4-4-2-圆与扇形(二).教师版

1、圆与扇形例题精讲研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位 置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积.圆的面积=/;扇形的面积=TT2X；360圆的周长=2巾；扇形的弧长 =2%父-.360一、跟曲线有关的图形元素：扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分.我们经常说的1圆、1圆、1圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几246分之几.那么一般的求法是什么呢？关键是.360比如：扇形的面积=所在圆的面积xd；360扇形中的弧长

2、部分 =所在圆的周长X360扇形的周长=所在圆的周长 父篇 +2父半径（易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长）弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积.一般来说，弓形面积 =扇形面积-三角形面积.（除了半圆）“弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形“谷子”：如图：“谷子”的面积=弓形面积M2 二、常用的思想方法：转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的）等积变形（害U补、平移、旋转等）借来还去（加减法）外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系” ）板块二曲线型面积计算【例1】 如图，已知扇形 BAC的面积是半圆 ADB面积的4倍，则角CAB的度数是 3【考点】圆与

3、扇形【难度】3星【题型】填空【解析】设半圆ADB的半径为1,则半圆面积为-兀父12=，扇形BAC的面积为-4-=.因为扇形BAC222 33的面积为 <2 X ,所以，兀m22m°=立，得到n=60,即角CAB的度数是60度.3603603【答案】60度例2如下图，直角三角形 ABC的两条直角边分别长 6和7,分别以B,C为圆心，2为半径画圆，已知 图中阴影部分的面积是 17,那么角A是多少度（汽=3）A【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】SA abc =- 6 7 =21,2三角形ABC内两扇形面积和为 21-17=4 ,根据扇形面积公式两扇形面积和为.B+.C

4、m兀m22 = 4,360°所以 /B+/C=120°, /A =60°.【答案】60度 【例3】 如图，大小两圆的相交部分 （即阴影区域）的面积是大圆面积的 £,是小圆面积的如果量得小155圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答23【解析】小圆的面积为兀乂5 =25兀，则大小圆相交部分面积为25兀X-=15兀，那么大圆的面积为54225225 15 1515兀=亍兀，而亍二:父15 '所以大圆半径为 7.5厘米.【答案】7.5【例4】 有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如图），此

5、时橡皮筋的长度是多少厘米？（冗取3）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由右图知，绳长等于 6个线段AB与6个BC弧长之和.将图中与BC弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是360s,所以BC弧所对的圆心角是 603, 6个BC弧合起来等于直径 5厘米的圆的周长.而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长为：5x6+5n=45（厘米）.【答案】45分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请例5如图，边长为12厘米的正五边形,【解析】如图，点C是在以B为中心的扇形上，所以 AB=CB,同理CB=AC,则AABC是正三角形，同理， 有iCDE是正三角形.有 Z

6、ACB =/ECD =60 ,正五边形的一个内角是 180；| 360，+5 =108 ,因此 NECA =60,X2 -108= =12"，也就是说圆弧 AE的长度是半径为 12厘米的圆周的一部分，这样相同 的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是2M3.14父12父4父5 =12.56（cm ）.360【答案】12.56【例6】 如图是一个对称图形. 比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积 灰色部分面积.【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的-,则4个小圆的面4积之和等于大圆的面积.而 4

7、个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等.【答案】相等G ,空白部分面积为S2 ,那么这两个部【例7】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为 分的面积之比是多少？（圆周率取3.14）32所余下的边小圆面积463那么阴影部分面积为2.519个正六边形，面积为边角料面积=36 -28 =8 （平方厘米）81040平方厘米，空白部分是 6个半径为102小圆面积.而大圆的半径为小圆的 3倍，所以其面积为小圆的3移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系 57:100如图所示，求阴影面积，图匚 厘米的小扇形.（圆周

8、率取【考点】圆与扇形【解析】如图添加辅助线 大圆半径为r ,用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了 7个同样大小的圆铝板 角料的总面积是多少平方厘米？32小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形【解析】由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形.11由右图可见，阴影部分面积等于 1大圆面积减去一个小圆面积，再加上120，的小扇形面积（即一一 一一,1 , 一一一 ,面积），所以相当于1大圆面积减去6【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积：大圆面积9 -33.14 -2 :2

