控制系统的时域分析法

1、1 分析和设计控制系统分析和设计控制系统的首要任务是建立系统的数学模型。的首要任务是建立系统的数学模型。一旦获得合理的数学模型，就可以采用不同的分析方法来一旦获得合理的数学模型，就可以采用不同的分析方法来分析系统的性能。分析系统的性能。时域分析法在时域分析法在时间域内时间域内研究系统在研究系统在的作用下的作用下，其其随时间变化规律的方法。对于任何一个随时间变化规律的方法。对于任何一个稳定稳定的控的控制系统，输出响应含有瞬态分量和稳态分量。制系统，输出响应含有瞬态分量和稳态分量。233.1 3.1 时间响应性能指标时间响应性能指标3.2 3.2 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应3.3 3.3

2、 二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应3.4 3.4 系统的稳定性分析系统的稳定性分析3.5 3.5 系统稳态性能分析系统稳态性能分析4 工程实际中，有些系统的输入信号是已知的（如恒值工程实际中，有些系统的输入信号是已知的（如恒值系统），但对有些控制系统来说，常常不能准确地知道其系统），但对有些控制系统来说，常常不能准确地知道其输入量是如何变化的（如随动系统）。输入量是如何变化的（如随动系统）。 因此，为了方便系统的分析和设计，使各种控制系统因此，为了方便系统的分析和设计，使各种控制系统有一个进行比较的统一的基础，需要选择一些典型试验信有一个进行比较的统一的基础，需要选择一些典型试验信号作为系

3、统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的号作为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的响应。响应。 常用的试验信号有常用的试验信号有阶跃信号、斜坡信号、抛物线信号、阶跃信号、斜坡信号、抛物线信号、脉冲信号及正弦信号。脉冲信号及正弦信号。这些信号都是简单的时间函数，并这些信号都是简单的时间函数，并且易于通过实验产生，便于数学分析和试验研究。且易于通过实验产生，便于数学分析和试验研究。 阶跃函数阶跃函数 阶跃函数的定义是阶跃函数的定义是000)(ttAtr 对系统输入阶跃函数就是在对系统输入阶跃函数就是在t=0t=0时，给系统加上一时，给系统加上一个恒值输入量，如图所示。个恒值输入量，如图所

4、示。 若若A=1A=1，称为单位阶跃函数，记作，称为单位阶跃函数，记作1(t)1(t) 0001)(1 ttt阶跃函数的拉氏变换为阶跃函数的拉氏变换为sAesAdteAtrLsRstst00|)()(单位阶跃函数的拉氏变换为单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/sR(s)=1/s。其包含了初始越变。其包含了初始越变和后续恒值部分，可较好的观察系统的快速性和准确性和后续恒值部分，可较好的观察系统的快速性和准确性A A0 0t t5斜坡函数斜坡函数斜坡函数也称等速度函数斜坡函数也称等速度函数。其定义为。其定义为 输入斜坡函数相当于对系统输入一个随时间作等速变化输入斜坡函数相当于对系统输入一个随时间

5、作等速变化的信号，其图形如图所示。的信号，其图形如图所示。 若若A=1,A=1,则称之为单位斜坡函数则称之为单位斜坡函数。斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分。斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分。斜坡函数的拉氏变换为斜坡函数的拉氏变换为单位斜坡函数的拉氏变换为单位斜坡函数的拉氏变换为R(s)=1/sR(s)=1/s2 2 ，该信号的恒速变化可以用来，该信号的恒速变化可以用来检验一般随动系统的跟随能力。检验一般随动系统的跟随能力。 000)( ttAttr 0200|)()(sAdtesAesAtdtAtetrLsRstststA10t6抛物线函数抛物线函数抛物线函数也称加速度函数抛物线函数也称加速度

6、函数，其定义为，其定义为 输入抛物线函数相当于对于系统输入一个随时间做输入抛物线函数相当于对于系统输入一个随时间做等加速变化的信号，其图形如图所示。等加速变化的信号，其图形如图所示。 若若A=1,A=1,称之为单位抛物线函数称之为单位抛物线函数。 抛物线函数等于斜坡函数对时间的积分。抛物线函数等于斜坡函数对时间的积分。抛物线函数的拉氏变换为抛物线函数的拉氏变换为单位抛物线函数的拉氏变换为单位抛物线函数的拉氏变换为R(s)=1/sR(s)=1/s3 3，该信号的快速变化可以用来该信号的快速变化可以用来检验较快随动系统的跟随能力。检验较快随动系统的跟随能力。 000221tAtttr)(3st00

7、st20st221sAdtesAtets2AdteAttrLsR |)()(t10A217 脉冲函数脉冲函数脉冲函数的定义为脉冲函数的定义为脉冲函数在理论上（数学上的假设）是一个脉宽无穷小，脉冲函数在理论上（数学上的假设）是一个脉宽无穷小，幅值无穷大的脉冲。在实际中，只要脉冲宽度幅值无穷大的脉冲。在实际中，只要脉冲宽度 极短即可极短即可近似认为是脉冲函数。如图所示。近似认为是脉冲函数。如图所示。脉冲函数的积分，即脉冲的面积为脉冲函数的积分，即脉冲的面积为 t0t0t0Atr和)(AtAdtAdttr0000 |limlim)(0 0t t A A A A用来表示冲击作用的强度；理想的单位脉冲信

