热力学与统计物理学第七章 量子统计

1、热力学与统计物理学第七章热力学与统计物理学第七章 量子统量子统计计4第七章：量子统计第七章：量子统计 一、 玻色子和费米子玻色子和费米子 二、二、量子分布律量子分布律 三、三、理想费米气体理想费米气体 四、四、理想玻色气体理想玻色气体小结和习题课小结和习题课 动机和目标57.1 玻色子和费米子玻色子和费米子波函数具有反对称性。自旋为半整数费米子：波函数具有对称性；自旋为整数玻色子：),23,21(), 2, 1, 0(nn自然界中的所有粒子，按照交换全同粒子时它们波自然界中的所有粒子，按照交换全同粒子时它们波函数的行为，能被分类为以下两组中的一个。函数的行为，能被分类为以下两组中的一个。 基基

2、 本本 粒粒 子子费米子：电子、质子、中子等；费米子：电子、质子、中子等；玻色子：光子、玻色子：光子、 介子、介子、K K介子等；介子等；复合粒子：构成部分的自旋相加来判断属性。复合粒子：构成部分的自旋相加来判断属性。6。费米子反对称波函数号，要么波函数变一个符函数，玻色子对称波要么保持波函数不变效应是这表明交换两个粒子的。故算符满足：，有用在两粒子波函数之上再一次完成交换算符作下功能：代表交换算符，其有如位置。用分别是两个粒子的和，这里设粒子的波函数为),()(:1, 1),(),(),(),(),(),(2211221212212121PPrrrrPrrPrrrrPPrrrr一个态。两个费

3、米子不能占据同表示一个零概率态，即成立。当且仅当。这导致的结果是相同的态，所以，又因为两个粒子具有，交换粒子有则波函数写作具有相同的态，位置。假设两个粒子在相同让我们来看费米子情况00),(),(),(;),(rrrrrrPPrrr7泡利不相容原理：泡利不相容原理：对于玻色子，在一个量子态能有任何数目的粒子；对于玻色子，在一个量子态能有任何数目的粒子；对于费米子，在一个量子态仅能有对于费米子，在一个量子态仅能有0个或个或1个粒子。个粒子。W. Pauli，1900-1958，获，获1945年诺贝尔物理学奖。年诺贝尔物理学奖。8第七章：量子统计第七章：量子统计 一、 玻色子和费米子玻色子和费米子

4、 二、量子分布律二、量子分布律 三、三、理想费米气体理想费米气体 四、四、理想玻色气体理想玻色气体小结和习题课小结和习题课97. 2 7. 2 费米费米- -狄拉克分布和玻色狄拉克分布和玻色- -爱因斯坦分布爱因斯坦分布一、量子统计的出发点一、量子统计的出发点,g), 2 , 1 , 0(210210iiNNNNNiii一种分配的个粒子按单粒子能级量子态，现有个上有，能级设一个系统的能级为二、量子系统的微观态数二、量子系统的微观态数 1）费米系统的微观态数）费米系统的微观态数粒子不可分辨（编号），每一个量子态只能容纳一粒子不可分辨（编号），每一个量子态只能容纳一个粒子。个粒子。10例如：的微观

5、态数：费米系统对应于分布种可能的方式。那么，个为粒子所占据，有个量子态中挑出从相当于个量子态上的个粒子占据能级iiiiiiFDiiiiiiiiiiiNgNgNNNgNgNNggN)!( !W)!( !g),(i35! 3 ! 4! 7!)!(!3W, 7g3iiiiiFDiiNNggNN是则这个能级上的微观态，若某个能级上，112 2）玻色系统的微观态数）玻色系统的微观态数粒子不可分辨（编号），每一个量子态容纳的粒子数粒子不可分辨（编号），每一个量子态容纳的粒子数不受限制。不受限制。76512348984! 3 ! 6! 9!)!1()!1(3W, 7g3BEiiiiiiiNggNNN是则这个

6、能级上的微观态，若某个能级上，例如例如：iiiiiiBEiiiigNgNNWgNgN)!1( !)!1() 1() 1(1态的结果之间交换不引起新微观去除粒子之间、量子态！方式；然后个，将它们排列共有总数是，其余的量子态和粒子最左边固定为量子态12三、费米三、费米-狄拉克分布和玻色狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布爱因斯坦分布iiiiiiiBEiFDgegNgeNWNii11n)(11NW)(00)(0玻色系正号为费米系，负号为求极值。样的拉格朗日乘子法，与经典玻耳兹曼统计一束条件下，数和内能守恒的两个约的自然对数，在总粒子和统的微观状态数考虑费米系统和玻色系讨论：为了保证分布函数对任何能级恒正，