9、=57:1002 =-兀=2.562 -2r2,所以2_2:tR =1:9【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式S扇=n2R .360可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60。，那么/AOC=120-又知四边形ABCO是平行四边形，所以/ABC =120"这样就可求出扇形的面积和为6K120K Ttxl02 =628（平方厘米），阴影部分的面积 =1040628 = 412（平方厘米）.360【答案】412【例11】（09年第十四

10、届华杯赛初赛）如下图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，AC =CD =DB , M是CD 的中点，H是弦CD的中点.若N是OB上一点，半圆的面积等于 12平方厘米，则图中阴影部分 的面积是 平方厘米.【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】如下图所示，连接 OC、OD、OH .本题中由于C、D是半圆的两个三等分点，M是CD的中点，H是弦CD的中点，可见这个图形是对称的，由对称性可知CD与AB平行.由此可得iCHN的面积与ACHO的面积相等，所以阴影部分 面积等于扇形 COD面积的一半，而扇形 COD的面积又等于半圆面积的 1 ,所以阴影部分面积等于3半圆面积的1,为12父=2平方厘米.

11、66【答案】2【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6.求图中阴影部分的面积.【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图，连接OC、OD、CD .由于C、D是半圆的三等分点，所以 MOC和ACOD都是正三角形，那么 CD与AO是平行的.所以 MCD的面积与dOCD的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，为_217tx6 x- =18.84 .6【答案】18.84【例12如图，两个半径为 1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分

12、别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是 这样较为繁琐.由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同 的图形，再求剩余图形的面积.如右图所示，可知弓形 BC或CD均与弓形AB相同，所以不妨割去弓形 BC.剩下的图形中，容易 看出来AB与CD是平行的，所以 ABCD与MCD的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形ACD的面积相等，而扇形 ACD的面积为Ttx12 X-60 =0.5 ,所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5 .360【答案】0.512,那么阴影部分面积是多少？（圆周率取【例13如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为3.14)【考点】圆与扇形【

13、难度】3星【题型】解答【解析】方法一:设小正方形的边长为 a,则三角形 ABF与梯形ABCD的面积均为（a+12pa + 2.阴影部分为：大正方形+梯形-三角形ABF -右上角不规则部分=大正方形-右上角不规则部分二圆.因4此阴影部分面积为：3.14父12M12+4=113.04.方法二：连接 AC、DF ,设AF与CD的交点为M,由于四边形 ACDF是梯形，根据梯形蝴蝶定理有Sa ADM = S>A CMF， 所以 5月影=Sn形dcf =3.14 12 12“ 4 =113.04【答案】113.04【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6,求阴影部分的面积.（兀取3）【考点】圆与

14、扇形GFGF【解析】（法1）观察可知阴影部分面积等于三角形【题型】解答ACD的面积减去月牙 BCD的面积，那么求出月牙 BCD的面积就成了解题的关键.1月牙BCD的面积为正万形 BCDE的面积减去四分之一圆：6X6 _父兀父6X6 = 9;4则阴影部分的面积为三角形 ACD的面积减去月牙 BCD的面积，为：-1S月影=3 M（10+6 卜6 -9 =39 .（法2）观察可知 AF和BD是平行的，于是连接 AF、BD、DF .则 MBD与ABDF面积相等，那么阴影部分面积等于 ABDF与小弓形的面积之和，也就等于ADEF与扇形BED的面积之和，为：（106）父6 M1+1 m兀父62 =39 .

15、2 4【答案】39BC是半圆的直径.已知AB=BC=10,那【例14如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点,么阴影部分的面积是多少？（圆周率取3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】连接PD、AP、BD,如图，PD平行于AB,则在梯形ABDP中，对角线交于 M点，那么AABD与MBP面积相等，则阴影部分的面积转化为MBP与圆内的小弓形的面积和.MBP的面积为：10父（10子2广2 =25；弓形面积：3.14X5X5-4 -5X5-2=7.125;阴影部分面积为：25 +7.125 =32.125 .【答案】32.125【例15】图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正

