通信原理-第10章-数字信号最佳接收

1、1第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收第10章 数字信号最佳接收l10.1数字信号的统计特性l10.2 数字信号的最佳接收l10.3 确知数字信号的最佳接收机l10.4 确知数字信号最佳接收的误码率l10.5 随相数字信号的最佳接收l10.6 起伏数字信号的最佳接收l10.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较l10.8 数字信号的匹配滤波接收法l10.9 最佳基带传输系统2310.1 数字信号的统计特性在数字通信系统中，接收端收到的是发送信号和信道噪声之和。噪声对数字信号的影响表现在使接收码元发生错误。在信号发送后，由于噪声的影响使接收端收到的电压仍然有随机性，为了了解接收码元发生错

2、误的概率，需研究接收电压的统计特性。以二进制为例以二进制为例研究接收电压的研究接收电压的统计特性统计特性。接收噪声电压的一维概率密度接收噪声电压的一维概率密度接收噪声电压接收噪声电压k个样值的个样值的k维联合概率密度函数维联合概率密度函数一个码元持续时间一个码元持续时间Ts内接收的噪声平均功率内接收的噪声平均功率接收电压接收电压r(t)的的k维联合概率密度函数维联合概率密度函数1.发送码元发送码元si时，接收电压的时，接收电压的k维联合概率密度函数维联合概率密度函数410.1 数字信号的统计特性假设：假设： 1)通信系统中的噪声是均值为0的带限高斯白噪声，其单边功率谱密度为n0；并设发送的二进

3、制码元为“0”和“1”，其发送概率分别为P(0)和P(1)，则有P(0) + P(1) = 1 （10.1-1）2) 若此通信系统的基带截止频率小于fH，则根据低通信号抽样定理，接收噪声电压可用其抽样值表示，抽样速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。 设在一个码元持续时间Ts内以2fH的速率抽样，共得到k个抽样值n1 , n2 , , ni , nk ： 则有k 2fHTs。 （10.1-2）1、接收噪声电压抽样值的一维概率密度、接收噪声电压抽样值的一维概率密度510.1 数字信号的统计特性由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维概一维概率密度率密度可以写为222exp21)(ni

4、ninnf n噪声的标准偏差噪声的标准偏差n2 噪声的方差，即噪声平均功率；i 1，2，k。 （10.1-3）610.1 数字信号的统计特性),(21kknnnf2、接收噪声电压、接收噪声电压k个抽样值的个抽样值的k维联合概率密度维联合概率密度设接收噪声电压n(t)的k个抽样值的k维联合概率密度函数为 由高斯噪声的性质高斯噪声的性质（高斯噪声通过带限线性系统后仍为高斯分布）。所以，带限高斯白噪声按奈奎斯特速率抽样得到的抽样值之间是互不相关、互相独立的。这样，此k 维联合概率密度函数可以表示为：kiinknkkknnfnfnfnnnf122212121exp21)()()(),( （10.1-4

5、） （10.1-5）710.1 数字信号的统计特性或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成kiisHkiinTfnk1212211kiisHTsnTfdttnTs120221)(13、一个码元持续时间、一个码元持续时间Ts内接收的噪声平均功率内接收的噪声平均功率当k 很大时，在一个码元持续时间Ts内接收的噪声平均功率可以表示为： （10.1-6） （10.1-7）810.1 数字信号的统计特性n将式（10.1-7）代入 （10.1-5） ，并注意到 Hnfn02sTkndttnnf020)(1exp21)(n)()()(),()(2121kkknfnfnfnnnffn n注意注意：1)f(

6、n)不是时间函数 (时间函数n(t)在定积分内，积分后与时间变量t无关)。n是一个k维矢量，可以看作是k 维空间中的一个点。 n0 噪声单边功率谱密度则式（10.1-5）联合概率密度函数可以改写为：式中n = (n1, n2, , nk) k 维矢量，表示一个码元内噪声的k个抽样值。 （10.1-9） （10.1-10）2) 在Ts、n0和抽样数k（它和系统带宽有关）给定后，f(n)仅决定于该码元期间内噪声的能量：sTdttn02)(3) 由于噪声的随机性，每个Ts内噪声的波形和能量都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而另一些则无错。910.1 数字信号的统计特性设接收电压r(t

