弹性力学徐芝纶版第二章

1、第一节第一节 平面应力问题和平面应变问题平面应力问题和平面应变问题第二节第二节 平衡微分方程平衡微分方程第三节第三节 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移第四节第四节 物理方程物理方程第六节第六节 边界条件边界条件第五节第五节 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态第二章 平面应力问题和平面应变问题第七节第七节 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用第八节第八节 按位移求解平面问题按位移求解平面问题第九节第九节 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程第十节第十节 常应力情况下的简化常应力情况下的简化 应力函数应力函数第二章 平面应力问题和平面应变问题 弹性力学平面问题共有

2、应力、应变和弹性力学平面问题共有应力、应变和位移位移8 8个未知函数，且均为个未知函数，且均为 。2-12-1平面应力问题和平面应变问题平面应力问题和平面应变问题zyxf,yxf,平面应力 任何弹性体都是三维物体三维物体，所以任何一个弹性力学问题都是空间问题空间问题。弹性力学空间问题，物体所占区域中每一点处可以定义3个位移分量位移分量、6个应变分量应变分量、6 个应力分量应力分量, ,共1515个未知量，都是 的函数。第二章 平面应力问题和平面应变问题 （4 4）约束约束作用于板边，平行于板的中面，作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。沿板厚不变。 （3 3）面力面力作用于板边，平行于板的中

3、面，作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；沿板厚不变； （2 2）体力体力作用于体内，平行于板的中面，作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变；沿板厚不变；条件是：条件是： 第一种：平面应力问题第一种：平面应力问题( (Plane stress problem) ) 平面应力 （1 1）等厚度的）等厚度的薄板薄板； 坐标系坐标系第二章 平面应力问题和平面应变问题简化为平面应力问题：简化为平面应力问题： 故只有平面应力故只有平面应力 存在。存在。0,2zzyzxz(在V中) , 0,zyzxz 由于薄板很薄，应力是连续变化的，由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无又无z向外力，可认为：向外力，可认

4、为：平面应力（1 1）两板面上无面力和约束作用，故）两板面上无面力和约束作用，故xyyx, ,第二章 平面应力问题和平面应变问题 所以归纳为平面应力问题：所以归纳为平面应力问题：a.a.应力中只有平面应力应力中只有平面应力 存在；存在；b.b.且仅为且仅为 。yxf,平面应力xyyx, ,（2 2）由于板为等厚度，外力、约束沿）由于板为等厚度，外力、约束沿z z向向不变，故应力不变，故应力 仅为仅为 。yxf,xyyx, ,第二章 平面应力问题和平面应变问题如：弧形闸门闸墩计算简图：平面应力深梁计算简图：Fyfyf第二章 平面应力问题和平面应变问题因表面无任何面力，因表面无任何面力，0,0yx

5、ff 即：.0,zyzxz平面应力.0,zyzxzAB例题例题1 1：试分析：试分析ABAB薄层中的应力状态薄层中的应力状态。故接近平面应力问题。故接近平面应力问题。故表面上，有：故表面上，有：在近表面很薄一层内：在近表面很薄一层内：第二章 平面应力问题和平面应变问题（2 2）体力体力作用于体内，作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；平行于横截面，沿柱体长度方向不变；平面应变第二种：平面应变问题第二种：平面应变问题 ( (Plane strain problem) )条件是：条件是：（1 1）很长的）很长的常截面柱体常截面柱体；（3 3）面力面力作用于柱面，作用于柱面，平行于横截面，沿

6、柱体长度方向不变；平行于横截面，沿柱体长度方向不变；（4 4）约束约束作用于柱面，作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。平行于横截面，沿柱体长度方向不变。坐标系坐标系zxy第二章 平面应力问题和平面应变问题 故任何故任何z z 面（截面）均为对称面。面（截面）均为对称面。（平面位移问题）只有 ; , 0u,vw（平面应变问题）只有 ., , 0,0, 00 xyyxzyzxzyzxzw 平面应变（1 1）截面、外力、约束沿）截面、外力、约束沿z z 向不变，外力、约束向不变，外力、约束 平行平行xyxy面，柱体非常长；面，柱体非常长；简化为平面应变问题：简化为平面应变问题：第二章 平面

7、应力问题和平面应变问题（2 2）由于截面形状、体力、面力及约束沿）由于截面形状、体力、面力及约束沿 向均不变，故应力、应变和位移均为向均不变，故应力、应变和位移均为 。yxf,z平面应变第二章 平面应力问题和平面应变问题 所以归纳为平面应变问题：所以归纳为平面应变问题： a. a.应变中只有平面应变分量应变中只有平面应变分量 存在；存在； b. b.且仅为且仅为 。平面应变yxf,xyyx,第二章 平面应力问题和平面应变问题例如：平面应变隧道挡土墙oyxyox第二章 平面应力问题和平面应变问题且仅为且仅为 。故只有故只有 ，本题中：本题中：0, 0zyzxz平面应变yxf,xyyx,oxyz例