16、方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形, 按图中所给长度阴影部分面积为 ;（n=3. 14D 4 C 6【题型】填空【考点】圆与扇形【难度】3星【解析】 连接小正方形 AC ,有图可见SM 影=SAACD 'S扇形-S ABC1 12 1AC 二- 4 4._ 2- AC =32同理 CE2 =72, AC mCE =481S>a acd =- 48 =242-90.21._S扇形=兀父4 =12.56， Saabc = x4 x4 =83602S月影=24 12.56 -8 =28.56【答案】28.56【例16如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半

17、圆曲线连成的.问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】 假设最小圆的半径为r ,则三种半圆曲线的半径分别为4r, 3r和r.阴影部分的面积为：兀（4r ）兀（3r ） +加2+，=5，空白部分的面积为：兀（4r f -5 / =11，,则阴影部分面积与空白部分面积的比为 5:11 .【答案】5:11【例17（西城实验考题）奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为 8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积.（

18、n=3.14）【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】每个圆环的面积为：兀M42 兀父32 =7兀= 21.98 （平方厘米）；五个圆环的面积和为：21.985=109.9（平方厘米）;八个阴影的面积为：109.9 -77.1 =32.8（平方厘米）；每个阴影的面积为：32.8+8 =4.1（平方厘米）.【答案】4.1 【例18】已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆,再将对边中点用直线连擎起来得右图.那么，图中阴影部分的总面积等于 方厘米.（n=3.14）【难度】4星【题型】填空【考点】圆与扇形【解析】39.25【答案】39.25【例1

19、9如图，ABCD是边长为围成的阴影部分的面积.a的正方形，以 AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所兀取3）ADBBCC圆与扇形3星这道题目是很常见的面积计算问题.阴影部分是【题型】解答一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了一1=4乂 - xnx I-a ；一22如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，如图,ABCD的边长为正方形则阴影部分的面积为1. 2一兀 4 4父4 =8 ；2解法二：连接 AC,所以阴影部分面积我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的

20、面积,_, 12._=2 M（一 ，兀 4 4M4丁2） =8 .4【例20（四中考题）已知三角形 ABC是直角三角形， AC=4cm, BC =2cm ,求阴影部分的面积1 2=a24厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆.求阴由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴 影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积.解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分.【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC的面积之差，所以阴影部

21、分的面积为：1 Ttx l'4 / +1 TtxI -1x4x2=2.5 兀4 =3.85（ cm2）.22222【答案】3.85【例21（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是 是平方厘米.它们的面积都42平方厘米是100平方厘米，盖住桌面的总面积是 那么图中3个阴影部分的面积的和【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】填空【解析】 根据容斥原理得100M3与影2父42=144,所以 与影=100x3-144-2x42=72 （平方厘米）【答案】72【例22如图所示，ABCD是一边长为4cm的正方形，E是AD的中点，而F是B

22、C的中点.以C为圆心、 半径为4cm的四分之一圆的圆弧交 EF于G ,以F为圆心、半径为2cm的四分之一圆的圆弧交 EF 于H点，若图中G和S2两块面积之差为 m 7t-n（cm2）（其中m、n为正整数），请问m + n之值为何？【关键词】国际小学数学竞赛【题型】图1答【解析】(法 1) Sfcde =2M4=8cm2, S扇形bcd =1M兀父42 =4兀(cm2),4-1 ，2、.S扇形BFH =- M兀乂2 =兀(cm )而 4/ce2SI S2 SW形 BCD S扇形 BFHSFCDE -4 兀兀 8 一 3 n 一 8 (cm ),所以 m=3, n =8, m+n =3+8 =11

23、.(法 2)如右上图，S +S1 =Sbfea -S扇形bfh =2父42父2M d"4 = 8 n(cm2),2S +S2 Sabcd S扇形BCD =4 父 4 4 父4 父兀= 4=16 4 兀(cm ), 所以，S -S2 =(8-Tt) -(16 -4%) =3兀-8 (cm2),故 m + n =3+8 =11 .【答案】11【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4,求两个阴影部分的面积差.（圆周率取3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解.左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方 形中的不规则白色部

24、分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形.贝U为：-X4X4 - M2M24X2=3X3.148 = 1.42.44【答案】1.42 【例23如图，矩形 ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形 ABE半彳仝AE = 6厘米，扇形 CBF的半径CB=4厘米，求阴影部分的面积.（兀取3）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则的空白部分ABFD在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键.我们先确定 ABFD的面积，因为不规则部分 A

