函数的连续性(133)课件

1、1.8 1.8 函数的连续性函数的连续性第一章第一章函数、极限函数、极限与连续与连续教学目的和要求教学目的和要求：深刻理解函数连续性的概念，熟悉间：深刻理解函数连续性的概念，熟悉间断点的分类、连续函数的运算及性质。断点的分类、连续函数的运算及性质。知识点知识点：函数连续的定义，间断点的定义及分类，连续：函数连续的定义，间断点的定义及分类，连续函数的运算及闭区间上连续函数的性质。函数的运算及闭区间上连续函数的性质。重点重点：函数连续的概念，间断点及其分类。：函数连续的概念，间断点及其分类。难点难点：间断点及其分类。：间断点及其分类。教学方式教学方式：多媒体、讲授。：多媒体、讲授。教学思路教学思路

2、：结合极限的定义，深刻、透彻地讲解函数连：结合极限的定义，深刻、透彻地讲解函数连续的定义，利用分段函数解释函数的间断点及其分类，续的定义，利用分段函数解释函数的间断点及其分类，通过函数的图形直观地解释连续函数的性质。通过函数的图形直观地解释连续函数的性质。 1.8 函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的间断点函数的间断点连续函数的运算及初等函数的连续性连续函数的运算及初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质设设 f (x) 在在 U(x0) 内有定义内有定义, 若若)()(lim0 0 xfxfxx则称函数则称函数 f (x) 在点在点 x0 处是连续的处是

3、连续的.一一. .函数的连续性函数的连续性 函数的连续性是一个局部性的概念函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的是逐点定义的.是整个邻域是整个邻域(极限形式极限形式)函数函数 f (x ) 在点在点 x0 处连续处连续, 应该满足以下三点：应该满足以下三点：(1) f (x) 在在 U(x0) 内有定义；内有定义；(包括在点包括在点 x0 处有定义处有定义). )( ) 3(0 xfa (极限值等于函数在点极限值等于函数在点 x0 处的函数值处的函数值) )(lim )2(0；存在axfxx) )( , ( 0有极限时xfxx 函数函数 y = x2 在点在点 x = 0 处是否连续处

4、是否连续 ? 0lim20 xx 函数函数 y = x2 在点在点 x = 0 处连续处连续.又又且且0020 xxxy y = x 2 在在 U(0) 内有定义内有定义,例例1解解,0 xx x 那么称那么称为为自变量的增量自变量的增量(或改变量或改变量).若相应地函数若相应地函数 y 从从)(0 xf),(0 xxf 变到变到称称)()(00 xfxxfy 为为函数的增函数的增量量(或改变量或改变量).,00 xxx 就就是是).()(00 xfxfy 就就是是设有函数设有函数 y = f (x). 当自变量当自变量 x 从从增量概念增量概念:0 x变到变到注注 1函数连续的增量定义函数连

5、续的增量定义定义定义.)()(0内内有有定定义义在在某某设设xUxf.0lim0 yx处连续处连续在点在点0)(xxfxy00 xxx 0)(xfy x y 0lim0 yxxy0 xx 00 xx y )(xfy 0lim0 yx定定义义 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒恒有有时时使使当当2处处连连续续在在点点0)(xxf.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义知由定义知.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx 例例22.左右连续定义左右连续定义 ;)

6、(),()0(,()(0000处处左左连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfxaxf .)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 注意：注意：(1)f(x)在在x0连续与它在该点左右连续的关系有如下结论连续与它在该点左右连续的关系有如下结论:)()0()0()()(lim00000 xfxfxfxfxfxx (2)对于区间的左端点只要右连续则称为连续；对于区间的左端点只要右连续则称为连续； 对于区间的右端点只要左连续则称为连续对于区间的右端点只要左连续则称为连续.0, 0,

7、2, 0, 2)(连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf例例33.函数在区间函数在区间上上的连续性的连续性 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数, ,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数, ,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续. .,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并

8、且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 对于区间端点上的连续性则按左右连续来确定对于区间端点上的连续性则按左右连续来确定!连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例例3 证明函数证明函数xysin 在在),( 内连续内连续 .证证 ),( xxxxysin)sin( )cos(sin222xxx )cos(sin222xxxy 122 xx 0 x即即0lim0 yx由由x的任意性，知的任意性，知xysin 在在),( 内连续内连续 .类似可证类似可证: 函数函数xycos 在在),( 内连续内连续 .04.