8、题例题2 2：试分析薄板中的应变状态。：试分析薄板中的应变状态。故为平面应变问题。故为平面应变问题。. 0,zyzx第二章 平面应力问题和平面应变问题2 22 2平衡微分方程平衡微分方程定义 平衡微分方程平衡微分方程( (Differential equations of equilibrium) )-表示物体内任一点的微分体的平衡条件。第二章 平面应力问题和平面应变问题 在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体 ,作用于微分体上的力：体力：体力： 。1dd yxyxff ,定义应力：作用于各边上，应力：作用于各边上， 并表示出正面上并表示出正面上 由坐标增量引起由坐标增量引起 的的应力增量应

9、力增量。第二章 平面应力问题和平面应变问题应用的基本假定应用的基本假定：连续性假定应力用连续函数来表示。小变形假定用变形前的尺寸代替变 形后的尺寸。 第二章 平面应力问题和平面应变问题列出平衡条件列出平衡条件：合力 = 应力面积，体力体积； 以正向物理量来表示。平面问题中可列出3个平衡条件。平衡条件平衡条件第二章 平面应力问题和平面应变问题其中一阶微量抵消，并除以 得： .01dd1d1)dd(1d1)dd(, 0yxfxxyyyyxxFxyxyxyxxxxxyxdd0.(a)yxxxfxy0yF0 .(b)yxyyfyx，同理可得：平衡条件平衡条件第二章 平面应力问题和平面应变问题 , 0c

10、M 当 时，得切应力互等定理,得,d21d21yyxxyxyxxyxy0d,dyx.(c)xyyx平衡条件平衡条件第二章 平面应力问题和平面应变问题 适用的条件-连续性，小变形；说明说明对平衡微分方程的说明：对平衡微分方程的说明： 代表A中所有点的平衡条件， 因位（x, y）A； 应力不能直接求出； 对两类平面问题的方程相同。0.(a)yxxxfxy0 .(b)yxyyfyx第二章 平面应力问题和平面应变问题理论力学考虑整体 的平衡（只决定整体的运动状态）。 VVVd说明说明比较:材料力学考虑有限体 的平衡（近似）。 弹性力学考虑微分体 的平衡（精确）。第二章 平面应力问题和平面应变问题 当

11、均平衡时，保证 ， 平衡；反之则不然。 VV说明说明Vd 所以弹力的平衡条件是严格的，并且是精确的。 第二章 平面应力问题和平面应变问题理力（ V ）材力（ ）弹力（ ）bxhVd1dddyxVhV dxdy dx第二章 平面应力问题和平面应变问题思考题思考题1.试检查，同一方程中的各项，其量纲 必然相同（可用来检验方程的正确性）。2.将条件 ,改为对某一角点的 ，将得出什么结果？3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布， 将得出什么结果？0cM0M第二章 平面应力问题和平面应变问题几何方程几何方程(Geometrical equations)表示任一点的微分线段上形变与位移之间的关系。2 23

12、 3几何方程刚体位移几何方程刚体位移定义定义第二章 平面应力问题和平面应变问题变形前位置： 变形后位置： 各点的位置如图。 通过点P(x,y)作两正坐标向的正坐标向的微分线段, ,dyPBdxPA, , ,P A B定义定义,P A B第二章 平面应力问题和平面应变问题32sin,3!cos11,2 !tan. 应用基本假定：连续性；小变形。当很小时，假定假定第二章 平面应力问题和平面应变问题().xuudxuuxdxx.yvy假定假定由位移求形变：PA 线应变PA 转角PB 线应变PB 转角同理，tan.vdxvxdxxyu第二章 平面应力问题和平面应变问题 适用于区域内任何点，因为（x,y

13、） A；对几何方程的说明：. , ,yuxvyvxuxyyx所以平面问题的几何方程平面问题的几何方程为：说明说明 适用条件：a.连续性；b.小变形。 应用小变形假定，略去了高阶小量 线性的几何方程；第二章 平面应力问题和平面应变问题 几何方程是变形后物体连续性条件 的反映和必然结果。 形变和位移之间的关系： 位移确定位移确定 形变完全确定：形变完全确定： 从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定 。 说明说明 从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定 。第二章 平面应力问题和平面应变问题 从物理概念看， ， 确定，物体还可作刚体位移。 从数学推导看， ， 确定，求位移是积分

14、运算，出现待定函数。形变确定，位移不完全确定形变确定，位移不完全确定： 形变与位移的关系形变与位移的关系第二章 平面应力问题和平面应变问题由 ,两边对y积分，由 ,两边对x积分，例：若例：若 , ,求位移：求位移：0 xyyx0, (a)xyvuxy形变与位移的关系形变与位移的关系0 xxu0yyv).(0),(1yfyxu).(0),(2xfyxv代入第三式第二章 平面应力问题和平面应变问题分开变量， 12d ( )d( ) ( ).(b)ddfyfxyx 因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足。当x（y）变化时，式(b)的左，右均应=常数 ，由此解出 。可得形变与位移的关系形变与位移

15、的关系21, ff , . (c)oou uyv vx 第二章 平面应力问题和平面应变问题物理意义：00,vu形变与位移的关系形变与位移的关系表示物体绕原点的刚体转动。表示x，y向的刚体平移，第二章 平面应力问题和平面应变问题结论结论 形变确定，则与形变有关的位移可以形变确定，则与形变有关的位移可以确定，而与形变无关的刚体位移确定，而与形变无关的刚体位移( (Rigid-body displacements) )则未定。则未定。 须通过边界上的约束条件来确定 。,oovu,oovu第二章 平面应力问题和平面应变问题思考题思考题1.试证明微分体绕z轴的平均转动分量是).(21yuxv,cbaxy