8、号实际上用来表示冲击作用的强度；理想的单位脉冲信号实际上是不存在的，只具有数学意义。是不存在的，只具有数学意义。任意形式的外作用可以看任意形式的外作用可以看作是在不同时刻存在的，强度不同的无限多个脉冲函数的作是在不同时刻存在的，强度不同的无限多个脉冲函数的叠加。叠加。89 （t t）函数的图形如右图所示。）函数的图形如右图所示。 脉冲函数的积分就是阶跃函数。脉冲函数的积分就是阶跃函数。 脉冲函数的拉氏变换为脉冲函数的拉氏变换为 单位脉冲函数的拉氏变换为单位脉冲函数的拉氏变换为R(s)=1R(s)=1。实际系统中，。实际系统中，脉冲输入表示在极短时间内对系统提供能量，以及之后脉冲输入表示在极短时

9、间内对系统提供能量，以及之后能力只有释放的过程。能力只有释放的过程。 0st00st0stAdtetAdtetAdtetAtrLsR)()()()()( t t0 0 (t)(t)1 1当当A=1A=1时，即面积为时，即面积为1 1的脉冲函数称的脉冲函数称为单位脉冲函数为单位脉冲函数，记为，记为 (t)(t) t0t0t01t,/)( 正弦函数正弦函数正弦函数也称谐波函数正弦函数也称谐波函数，表达式为，表达式为用正弦函数作输入信号，可求得系统对不同频率的用正弦函数作输入信号，可求得系统对不同频率的正弦输入的稳态响应。正弦输入的稳态响应。正弦输入的拉氏变换为正弦输入的拉氏变换为 0t00ttAS

10、intr )(220tjs0tjs0sttjtj0stsAjs1js1j2Ajsejsej2Adteeej2AdtteASintrLsR |)()()()()(1011如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐增加的信如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐增加的信号，则选用斜坡函数较合适；号，则选用斜坡函数较合适；如果作用到系统的输入信号大多具有突变性质时，则选如果作用到系统的输入信号大多具有突变性质时，则选用阶跃函数较合适。用阶跃函数较合适。需要注意的是，需要注意的是，不管采用何种典型输入型号，对同一系不管采用何种典型输入型号，对同一系统来说，其过渡过程所反应出的系统特性应是统一的。统来说，

11、其过渡过程所反应出的系统特性应是统一的。这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制系统的性这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制系统的性能。此外，在选取试验信号时，除应尽可能简单，以便能。此外，在选取试验信号时，除应尽可能简单，以便于分析处理外，还应选择那些能使系统工作在最不利的于分析处理外，还应选择那些能使系统工作在最不利的情况下的输入信号作为典型实验信号。情况下的输入信号作为典型实验信号。 本章主要讨论控制系统在阶跃函数、斜坡函数、脉本章主要讨论控制系统在阶跃函数、斜坡函数、脉冲函数等输入信号作用下的输出响应。冲函数等输入信号作用下的输出响应。12延迟时间延迟时间t td d：响应曲线第一

12、次达到其稳态值一半所需时间。响应曲线第一次达到其稳态值一半所需时间。上升时间上升时间t tr r：响应从稳态值的响应从稳态值的10%10%上升到稳态值上升到稳态值90%90%所需时间；所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到稳态值对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到稳态值所需时间。上升时间是响应速度的度量。所需时间。上升时间是响应速度的度量。 p p t tr r0.50.5 y y( (t t) )t td d t tp p0 01 1 t ts st t稳态误差稳态误差13峰值时间峰值时间t tp p：响应超过其稳态值到达第一个峰值所需时间。：响应超过其稳态值到达第一个峰

13、值所需时间。 调节时间调节时间t ts s：响应到达并保持在稳态值内所需的最小时间。：响应到达并保持在稳态值内所需的最小时间。 （误差带（误差带一般取一般取 5% 5%或或 2% 2%），反映系统的快速性），反映系统的快速性 超调量超调量 % %：响应的最大偏离量：响应的最大偏离量h(th(tp p) )与稳态值与稳态值h()h()之差的百之差的百分比，即分比，即 其反映系统的平稳性其反映系统的平稳性%100)()()(% hhthp p p t tr r0.50.5 y y( (t t) )t td d t tp p0 01 1 t ts st t稳态误差稳态误差 稳态性能：稳态性能：由由稳

14、态误差稳态误差e essss描述，即当时间描述，即当时间t t趋于无穷时，趋于无穷时，响应曲线的实际值（即稳态值）与期望值之差，其反映系响应曲线的实际值（即稳态值）与期望值之差，其反映系统复现输入信号的最终精度。统复现输入信号的最终精度。14 由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统. . 典型闭典型闭环控制一阶系统如图所示环控制一阶系统如图所示. .其中其中 是积分环节，是积分环节，T T为它的为它的时间常数。时间常数。Ts1一阶系统的结构图一阶系统的结构图C(s)C(s)- -R(s)R(s)Ts11Ts1Ts11Ts1sRsCs )/()/()()()(典

15、型的一阶系统是一个惯性典型的一阶系统是一个惯性环节环节, , 输出为输出为)()().()(sR1Ts1sRssC q一般地，将微分方程为一般地，将微分方程为 传递函数为传递函数为 的系统叫做一阶系统。的系统叫做一阶系统。T T的含义随系统的不同而不同。的含义随系统的不同而不同。)()()(trtcdttdcT 11)()( TssRsC15)()()(tutudttduCRrcc TssCRsUsUrc 1111)()(R(s)C(s)E(s)(- -)1/Ts传递函数传递函数: :结构图结构图 ：微分方程微分方程: : R i(t) C)(tur)(tuc如如RCRC电路电路: :在零初始

