of Mechanical Engineering and Automation刚体位移刚体位移：由几何方程：由几何方程(3)可见，当弹性体的位移分量完可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，

20、当应变分量全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，在点，在(3)中命：中命：0zxyzxyzyx000000yuxwxwzvzvyuzwyvxu，(5) 000 xywwzxvvyzuuyxxzzy有有积分得积分得、zyxwvu000为为积分常数，即积分常数，即刚体位移刚体位移。式中，式中，2022-6-2821 应力应变关系、物理方程应力应变关系、物理方程 Institute of

21、 Mechanical Engineering and Automation 当沿当沿x轴方向的两个对面受有均轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在引起角度的任何改变，而其在x方向方向的单位伸长则可表以方程的单位伸长则可表以方程z zy yx x0 0 xxyyzz图 1-7应力分量与应变分量之间应力分量与应变分量之间的关系的关系-虎克定律虎克定律(6) Exx(7) EExzxy，式中式中E为弹性模量。弹性体在为弹性模量。弹性体在x方向的伸方向的伸长还伴随有侧向收

22、缩，即在长还伴随有侧向收缩，即在y和和z方向的方向的单位缩短可表示为：单位缩短可表示为：式中式中 为泊松比。方程为泊松比。方程(6)和和(7)既可用于简单和压缩。既可用于简单和压缩。图图42022-6-2822 应力应变关系、物理方程应力应变关系、物理方程 Institute of Mechanical Engineering and Automation 设图中的弹性体在各面上都受有均设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成应变的分量可匀分布的正应力，则合成应变的分量可用用(6)和和(7)式求得。实验证明，只须将式求得。实验证明，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分三个应力中

23、的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。量叠加，就得到合成应变的分量。 单位伸长与应力之间的关系完全由单位伸长与应力之间的关系完全由两个物理常数两个物理常数E及及所确定。两个常数所确定。两个常数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。系。z zy yx x0 0 xxyyzz图 1-7(8) )(1)(1)(1yxzzzxyyzyxxEEE图图42022-6-2823 应力应变关系、物理方程应力应变关系、物理方程 Institute of Mechanical Engineering and Automation 如果弹性体的各面有剪应力作用，如如

24、果弹性体的各面有剪应力作用，如图图5所所示，任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行示，任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：于这两轴的剪应力分量有关，即得到： 式中式中G称为剪切模量，它与弹性模量称为剪切模量，它与弹性模量E，泊松比泊松比存在如下的关系：存在如下的关系： 方程方程(8)中的正应变与方程中的正应变与方程(9)中的剪应变是中的剪应变是各自独立的。因此，由三个正应力分量与各自独立的。因此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得；即将可用叠加法求得；即将(8)和和(9)的六个关系的六个关系式写在一起

25、，得式写在一起，得式式(11)，称为，称为弹性方程或物弹性方程或物理方程理方程，这种空间状态的，这种空间状态的应力应变关系称应力应变关系称为广义虎克定律为广义虎克定律。图 1-4(9) 111zxzxyzyzxyxyGGG，(10) )1(2EG)11(111)(1)(1)(1zxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGEEE图图52022-6-2824 应力应变关系、物理方程应力应变关系、物理方程 Institute of Mechanical Engineering and Automation 将应变分量表为应力分量的函数，可称为物理方程的第将应变分量表为应力分量的函数，可称为

26、物理方程的第一种形式。若将一种形式。若将式式(11)改写成应力分量表为应变分量的函改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，并将数的形式，并将式式(10)代入，可得代入，可得物理方程的第二种形式物理方程的第二种形式：(12) )1 (2)1 (2)1 (2)11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 ()1 (zxzxyzyzxyxyzyxzzyxyzyxxEEEEEE2022-6-2825 应力应变关系、物理方程应力应变关系、物理方程 Institute of Mechanical Engineering and Automation式式(12)(12)

27、可用矩阵的形式表示如下：可用矩阵的形式表示如下：(13) )1 ( 221000000)1 ( 221000000)1 ( 221000000111000111000111)21)(1 ()1 (zxyzxyzyxzxyzxyzyxE式式(13)(13)可简写为由可简写为由弹性体性弹性体性质决定的物理方程质决定的物理方程：(14) D 2022-6-2826 应力应变关系、物理方程应力应变关系、物理方程 Institute of Mechanical Engineering and AutomationD称为弹性矩阵称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数，它完全决定于弹性常数E和和 (15) )1