9、 已知的连续函数已知的连续函数), 0, xxyRxaxaxaynnn ,110多项式：多项式：0)(,)()( xQRxxQxPynnm且且有有理理函函数数：Rxxy ,sinRxxy ,cos .函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类二二1.间断点的定义间断点的定义 若若f(x)至少满足下列条件之一，则称至少满足下列条件之一，则称f(x)在在x0处不连续处不连续, x0为为f(x)的间断点的间断点.无意义无意义)()1(0 xf不存在不存在)(lim)2(0 xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx .0,sgn)(. 2处的连续性处的连续性讨论讨论设设 xxxfexSolutio

10、n. ,0 , 00 , 1)( xxxf, 0)0( f又又, 1)(lim0 xfx),0()(lim0fxfx 但但.)(0,0)(的间断点的间断点为为处不连续处不连续在在xfxxxf ,0)(, 1)0(处处的的定定义义在在改改变变若若令令 xxff.0)(处处连连续续了了在在则则 xxf这种间断点称为这种间断点称为可去间断点可去间断点.0,sin)(. 3处的连续性处的连续性讨论讨论设设 xxxxfexSolution. ,0sin)(处处没没有有意意义义在在 xxxxf.)(0的间断点的间断点为为xfx , 1sinlim)(lim00 xxxfxx又又,0)(, 1)0(处处的的

11、定定义义在在补补充充若若令令 xxff.0)(处处连连续续了了在在则则 xxf这种间断点也称为这种间断点也称为可去间断点可去间断点.1,1 , 21 ,11)(. 42处处的的连连续续性性讨讨论论设设 xxxxxxfexSolution. ,2)1(有定义有定义 f11lim)01(21 xxfx11lim21 xxx, 2)1(lim1 xx11lim)01(21 xxfx11lim21 xxx, 2)1(lim1 xx,)(lim1不不存存在在xfx.)(1的间断点的间断点为为故故xfx 函数图形在间断点函数图形在间断点x=1处发生跳跃，故称处发生跳跃，故称跳跃间断点跳跃间断点.0,1)(

12、. 5处处的的连连续续性性讨讨论论设设 xxxfexSolution. ,01)(处没有意义处没有意义在在 xxxf.)(0的间断点的间断点为为xfx ,1lim)(lim00 xxfxx又又这时称这时称x=0为为f(x)的的无穷间断点无穷间断点.0,1sin)(. 6处的连续性处的连续性讨论讨论设设 xxxfexSolution. ,01sin)(处处没没有有意意义义在在 xxxf.)(0的间断点的间断点为为xfx ,1sinlim)(lim00不不存存在在又又xxfxx ,111sin,0之之间间振振动动无无限限多多次次与与在在时时且且当当 xx这时称这时称x=0为为f(x)的的振荡间断点

13、振荡间断点.2. 间断点的分类：间断点的分类：第一类第一类可去可去间断点间断点第一类第一类跳跃跳跃间断点间断点第二类第二类无穷无穷间断点间断点第二类间断点第二类间断点xyOxyOxyOxyO1 1oyx2.间断点的分类间断点的分类 间断点是根据左右极限是否存在进行分类的间断点是根据左右极限是否存在进行分类的!,)(0的间断点的间断点为为设设xfx;,)0()0()1(000为为第第一一类类间间断断点点则则称称都都存存在在与与若若xxfxf ; ,)0()0()2(000为为第第二二类类间间断断点点则则称称至至少少有有一一个个不不存存在在与与若若xxfxf 可去间断点可去间断点(左右极限存在且相

14、等的间断点左右极限存在且相等的间断点)跳跃间断点跳跃间断点(左右极限存在但不相等的间断点左右极限存在但不相等的间断点)无穷间断点无穷间断点(极限为无穷大的间断点极限为无穷大的间断点)振荡间断点振荡间断点(极限不确定的间断点极限不确定的间断点).)()(00是是否否同同时时存存在在与与 xfxf)()(00 xfxf与与 间断点间断点0 x振荡振荡同同时时存存在在.)(0上上下下方方来来回回摆摆动动直直线线在在某某时时，当当Ayxfyxx 但但),()(00 xfxf无无意意义义或或)(0 xf)()(00 xfxf )(lim0 xfxx)()(lim0 不不存存在在xfxx可去可去跳跃跳跃无