7、)为信号电压s(t)和噪声电压n(t)之和:r(t) = s(t) + n(t) (10.1-11)dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r r4、接收电压、接收电压r(t)的的k维联合概率密度函数维联合概率密度函数在发送码元确定之后，r(t)的随机性将完全由噪声决定，故它仍服从高斯分布 (方差为n2，均值为s(t) )。（1）发送码元“0”，信号波形为s0(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为 （10.1-12）r = s + n , 为k 维矢量，表示一个码元内接收电压的k个抽样值；s k 维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽样值。1010.1 数字信号的

8、统计特性dttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r rdttstrnfsTikni200)()(1exp21)(r r（2）发送码元“1“的信号波形为s1(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为 （10.1-12）（3）若传输M 进制码元进制码元，即可能发送s1，s2，si，sM之一，则发送码元发送码元si 时时，接收电压的k 维联合概率密度函数为 （10.1-13）注意注意：以上三式中的k 维联合概率密度函数不是时间t的函数，并且是一个标量，而r 仍是k维空间中的一个点，是一个矢量。 1110.2 数字信号的最佳接收其中Pe1 = P(0/1) 发送“1”时，收到

9、“0”的条件概率； Pe0 = P(1/0) 发送“0”时，收到“1”的条件概率；上面这两个条件概率称为错误转移概率。01)0() 1 (eeePPPPP数字通信系统传输质量的主要指标是错误概率。因此，将错误概率最小作为“最佳”准则。1、产生错误的原因、产生错误的原因：噪声和系统特性引起的信号失真。 暂不考虑失真的影响，主要讨论在二进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最小。2、判决规则、判决规则设在一个二进制通信系统中发送码元“1”的概率为P(1)，发送码元“0”的概率为P(0)，则总误码率Pe等于 （10.2-1）1210.2 数字信号的最佳接收p由接收矢量 r 决定的两个联合概率密度

10、函数f0(r)和f1(r) 如右图（图中把r 当作1维矢量）：A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)根据前面分析，接收端收到的每个Ts内的电压可以用一个k 维矢量表示。接收设备需要对每个接收矢量作判决，判定它是发送码元“0”，还是“1”。3、接收矢量决定的联合概率密度函数、接收矢量决定的联合概率密度函数将此空间划分为两个区域A0和A1，其边界是r0，并将判决判决规则规则规定为： r落在区域A0内，则判为发送码元是“0”；若r落在区域A1内，则判为发送码元是“1”。 图10-1 k维 矢量空间示意图区域A0和A1是两个互不相容的区域。当这两个区域的边界r0 确定后，错误

11、概率也随之确定了。1310.2 数字信号的最佳接收P(A0/1)表示发送“1”时，矢量r落在区域A0 的条件概率 P(A1/0)表示发送“0”时， 矢量r落在区域A1 的条件概率A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe0)() 1/(10AdfAPr rr r1)()0/(01AdfAPr rr r 图10-1 k维 矢量空间示意图4、总误码率、总误码率总误码率可写为总误码率可写为这两个条件概率（在图中分别由两块阴影面积表示）可写为： （10.2-2） （10.2-3） （10.2-4）1410.2 数字信号的最佳接收

12、上式表示Pe是是r0 的函数的函数。为了求出使Pe最小的判决分界点r0，将上式对r0求导，并令导函数等于0， 10)()0()() 1 (01AAedfPdfPPr rr rr rr r00)()0()() 1 (01rredfPdfPPr rr rr rr rA0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)0)()0()() 1 (00010r rr rr rfPfPPe0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP 将式（10.2-3）和（10.2-4）代入（10.2-2）得到 （10.2-5）参考上图可知，上式可以写为： （10.2-6） （10.2-7）求出最佳