16、条件下，利用在零初始条件下，利用拉氏反变换拉氏反变换或或直接求解微分方程直接求解微分方程，可以求得一阶系统在典型输入信号作用下的输出响应。可以求得一阶系统在典型输入信号作用下的输出响应。16s1sR )(T1s1s1s11Ts1sC .)(Tte1tC )()(0t 实际中，常以输出量达到稳态值的实际中，常以输出量达到稳态值的95%95%或或98%98%的时间的时间作为系统的响应时间（即调节时间）作为系统的响应时间（即调节时间）, ,这时输出量与稳态这时输出量与稳态值之间的偏差为值之间的偏差为5%5%或或2%2%。在整个工作时间内，系统响应。在整个工作时间内，系统响应都不会超过稳态值。由于该响

17、应曲线具有非振荡特征，都不会超过稳态值。由于该响应曲线具有非振荡特征，故也称为非周期响应，如下图所示。故也称为非周期响应，如下图所示。 设系统的输入为单位阶跃函数设系统的输入为单位阶跃函数r(t) = 1(t) ,r(t) = 1(t) ,其拉氏变其拉氏变换为换为 , ,则输出的拉氏变换为则输出的拉氏变换为v 当初始条件为零时，一阶系统单位阶跃响应的变当初始条件为零时，一阶系统单位阶跃响应的变化曲线是一条单调上升的指数曲线。化曲线是一条单调上升的指数曲线。17图中指数响应曲线的初始（图中指数响应曲线的初始（t=0t=0时）时）斜率为斜率为 . . 实际上，响应曲线的斜率是不断实际上，响应曲线的

18、斜率是不断下降的，经过下降的，经过T T 时间后，输出量时间后，输出量C C（T T）从零上升到稳态值的从零上升到稳态值的63.2%63.2%。经过。经过3T3T4T4T时，时，C C（t t）将分别达到稳态值）将分别达到稳态值的的95%95%98%98%。可见，时间常数。可见，时间常数T T反应反应了系统的响应速度，了系统的响应速度，T T越小，输出响越小，输出响应上升越快，响应过程的快速性也越应上升越快，响应过程的快速性也越好。好。斜率斜率T11C(t)0.95T3T0.632 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应T1 系统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定，将测得系统单位阶跃响应

19、曲线可用实验的方法确定，将测得的曲线与上图作比较，就可以确定该系统是否为一阶系统的曲线与上图作比较，就可以确定该系统是否为一阶系统或等效为一阶系统。或等效为一阶系统。18)()(0te1tctT1 j 0p=-1/TS平面平面(a) 零极点分布零极点分布 c(t)0.6320.8650.950.982初始斜率为初始斜率为1/1/T T c(t)=1-e-t/T0 tT2T3T4T1(b) 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线特点：特点：1 1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；2 2）初始斜率为）初始斜率为1/T1/T； 3 3）无峰值时间，无超调；

20、稳态误差）无峰值时间，无超调；稳态误差e essss=0 =0 。性能指标：性能指标：延迟时间：延迟时间：t td d=0.69T=0.69T 上升时间：上升时间：t tr r=2.20T=2.20T 调节时间：调节时间：t ts s=3T (=3T (=0.05) =0.05) 或或 t ts s=4T (=4T (=0.02) =0.02) 输入输入r(t)=1(t)r(t)=1(t)，输出，输出 19式中，式中，t-Tt-T为稳态分量，为稳态分量， 为瞬态为瞬态分量，当分量，当tt时，瞬态分量指数衰时，瞬态分量指数衰减到零。一阶系统的单位斜坡响应减到零。一阶系统的单位斜坡响应曲线如图所示

21、。曲线如图所示。T1sTsTs1s11Ts1sC22 )(TtTtTtTeTte1TtTeTttC )()(TtTe 设系统的输入为单位斜坡函数设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=tr(t)=t，其拉氏变换为，其拉氏变换为 则输出的拉氏变换为则输出的拉氏变换为2s1sR/)( 20 显然，系统的响应从显然，系统的响应从t=0t=0时开始跟踪输入信号时开始跟踪输入信号而单调上升，在达到稳态后，它与输入信号同速增而单调上升，在达到稳态后，它与输入信号同速增长，但它们之间存在跟随误差。即长，但它们之间存在跟随误差。即且且 可见，可见，当当t t趋于无穷大时，误差趋近于趋于无穷大时，误差趋近于T T，

22、因此，因此系统在进入稳态以后，在任一时刻，输出量系统在进入稳态以后，在任一时刻，输出量c (t) c (t) 将小于输入量将小于输入量r(t)r(t)一个一个T T值，值，时间常数时间常数T T越小，系统越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。)1 ()()()( TteTtctrteTtet )(lim稳态误差稳态误差e essss=T=T，初始斜率，初始斜率=0=0，稳态输出斜率，稳态输出斜率=1 .=1 .21系统的单位脉冲响应就是系统闭环传系统的单位脉冲响应就是系统闭环传递函数的拉氏反变换递函数的拉氏反变换T1sT11Ts1SC )(设系统的输入为单

23、位脉冲函数设系统的输入为单位脉冲函数r(t) = (t),r(t) = (t),其拉氏变其拉氏变换为换为R(s)=1, R(s)=1, 则输出响应的拉氏变换为则输出响应的拉氏变换为TteTtC1)(对上式进行拉氏反变换，求得单对上式进行拉氏反变换，求得单位脉冲响应为位脉冲响应为T1T121T响应曲线如图所示。响应曲线如图所示。22输入输入 r(t)= (t)，输出，输出)()(0teT1tctT1 t0.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率为初始斜率为0.368/T0.05/T0t/TeT1c(t) T1g(t)(c) 单位脉冲响应曲线单位脉冲响应曲线2T1 特点：特点： 1) 1)

24、 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；可以用时间常数去度量系统的输出量的数值； 2) 2) 初始斜率为初始斜率为-1/T-1/T2 2； 3) 3) 无超调；稳态误差无超调；稳态误差e essss=0 =0 。23 按照脉冲函数，阶跃函数、斜坡函数的顺序，前者按照脉冲函数，阶跃函数、斜坡函数的顺序，前者是后者的导数，而后者是前者的积分。是后者的导数，而后者是前者的积分。 脉冲响应、阶脉冲响应、阶跃响应、斜坡响应之间也存在同样的对应关系。表明：跃响应、斜坡响应之间也存在同样的对应关系。表明：0.368C(t)3TT1T1斜率斜率21TC(t)T2T 一阶系统的脉冲响应一阶系统的脉冲响应线性定

25、常系统的一个重要特征线性定常系统的一个重要特征系统对某种输入信号导数的响应，等于对该输入信号响系统对某种输入信号导数的响应，等于对该输入信号响应的导数；对某种输入信号积分的响应，等于系统对该应的导数；对某种输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分。输入信号响应的积分。21TT1单位脉冲响应是单调下降的指数曲线，单位脉冲响应是单调下降的指数曲线，曲线的初始斜率为曲线的初始斜率为输出量的初始值为输出量的初始值为 不存在稳态分量不存在稳态分量. .24Tte1tC )()0(t)( 1)(ttrTteT1tC )()()(ttr )1 ()(TtTteTtTeTttCttr)(q结论：结论

26、： 一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关。只要时间常数T小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数。 线性系统对输入信号导数（积分）的响应，等于系统对输入信号响应的导数（积分）。这是线性定常系统的一个重要性质，不仅适用于一阶线性定常系统，也适用于高阶线性定常系统。因此，研究线性定常连续控制系统的时间响应，可以只对其中一种典型输入信号，如单位阶跃信号的时间响应进行计算和测定。25 解解: : (1) (1) 与标准形式对比得：与标准形式对比得：T=1/10=0.1, tT=1/10=0.1, ts s=3T=0.3s=3T=0.3s例例3.13.1

27、 某一阶系统如图某一阶系统如图, ,在单位阶跃信号作用下在单位阶跃信号作用下 （1 1）若）若K Kh h=0.1=0.1求调节时间求调节时间t ts s, , （2 2）若要求）若要求t ts s=0.1s,=0.1s,求反馈系数求反馈系数 K Kh h . .10/110101001 . 0)/100(1/100)()(1)()(sssssHsGsGs (2) 要求要求ts=0.1s，即，即3T=0.1s, 即即 , 得得 hhhKsKsKss100/1/1/1001/100)(310K1001h. 30Kh. 0.1C(s)R(s)E(s)100/s(- -) 解题关键：解题关键：化闭环

28、传递函数为标准形式。化闭环传递函数为标准形式。Kh263.3 3.3 二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。在控制在控制工程实践中，二阶系统应用极为广泛，此外，许多高阶工程实践中，二阶系统应用极为广泛，此外，许多高阶系统在一定的条件下可以近似为二阶系统来研究，因此，系统在一定的条件下可以近似为二阶系统来研究，因此，讨论和分析二阶系统的特征具有重要的实际意义。讨论和分析二阶系统的特征具有重要的实际意义。KsTsKsRsCs2)()()()1(TssK设二阶系统的结构图如图所示。设二阶系统的结构图如图所示。系统的闭环传递函

29、数为系统的闭环传递函数为 其中其中K K为系统的开环放大系数，为系统的开环放大系数，T T为时间常数。为时间常数。27式中式中 ，称为无阻尼自然振荡角频率，（简称为无阻尼自振频，称为无阻尼自然振荡角频率，（简称为无阻尼自振频率），率）， 称为阻尼系数（或阻尼比）。称为阻尼系数（或阻尼比）。TKn2222)()()(nnnsssRsCs为了分析方便，将系统的传递函数改写成如下形式为了分析方便，将系统的传递函数改写成如下形式 它的两个根为它的两个根为 二阶系统特征根（即闭环极点）的形式随着阻尼二阶系统特征根（即闭环极点）的形式随着阻尼比比 取值的不同而不同。取值的不同而不同。1Ps2nn2121

30、,0222nnss系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为 TK21283.3.1 3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 设设系统的输入为单位阶跃函数系统的输入为单位阶跃函数，则系，则系统输出响应的拉氏变换表达式为统输出响应的拉氏变换表达式为对上式取拉氏反变换，即可求得二阶系对上式取拉氏反变换，即可求得二阶系统的单位阶跃响应统的单位阶跃响应 。ssssRssCnnn1.2)()()(222（一）（一） 过阻尼（过阻尼（ 1 1 ）的情况）的情况系统具有两个不相等的负实数极点系统具有两个不相等的负实数极点121nnP122nnP1P2P1过阻尼时极点分布过阻尼时极点分布292

31、2110212)()(pspsspspsssCn1)(00sssC121112)()(1ppssCnps222212)()(2ppssCnps)(121)(21221pepetCtptpn )0(t稳态分量为稳态分量为1 1，瞬态分量包含两个衰减指数项，曲线单调上升。，瞬态分量包含两个衰减指数项，曲线单调上升。分析：当分析：当 时，极点时，极点 比比 距虚轴远得多，故距虚轴远得多，故 比比 衰减快衰减快的多，可将二阶系统近似成一阶系统来处理。的多，可将二阶系统近似成一阶系统来处理。 12p1ptpe2tpe11阻尼比阻尼比 1 1 时二阶系统的运动状态为过阻尼状态。时二阶系统的运动状态为过阻尼

32、状态。系统的单位跃响应无振系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差荡、无超调、无稳态误差.30)()(2dndnnjsjsssC22210)(dnsss1P2P21njnn10欠阻尼时的极点分布欠阻尼时的极点分布211nnjp221nnjp( (二二) )欠阻尼（欠阻尼（ ）的情况）的情况系统具有一对在系统具有一对在S S平面的左半部的共轭复平面的左半部的共轭复数极点，数极点，10式中式中 ，称为阻尼自振频率，称为阻尼自振频率21nd11n22102222)()(1)(dnddndnnsssssC31)(221 -dnnss)( 221 -dnds)sin1(cos1)(2ttetCddtn

33、)sincos1(1122tteddtntedtncostedtnsin21sincos1P2P21njnn100)sin(11)(2ttetCdtn21 arctgarccos32 系统的稳态响应为系统的稳态响应为1 1，瞬态分量是一个随时间，瞬态分量是一个随时间t t的增的增大而衰减的正弦振荡过程。振荡的角频率为大而衰减的正弦振荡过程。振荡的角频率为 ，它取决，它取决于阻尼比于阻尼比 和无阻尼自然频率和无阻尼自然频率 。衰减速度取决于。衰减速度取决于 的大小。此时系统工作在欠阻尼状态。输出响应的大小。此时系统工作在欠阻尼状态。输出响应如图所示。如图所示。nd n0)sin(11)(2tte

34、tCdtn33 稳态部分等于稳态部分等于1 1，表明不存在稳态误差；，表明不存在稳态误差； 瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由 n n ( (即特征根实部）决定；即特征根实部）决定； 振荡角频率为阻尼振荡角频率振荡角频率为阻尼振荡角频率 d d（特征根虚（特征根虚部），其值由阻尼比部），其值由阻尼比和自然振荡角频率和自然振荡角频率 n n决定。决定。 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由和和两部分组成：两部分组成：34（三）临界阻尼（三）临界阻尼 （ ）的情况）的情况系统具有两个相等的负实数极点系统具有两个相等的负实数极点

35、，1np2, 121PPnj1临界阻尼时极点的分布临界阻尼时极点的分布1)(00sssC1)(21nsnssCdsdnsnnssC)()(22221022)()()(nnnnssssssCtntnnteetC 1)()1 (1tentn)0( t临界阻尼响应临界阻尼响应系统的输出响应系统的输出响应无超调、无振荡无超调、无振荡,由零开始单调上升，由零开始单调上升，最后达到稳态值最后达到稳态值1 1，不存在稳态误差不存在稳态误差。 是输出响应的单调和振荡过程的分界，通常称是输出响应的单调和振荡过程的分界，通常称为为临界阻尼状态临界阻尼状态。135系统有一对共轭纯虚数极点系统有一对共轭纯虚数极点 ,

36、 ,它们在它们在S S平面上的位置如图平面上的位置如图所示。所示。njp2 , 1ttCncos1)(0（四）无阻尼（四）无阻尼（ ）的情况）的情况jn1P2P0 无阻尼时的极点分布和响应无阻尼时的极点分布和响应C(t)(b)1to系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为n)sin1(cos1)(2ttetCddtn0将将 代入代入36输出响应是发散的，此时系统已无法正常工作。输出响应是发散的，此时系统已无法正常工作。n无阻尼自然振荡频率，此时系统输出为等幅振荡无阻尼自然振荡频率，此时系统输出为等幅振荡d综上所述，不难看出频率综上所述

37、，不难看出频率 和和 的物理意义。的物理意义。nd根据上面的分析可知，在不同的阻尼比时，二阶系统的响应具有不同的特点。根据上面的分析可知，在不同的阻尼比时，二阶系统的响应具有不同的特点。因此阻尼比因此阻尼比 是二阶系统的重要特征参数。是二阶系统的重要特征参数。分析分析0121nnP122nnP系统具有实部为正的极点，系统具有实部为正的极点，若选取若选取 为横坐标，可作出不同阻尼比时二阶系统单位阶跃响应曲线。为横坐标，可作出不同阻尼比时二阶系统单位阶跃响应曲线。tn37系统无振荡时，以临界阻尼时过系统无振荡时，以临界阻尼时过渡过程的时间最短，此时，系统渡过程的时间最短，此时，系统具有最快的响应速

38、度。具有最快的响应速度。系统在欠阻尼状态时，若阻尼比系统在欠阻尼状态时，若阻尼比在在0.40.40.80.8之间，则系统的过渡之间，则系统的过渡过程时间比临界阻尼时更短，此过程时间比临界阻尼时更短，此时振荡特性也并不严重。时振荡特性也并不严重。如图所示，此时曲线只和阻尼比如图所示，此时曲线只和阻尼比 有关。有关。8 . 04 . 0一般希望二阶系统工作在一般希望二阶系统工作在 的欠阻尼状态下，的欠阻尼状态下，通常选取通常选取 作为设计系统的依据作为设计系统的依据。21)(tC03 . 01 . 05 . 07 . 012tn二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 越小，响应特性振荡得越厉害越小，