16、yx2.当应变为常量时， 试求出对应的位移分量。第二章 平面应力问题和平面应变问题物理方程(Physical equations)表示（微分体上）应力和形变之间的物理关系。11(), ,11(), ,11(), .xxyzyzyzyyzxzxzxzzxyxyxyEGEGEG定义即为广义胡克定律 (Generalized Hookes law)：2 24 4物理方程物理方程第二章 平面应力问题和平面应变问题胡克胡克 (16351703) 英国物理学家。英国物理学家。 胡克在胡克在1653年进入牛津大学，年进入牛津大学，1665年成为格雷沙姆学院教授。年成为格雷沙姆学院教授。 胡克胡克建立了弹性体

17、变形与力成正比的定律建立了弹性体变形与力成正比的定律。 胡克胡克对万有引力定律的发现起了重要作用对万有引力定律的发现起了重要作用。1679年他写信给牛顿，年他写信给牛顿，信中认为天体的运动是由于有中心引力拉住的结果，而且认为引力与距离信中认为天体的运动是由于有中心引力拉住的结果，而且认为引力与距离平方应成反比。牛顿对此没有复信，但接受了胡克的观点。平方应成反比。牛顿对此没有复信，但接受了胡克的观点。1686年牛顿将年牛顿将载有万有引力定律的载有万有引力定律的自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理卷一的稿件送给英国皇家学卷一的稿件送给英国皇家学会时，胡克希望牛顿在序言中能对他的劳动成果会时，胡克希

18、望牛顿在序言中能对他的劳动成果“提一下提一下”，但遭到牛顿，但遭到牛顿的断然拒绝。这是后来的断然拒绝。这是后来胡克控告牛顿剽窃他的成果胡克控告牛顿剽窃他的成果的来由。的来由。 胡克胡克其他科学贡献很多其他科学贡献很多。他用显微镜观察软木结构中的。他用显微镜观察软木结构中的“微孔微孔”或或“细细胞胞(cell)”（1665年发表），这是生物学中年发表），这是生物学中“细胞细胞”一词的起源。他在一词的起源。他在1672年发现光的衍射现象，并采用光波理论解释这种现象。年发现光的衍射现象，并采用光波理论解释这种现象。1666年伦敦大火以年伦敦大火以后，他在重建城市中设计了一些重要建筑物。后，他在重建城

19、市中设计了一些重要建筑物。第二章 平面应力问题和平面应变问题泊松泊松 （Poisson, Simeon-Denis）（）（1781-1840），），法国数学法国数学家、物理学家和力学家家、物理学家和力学家。 泊松一生从事数学研究和教学，他的主要工作是泊松一生从事数学研究和教学，他的主要工作是将数学应用将数学应用 于力学和物理学中于力学和物理学中。 在固体力学中，在固体力学中，泊松以材料的横向变形系数泊松以材料的横向变形系数，即泊松比而知，即泊松比而知 名。名。 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是泊松在数学方面贡献很多。最突出的是泊松分布泊松分布。他还研究过。他还研究过定积分、傅里叶级数、数学物

20、理方程等。除泊松分布外，还有许多数学名定积分、傅里叶级数、数学物理方程等。除泊松分布外，还有许多数学名词是以他名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、词是以他名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、泊松方程泊松方程、泊松定理泊松定理等。等。在数学物理方面：在数学物理方面：泊松解决了许多热传导方面的问题泊松解决了许多热传导方面的问题。他解决了许多。他解决了许多静电学和静磁学的问题；奠定了偏向理论的基础；研究了膛外弹道学和水静电学和静磁学的问题；奠定了偏向理论的基础；研究了膛外弹道学和水力学的问题；提出了弹性理论方程的一般积分法力学的问题；提出了弹性理论方程的一般积分法. .他还用变分法解决过弹性他还

21、用变分法解决过弹性理论的问题理论的问题. . 在引力学中，他发表了在引力学中，他发表了关于球体引力关于球体引力和和关于引力理论方程关于引力理论方程的的论文论文. . 第二章 平面应力问题和平面应变问题物理方程的说明物理方程的说明：说明说明 正应力只与线应变有关；切应力只与切 应变有关。 是线性的代数方程； 是总结实验规律得出的； 适用条件理想弹性体；第二章 平面应力问题和平面应变问题 物理方程的两种形式：物理方程的两种形式： 应变用应力表示，用于 按应力求解； 应力用应变（再用位移表示） 表示，用于按位移求解。)(f)(f说明说明第二章 平面应力问题和平面应变问题平面应力问题的物理方程：平面应

22、力问题的物理方程： 代入 ，得：在z方向0zyzxz11(), (),(a)2(1).xxyyyxxyxyEEE).( , 0yxzzE平面应力第二章 平面应力问题和平面应变问题 代入 得, 0zyzxz221(),11(),(b)12(1).xxyyyxxyxyEEE平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程平面应变在z方向，).(,0yxzz第二章 平面应力问题和平面应变问题平面应力物理方程平面应变物理方程：.1 ,12EE变换关系变换关系：.1 ,)1()21(2EE平面应变物理方程平面应力物理方程：第二章 平面应力问题和平面应变问题名名 称称基本方程的表达式基本方程的表达式表示物理量