13、分界点最佳分界点r0的条件： （10.2-8）5、最佳误码率、最佳误码率1510.2 数字信号的最佳接收0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP)()()0() 1 (0100r rr rffPP）（则判为10-10.2 0 )()()()(r rr r0101fPfP）（则判为11-10.2 1 )()()()(r rr r0101fPfPA0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0) 若f0(r) f1(r)，则判为“0” 若f0(r) f1(r)，则判为“1” （10.2-8）当先验概率相等时，即P(1) = P(0)时，f0(r0) = f1(r0)，所

14、以最佳分界点位于图中两条曲线交点处的r 值上。在判决边界确定之后，按照接收矢量r 落在区域A0，应判为收到的是“0”的判决准则，这时有： （10.2-9）即即在发送“0”和发送“1”的先验概率相等时，上两式的条件简化为：该判决准则称为最大似然准则最大似然准则。按照这个准则判决就可得到理论上最佳的误码率，即达到理论上的误码率最小值。1610.2 数字信号的最佳接收设在一个M 进制数字通信系统中，可能的发送码元是s1，s2，si，sM之一，它们的先验概率相等，能量相等。当发送码元是si时，接收电压的接收电压的k k 维联合概率密度函数维联合概率密度函数为于是，若 则判为判为si(t)dttstrn

15、fsTikni200)()(1exp21)(r r),()(r rr rjiffMjij, 2, 16、多进制最佳接收准则、多进制最佳接收准则 （10.2-14）对于二进制最佳接收准则的分析，可推广到多进制信号的场合。对于二进制最佳接收准则的分析，可推广到多进制信号的场合。1710.3 确知数字信号的最佳接收机n确知信号：指其取值在任何时间都是确定的、可以预知的信号。n在理想恒参信道中接收到的数字信号可以认为是确知信号。n本节讨论如何按照最佳接收准则来构造二进制数字信号的最佳接收机。1810.3 确知数字信号的最佳接收机当发送码元为“0”，波形为so(t)时，接收电压的概率密度为dttstrn

16、fsTkn20000)()(1exp21)(r rdttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r rn1、判决准则、判决准则 （10.1-12） （10.1-13）当发送码元为“1”，波形为s1(t)时，接收电压的概率密度为因此，将上两式代入判决准则式，经过简化，得到：ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 (若若 （10.3-1）则判为发送码元是判为发送码元是s0(t)；若若 1910.3 确知数字信号的最佳接收机 将式（10.3-1） 和（10.3-2）两端分别取对数，得到，若则判为发送码元是s0(t)；反之则判为

17、发送码元是s1(t)。ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 (判为发送码元是判为发送码元是s1(t) （10.3-2）ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 ( （10.3-1）判为发送码元是判为发送码元是s0(t) （10.3-3）2010.3 确知数字信号的最佳接收机若式中则判为发送码元是s0(t)；反之，则判为发送码元是s1(t)。W0和W1可以看作是由先验概率决定

18、的加权因子。u按照上式画出的最佳接收机原理方框图如下：ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()()0(ln200PnW ) 1 (ln201PnW ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1ln由于已经假设两个码元的能量相同，即所以上式还可以进一步简化。 ssTTdttsdtts021020)()( （10.3-5）（10.3-3） （10.3-6） （10.3-4）2110.3 确知数字信号的最佳接收机W1r(t)S1(t)S0(t)W0t = Ts比较判决积分器积分器ssTTodttstrWdttstrW00011

19、)()()()(2、二进制、二进制 最佳接收机最佳接收机 （10.3-5） 图10-2 二进制最佳接收机原理方框图22r(t)S0(t)S1(t)积分器积分器比较判决t = Ts10.3 确知数字信号的最佳接收机若此二进制信号的先验概率相等，则上式简化为最佳接收机的原理方框图也可以简化成 ssTTdttstrdttstr0001()()()(）ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()( （10.3-5） 图10-3 二进制等先验概率最佳接收机原理方框图2310.3 确知数字信号的最佳接收机由上述讨论不难推出M 进制通信系统的最佳接收机结构 u最佳接收机的核心是由相乘和积分