28、 ( 22100000)1 ( 2210000)1 ( 221000111111)21)(1 ()1 (称对ED2022-6-2827Institute of Mechanical Engineering and Automation总结总结-弹性力学基本方程（分量形式）弹性力学基本方程（分量形式）一、平衡方程一、平衡方程000 xzxyxyxyyzzyzxzXxyzYxyzZxyzzxzxyxzzyzyzxzyyxyxyzyxxEEEEEE)1 (2),(1)1 (2),(1)1 (2),(1二、几何方程二、几何方程zuxwzwywzvyvxvyuxuzxzyzyxyx,三、本构关系三、本构

29、关系( (物理方程）物理方程）2022-6-2828 空间问题的数学描述空间问题的数学描述 已知的几何参数和载荷（表面力和体积力），一般都与三个已知的几何参数和载荷（表面力和体积力），一般都与三个 坐标参数坐标参数x、y、z有关；有关； 15个未知函数个未知函数 6个应力分量：个应力分量： 6个应变分量：个应变分量： 3个位移分量：个位移分量： u、v、w， 一般都是三个坐标参数一般都是三个坐标参数x、y、z的函数；的函数； 基本方程式是三维的，但若某一方向变化规律为已知时，维基本方程式是三维的，但若某一方向变化规律为已知时，维数可相应减少。数可相应减少。,xyzxyyxyzzyzxxz ,x

30、yzxyyxyzzyzxxz 四四 平面问题定义平面问题定义 严格地说，实际的弹性结构都是空间结构，并处于空间的受力状态，属于空间问题。然而，如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为近似的平面问题来处理。平面问题一般可以分为两类，一类是平面应力问题，另一类是平面应变问题。 2022-6-2829 平面问题的数学描述平面问题的数学描述 已知的几何参数和载荷（表面力和体积力）只与两个坐已知的几何参数和载荷（表面力和体积力）只与两个坐标，例如标，例如x、y有关，而与有关，而与z无关；无关； 15个未知函数中只存在有个未知函数中只存在有oxy平面内的分量

31、，且只是平面内的分量，且只是x、y的函数，其余分量或不存在，或可以用的函数，其余分量或不存在，或可以用oxy平面内的分量表平面内的分量表示；示； 基本方程式是二维的。基本方程式是二维的。2022-6-2830一、平面应变问题一、平面应变问题1. 特点：1) 几何形状特征几何形状特征：物体沿一个坐标轴（例如：物体沿一个坐标轴（例如z轴）方向的长度轴）方向的长度很长，且所有垂直于很长，且所有垂直于z轴的横截面都相同，即为一等直柱体轴的横截面都相同，即为一等直柱体；位移约束条件或支承条件沿；位移约束条件或支承条件沿z方向也相同。方向也相同。2) 载荷特征载荷特征：受有平行于横截面（：受有平行于横截面

32、（x、y平面）且不沿平面）且不沿z向变化向变化的外载荷（包括体力的外载荷（包括体力x、y，但，但z=0），约束条件沿），约束条件沿z向也不向也不变。即，所有内在因素和外来作用都不沿长度变化。变。即，所有内在因素和外来作用都不沿长度变化。 0w 由于对称（任一横截面都可以看作是对称面），所有各点都只会沿x和y方向移动，而不会有z方向的位移，即 因为所有各点的位移矢量都平行于oxy面，所以称之为平面位移问题，习惯上称为平面应变问题。2022-6-2831例如：受内压的圆柱管道和长水平巷道等。PxyP2. 平面应变问题的基本方程 yuxvyvxuxyyx 1) 几何方程 对于平面应变问题：w = 0 ， u（x，y），v（ x，y ）对于z轴的偏导数为0，故有z=yz =zx=0 所以有：2022-6-2832)(yxz0zzxyxyxyyyxxGEE11111xyxyyxyyxxEEE)1 (21)21)(1 (1)21)(1 ( xyyxxyyxE221001001)21)(1 ( D平面应变问题的弹性矩阵2) 物理方程由于ryz=rzx=0 故有 zx =yz =0由于z = 0，即注意平面应变问题z = 0，但，将代入空间物理方程有：或即：简写成：2022-6-2833)(yxz0 0 YyxXyxyxyyx