23、的关系表示物理量的关系基本假定基本假定平衡微分平衡微分方程方程应力分量应力分量与与体力分体力分量量间的关系间的关系连续性连续性小变形小变形几何方程几何方程应变分量应变分量与与位移分位移分量量间的关系间的关系连续性连续性小变形小变形物理方程物理方程应力分量应力分量与与应变分应变分量量间的关系间的关系连续性连续性完全弹性完全弹性均匀性均匀性各向同性各向同性0,0.yxxxyxyyfxyfyx, , .xyxyuvxyuvyx1(),1(),2(1).xxyyyxxyxyEEE平面应力问题平面应力问题 平面问题的基本方程、物理关系及基本假定平面问题的基本方程、物理关系及基本假定 第二章 平面应力问题

24、和平面应变问题名名 称称平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题未知量未知量已知量已知量未知量未知量已知量已知量位移位移应变应变应力应力外力外力体力、面力的作用面平行于体力、面力的作用面平行于oxy平平面，外力沿板厚均匀分布。面，外力沿板厚均匀分布。 体力、面力的作用面平行体力、面力的作用面平行于于oxy平面，外力沿轴无平面，外力沿轴无变化。变化。形状形状Z向尺寸远小于板面尺寸（等厚向尺寸远小于板面尺寸（等厚度薄板）度薄板）Z向尺寸远大于向尺寸远大于oxy平面内平面内的尺寸（等截面长柱体）的尺寸（等截面长柱体）实质实质若弹性体的若弹性体的 仅是仅是x,y的函数，的函数， ，则，则此问题

25、为平面应力问题此问题为平面应力问题若弹性体的若弹性体的 仅是仅是x,y的函数，的函数， ，则此问题为平面应变问题则此问题为平面应变问题u,v0w ,xyxy0 xzyzzxyE ,xyxy0 xzyzz0zzff,xyxy0 xzyzzu,v0w ,xyxy,xyxy0 xzyzz0 xzyzzxy 0zzff,xyxy0 xzyzz两类平面问题的基本特征两类平面问题的基本特征第二章 平面应力问题和平面应变问题思考题 1.试证：由主应力可以求出主应变，且两者方向一致。 2.试证：3个主应力均为压应力，有时可以产生拉裂现象。 3.试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题）比圆筒（平面应变问题）的变

26、形大。第二章 平面应力问题和平面应变问题 已知坐标面上应力 ， 求斜面上的应力。问题的提出：2 25 5平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态问题问题xyyx, ,第二章 平面应力问题和平面应变问题求解：取出一个三角形微分体（包含 面， 面， 面）， 边长).,(),(nnyxppppn.,mdsPAldsPBdsAB问题问题xy斜面应力表示：斜面应力表示：l=cos(n,x) m=cos(n,y)第二章 平面应力问题和平面应变问题由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得(1)求求（ , , ）(a a)xpyp,xyyyyxxxlmpmlp斜面应力斜面应力(2)求求（ ）将 向法向，切

27、向投影，得nn ,),(yxppp22222, (b)() ().nxyxyxynyxyxxylpmpl mlmlpmplmlm第二章 平面应力问题和平面应变问题 设某一斜面为主面，则只有, 0,nn(3)求主应力求主应力( (Principal stresses) )斜面应力斜面应力xplypm,xyyyyxxxlmpmlp 表示主应力表示主应力()0 xyxlm()0 xyylm主平面：主平面：切应力等于零的截面称为主平面切应力等于零的截面称为主平面 主应力：主应力：主平面上的正应力称为该点的主应力主平面上的正应力称为该点的主应力 主方向：主方向：主平面的法线方向即为主方向主平面的法线方向

28、即为主方向 该面全应该面全应力在坐标轴力在坐标轴上的投影上的投影第二章 平面应力问题和平面应变问题221lm0 xyxxyy220 xyxyxy 1212122122tan xxyxyxyxy,.(c)()0 xyxlm()0 xyylm第二章 平面应力问题和平面应变问题将x，y放在 方向，列出任一斜面上应力公式，可以得出（设 ）21, 21 . 45 ,2,2121的斜面上应力成发生在与主nmaxminnmaxmin(4)求最大，最小应力求最大，最小应力最大，最小应力最大，最小应力说明：以上均应用弹力符号规定导出。2212221221221nl ml l l 212221()1142nlml

29、第二章 平面应力问题和平面应变问题 位移边界条件位移边界条件( (Displacement boundary conditions) ) 设在 部分边界上给定位移分量 和 ,则有),()( ),()(svvsuuss（在 上)。（a）usus定义)(su)( sv 边界条件边界条件( (Boundary conditions) ) 表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。位移边界条件26边界条件第二章 平面应力问题和平面应变问题 若为简单的固定边， 则有位移边界条件的说明：sus, 0 vu, 0)( , 0)(ssvuus（在 上）。（b） 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移