15、穷无穷其他其他类类 第第一至少有一至少有一个个不存不存在在第第二二类类根据：根据：)()()(000 xfxfxf 处函数值后处函数值后, 可得到一个新的连续函数。可得到一个新的连续函数。在且相等在且相等, 即极限存在即极限存在, 经过补充定义间断点经过补充定义间断点可去间断点的特点是该处的左、右极限存可去间断点的特点是该处的左、右极限存 补充定义补充定义f * (x) =)(lim0 xfxx, x = x0 , )(0 xxxf为连续函数为连续函数，xx cot,tan在各自定义域内连续在各自定义域内连续.三、连续函数的运算法则三、连续函数的运算法则定理定理 在某点连续的在某点连续的有限个

16、有限个函数函数上连续，上连续，在在),(cos,sinxx积积 ,商商(分母分母0) 运算运算,结果仍是在该点连续的函数结果仍是在该点连续的函数 .例如：例如：经经有限次有限次和和 , 差差 , xx csc,sec1. 四则运算的连续性四则运算的连续性利用极限的四则运利用极限的四则运算法则可以证明：算法则可以证明：结论：结论：三角函数在其定义域内连续三角函数在其定义域内连续.2. 反函数的连续性反函数的连续性 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. .3. 复合函数的连续性复合函数的连续性 ).(lim)()(lim,)(,)(lim000 x

17、fafxfaufaxxxxxxx 则则有有连连续续在在点点函函数数若若Proof. ,)(连连续续在在点点auuf .)()(, 0, 0成成立立恒恒有有时时使使当当 afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00时时使使当当对对于于 xx.)(成立成立恒有恒有 auax将上两步合起来将上两步合起来:,0, 0, 00时时使使当当 xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 当函数连续时，极限符号与函数符号可以交换位置当函数连续时，极限符号与函数符号可以交换位置!xxxxee202sinlimsin0lim10 e求xx

18、e2sin0lim例例1解求求xxxxsinlnlim0y = ln u 在其定义域内连续在其定义域内连续, 0 sin处无定义在点xxxu, 1sinlim 0 xxx但故故xxxsinlnlim001ln sinlim ln0 xxx（ y = ln u 在在 u = 1 处连续）处连续）例例2解解例例3 3.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx eln 解解0ln(1)lim1xxx例例4 4.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原原式式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时

19、当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 四四.初等函数的连续性初等函数的连续性 (1)基本初等函数在其定义域内是连续的基本初等函数在其定义域内是连续的.三角函数的连续性三角函数的连续性: ),(sin内内连连续续在在 xy ),(cos内内连连续续在在 xy-由连续的定义可证由连续的定义可证. xxxycossintan xxxysincoscot xxycos1sec xxysin1csc -由连续性的四则运算可证由连续性的四则运算可证.反三角函数的连续性反三角函数的连续性: 由反函数的连续性得到由反函数的连续性得到. 对数函数的连续性对数函数的连续性:

20、 内内连连续续在在), 0(ln xy-已证已证内连续内连续也在也在), 0(lnlnlog axxya指数函数的连续性指数函数的连续性: xxeyay ,-由反函数的连续性得到由反函数的连续性得到. 幂函数的连续性幂函数的连续性: xexyln -由复合函数的连续性得到由复合函数的连续性得到. (2) 初等函数在其定义区间内是连续的初等函数在其定义区间内是连续的.注意注意:(1)弄清楚定义域弄清楚定义域, 定义区间定义区间, 连续区间的关系连续区间的关系; 并会求并会求 函数的连续区间函数的连续区间.(2)记住初等函数的连续区间即为定义区间记住初等函数的连续区间即为定义区间; 而分段函而分段

21、函 数需考虑分段点的情况数需考虑分段点的情况.(3)利用函数的连续性可求极限利用函数的连续性可求极限.?, sinsin . 7有连续区间吗有连续区间吗的定义域的定义域求求xxyex Solution. 0sin0sinxx, 0sin x), 2, 1, 0( kkx 为所求函数的定义域为所求函数的定义域.故没有连续区间故没有连续区间. 0 , 10 ,sin . 82连续区间连续区间求求 xxxxxyexSolution. ),()(的定义域为的定义域为xf;,sin)(,0连连续续为为初初等等函函数数时时当当xxxfx ;,1)(,02连连续续为为初初等等函函数数时时当当 xxfx, 1

22、)0( f而而, 1sinlim)(lim)00(00 xxxffxx, 1)1(lim)(lim)00(200 xxffxx.0,)(lim0为为间间断断点点即即不不存存在在 xxfx)., 0)0 ,( 和和连连续续区区间间为为.0, 0, 0,cos)( ,. 9处处连连续续在在函函数数取取何何值值时时当当 xxxaxxxfaexSolution.xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要要使使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf, 1 a2 初等函数求