20、构成的相关运算，所以常称这种算法为相关接收法。u由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。 积分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比较判决积分器积分器3、M进制进制 最佳接收机最佳接收机 图10-4 M进制等先验概率最佳接收机原理方框图2410.4 确知数字信号最佳接收的误码率在最佳接收机中，若ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnaxdxeaPP22221)() 1/0(n1、发生错误的条件概率发生错误的条件概率 （10.4-1）则判为发送码元是判为发送码元是s s0 0(t)(t)。在发送码元为s1(t)时，若上式

21、成立，则将发生错误判决。将r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，则上式成立的概率就是在发送码元“1”的条件下收到“0”的概率，即发生错误的条件概率生错误的条件概率P(0 P(0 / 1)/ 1)：sTdttstsPPna02010)()(21) 1 ()0(ln2sTdttstsnD020102)()(2)( （10.4-2） （10.4-3）sdttststnT01)()()(2510.4 确知数字信号最佳接收的误码率同理，可以求出发送s0(t)时，判决为收到s1(t)的条件错误概率P(0 / 1)P(0 / 1)bxdxebPP22221)()0/1 (STdttstsPPnb0

22、2100)()(21)0() 1 (ln2 （10.4-4） （10.4-5）2610.4 确知数字信号最佳接收的误码率n2 2、总误码率、总误码率dxePdxePPPPPPbxaxe22222221)0(21) 1 ()0/1 ()0() 1/0() 1 (（1）先验概率）先验概率P(0) = 0及及P(1) = 1，a = - 及及b = 由式（10.4-6）计算出总误码率Pe = 0。在物理意义上，这时由于发送码元只有一种可能性，即是确定的“1”。因此，不会发生错误。同理，若P(0) = 1及P(1) = 0 ， a a = = 及及b b =- =- 总误码率也为零。3、先验概率对误码

23、率的影响、先验概率对误码率的影响 （10.4-6）2710.4 确知数字信号最佳接收的误码率结论：结论：当先验概率相等时，对于给定的噪声功率2，误码率仅和两种码元波形之差s0(t) s1(t)的能量有关，而与波形本身无关。差别越大，c 值越小，误码率Pe也越小。dxePcxe22221sTdttstsc0210)()(21（2）先验概率相等）先验概率相等P(0) = P(1) = 1/2，a = b。这样，式（10.4-6）可以化简为 （10.4-7） （10.4-8）2810.4 确知数字信号最佳接收的误码率由计算表明，先验概率不等时的误码率将略小于先验概率相等时的误码率。 （3）先验概率不

24、等）先验概率不等结论： 误码率而言，先验概率相等是最坏的情况。2910.4 确知数字信号最佳接收的误码率10010021020010)()()()()()(EEdttstsdttsdttsdttstsssssTTTTsTdttsE0200)(sTdttsE0211)(n4、先验概率相等时误码率的计算、先验概率相等时误码率的计算若给定了噪声强度，误码率决定于信号码元的区别。以下给出定量地描述码元区别的一个参量，即码元的相关系数 ，其定义如下： （10.4-9） （10.4-10）当s0(t) = s1(t)时，1，为最大值；当s0(t) = -s1(t)时，1，为最小值。所以 的取值范围在-1

25、+1。 式中E0、E1为信号码元的能量。3010.4 确知数字信号最佳接收的误码率当两码元的能量相等时，令E0 = E1 = Eb，则式（10.4-9）可写成并且将上式代入误码率公式，得到为了将上式变成实用的形式，作如下的代数变换：令则有bTEdttstsS010)()()1 ()()(210210bTEdttstscSdxedxePbExcxe)1(22222221212/xz 2222/xz 2/dxdz （10.4-11） （10.4-12） （10.4-13）3110.4 确知数字信号最佳接收的误码率于是上式变为式中 利用下式中2和n0关系2)1 (121221112212/ )1 (

26、2/ )1 (2/ )1 (2/ )1 (2222bEzEzEzEzeEerfdzedzedzedzePbbbbxzdzexerf022)()1 ()()(2)(0020102bTEndttstsnDs （10.4-15）代入上式，得到误码率最终表示式误码率最终表示式：3210.4 确知数字信号最佳接收的误码率式中 误差函数 补误差函数 Eb 码元能量； 码元相关系数； n0 噪声功率谱密度。xzdzexerf022)()(1)(xerfxerfc （10.4-15）002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbe式（10.4-15）是一个非常重要的理论公式重要的理论公式，它给