30、保持连续性的条件。 它是函数方程，要求在 上每一点 ， 位移与对应的约束位移相等。第二章 平面应力问题和平面应变问题在23 中，通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，应力边界条件应力边界条件( (Stress boundary conditions) )设在 上给定了面力分量 , ,xyyyyxxxlmpmlp).( ),(sfsfyxs（在A中）。（c）应力边界条件第二章 平面应力问题和平面应变问题将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力边界条件:()( ), . (d)()( ),xyxsxyxysylmfssmlfs（在 上）第二章 平面应力问题和平面

31、应变问题 它是边界上微分体的静力平衡条件；说明应力边界条件的说明： 在A中每一点均成立. 它是函数方程，要求在边界上每一点s 上均满足，这是精确的条件；()( ), . (d)()( ),xyx sxyxy sylmf ssmlf s（在 上）, ,xyyyyxxxlmpmlp只能在边界 s上成立.第二章 平面应力问题和平面应变问题(5) 所有边界均应满足，无面力的边界 （自由边） 也必须满足。(4)位移,应力边界条件均为每个边界两 个，分别表示 ， 向的条件；, 0yxffxy说明第二章 平面应力问题和平面应变问题若x=a为正x 面，l = 1, m = 0, 则式(d)成为( ), ().

32、 (e)x ax x axxyyff当边界面为坐标面时当边界面为坐标面时，坐标面yxbaxfyfxxfyfxyxxy第二章 平面应力问题和平面应变问题若x=-b为负x 面，l = -1, m = 0 , 则式(d)成为( ), (). (f)xbx xbxxyyffyxbaxfyfxxfyfxyxxy第二章 平面应力问题和平面应变问题应力边界条件的两种表达式：应力边界条件的两种表达式：两种表达式 在同一边界面上，应力分量应等于对 应的面力分量（数值相等，方向一 致）。即在同一边界面上,应力数值应 等于面力数值(给定),应力方向应同面 力方向(给定)。 在边界点取出微分体，考虑其平衡条 件，得式

33、（d）或（e），（f ）；第二章 平面应力问题和平面应变问题lh/2h/2qyxoyyxxyyyxx例1 列出边界条件：1q第二章 平面应力问题和平面应变问题0( )0 ( )0.x 0 x 0 x,u,v边界()0, ()0.x x lxy x lxl,边界( ) ( )0.yhyxhyy22xhy,q ,2l边 界1( )0, ( ).yhyxhyy22hy,q2边 界lh/2h/2qyxoyyxxyxyyx第二章 平面应力问题和平面应变问题yxoqqqqbbaa例2 列出边界条件：xyyyxx第二章 平面应力问题和平面应变问题显然，边界条件要求在 上， 也成抛物线分布。b()0, ()0

34、.yyyxybyb 边界：axx2()( ) , ()0.x xaxyxaxayqb边界：yxoqqqqbbaaxyyyxx第二章 平面应力问题和平面应变问题 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；混合边界条件混合边界条件混合边界条件( (Mixed boundary conditions) )： 同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。第二章 平面应力问题和平面应变问题例3 列出 的边界条件：ax .0)(,0)(,axxyaxuaxyxoa第二章 平面应力问题和平面应变问题应力边界条件应力边界条件位移边界条件位移边界条件混合边界条件混合边界条件(),().x

35、yxsxyxysylmfmlf( ), ( ). ssuuvv(),().xyxsxyxysylmfmlf( ), ( ). ssuuvv平面问题的边界条件平面问题的边界条件第二章 平面应力问题和平面应变问题1.若在斜边界面上，受有常量的法向分布 压力 作用，试列出应力边界条件， (图（a）)。2.证明在无面力作用的0A边上， 不等 于零（图(b)）。qyoxy(c )(a )(d )(b )qxnyABAxyoAoxy(c )(a )(d )(b )qxnyABAxyoAyM思考题 第二章 平面应力问题和平面应变问题3.证明在凸角A点附近，当无面力作用 时，其应力为零（图 (c)）。oxy(

36、c)(a)(d )(b )qxnyABAxyoAgoxy(c )(a )(d )(b )qxnyABAxyoA4.试导出在无面力作用时，AB边界上的 之间的关系。（图（d）。nxyyx, ,第二章 平面应力问题和平面应变问题5.试比较平面应力问题和平面应变问题的 基本方程和边界条件的异同，并进一步 说明它们的解答的异同。第二章 平面应力问题和平面应变问题 弹性力学问题是微分方程的边值问题。应力，形变，位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。 27圣维南原理及其应用 圣维南原理圣维南原理( (Saint-venants principle) )可用于简化

37、小边界上的应力边界条件。第二章 平面应力问题和平面应变问题圣维南圣维南 (17971886)法国力学家。法国力学家。 1813年进巴黎综合工科学校求学，年进巴黎综合工科学校求学，1814年因政治原因被除名。年因政治原因被除名。 1823年法政府批准他免试进年法政府批准他免试进桥梁公路桥梁公路学校学习，学校学习，1825年毕业。年毕业。后从事工程设计工作，后从事工程设计工作，业余研究力学理论业余研究力学理论。1837年起在桥梁公路学年起在桥梁公路学校任教。校任教。1868年被选为法国科学院院士。年被选为法国科学院院士。圣维南主要研究弹性力学。圣维南主要研究弹性力学。1855和和1856年求解柱体