39、响应特性振荡得越厉害, , 随着随着 增大到一定程度，响应特增大到一定程度，响应特 性变成单调上升的。性变成单调上升的。38 在实际应用中，控制系统性能的好坏是通过系统的单位阶跃响在实际应用中，控制系统性能的好坏是通过系统的单位阶跃响应的特征量来表示的。为了定量地评价二阶系统的控制质量，必须应的特征量来表示的。为了定量地评价二阶系统的控制质量，必须进一步分析进一步分析 和和 对系统单位阶跃响应的影响，并定义二阶系统对系统单位阶跃响应的影响，并定义二阶系统单位阶跃响应的一些特征量作为评价系统的性能指标。单位阶跃响应的一些特征量作为评价系统的性能指标。 n 3.3.23.3.2二阶系统瞬态性能指标

40、二阶系统瞬态性能指标 此时，系统在具有适度振荡特性的情况下，能有较短此时，系统在具有适度振荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间，因此下面有关性能指标的定义和定量关的过渡过程时间，因此下面有关性能指标的定义和定量关系的推导，主要是针对二阶系统的系的推导，主要是针对二阶系统的欠阻尼欠阻尼工作状态进行的。工作状态进行的。控制系统的单位阶跃响应一般与初始条件有关，为了便于控制系统的单位阶跃响应一般与初始条件有关，为了便于比较各种系统的控制质量，通常假设系统的初始条件为零。比较各种系统的控制质量，通常假设系统的初始条件为零。8 . 04 . 0 除了一些不允许产生振荡的系统外，通常希望二阶系统工作在除

41、了一些不允许产生振荡的系统外，通常希望二阶系统工作在 的欠阻尼状态下。的欠阻尼状态下。39动态性能动态性能 当系统受到外部扰动的影响或者参考输入发生变化时，当系统受到外部扰动的影响或者参考输入发生变化时，被控量会随之发生变化，经过一段时间，被控量恢复到原被控量会随之发生变化，经过一段时间，被控量恢复到原来的平衡状态或到达一个新的给定状态，称这一过程为过来的平衡状态或到达一个新的给定状态，称这一过程为过渡过程渡过程 在时域中，常用在时域中，常用单位阶跃信号单位阶跃信号作用下，作用下，系统输出的超系统输出的超调量调量 p p , ,上升时间上升时间T Tr r ，峰值时间峰值时间T Tp p ,

42、,过渡过程时间（或调过渡过程时间（或调整时间）整时间）T Ts s和和振荡次数振荡次数N N等特征量表示。等特征量表示。40 系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为)sin(11)(2 tetCdtn)0( t对应的响应曲线如图所示。由对应的响应曲线如图所示。由上式和图所示曲线来定义系统上式和图所示曲线来定义系统的瞬态性能指标，同时讨论性的瞬态性能指标，同时讨论性能指标与特征量之间的关系。能指标与特征量之间的关系。超调量超调量上升时间上升时间trtr峰值时间峰值时间tptp调节时间调节时间tsts)(t41( (一一) )上升时间上升时间 响应曲线从零开始上升，第

43、一次到达稳态值所需的时间，称为上升时间。响应曲线从零开始上升，第一次到达稳态值所需的时间，称为上升时间。rt21 rnte0)sin( rdtrtt 1)(rtC根据上述定义，当根据上述定义，当 ， ，由式，由式可得可得)sin(11)(2 tetCdtn)0( t0)sin( rdt ktrd 21 ndrt（k=0,1,2k=0,1,2） 当当 一定时，阻尼比一定时，阻尼比 越大，上升时间越大，上升时间 越长，越长，nrtnrt当当 一定时，一定时， 越小，越小， 越长。越长。42tp0)(pttdttdC)sin(pdnt0)cos(pddt)( pdttgnd21tg由定义，令由定义，

44、令得得ktpd ktpd所以所以即即 （k=1,2k=1,2，）分析分析 、 与与 的关系。的关系。nptpt21 ndpt因为峰值时间因为峰值时间 是是C(t)C(t)到达第一个峰值的时间，故取到达第一个峰值的时间，故取k=1,k=1,43可见，当可见，当 一定时，一定时， 越大，越大， 越小，反应速度越快。当越小，反应速度越快。当 一定一定时，时， 越小，越小， 越大。由于越大。由于 是闭环极点虚部的数值，是闭环极点虚部的数值， 越大，越大，则闭环极点到实轴的距离越远，因此，也可以说峰值时间则闭环极点到实轴的距离越远，因此，也可以说峰值时间 与闭环与闭环极点到实轴的距离成反比。极点到实轴的

45、距离成反比。nptnptddpt分析分析 、 与与 的关系。的关系。nptpt21ndpt因为峰值时间因为峰值时间 是是C(t)C(t)到达第一个峰值的时间，故取到达第一个峰值的时间，故取k=1,k=1,44p（三）超调量（三）超调量 在响应过程中，输出量在响应过程中，输出量C C（t t）超出其稳态值的最大差量与稳态值之比称）超出其稳态值的最大差量与稳态值之比称为超调量。为超调量。根据超调量的定义，并考虑到根据超调量的定义，并考虑到1)(C%100%100)()()(21 eCCtCpp2111)(2 etCp)sin(21sin)sin(输出量的最大值为输出量的最大值为211)( etCp