25、BFD与扇形BCF共同构成长方形 ABCD ,所以不规则部分 ABFD的面积为6 M4-1父兀父42 =12 （平方厘米）,4再从扇形ABE中考虑，让扇形 ABE减去ABFD的面积，则有阴影部分面积为 1x 71X62-12=15 （平方厘米）.4方法二：利用容斥原理 生影=5扇形EAB +S扇形BCF -取方形ABCD J 62 +1兀父42 4父6 = 15 （平方厘米）44【答案】15【巩固】求图中阴影部分的面积.【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】阴影部分面积=半圆面积+扇形面积三角形面积=-Tt（）2 1- 71122 -122 =41.04.2282【答案】41.04平

26、方厘米，（n=3.14）【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是AD【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】观察可知阴影部分是被以 AD为半径的扇形、以 AB为直径的半圆形和对角线 BD分割出来的，分头 求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD的面积减去扇形ADE的面积，那么我们的思路就很清楚了.因为 /ADB=45，所以扇形ADE的面积为： 晅x兀mad2 =£5x3.14x52 =9.8125 （平方厘米），3603601那么左下边

27、空白的面积为：M5M5 9.8125=2.6875 （平万厘米），21 5 2又因为半圆面积为：-乂 6,二 =9.8125 （平万厘米），2 2所以阴影部分面积为：9.81252.6875=7.125（平方厘米）.【答案】7.125【例24如图所示，阴影部分的面积为多少？（圆周率取3）【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】图中A、B两部分的面积分别等于右边两幅图中的A、B的面积.22927所以 Sa+Sb =(1.5 71-1.5X3 )-4+(3 兀3父3 父2 尸8=4+9丁8 =布.2716【巩固】图中阴影部分的面积是【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】如右上图，

28、虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面 积.所分成的弓形的面积为：1兀M 2 _32 jlj =9 K-；212J4J 2 168另一部分的面积为：1兀m32 _3晨1=9兀9 ;84 84所以阴影部分面积为：3兀_9 +99 = 2兀_27 =1.92375 fc1.92.168 84168【答案】1.92【例25】已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以01、。2、03为圆心，求阴影部分的面积.（n=3）【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积.而这一块的面积，等于大正方形的面积

29、减去一个9013扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：12S正方形-S扇形_.（S正方形_S圆广4=20父20_兀乂（20 $ _120M20100兀广4=75（平万厘米）,所以阴影部分的面积为75 M2 =150（平方厘米）.【答案】150【例26】一个长方形的长为9,宽为6, 一个半径为l的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法 运动到的部分，面积的和是 .（兀取3）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下 图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角

30、的情况都相 似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍.阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：每个角阴影部分面积为1父1作12父毁=1 ；360 422 2-3 12 =1方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为【答案】1【例27已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积.（n=3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算.从图中可以看出，阴影部分的面积是一个45°的扇形与一个等腰直角三角形的面积差.由于半圆的面积为 62.8平方厘米，所以OA2

31、=62.8 + 3.14=20 .因此：Saaob =OAmOB+2 =OA2 +2=10（平方厘米）.由于 MOB是等腰直角三角形，所以 AB2 =20x2=40.4545因此：扇形 ABC的面积=ttmAB2 X=兀黑40父=15.7（平方厘米）.360360所以，阴影部分的面积等于：15.710 =5.7（平方厘米）.【答案】5.7【例28如图，等腰直角三角形 ABC的腰为10;以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形 AEF;两个阴影部分 的面积相等.求扇形所在的圆面积.【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】题目已经明确告诉我们 ABC是等腰直角三角形，AEF是扇形，所以看似没有关系

32、的两个阴影部分通过空白部分联系起来.等腰直角三角形的角 A为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍.而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即S扇形=父10M10=50 ,，羽2则圆的面积为50X8=400【答案】400【例29如图，直角三角形 ABC中，AB是圆的直径，且 AB=20,阴影甲的面积比阴影乙的面积大7,求BC 长.（n=3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成1个半圆和1个直角三角形,这个时候我们就可以利用面积公式来