38、扭转和弯曲年求解柱体扭转和弯曲问题，求解运用了这样的思想问题，求解运用了这样的思想:如果柱体端部两种外加载荷在静力如果柱体端部两种外加载荷在静力学上是等效的学上是等效的,则端部以外区域内两种情况中应力场的差别甚微则端部以外区域内两种情况中应力场的差别甚微。J.V.布森涅斯克于布森涅斯克于1885年把这个思想加以推广，并称之为年把这个思想加以推广，并称之为圣维南原圣维南原理理。 在流体力学方面，圣维南在在流体力学方面，圣维南在1843年发表的年发表的流体动力学研究流体动力学研究中列出粘性不可压缩流体运动基本方程，而中列出粘性不可压缩流体运动基本方程，而G.G.斯托克斯的同一结斯托克斯的同一结果则

39、是果则是1845年发表的。年发表的。 第二章 平面应力问题和平面应变问题 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但 远处所受的影响可以不计。圣维南原理圣维南原理：圣维南原理：第二章 平面应力问题和平面应变问题圣维南原理1.圣维南原理只能应用于一小部分边界 （小边界，次要边界或局部边界）；圣维南原理的说明：圣维南原理的说明：4.远处 指“近处”之外。3.近处 指面力变换范围的一，二倍 的局部区域；2.静力等效 指两者主矢量相同，对 同一点主矩也相同；第二章 平面应力问题和平面应变问题圣维南原理 圣

40、维南原理表明，在小边界小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部近处（局部区域）区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。 圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系(Balanced system)（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。第二章 平面应力问题和平面应变问题例1 比较下列问题的应力解答：hFF/2F/2F/2F/2FF/b3465421321 )(bh 6543214321 b第二章 平面应力问题和平面应变问题例2 比较下列问题的应力解答：推广0 0 0 03412 0 02 01第二章 平面

41、应力问题和平面应变问题 圣维南原理的应用：圣维南原理的应用：1.推广解答的应用；2.简化小边界上的边界条件。应用第二章 平面应力问题和平面应变问题圣维南原理在小边界上的应用：圣维南原理在小边界上的应用：lx 精确的应力边界条件如图，考虑 小边界，第二章 平面应力问题和平面应变问题 上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。)(),(),(),(yfyxyfyxylxxyxlxx(a)在边界 上，lx 第二章 平面应力问题和平面应变问题 在小边界x=l上，用下列条件代替式(a)的条件： 在同一边界在同一边界 x=l 上，上， 应力的主矢量 = = 面力的主矢

42、量（给定); 应力的主矩(M) = = 面力的主矩（给定）.),(yxFF数值相等数值相等,方向一致方向一致.(b)圣维南原理圣维南原理的应用的应用积分的应力边界条件积分的应力边界条件右端面力的主矢量，主右端面力的主矢量，主矩的数值及方向，均已矩的数值及方向，均已给定；给定；左端应力的主矢量，主矩的数值左端应力的主矢量，主矩的数值及方向，应与面力相同，并按应及方向，应与面力相同，并按应力的方向规定确定正负号。力的方向规定确定正负号。第二章 平面应力问题和平面应变问题具体列出具体列出3 3个积分的条件：个积分的条件：)( 1)(1)()(1)(1)()( 1)(1)(2/2/2/2/2/2/2/

43、2/2/2/2/2/ShhylxhhxyhhxlxhhxNhhxlxhhxFdyyfdyMydyyfydyFdyyfdy第二章 平面应力问题和平面应变问题即： 应力的主矢量，主矩的数值=面力的主矢量，主矩的数值； 应力的主矢量，主矩的方向=面力的主矢量，主矩的方向。 式中应力主矢量，主矩的正方向应力主矢量，主矩的正方向,正负号正负号的确定： 应力的主矢量的正方向，即应力的正方向， 应力的主矩的正方向，即（正应力） （正的矩臂）的方向。/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2()1( )1()()1( )1()()1( )1()hhxxNhhxlhhxxhhxlhhxyyShhxldyf

44、y dyFdyyfy dyyMdyfy dyF 第二章 平面应力问题和平面应变问题讨论：讨论： 1.如果只给出面力的主矢量，主矩如图，则式(c)右边直接代入面力的主矢量，主矩； 2.积分的应力边界条件(b)或(c)虽是近似的，但只用于小边界，不影响整体解答的精度。第二章 平面应力问题和平面应变问题例3 试列出图中的边界条件。SFMFyxl h/2 h/2q2)(lxq1q) 1,(hl(a)第二章 平面应力问题和平面应变问题解: (a)在主要边界 应精确满足下列边界条件：21/ 2, ( ) , 0;/ 2, 0, .yyxyyxxyhqlyhq 2/hySFMFyxl h/2 h/2q2)(

45、lxq1q) 1,(hl第二章 平面应力问题和平面应变问题在小边界x = 0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚 时，1。sxhhxyxhhxxhhxFyMyyFyd)(,d)(,d)(02/2/02/2/02/2/0lxlxvu小边界x =l是位移边界.SFMFyxl h/2 h/2q2)(lxq1q) 1,(hl第二章 平面应力问题和平面应变问题(b) 在主要边界x= 0, b，应精确满足下列边界条件：。qlxgyxxyxxyx , 0 ; 0 , 0030FOxyqh(b)gy b/2 b/2) 1,(bh第二章 平面应力问题和平面应变问题 在小边界y = 0，列出3个积分

46、的边界条件，当板厚 时，1。2d)(,43d)(,23d)(000000FxbFxxFxybyxybyyby小边界y =h是位移边界.0hyhyvu注意在列力矩的注意在列力矩的条件时两边均是条件时两边均是对原点对原点o的力矩的力矩来计算的。来计算的。第二章 平面应力问题和平面应变问题 精确的应力边界条件精确的应力边界条件 积分的应力边界条件积分的应力边界条件方程个数方程个数 2 3方程性质方程性质 函数方程（难满足）函数方程（难满足） 代数方程（易满足）代数方程（易满足）精确性精确性 精确精确 近似近似适用边界适用边界 大，小边界大，小边界 小边界小边界比较：比较：第二章 平面应力问题和平面应

47、变问题思考题思考题1、为什么在大边界（主要边界）上，不能 应用圣维南原理？2、试列出负 面上积分的应力边界条件， 设有各种面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。x第二章 平面应力问题和平面应变问题Saint-Venant（18551855）在求解柱体扭转和弯曲问题）在求解柱体扭转和弯曲问题时注意到这样的事实：时注意到这样的事实： 如果柱体端部的两种外载是静力等效的，则如果柱体端部的两种外载是静力等效的，则端部以外区域的应力场差别很小。端部以外区域的应力场差别很小。 这一事实使得他按特殊边界条件所得到的解这一事实使得他按特殊边界条件所得到的解具有了普遍意义具有了普遍意义 Boussinesque（

48、18551855，布希内斯克布希内斯克 ）将这一思）将这一思想加以归纳，并冠以想加以归纳，并冠以 Saint-Venant 原理原理资资 料料第二章 平面应力问题和平面应变问题Boussinesq 的叙述：的叙述： 加在弹性体上的任意平衡力系，如果其作用加在弹性体上的任意平衡力系，如果其作用点限于某个给定的球内，那么该平衡力系在任意点限于某个给定的球内，那么该平衡力系在任意一个与荷载的距离远大于球半径的点上所产生的一个与荷载的距离远大于球半径的点上所产生的位移和应力，是可以忽略的。位移和应力，是可以忽略的。Love (1905)将该原理叙述为将该原理叙述为 根据这个原理，由施于弹体表面某一小部

49、份根据这个原理，由施于弹体表面某一小部份的平衡力系在距离远大于该部份的尺度的地方产的平衡力系在距离远大于该部份的尺度的地方产生的应变是可以忽略的。生的应变是可以忽略的。第二章 平面应力问题和平面应变问题 Saint-Venant 原理在实践中，为工程力学界原理在实践中，为工程力学界所广泛采用，原理的数学证明却长期未得到彻底所广泛采用，原理的数学证明却长期未得到彻底解决。解决。第二章 平面应力问题和平面应变问题Von Mises (1945) Von Mises (1945) 认为认为 Boussinesq Boussinesq 和和 Love Love 的陈述都不够严格，反例：的陈述都不够严格

50、，反例：1) 1) 弹性半空间体上给定一个垂直边界的集中力，弹性半空间体上给定一个垂直边界的集中力，虽然该力不是平衡系，但在远离荷载的地方，位虽然该力不是平衡系，但在远离荷载的地方，位移和应力是可以忽略的。移和应力是可以忽略的。2 2）在无体力的弹性体上加一个平衡力系，由于）在无体力的弹性体上加一个平衡力系，由于问题的齐次性，平衡力系可任意倍，在任意给定问题的齐次性，平衡力系可任意倍，在任意给定点上可得到任意大小的应力和位移。点上可得到任意大小的应力和位移。第二章 平面应力问题和平面应变问题Von Mises 根据他的理解，对根据他的理解，对 Saint Venant 原理作原理作了他的修改后

51、的陈述。了他的修改后的陈述。Sternberg (1954) (1954) 在在 Mises 陈述的基础上做了数陈述的基础上做了数学证明，得到了学证明，得到了von Mises-Sternberg 定理定理Boleg(1958) Boleg(1958) 定理推广到一般椭圆型方程中定理推广到一般椭圆型方程中Von Mises-Sternberg version of Saint Venants principleToupin（1965）& e (1974) 在柱体中和在柱体中和一般情况下得到了应变能对距离按指数衰减一般情况下得到了应变能对距离按指数衰减第二章 平面应力问题和平面应变问题

52、平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相同。因此，两者的解答相似,只须将 进行变换。以下讨论平面应力问题平面应力问题。1.1.平面问题的基本方程及边界条件平面问题的基本方程及边界条件,E平面问题2 28 8按位移求解平面问题按位移求解平面问题第二章 平面应力问题和平面应变问题 平面应力问题0,0.yxxxyxyyfxyfyx 平面域平面域A内的基本方程内的基本方程: :平衡微分方程（在（在A内）内）第二章 平面应力问题和平面应变问题, , .xyxyuvvuxyxy11(),(),2(1).xxyyyxxyxyEEE几何方程物理方程（在（在A内）内）（在（在A内）内