46、所以所以%100)()()( CCtCpp )(ptC)(C超调量可表示为超调量可表示为式中式中 为输出量的最大值，为输出量的最大值， 为输出量的稳态值。为输出量的稳态值。45 上式表明，上式表明， 只是只是 的函数，与的函数，与 无无关，关， 越小越小 , ,则则 越大。当二阶系统的阻越大。当二阶系统的阻尼比尼比 确定后，即可求得对应的超调量确定后，即可求得对应的超调量 。反之，如果给出了超调量的要求值，也可求反之，如果给出了超调量的要求值，也可求得相应的阻尼比的数值。得相应的阻尼比的数值。一般当一般当 时，相应的超调量为时，相应的超调量为 pnpp8 . 04 . 0 %5 . 125 p

47、 %100%100)()()(21 eCCtCpp p欠阻尼二阶系统超调与欠阻尼二阶系统超调与阻尼比关系曲线阻尼比关系曲线p 与与 的关系曲线如图所示。的关系曲线如图所示。46)sin(12tedtn)(stt （四）（四）调节时间调节时间st%5%2 响应曲线到达并停留在稳态值的响应曲线到达并停留在稳态值的 （或（或 ) )误差范围内所需误差范围内所需的最小时间称为调节时间（或过渡过程时间）的最小时间称为调节时间（或过渡过程时间）。)()()(CCtC)(stt 由定义下式成立由定义下式成立1)(C05. 0式中式中 （或（或0.020.02） 21tne)(stt 采用近似的计算方法，忽略

48、正弦函数的影响，认为指数项衰减到采用近似的计算方法，忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到0.050.05（或（或0.020.02）时，过渡过程即进行完毕，得到）时，过渡过程即进行完毕，得到1td )sin( 4705. 0nst211ln302. 0nst211ln4在在 时，上面两式可分别近似为时，上面两式可分别近似为 和和9 . 00nst3nst4可以近似认为调节时间与闭环极点到虚轴的距离成反比。在设计系统时，可以近似认为调节时间与闭环极点到虚轴的距离成反比。在设计系统时， 通常由要求的超调量所决定，而调节时间通常由要求的超调量所决定，而调节时间 则由自然振荡频率则由自然振荡频率 所决定

49、。所决定。即在不改变超调量的条件下，通过改变即在不改变超调量的条件下，通过改变 的值可以改变调节时间。的值可以改变调节时间。stnn)11ln1(ln111ln122nnst由此可求得由此可求得48dsTtN nst3215 . 1N05. 002. 0nst4212N（五）振荡次数（五）振荡次数NNst响应曲线在响应曲线在 0 0 时间内波动的次数称为振荡次数。时间内波动的次数称为振荡次数。ddT2式中式中 称为系统的阻尼振荡周期。称为系统的阻尼振荡周期。振荡次数只与阻尼比振荡次数只与阻尼比 有关。有关。st49 阻尼比阻尼比 和无阻尼自振频率和无阻尼自振频率 是二阶系统两个重要特征参数，是

50、二阶系统两个重要特征参数，它们对系统的性能具有决定性的影响。它们对系统的性能具有决定性的影响。nnpst)8 . 00(rtptv 当保持当保持 不变时，增大不变时，增大 可使可使 和和 下降下降 , ,但使但使 和和 上升，显然在系统的振荡性能和快速性之间是存在矛盾的。上升，显然在系统的振荡性能和快速性之间是存在矛盾的。v 当保持当保持 不变时，提高不变时，提高 可使可使 、 、 下降，从而提高系统的下降，从而提高系统的快速性，同时保持快速性，同时保持 和和N N不变。不变。nrtptstp n 要使二阶系统具有满意的动态性能，必须选取合要使二阶系统具有满意的动态性能，必须选取合适的阻尼比和

51、无阻尼自振荡率。通常可根据系统对超适的阻尼比和无阻尼自振荡率。通常可根据系统对超调量的限制要求选定调量的限制要求选定 ，然后在根据其它要求来确定，然后在根据其它要求来确定5012n102n158. 016. 3n)1(10ss) 1(10sssKt55.011221 nrtgt1010)(2sss解解 系统（系统（a a）的闭环传递函数为）的闭环传递函数为例例3.23.2 设控制系统设控制系统 如图所示。其中（如图所示。其中（a a）为无速度反馈系统，（）为无速度反馈系统，（b b）为带）为带速度反馈系统，试确定是系统阻尼比为速度反馈系统，试确定是系统阻尼比为0.50.5时时 的值，并比较系统

52、（的值，并比较系统（a a）和）和(b)(b)阶跃响应的瞬态性能指标。阶跃响应的瞬态性能指标。01.112 npt%4 .60%10021 ep63 nst )05.0( 315.12 N)05.0( tK51tnK1012102n1012 ntK 216. 010116. 35 . 02 1016. 310)(2 sss系统（系统（b b）的闭环传递函数为）的闭环传递函数为结论：采用速度反馈后，可以明显地改善系统的动态性能结论：采用速度反馈后，可以明显地改善系统的动态性能。10)101 (10)(2sKsst%3 .16p183. 0N7 . 0rt15. 1pt9 . 1st5 . 016