27、出了理论上二二进制等能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值，如图进制等能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值，如图10-6所示。实际通信系统中得到的误码率只可能比它差。3310.4 确知数字信号最佳接收的误码率dB图图10-6 最佳误码率曲线3410.4 确知数字信号最佳接收的误码率u误码率和Eb / n0及相关系数 有关，与信号波形及噪声功率无直接关系。 nssssssbPPBnPTnPnTPnE0000)/1 (n5、最佳接收性能特点按照奈奎斯特速率（能消除码间串扰能消除码间串扰）传输基带信号时，所需的最小带宽为(1/2Ts) Hz。对已调信号，若采用的是2PSK或2ASK信号，则其占用带

28、宽是基带信号带宽的两倍 (1/Ts) Hz。在工程上，通常把(Eb/n0)当作信号噪声功率比看待。 （10.4-16）码元能量Eb与噪声功率谱密度n0之比，实际上相当于信号噪声功率比Ps/Pn。因为若系统带宽B等于1/Ts，则有3510.4 确知数字信号最佳接收的误码率u 对于误码率的影响很大。 (1) 两种码元的波形相同， 最大，即 = 1时，误码率最大为1/2。因为这时两种码元波形没有区别，接收端是在没有根据的乱猜。(2)两种码元的波形相反， 最小（ = -1），误码率最小，等于 0021121nEerfcnEerfPbbe002212121nEerfcnEerfPbbe例如，例如，2PS

29、K信号的相关系数就等于 -1。 （10.4-17） （10.4-18）u例如，例如，2FSK信号的相关系数就等于或近似等于零。(3)两种码元正交，即相关系数 等于0时，误码率等于3610.4 确知数字信号最佳接收的误码率u若两种码元中有一种的能量等于零，例如2ASK信号，则误码率为sTdttsc020)(21004214121nEerfcnEerfPbbe （10.4-19） （10.4-20）u比较以上3式：2ASK信号的性能比2FSK信号的性能差3dB，而2FSK信号的性能又比2PSK信号的性能差差3dB3dB。0021121nEerfcnEerfPbbe 2PSK （10.4-17）00

30、2212121nEerfcnEerfPbbe 2FSK （10.4-18）3710.4 确知数字信号最佳接收的误码率图10-6画出了误码率Pe与Eb/n0关系曲线。 dyedxePyMnEyxe212/12220221211MEEb2log/knEMnEnEb0200logn5、多进制通信系统u若不同码元的信号正交，且先验概率相等，能量也相等，则其最佳误码率计算结果如下：M 进制数； E M 进制码元能量；n0 单边噪声功率谱密度。一个M 进制码元中含有的比特数k 等于log2M，故每个比特的能量等于并且每比特的信噪比为 （10.4-21） （10.4-22） （10.4-23）3810.4

31、确知数字信号最佳接收的误码率Pe0.693Eb/n0图10-6 多近制正交信号最佳误码率 对于给定的误码率，当k增大时，需要的信噪比Eb/n0减小。当k 增大到时，误码率曲线变成一条垂直线；这时只要Eb/n0等于0.693(-1.6 dB)，就能得到无误码的传输。3910.5 随相数字信号的最佳接收此信号随机相位的概率密度表示为：)cos(),()cos(),(11110000tAtstAts其他处, 020,2/1)(00f其他处, 020,2/1)(11f1 1、随相信号随相信号n假设： 2FSK信号的能量相等、先验概率相等、互不相关；通信系统中存在带限白色高斯噪声；接收信号码元相位的概率