33、求解了.因为阴影甲比阴影乙面积大7,也就是半圆面积比直角三角形面积大7.半圆面积为：1黑兀父102 =157 ,则直角三角形的面积为1577=150,可得BC=2M150 + 20=15.2【答案】15【巩固】圆与扇形3星I的面积比阴影II的面积小25cm2, AB=8cm,求BC的长度.【题型】解答由于阴影I的面积比阴影II的面积小25cm2-X20 M 兀之200X3.14 =628. 有空白部分与的面积和为628,又-二28,所以、部分的面积和 628 + 28 = 656.11一.有直角二角形 ABC的面积为一MAB MBC =M40MBC =656 .所以BC =32.8厘米.32.

34、8【例30】图中的长方形的长与宽的比为8:3 ,求阴影部分的面积.,根据差不变原理，直角三角形ABC面积减去半圆面积、，2 . 1 沁彳.2为25cm2 ,则直角三角形 ABC面积为万兀"万+25 =8兀+ 25( cm2),BC 的长度为(8 兀+25 尸2 +8 =2 兀+6.25=12.53( cm ).28平方厘米， AB长40厘【难度】3星如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分比阴影部分的面积小 米.求BC的长度？(兀取3.14)【题型】解答H圆与扇形12.53图中半圆的直径为 AB,所以其面积为【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】十三分，入学测试题【解析】

35、如下图，设半圆的圆心为 O,连接OC.从图中可以看出，OC=20, OB =204=16,根据勾股定理可得 BC=12.阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，为：兀乂202 =<- -(16X2)父12 =200 兀一384 =244 .2【例31如图，求阴影部分的面积.（兀取3）345【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】如图，图中阴影部分为月牙儿状， 月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我们还不能直接求出它们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙 儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，

36、那么我们就 找到了解决问题的方法了.阴影部分面积 1-小圆面积+1中圆面积十三角形面积1大圆面积2221c2121c 12=，兀 32 +,，兀，42 +X3X4-，兀 522222二6【答案】66,8,10,它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少?【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】S阴影=Sg角三角形一海圆，设半圆半径为r,直角三角形面积用r表示为：1°- =8r22又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为1M6M8=24,2所以 8r =24 , r =31所以 雨影=24 父9 tf24 -4.5兀2【答案】24 -4.5 Tt【例33】大圆半径为R,小圆

37、半径为r ,两个同心圆构成一个环形.以圆心O为顶点，半径R为边长作一个正方形：再以O为顶点，以r为边长作一个小正方形.图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积.（圆周率取3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】华校第一学期，期中测试，第6题【解析】环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能.题中已知阴 影部分的面积，也就是 R2 r2 =50平方厘米，那么环形的面积为：2222tR 武 =MR r ）=兀父50=157 （平万厘米）.【答案】157 求圆环的面积.【巩固】图中阴影部分的面积是25cm2,【解析】【题型】解答22设大圆半径为

38、R,小圆半径为r ,依题有R_二=25,即R2r2=50.22则圆环面积为：tR2 Tf2 = MR2 r2) =50 兀= 157(cm2).【答案】157 【例34】已知图中正方形的面积是 20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是 .（兀取3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【关键词】101中学，考题【解析】设图中大圆的半径为r,正方形的边长为a,则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为a,22大圆的直径2r等于正方形的对角线长，即（2r）2 =a2 +a2,得r2=.2所以，大圆的面积与正方形的面积之比为：武2泡2 =兀:2,所以大圆面积为：20+2Mn=10支；小

39、圆的面积与正方形的面积之比为：X-）2：a2=兀：4 ,所以小圆的面积为：20。4父n=5n；两个圆的面2积之和为：10n+5n=15n=153.14=47.1（平方厘米）.【答案】47.1【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米，则大圆的面积是 平方厘米.（兀取3.14）【题型】填空【解析】设图中大圆的半径为r,正方形的边长为a,则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为a,22大圆的直径2r等于正方形的对角线长，即 （2r）2=a2+a2,得2=2.2222所以，大圆的面积与小圆的面积之比为：<2： 4-）2=r2： =: = 2:1 ,242 4即大圆的面积是小圆面积的2倍，大圆的