53、）第二章 平面应力问题和平面应变问题应力边界条件 位移边界条件 （在 上）（在 上）(),().xyxsxyxysylmfmlfs),(vuxyyxxyyxus(),().ssuuvvS上边界条件上边界条件: 8个未知函数 必须满足上述方程和边界条件。第二章 平面应力问题和平面应变问题 按位移求解按位移求解（位移法）取 ， 为基本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含 ， 的方程和边界条件，从而求出 ， ；再求形变和应力。2.2.解法解法消元法消元法 uvuvu v解法第二章 平面应力问题和平面应变问题 按应力求解按应力求解（应力法）取 为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移

54、和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求形变和位移。xyyx, 这是弹力问题的两种基本解法这是弹力问题的两种基本解法。第二章 平面应力问题和平面应变问题3. 按位移求解按位移求解uvu vu vu v 将其他未知函数用 ，表示： 形变用 ，表示几何方程; 应力先用形变来表示（物理方程）， 再代入几何方程，用 ，表示: 取 ， 为基本未知函数；按位移求解第二章 平面应力问题和平面应变问题2222()(),11()(),(2 17)11().2(1)2(1)xxyyyxxyxyEEuvxyEEvuyxEEvuxy第二章 平面应力问题和平面应变问题 在A中导出求 ，的基本方程将式(2

55、-17) 代入平衡微分方程，22222222222211()0,122( ) (2-18)11()0.122xyEuuvfxyx yAEvvufyxx y uvu v上式是用 ，表示的平衡微分方程。第二章 平面应力问题和平面应变问题位移边界条件 （在 上）(2-19)（在 上）(2-14).)(,)(vvuussus.)(21)(1,)(21)(122ysxsfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulEs应力边界条件将式(2-17)代入应力边界条件， 在在S S上的边界条件上的边界条件第二章 平面应力问题和平面应变问题 按位移求解时，按位移求解时， ， 必须满足必须满足A A内的方程内的方

56、程( (2-18)2-18)和边界条件和边界条件( (2-14)2-14)，(2-19)(2-19)。u vuvuv归纳：归纳： 式(2-18)，(2-14)，(2-19)是求解 ， 的条件;也是校核 ， 是否正确的全部条件。第二章 平面应力问题和平面应变问题 按位移求解（位移法）的优缺点：按位移求解（位移法）的优缺点： 求函数式解答困难，但在近似解法（变分法，差分法，有限单元法）中有着广泛的应用。 适用性广可适用于任何边界条件。第二章 平面应力问题和平面应变问题例1 考虑两端固定的一维杆件。只受重力作用， 。试用位移法求解。gffyx , 0 xoyloyxg解：为了简化，设位移 按位移求解

57、，位移应满足式(2-18),(2-14),(2-19)。 代入式(2-18),第一式自然满足，第二式成为, 0).(, 0yvvu.2222Egdyvdyv第二章 平面应力问题和平面应变问题 均属于位移边界条件，代入 ，.22BAyyEgvly, 00( )0,yv0;B v得得( )0,y lv.2gAlE解出第二章 平面应力问题和平面应变问题).2(2),2(2),(22ylgylEgylyEgvyy在 处，2ly . 0y代入 ，并求出形变和应力，v第二章 平面应力问题和平面应变问题例例2 2 厚度 悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是 试检查此组位移是否是图示问题的解答

58、。1。EIFlEIFxlEIFxEIFxyvyIGFhEIFlIGFyEIFyEIyFxu3262,)82(662323222332 h/2 h/2AxylFO) 1,(hl第二章 平面应力问题和平面应变问题（2）应力边界条件（书中式219），在 所有受面力的边界 上。其中在小边 界上可以应用圣维南原理，用3个积 分的边界条件来代替。（3）位移边界条件（书中式214）。本 题在x = l的小边界上，已考虑利用圣 维南原理，使3个积分的应力边界条 件已经满足。S(1) 区域内用位移表示的平衡微分方程 (书中式218）;解：此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件此组位移解答若为图示问题的

59、解答，则应满足下列条件: :第二章 平面应力问题和平面应变问题 因此，只需校核下列三个刚体的约束条件：A点（ x = l及y = 0），.0)xv,v ,u( 读者可校核这组位移是否满足上述条件，如满足，则是该问题之解。 h/2 h/2AxylFO) 1,(hl第二章 平面应力问题和平面应变问题思考题1、试用位移法求解下图的位移和应力。xoyloyx.22BAyyEgvg第二章 平面应力问题和平面应变问题2、在一刚性盒体在一刚性盒体B B内有一弹性体，受到作用于刚性内有一弹性体，受到作用于刚性板板A A上的力的作用，设上的力的作用，设A A均匀的下移距离为均匀的下移距离为c c，求弹，求弹性体

60、内的应力分布（不计体力和弹性体与盒壁的摩性体内的应力分布（不计体力和弹性体与盒壁的摩擦力）。擦力）。 xyBabA第二章 平面应力问题和平面应变问题（1）取 为基本未知函数；基本方程xyyx,29 按应力求解平面问题按应力求解平面问题相容方程相容方程1.按应力求解平面应力问题按应力求解平面应力问题（2）其他未知函数用应力来表示:第二章 平面应力问题和平面应变问题 位移用形变应力表示，须通过积分，不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未知项，因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。故在按应力求解时在按应力求解时，只考虑全部为应力边界条件的问题只考虑全部为应力边界条件的问题, ,即 。 形变用应