32、密度服从均匀分布。随相信号：随相信号：经过信道传输后码元相位带有随机性的信号称之。因此，可以将此信号表示为： （10.5-1a） （10.5-1b） （10.5-2） （10.5-3）4010.5 随相数字信号的最佳接收ssTTbEdttsdtts00121020),(),(2000000)/()()(dfffr rr r2011111)/()()(dfffr rr r2 2、随相信号随相信号的判决条件的判决条件由于码元能量相等，故有 （10.5-4）若接收矢量r r使f1(r r) f0(r r)，则判发送码元是“0”，若接收矢量r r使f0(r r) f1(r r)，则判发送码元是“1”。

33、在讨论确知信号的最佳接收时，对于先验概率相等的信号，判决规则：判决规则：现在，由于接收矢量具有随机相位，故上式中的 f0(r)和f1(r) 表示为：上两式经过复杂的计算后，代入判决条件，得出最终的判决条件最终的判决条件： （10.5-6） （10.5-5）4110.5 随相数字信号的最佳接收20200YXM21211YXMSTtdttrX000cos)(STtdttrY000sin)(STtdttrX011cos)(STtdttrY011sin)( 若接收矢量r r 使M12 M02，则判为发送码元是“0”， 若接收矢量r r 使M02 M12，则判为发送码元是“1”。最终最终判决条件：判决条

34、件： （10.5-7） （10.5-8） （10.5-9） （10.5-10） （10.5-11）（10.5-12）（10.5-13）按照上面判决准则构成的随相信号最佳接收机随相信号最佳接收机的结构如图107。 4210.5 随相数字信号的最佳接收相关器平 方cos0t相 加相关器平 方sin0t相关器平 方cos1t相 加相关器平 方sin1t比 较r(t)Y0X1Y1X0如图107 随相信号最佳接收机随相信号最佳接收机的结构图3 3、随相信号随相信号的的最佳接收机最佳接收机4310.5 随相数字信号的最佳接收随相信号最佳接收机的误码率，用类似10.4节的分析方法，可以计算出来，结果如下：)

35、2/exp(210nEPbe4 4、随相信号随相信号最佳接收机的误码率最佳接收机的误码率随相信号最佳接收机及其误码率也就是2FSK确知信号的非相干接收机和误码率。 因为随相信号的相位携带有由信道引入的随机变化，所以在接收端不可能采用相干接收方法。 对于随相信号而言，非相干接收已经是最佳的接收方法了。（10.5-14）4410.6 起伏数字信号的最佳接收A0和A1是由于多径效应引起的随机起伏振幅，它们服从同一瑞利分布： )cos(),()cos(),(111111000000tAAtstAAts2 , 1, 0,2exp)(222iAAAVfisisii包络随机起伏，相位也随机变化的信号。经过多

36、径传输的衰落信号都具有这种特性 假设：通信系统中的噪声是带限白色高斯噪声； 信号是互不相关的等能量、等先验概率的2FSK信号，其表示式1 1、起伏信号、起伏信号（10.6-1）（10.6-2）s2 为信号的功率而且 0 0和 1 1的概率密度服从均匀分布：2 , 1,20,2/1)(ifii（10.6-3）4510.6 起伏数字信号的最佳接收由于Ai是余弦波的振幅，所以信号si(t, i, Ai)的功率s2和其振幅Ai的均方值之间的关系为222siAE（10.6-4）r r 具有随机相位和随机起伏的振幅，故概率密度f0(r r)和f1(r r)可表示为：2、接收矢量r r 的概率密度: 200

37、00000000),/()()()(ddAAffAffrr r 20111111011),/()()()(ddAAffAffrr r（10.6-5）（10.6-6）4610.6 起伏数字信号的最佳接收knTsdttrnK2)(1exp020)(2exp)(2002022000sssssTnnMTnnKfr r)(2exp)(2002122001sssssTnnMTnnKfr r2、接收矢量r r 的概率密度:经过繁复的计算，结果如下：经过繁复的计算，结果如下：（10.6-7）（10.6-8）（10.6-9）n0 噪声功率谱密度n2 噪声功率。4710.6 起伏数字信号的最佳接收和随相信号最佳接