40、面积为 30父2 = 60（平方厘米）.【答案】60【巩固】（2008年四中考题）图中大正方形边长为 a,小正方形的面积是 【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】设图中小正方形的边长为 b,由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径为a,而从图中可以看出，圆的直径等于小正方形的对角线长，所以 a2 =b2+b2 =2b2 ,故b2a2 ,即小正方形的面2积为-a2.22【巩固】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示.已知最小圆的半径为平方厘米？（取兀=必）71cm,请问阴影部分的面积为多少【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】台湾小学数学竞赛选拔，复赛【解析】我们将阴影部

41、分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算.内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积，也就是兀黑12 2黑2 + 2=兀-2 .内圆的直径为中部正方形的边长，即为2,中部正方形的对角线等于中圆的直径，于是中圈阴影部分面积是 兀M（22 +22） +4 -2 22 =2兀-4 .中圆的直径的平方即为外部正方形的面积，即为22 +22 =8 ,外部正方形的对角线的平方即为外圆的直径的平方，即为 8M2 =16,所以外圈阴影部分的面积是支父16+48=4支8.所以阴影部分的面积是 7 A14 =22x7.14 =8（平方厘米）.7【答案】8【例35】图中大正方形边长为 6 ,将其每条边进行三等分，连出四条

42、虚线，再将虚线的中点连出一个正方形（如图），在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积是多少？（n= 3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答11111【解析】圆的直径也就是外切正方形的边长，它的长为：12x2+2+1x1 1<6=42 3 3 2 34 2，圆的面积为：兀.- =12.562【答案】12.56【例36如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是9个圆，右图中阴影部分是 16个圆.哪个图中阴影部分的面积大？为什么？【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】设正方形的边长为a,每一个圆的半径为r ,则正方形的每一条边上都有 ?个圆，从而正方形内部 2r共有

43、 2乂亘个圆，于是这些圆的总面积为：%影=/=-必2.2r 2r2r 2r 4可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的，也就是说阴影部分的面积只与正方形的边长有关系，与圆的半径无关，无论圆的半径怎样变化，只要正方形的边长不变，那么阴影部分的面积就 是一定的.由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等.【答案】相等 【例37如图，在3M3方格表中，分别以 A、E、F为圆心，半径为3、2、1,圆心角都是90°的三段圆弧与正方形ABCD的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比S：S2=?【解析】如右图，仔细观察图形不难发现带形Si的面积等于曲边三角形 BCD的面

44、积减去曲边三角形 B1CD1的面积，而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正方形内求出.所以，S1 的面积=32 7tx32 ' 22 _ 7tx22 1- 1=5m 'l - i;I4 八4j I 4 J同理可求得带形&的面积：带形S2的面积=曲边三角形BiCDi的面积曲边三角形B2CD2的面积=3M：1一；4所以，§:&=5:3.【答案】5:3【例38如图中，正方形的边长是5cm,两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多少？（圆周率取3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答232【解析】兀父5 M+5父5 丁2 %2=142.75（c

45、m ）.4【答案】142.75【例39如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆。的半径为15, AEB是以C为圆心，AC为半径的圆弧.求阴影部分面积.【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】阴影部分是个月牙形，不能直接通过面积公式求， 那么我们可以把阴影部分看成半圆加上三角形ABC再减去扇形ACB的结果.半圆面积为工父兀父"2,21 1O二角形ABC面积为父（15+15¥15=152 ,又因为三角形面积也等于MAC2,2 2所以AC2 =2父152 ,那么扇形ACB的面积为90父/AC2 =1父兀父2M152.3604阴影部分面积S|影=S半圆,之角形- S扇形1 22

46、12=M Z15 +15 - M 兀父2黑152 4=225 （平方厘米）【答案】225 【例40如下图所示，曲线 PRSQ和ROS是两个半圆.RS平行于PQ .如果大半圆的半径是 1米，那么阴（兀取3.14）影部分是多少平方米?【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如左下图所示，弓形RS的面积等于扇形ORS的面积与三角形ORS的面积之差，为121兀1十、“_父兀父1 一 x：1x：1=_（平万米），424 222222半圆Ros的面积为2 乂必了fW冰中=4（平方米） ,所以阴影部分的面积为【答案】1.07兀14 2兀1 ）=1.07（平方米）【例41】在右图所示的正方形ABCD中