7、对于为了保证分布函数对任何能级恒正，对于玻色系统，化学势应为负值（相当于该系统具有玻色系统，化学势应为负值（相当于该系统具有吸引粒子的功能）；对于费米系统，化学势可正吸引粒子的功能）；对于费米系统，化学势可正可负。可负。13【例7.1】经典玻耳兹曼统计玻色统计：费米统计：。同能量的几种不同情况是简并度，即系统取相式中，解：的配分函数和内能。和经典玻耳兹曼统计时求粒子遵从费米、玻色）。（体系，粒子可占据能级由两个全同粒子组成的)(43621e323Z)(3421221Z)(2 , 1 , 0nn32432232nnceeeeZZZEeeebeeeZZZEeeeaeZnEnn147. 2. 1 量

8、子热力学函数的统计表达式量子热力学函数的统计表达式egTkegNNgB1lnlnXi,e1VT,1,Tk1-B0的大写）是读（函数量可变），定义巨配分固定系统（粒子数和能对于为玻色系统。为费米系统，式中，粒子数为统在平衡态下，平均总理想费米和玻色气体系ln1,lnN,lnegE过求导而给出：平均总粒子数和内能通基于15lnlnlnlnlnlnlnlnlnlnTkGFTkTkNNGTkTSEFkSdkdSdNpdVdUTdSBBBBBB注意：注意：的形式不同。差别在于体和玻色气体都成立，以上公式对理想费米气学量；由它可以确定所有热力其微分势为特性函数，力学势为自变量的系统，巨热对于以ln)2(,

9、pdVT),() 1 (dNSddVT16-3-2-101230.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0N0j/gjMaxwell-BoltzmannFermi-DiracBose-Einstein ()/kBT7.2.2 量子量子F-D、B-E分布与经典分布与经典M-B分布的比较分布的比较统计统计，统计，BM,0B1DF11)(/ )(0EaaegNnTkjjjBj177.2.3 量子统计向经典统计过渡的条件量子统计向经典统计过渡的条件e2)2(2e22e)()(1e, 0e)(n,1e,N2/32032/332/30)-(00i)-(00ihTmkVdehmVdhm

10、VdDnNgBii必须粒子态都成立，包括要是以上条件对所有单子数为则平均每个相格内的粒粒子能量取连续化，经典统计法这时量子统计法过渡到即在量子统计分布中当满足稀薄气体条件：）（18统计过渡的条件。这就是量子统计向经典121e232-hTmknBclassical gas, (V/N)1/3quantum gas, (V/N)1/3(V/N)1/3讨论：讨论：。电子：简并温度：并；但不是很大，称为弱简为简并或退化系统，满足以上条件的系统称量子统计成立的条件，是粒子的平均活动尺度)K0110(2T) 3(1n)2(:2h) 1 (433/22*33/12/13/1nmkhNVTmkNVBB19第七

11、章：量子统计第七章：量子统计 一、 玻色子和费米子玻色子和费米子 二、二、量子分布律量子分布律 三、理想费米气体三、理想费米气体 四、四、理想玻色气体理想玻色气体小结和习题课小结和习题课207. 3 7. 3 理想费米气体理想费米气体原子中的原子核、金属中的电子等都可以看成理想费米气体，它在天体物理也很重要。本节研究T0K极限情况。7.3.1 费米能为止。个费米子填充到费米能系统中有是一阶梯函数，在称为费米能，记作的化学势是温度相关的化学势，值范围右端称为费米函数，取数为个量子态所占据的粒子在连续近似下，平均每NffKTffegNnTkB)0(, 0)0(, 1)()(,0)0()0(K0T,

12、 1)(0)(11)()()(F/ )(210.00.51.01.52.00.000.250.500.751.001.25T=0.2TF T=0 f()/费米函数费米函数费费 米米 面面称为费米面。的等能面是一个球面，能量等于费米能从动量空间来看，：自由电子的能量表达式F222,m21zyxppp22费米能的确定现考虑自旋为1/2的自由粒子，例如电子，简并度为2，则在+d能隙的状态数等于3/222/32/32)0(0)0(02/12/3202/12/322/33832)0()0(23824)(1N,)()(242342)(VNmhhmVdhmVdgNdgfdhmVdmVddhdg解出费米能：有

13、粒子数守恒：23费费 米米 温温 度度3/22832T)0(VNmkhTkBFB则定义费米温度：，令自由电子气的总能量自由电子气的总能量)0(53)0(5383103)(10003/22)0(00NENVNNmhdgEKT量等于一个自由电子的平均能自由电子气的总能量为时，在24(T)Fermi levelFermi sea应用到金属应用到金属一、金属模型一、金属模型组成金属的原子组成金属的原子=离子实离子实(金属晶体金属晶体)+价电子价电子(电子气电子气)金属中的电子看成理想费米子。金属中的电子看成理想费米子。电子质量轻、密度大，它是简并气体、量子效应强电子质量轻、密度大，它是简并气体、量子效

14、应强25二、自由电子气行为二、自由电子气行为K65000KeV1061. 8eV6 . 5eV6 . 5832)0(m109 . 5molkg10107mol1002. 6mkg105 .10.mkg105 .10,107)(2,153/22F32813-12333332BFFkTVNmhmNVmVNmpVNnV费米温度费米能：银的密度，原子量为单价电子金属银电子能谱连续，常量的热力学极限下，且，在，其内的电子数为一块金属的体积为26三、为什么自由电子气对金属热容量无贡献三、为什么自由电子气对金属热容量无贡献;104)(,104) 1 (106)(,102 . 822dU0T3354F22eR

