数分ch定积分在几何学上的应用资料PPT学习教案

1、会计学1数分数分ch定积分在几何学上的应用资料定积分在几何学上的应用资料1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd第1页/共49页22,xyxy在第一象限所围所围图形的面积 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由xy22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A第2页/共49页xxy22oy

2、4 xyxy22与直线的面积 . 解解: 由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有yyyd42A第3页/共49页abxoyx12222byax解解: 利用对称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式xxd第4页/共49页oyxababoyx)()(tytx给出时, 按顺时

3、针方向规定起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积21d)()(tttttA)(1axt对应)(1bxt对应第5页/共49页)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20Axyoa2第6页/共49页,0)(, ,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d

4、2A所求曲边扇形的面积为d)(212A 第7页/共49页对应 从 0 变解解:)0(aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停到 2 所围图形面积 . 第8页/共49页ttadcos82042所围图形的面积 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212223a第9页/共49页2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 ,)0()cos1 (aar22

5、21aA22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar 2第10页/共49页a2sin2a所围图形面积 . 解解: 利用对称性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积为42a思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积 .2Adsin2026ad2cos21462ayox44答案答案:第11页/共49页定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲

6、线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims则称第12页/共49页sdyxabo)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs第13页/共49页)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs第14页/共49页)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)第15页/

7、共49页)ch(cxccxccsh1)(chbxbcxcy成悬链线 .求这一段弧长 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(ch x2shxxeex )(sh xxshxchcxbboy下垂悬链线方程为第16页/共49页ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4第17页/共49页)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20( t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tat

8、a22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa2第18页/共49页d222aa相应于 02一段的弧长 . 解解:)0(aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aa第19页/共49页设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA上连续,第20页/共49页xyoabxyoab)(xfy 2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时, 有轴绕x

9、bxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy第21页/共49页ayxb12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2x第22页/共49页tbytaxsincos则xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.343a第23页/共49页xyoa

10、2)cos1 ()sin(tayttax)0(a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕 x 轴旋转而成的体积为xyVaxd202利用对称利用对称性性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令第24页/共49页xyoa2a)cos1 ()sin(tayttax)0(aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限

11、 !2023dsin)sin(tttta336a注注)(1yxx 第25页/共49页分部积分对称关于2202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)(tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226第26页/共49页a2柱壳体积xxxdy也可按柱壳法求出yVyx2柱面面积xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02第27页/共49页偶函数yVttattad)cos1 ()sin(

12、222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函数336a第28页/共49页轴所围图及表示xtxxfytV)0(, )()()(xfy 在 x0 时为连续的非负函数, 且 ,0)0(f形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 , 证明:. )(2)(tftV 证证:x)(xfxoytxxd利用柱壳法xxfxtVd)()(2d则xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 故第29页

13、/共49页并与底面交成 角,222Ryx解解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .oRxyx第30页/共49页oRxy此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22第31页/共49页abzxyco垂直 x 轴的截面是椭圆1)1 ()1 (22222222axaxczby1222222czbyax所围立体(椭球

14、体)解解:它的面积为)1 ()(22axbcxA因此椭球体体积为xbcaxd)1 (22bc20abca34特别当 a = b = c 时就是球体体积 .)(axaaV02x233axx 的体积.第32页/共49页ox1 2yBC3A132xy与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(94 考研)解解: 利用对称性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋转体体积为V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 xxd)4(322122第33页/共49页xyoab设平面光滑曲线, ,)(1baC

15、xfy求上的圆台的侧面积位于d,xxxsySd2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abx第34页/共49页xyo)(xfy abxsySd2d侧面积元素xyd2sdxdxyd2因为的线性主部 .若光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 )(2ttttd)()(22S侧面积为第35页/共49页xRyo上绕在,21222RRxxxRyxx 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .解解: 对曲线弧

16、,2122xxxxRy应用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式24RS1x2xozyx第36页/共49页一周所得的旋转体的表面积 S .解解: 利用对称性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32绕 x 轴旋转 taytax33sin,cos第37页/共49页taytax33sin,cosa星形线是内摆线的一种.t点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停大圆半径 Ra小圆半径4ar 参数的几何

17、意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)第38页/共49页1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小21d)()(tttttAd)(212A第39页/共49页baxxAVd)(旋转体的体积2)(yxA绕 x 轴 :4. 旋转体的侧面积sySd2d侧面积元素为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)yxxA2)(绕 y 轴 :(柱壳法)(xyy ,)(轴旋转绕xxyy 第40页/共

18、49页1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .提示提示: 交点为, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 第41页/共49页)()(222bRRbyx绕 x 轴oxyRbR上上半圆为22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbRV02xdbR222求体积 :提示提示:方法方法1 利用对称性旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .第42页/共49页RbRVdy2x2ydRbRbV4oxyybyRyd)(22ybR222说明说明: 上式可变形为2RVb2d2bR 20上上半圆为,22xRby下下 y22xRx此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). dd2bRV第43页/共49页oxyRbRR02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用对称性RS2b2S上式也可写成d2bR20上上半圆为,22xRby下下 y22xRx它也反映了环面微元的另一种取法. 第44页/共49页解：解：1. 求曲线所围图形的面积.1lnlnyx显然1ln,1lnyxy