38、收时一样，比较f0(r)和f1(r)仍然是比较M02和M12的大小。所以，不难推论，起伏信号最佳接收机的结构结构和随相信号最佳接收机的一样。这时的最佳误码率则不同于随相信号的误码率，误码率等于 )/(210nEPe接收码元的统计平均能量。n3、起伏、起伏信号信号最佳接收机的误码率最佳接收机的误码率（10.6-10）4810.6 起伏数字信号的最佳接收n4、起伏、起伏信号信号最佳接收最佳接收误码率曲线在有衰落时，性能随误码率下降而迅速变坏。当误码率等于10-2时，衰落使性能下降约10 dB；当误码率等于10-3时，下降约20 dB。0/nE49相干2ASK信号非相干2ASK信号相干2FSK信号非

39、相干2FSK信号相干2PSK信号差分相干2DPSK信号同步检测2DPSK信号10.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较4/21rerfc04/21nEerfcb4/exp21r04/exp21nEb2/21rerfc02/21nEerfcb2/exp21r02/exp21nEbrerfc210/21nEerfcbrexp210/exp21nEbrerfcrerfc21100211nEerfcnEerfcbb实际接收机的Pe最佳接收机的Pe5010.8 数字信号的匹配滤波接收法1 1、定义、定义：用线性滤波器对接收信号滤波时，使抽样时刻上输出信噪比最大信噪比最大的线性滤波器称之。2 2、假设条件

40、：、假设条件：u接收滤波器的传输函数为H(f)，冲激响应为h(t)，滤波器输入信号码元s(t)的持续时间为Ts，信号和噪声之和r(t)为 s(t)的频谱密度函数为S(f)，高斯白噪声n(t)的双边功率谱密度为Pn(f) = n0/2，n0为噪声单边功率谱密度。 sTttntstr0),()()(（10.8-1）一、匹配滤波器5110.8 数字信号的匹配滤波接收法u假定滤波器是线性的，根据线性电路叠加定理，当滤波器输入电压r(t)中包括信号和噪声两部分时，滤波器的输出电压y(t)中也包含相应的输出信号so(t)和输出噪声no(t)两部分，即式中)()()(tntstyoodfefSfHtsftj

41、o2)()()(3 3、输出电压、输出电压（10.8-2）（10.8-3）5210.8 数字信号的匹配滤波接收法在抽样时刻t0上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为)()()()()(*)( 2fPfHfPfHfHfPRRY由dffHndfnfHNo2002)(22)(dffHndfefSfHNtsrftjoo2022200)(2)()()(0n4 4、输出噪声功率、输出噪声功率n5 5、输出信噪比、输出信噪比（3.4-7）（10.8-4）这时的输出噪声功率No等于（10.8-5）5310.8 数字信号的匹配滤波接收法dxxfdxxfdxxfxf2221221)()()()(。等号成立为任意

42、常数，则上式的若kxkfxf )()( *210221)()(),()( ftjefSxffHxf若令0022022022)()(2)()( nEndffSdffHndffSdffHr则有二、匹配滤波器的传输特性二、匹配滤波器的传输特性为了求出 r0 的最大值，利用施瓦兹不等式；（10.8-6）（10.8-6）dffHndfefSfHNtsrftjoo2022200)(2)()()(0（10.8-5）5410.8 数字信号的匹配滤波接收法02)(*)(ftjefkSfH而且当（10.8-8）式（10.8-7）的等号成立，即得到最大输出信噪比2E/n0。上式表明，H(f) 就是我们要找的最佳接收

43、滤波器传输特性。它等于信号码元频谱的复共轭（除了常数因子外）。故称此滤波器为匹配滤波器。 5510.8 数字信号的匹配滤波接收法dfeefkSdfefHthftjftjftj2220)(*)()(n三、匹配滤波器的冲激响应函数三、匹配滤波器的冲激响应函数结论：结论： 匹配滤波器的冲激响应h(t)就是信号s(t)的镜像s(-t)，但在时间轴上（向右）平移了t0，如图10-9所示。 （10.8-9） dfedeskttfjfj)(*)(022dsdfekttfj)()(02)()()(ttksdttsk00560tt1t2s(t)(a)0t-t1-t2s(-t)(b)0tt2-t1h(t)t0(c