53、. 3n由由 和和 可求得可求得5 . 0将将 代入，解得代入，解得52KnKaan22)()(assKsG%10p2%)5(st例例3.33.3 设单位反馈系统的开环传递函数为设单位反馈系统的开环传递函数为若要求系统的阶跃响应的瞬态性能指标为若要求系统的阶跃响应的瞬态性能指标为 试确定参数试确定参数K K和和a a的值。的值。KassKs2)(解解 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为%10%10021ep3 . 21 . 0ln1259. 023nst54. 2n32na46. 6K53 若描述系统的微分方程高于二阶，则该系统为高阶若描述系统的微分方程高于二阶，则该系统为高阶系统系统。

54、控制工程中，大多数控制系统都是高阶系统。控制工程中，大多数控制系统都是高阶系统。 理论上，高阶系统也可以直接由传递函数求出它的理论上，高阶系统也可以直接由传递函数求出它的时域响应，然后按上述二阶系统的分析方法来确定系统时域响应，然后按上述二阶系统的分析方法来确定系统的瞬态性能指标。但是，高阶系统的分布计算比较困难，的瞬态性能指标。但是，高阶系统的分布计算比较困难，同时，在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往往是同时，在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往往是不必要的，甚至是无意义的。因此，不必要的，甚至是无意义的。因此，工程上通常把高阶工程上通常把高阶系统适当地简化成低阶系统进行分析。系统适当

55、地简化成低阶系统进行分析。高阶系统的时域响应高阶系统的时域响应54设高阶系统闭环传递函数的一般形式设高阶系统闭环传递函数的一般形式 43-3 , 42-3 , 21211111110mnpspspszszszsKmnasasasbsbsbsbsRsCmmnnnnmmmm 则,令s1sR rknknkkknkknkkqjjqjrknknkkmissCsBpssAsspsszsKsC122210112211121 2 nrq 0 t, 1sin 1cos212110式中teCteBEAAtCknkrktkknkrkkkqjtpjnkktnkkj即：即：55（1）高阶系统的时域响应瞬态分量是由一阶惯

56、性环节和二阶震荡环节的响应）高阶系统的时域响应瞬态分量是由一阶惯性环节和二阶震荡环节的响应分量合成，其中控制信号极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量，分量合成，其中控制信号极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量，传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量结论结论（2）系统瞬态分量的形式由闭环极点的性质决定，调整时间的长短主要取决）系统瞬态分量的形式由闭环极点的性质决定，调整时间的长短主要取决于最靠近虚轴的闭环极点；闭环零点只影响瞬态分量幅值的大小正负和符号于最靠近虚轴的闭环极点；闭环零点只影响瞬态分量幅值的大小正负和符号的正负

57、的正负（3）如果闭环传递函数中有一极点距坐标原点很近，则其产生的瞬态分量可）如果闭环传递函数中有一极点距坐标原点很近，则其产生的瞬态分量可略去不计略去不计（4）如果闭环传递函数中有一个极点与一个零点十分靠近，则该极点所对应）如果闭环传递函数中有一个极点与一个零点十分靠近，则该极点所对应的瞬态分量幅值小，也可略去的瞬态分量幅值小，也可略去（5）如果所有闭环极点均具有负实部，则所有的瞬态分量将随着时间的增长）如果所有闭环极点均具有负实部，则所有的瞬态分量将随着时间的增长面不断衰减，最后只有稳态分量。闭环极点均位于面不断衰减，最后只有稳态分量。闭环极点均位于S左半平面系统，称为稳定左半平面系统，称为

58、稳定系统系统（6）如果闭环极点中有一对（或一个）极点距离虚轴最近，且其附近没有闭）如果闭环极点中有一对（或一个）极点距离虚轴最近，且其附近没有闭环零点，而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大环零点，而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上，则倍以上，则称此对极点为系统的主导极点称此对极点为系统的主导极点56 在控制系统的分析研究中，最重要的问题是系统的稳定性问题。在控制系统的分析研究中，最重要的问题是系统的稳定性问题。不稳定的系统在受到外界或内部的一些因素扰动时，会使被控制量不稳定的系统在受到外界或内部的一些因素扰动时，会使被控制量偏离原来的平衡工作状态，并随时间的推

59、移而发散。因此，不稳定偏离原来的平衡工作状态，并随时间的推移而发散。因此，不稳定的系统是无法正常工作的。在这一节中将讨论稳定性的定义，稳定的系统是无法正常工作的。在这一节中将讨论稳定性的定义，稳定的充要条件及判别稳定性的基本方法。的充要条件及判别稳定性的基本方法。 在自动控制理论中，有多种稳定性的定义，这里只讨论其中在自动控制理论中，有多种稳定性的定义，这里只讨论其中最常用的一种，即渐近稳定性的定义。最常用的一种，即渐近稳定性的定义。57稳定与不稳定系统的示例稳定与不稳定系统的示例 AAf 图图aAf 图图b 图图cdfcA图图c c中，小球在中，小球在C C、D D范围内，系统范围内，系统是

60、稳定的，故可以认为该系统是是稳定的，故可以认为该系统是条件稳定系统。条件稳定系统。图图a a为稳定的系统。为稳定的系统。图图b b为不稳定系统。为不稳定系统。58 稳定性是系统在扰动消失后，自身具有的一种恢复稳定性是系统在扰动消失后，自身具有的一种恢复能力，它是系统的一种固有特性，这种特性只取决于系统能力，它是系统的一种固有特性，这种特性只取决于系统的结构和参数，与外作用无关。的结构和参数，与外作用无关。线性定常系统的稳定性的定义：线性定常系统的稳定性的定义：如果线性定常系统受到扰如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系动的作用，偏离了原来的平衡状态，而当扰动消