23、极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.是是初初等等函函数数，则则设设)(xf)()()(lim000定定义义区区间间 xxfxfxx例例 .1arcsinlim20 xxx 求求解解,1arcsin)(2为为初初等等函函数数xxxf x=0是它的定义是它的定义区间内的点区间内的点, )0()(lim1arcsinlim020fxfxxxx . 0 ).1, 0( )1(loglim.100 aaxxexax计计算算Solution. xaxaxxxx100)1(loglim)1(loglim )1(limlog10 xxax .ln1logaea .1)ln(lim.110 xexexx

24、 计计算算Solution. xexx)1ln(lim0 原式原式exexex10)1ln(lim xexexe)1ln(lim10 )1(limln10 xexexe .1ln1eee .1)1(lim.120 xxexax 计计算算Solution. ,1)1(uxa 令令,1)1(uxa ),1ln()1ln( uxa 则则. 0,0 ux时时且且xuxxxax00lim1)1(lim )1ln()1ln(lim0uxaxux xxuuax)1ln()1ln(lim0 . a 若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若| )(|xf

25、、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？ 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都都连连续续. 但反之不成立但反之不成立. 0, 10, 1)( xxxf如如在在00 x不不连连续续 但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续 Solution. )(xf在在0 x连续，连续， )()(lim00 xfxfxx )()()()(0 00 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx )(02xf 思考题思考题内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx 0)()(lim000 x

26、fxxfx)()()(000 xfxfxf左连续左连续右连续右连续. 20 x第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型. 10 x在点在点连续的等价形式连续的等价形式其它间断点其它间断点)(xf)(xf3. 基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续初

27、等函数在初等函数在定义区间内定义区间内连续连续说明说明: 分段函数在分段点处是否连续需讨论其分段函数在分段点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质 .最大值和最小值定理最大值和最小值定理一一定义定义:.)()()()()()()(,),( 0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 并不是每一个函数都有最值并不是每一个函数都有最值. . 1, 12, 0 sin 最最小小值值上上有有

28、最最大大值值在在闭闭区区间间 xy.)1 , 0( 内没有最值内没有最值在开区间在开区间而而xy 定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) )在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. .如图所示如图所示ab2 1 xyo)(xfy 注意注意: (1)证明从略证明从略. (2)定理为充分条件定理定理为充分条件定理, 条件缺一不可条件缺一不可, 否则就有可能否则就有可能 没有最值没有最值. xyo2 )(xfy xyo)(xfy 211定理定理 ( (有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界定在

29、该区间上有界. . f (x) 在在 a, b 上可取到它的最大值上可取到它的最大值 M 和和 f (x) C ( a, b )故故 m f (x) M , x a, b,| f (x) | M* , x a, b,令令 M* = max |m|, | M| , 则则即即 f (x) 在在 a, b 上有界上有界.最小值最小值 m ,证证定理定理 ( 零点定理零点定理 )，且且若若,)(baCxf 至少存在一点至少存在一点, ),(ba 使使.0)( f0)()( bfaf( 证明略证明略 )定义定义 如果如果, 0)(0 xf则称则称0 x为为 f (x) 的零点的零点.二、零点定理与介值定

30、理二、零点定理与介值定理.),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf ,4,0)(上上连连续续在在闭闭区区间间xf13 xex至少有一个不超过至少有一个不超过 4 的的 证证证明方程证明方程令令，1)(3 xexxf且且 )0(f13 e )4(f1434 e0 e 3由零点定理由零点定理 , 知知, )4,0( ,0)( f原命题得证原命题得证 .显然显然正根正根 .0 使使4, 0 x例例2 证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxF( )( )F af aa知, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即例例3 ( )f x在闭区间在闭区间a,b上连续，且对上连续，且对 x a,b，有，有 若函数若函数( )( , )f xa b，则，则 在在a,b上至少有一个不动点，即上至少有一个不动点，即( )f x至少存在一点至少存在一点(a,b)，使，使( ).f( )( , ),f xa b因即( )af xb， x a,b定定理理 ( 介值定理介值定理 )设设 , ,)(baCxf 且且,)(Aaf ,)(BABbf 则对则对 A 与与 B 之间的之间的任一数任一数 C , 至少有一点至少有一点, ),(ba 证证 作