44、)10.8 数字信号的匹配滤波接收法图10 -9 从s(t)得出h(t)即s(t0-t)的图解5710.8 数字信号的匹配滤波接收法上式的条件说明：上式的条件说明：接收滤波器输入端的信号码元s(t)在抽样时刻t0之后必须为零。一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选t0 = Ts。故匹配滤波器的冲激响应可以写为0, 0)(tth当0, 0)(0ttts当即要求满足：0, 0)( ttts当：或满足条件)()(tTksthsn四、实际的匹配滤波器四、实际的匹配滤波器一个实际的匹配滤波器应该是物理可实现的，其h(t)必须符合因果关系，在输入冲激脉冲加入前不应该有冲激响应出

45、现，即必须有：（10.8-10）（10.8-11）（10.8-12）5810.8 数字信号的匹配滤波接收法若匹配滤波器的输入电压为s(t)，则输出信号码元的波形为：)()()()()()()()(sssoTtkRdTtsskdTstskdhtsts上式表明，匹配滤波器输出信号码元波形输出信号码元波形是输入信号码元波形的自相关函数的k倍。k是一个任意常数，它与r0的最大值无关；通常取k 1。（10.8-13）令5910.8 数字信号的匹配滤波接收法tTttss其他, 00, 1)(sfTjftjefjdtetsfS22121)()( tTss(t)1传输函数，可得此匹配滤波器的由令02)(*)(

46、, 1ftjefkSfHkssfTjfTjeefjfH22121)(【例例10.1】设接收信号码元s(t)的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。解：解：上式所示的信号波形是一个矩形脉冲，如下图所示。其频谱为（10.8-14）（10.8-15）（10.8-16）6010.8 数字信号的匹配滤波接收法tTsh(t)1)()( soTtkRts由tTsso(t)()(0ttksthssTttTsth0),()(令k = 1，还可以得到此匹配滤波器的冲激响应为此冲激响应波形示于右图可以求出此匹配滤波器的输出信号波形如图h(t)的形状和信号s(t)的形状一样。实际上，h(t) 是s(t)

47、的波形以t = Ts / 2为轴线反转而来。由于s(t)的波形对称于t = Ts / 2，所以反转后，波形不变？（10.8-17）tTss(t)16110.8 数字信号的匹配滤波接收法可以画出此匹配滤波器的方框图如下：ssfTjfTjeefjfH22121)(延迟Ts理想积分器由其传输函数(1/j2f)是理想积分器的传输函数。延迟时间为Ts的延迟电路的传输函数。6210.8 数字信号的匹配滤波接收法tTttftss其他, 00,2cos)(0)(41)(412cos)()(0)(20)(2020200ffjeffjedttefdtetsfSssTffjTffjTftjftjTs【例例10.2】

48、 设信号的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。解：解：上式所示的信号波形是一段余弦振荡，如下图所示。其频谱为6310.8 数字信号的匹配滤波接收法)(41)(41)(*)(*)(02)(202)(222000ffjeeffjeeefSefSfHsssssfTjTffjfTjTffjfTjftjsssTttTftTsth0),(2cos)()(0为正整数，为便于画出波形图，令 /0nfnTssTttfth0,2cos)(0令t0 = Ts 。因此，其匹配滤波器的传输函数为此匹配滤波器的冲激响应为：上式可以化简为：h(t)的曲线示于下图： (b) 冲激响应Ts6410.8 数字信号的匹配滤波接收法由于s(t)和h(t)在区间(0, Ts)外都等于零，故上式中的积分可以分为如下几段进行计算：dthstso)()()(ssssTtTtTTtt2,2,0, 0匹配滤波器输出波形可以由卷积公式求出：当t 2Ts时，式中的s()和h(t-)不相交，故s0(t)等于零。 1）当0 t d) |d)是噪声抽样值大于d 的概率，等等于？。于？。 （10.9-13）积分值是一个实常数，假设其等于1，即假设1202n（10.9-15）8310.9.1 理想信道的最佳传输系统以上假设不影响对误码率性能的分析。由