15、NkTkCNNTkNTkTNkCKkTkNkTTNkdTCKTTBFBVFBBBVBFBBFBF对金属热容贡献为：它们电子数目的估计是到费米面以外，这部分被激发附近薄层的电子有可能面以下当温度升高，仅有费米：这个值很小，原因在于，电子气的例如对金属铜，热力学行为计算：的费米气体用），电子气体的热容利极低温（27有贡献。的自由电子对金属热容化，所以只有量子简并金属晶格上被固而在极低温，原子实在气对金属热容无贡献，则室温下，电子对自由电子可看成室温但是实验结果是两者之和等于和的热容分别是个平方项能量中有和简谐晶格分定理，三维自由电子在室温下，根据能量均KTKTRR0)300()3(;R3,R29,

16、323)6()2(28第七章：量子统计第七章：量子统计 一、 玻色子和费米子玻色子和费米子 二、二、量子分布律量子分布律 三、三、理想费米气体理想费米气体 四、四、理想玻色气体理想玻色气体小结和习题课小结和习题课297. 4 7. 4 理想玻色气体理想玻色气体BEC: 在T=0K, 全部粒子都转换到仅与动量相关的最低能级，这个发生在动量（速度）空间的现象称为玻色-爱因斯坦凝聚。玻色子：自旋为整数的量子粒子，能够占据单粒子态而不受玻色子：自旋为整数的量子粒子，能够占据单粒子态而不受泡利不相容原理限制。泡利不相容原理限制。质量大、无相互作用、极低温情况质量大、无相互作用、极低温情况。30数对的！所

17、以基态的粒子给基态零权重。这是不正比于度的基态上，但以上态密在在低温下，大量粒子是。表示粒子的自旋简并度的单粒子态数为在能量间隔自由粒子能量为只考虑玻色子的平动，,022)(gd,22/12/12/322ssdhmVdmp312/3202/12/32s/000/ )(2/12/32002612. 2122, 1)/(exp010122hTmkVdxexhTmkVNTkKeNNehmVNNNNBsxBBTksTksBB子数那么所有激发态上的粒，当温度接近）的粒子数，是基态（式中用求和计算：从总粒子数中挑出来，32.,003. 0T612. 22,03/22NNKTTKVNmkhTTTNNBBsB

18、BB直到的数增加；态下降，则玻色子占据基低于其意义在于：若温度从）（典型值结果为令二、玻色温度二、玻色温度330.00.51.01.52.02.50.00.51.01.5N0/NN/N T/TB三、基态粒子数随温度的变化三、基态粒子数随温度的变化2/3011BTTNNNN色子占总数之比是有限温度下，基态的玻玻色玻色- -爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚发生在动量空间，即粒子以一定的发生在动量空间，即粒子以一定的动量凝聚在一起。它是一种相变（无相互作用）。动量凝聚在一起。它是一种相变（无相互作用）。34 玻色-爱因斯坦凝聚态 玻色玻色- -爱因斯坦凝聚态爱因斯坦凝聚态 玻色-爱因斯坦凝聚态 玻色-爱因斯

19、坦凝聚态 玻色-爱因斯坦凝聚态 357.4.3 7.4.3 应用到光子和声子应用到光子和声子一、光子气体一、光子气体光波是电磁波，因此电磁场是由大量独立的光子组成的理想光波是电磁波，因此电磁场是由大量独立的光子组成的理想气体。气体。例如封闭在空腔中的电磁辐射可看成一箱光子气体例如封闭在空腔中的电磁辐射可看成一箱光子气体。(1)光子是自旋为光子是自旋为1的玻色子，光子气体可看成理想玻色气体；的玻色子，光子气体可看成理想玻色气体；(2)光子的简并度等于光子的简并度等于2，这是因为它有两种偏振态；，这是因为它有两种偏振态；(3)光子的能量为：光子的能量为： =cp=h=cp=h（静止质量为零）；（静

20、止质量为零）；(4)(4)光子的化学势等于零（光子的化学势等于零（光子气体处于平衡态时，总粒子不光子气体处于平衡态时，总粒子不 守恒守恒）。）。（板书推导）（板书推导）36黑体平衡辐射的能量密度，即普朗克公式：黑体平衡辐射的能量密度，即普朗克公式：dehcdTh2318),(37 在高温低频区域，在高温低频区域，hk_BT，普朗克公式过渡到瑞利，普朗克公式过渡到瑞利-金斯公式金斯公式 过渡到维恩公式过渡到维恩公式：dTkcdTB238),(dehcdTTkhB/338),(0246810120.00.51.01.52.02.53.0WienPlanck (,T)h/kBTRayleigh-Jeans38二、声子气体二、声子气体 声子概念的建立声子概念的建立 固体行为是组成它的原子或离子集体作振动的结果。固体行为是组成它的原子或离子集体作振动的结果。 声子为固体作正则振动的能量量子，