47、，对角线 AC长2厘米.扇形ADC是以D为圆心，以 AD为半径的圆的一部分.求阴影部分的面积【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如右图所示，S =- MAD2 1AD2 , 82+83=1 兀 xfAC - AD2 =1 兀 MAC21AD2.4222282因为 AC2 =2AD2 =4 ,所以阴影部分的面积为：兀 21212121212MAD AD + ttMAC -AD =-itMAC AC =兀2 =1.14 （平万厘米）. 428242另解：观察可知阴影部分面积等于半圆面积与扇形ADC面积之和减去正方形 ABCD的面积，所以阴影部分的面积为 -MAD2 +1 ttMAC2

48、-AD2 =1.14（平方厘米）. 48【答案】1.14【例42】某仿古钱币直径为4厘米，钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧（如图）.求钱币在桌面上能覆盖的面积为多少？【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】将古钱币分成8个部分，外部的4个弓形的面积和等于大圆减去内接正方形, 中间的四个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积，所以总面积等于：4 24 24 2, 2、71.-M2+1 X2-4X 兀=6 兀-8 =10.84 （cm ）.22 2【答案】10.84【例43】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有 10平方米.每当太阳西下,（如右图

49、）.那么，阴影部分的面积是钟面就会出现奇妙的阴影【难度】4星【题型】解答平方米.【考点】圆与扇形【关键词】小学生数学报【解析】等积变形，对应思想将中间的正三角形旋转如右图，图中阴影部分的面积与原图阴影部分的面积相 等.由A与A', B与B'面积相等，推知阴影部分占圆面积的一半.10 + 2=5（平方米）.【答案】5【巩固】图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少?【考点】圆与扇形【难度】5星【题型】解答【解析】根据图形特点，可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解：阴影部分甲=120。的扇形-三角形-小弓形；阴影部分乙=三角形+小弓形；由于120&#

50、176;扇形的面积容易求得，所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积:1211111210210210393939OOO484488557566圆的面积的圆的面积的这座大钟的钟面有阴影部分的面积是多少平方米?A121039DCO48B4AOB中阴影部分面积同理JJOOEEBBIDOBDA是菱形,所以扇形圆与扇形在这个题目中O的半径为15厘米阴影部分和空白部分都是不规则图形，那么我们既无法通过面积公式直接求出阴影所以，阴影部分面积占圆面积的16H CH 'CI D阴影部分乙的面积=斜纹三角形B的面积+斜纹弓形A的面积综上所述：阴影部分甲的面积部分面积，也无法通过求出空白部分面积，再用大圆

51、面积减去空白部分面积求解，这个时候，我们 只能利用整体思想，通过转化，寻找阴影部分与整体图形的关系.30° （注意，只转三角形，圆形不动），得到右上图.因为 MOD、ABOD如图，已知三角形 GHI是边长为26厘米的正三角形 /AOB =/COD =/EOF =90°.求阴影部分的面积.A G F传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟 钟面就会出现奇妙的阴影 （如左下图）.那么,将原题图中的等边三角形旋转 都是等边三角形，所以四边形 形与弦BD所对的弓形面积相等 BOC中，阴影部分面积也占一斗 5A G F又因为弦AD所对的弓 在扇形 AOC、扇形 10+2 = 5（

52、平方米）.120。阴影部分的面积1二圆的面积的一3阴影部分乙的面积1二圆的面积的一61 .所以甲、乙面积之比为612-17*,61211112TC-. 17&5AB【巩固】【巩固】【难度】5星【题型】解答【考点】 【解析】圆与扇形直接解决.总阴影面积=每块阴影面积 父3 =（大弓形小弓形）m3.关键在于大弓形中三角形的面积，设J为弧GI的中点，则可知 GOIJ是菱形，GOJ是正三角形，所以，三角形GOD的面积=-1266 .2 2所以大弓形的面积：sGJ| =1兀152 _1 15 263 22= 235.597.5=138.1212小弓形的面积：Sfje =-Ttx15m15 =176.625 _112.5 =64.125 .42所以，总阴影面积 =（138 64.125炉3 =221.625（平方厘米）.【答案】221.625【例44】如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径为10