第九节初等函数的连续性

1、第九节第九节 初等函数的连续性初等函数的连续性一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性二、反函数的连续性二、反函数的连续性三、复合函数的连续性三、复合函数的连续性四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性五、小结五、小结.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处处也也连连续续在在点点则则处处连连续续在在点点若若函函数数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 定理定理1例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性定理定理2 单调的连续函数必有单调的连续反函数单

2、调的连续函数必有单调的连续反函数.例如例如,2,2sin上上单单调调增增加加且且连连续续在在 xy.1 , 1arcsin上上也也是是单单调调增增加加且且连连续续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.,cot,arctan上上单单调调且且连连续续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.二、反函数的连续性二、反函数的连续性,)(lim 0axxx 若若（复合函数极限法则）（复合函数极限法则）三、复合函数的连续性三、复合函数的连续性定理定理 3意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;

3、.)(.2的的理理论论依依据据变变量量代代换换xu ).(lim)()(lim ,)(00 xfafxfaufxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数作为特殊情形有作为特殊情形有 .)(,)(,)(,)( 00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函

4、数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性定理定理 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内内连连续续在在 ,不不同同值值讨讨论论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理 6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的.注意注意 定义区间定义区间是指包含在定义域

5、内的区间是指包含在定义域内的区间.初等函数仅在其定义区间初等函数仅在其定义区间内内连续连续, 在其在其定义域内不一定连续定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间注意注意1注意注意 2初等函数求极限的方法代入法初等函数求极限的方法代入法.)()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx例例1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(lim

6、ln10 xxx eln 解解例例2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 例例3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 例例5).1,0( ,logarcsinlim aaxaax求求 xaxa limlogarcsinaalogarcsin 2 例例6.arc

7、tan4)2ln(lim21xxxx 求求44)12ln(1 .1 例例7 xxx2cot20tan31lim 求求 3tan31202tan31lim xxx 32tan312tan31ln0lim xxxe xxxe2tan3120tan31limln3 3e 连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理; 两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.五、小结五、小结思考题思考题 设设xxfsgn)( ，21)(xxg ，试试研研究究复复合合函函数数)(xgf与与)(xfg的的连连续续性性.思考题解答思考题解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf