第十八章 相似形

1、 北京教育学院宣武分院北京教育学院宣武分院 彭彭 林林 一、一、数学课程标准数学课程标准(2011(2011年版年版) )与与数学课数学课程标准（实验稿）程标准（实验稿）对对图形的相似图形的相似教学要教学要求的比较求的比较 二、二、相似形相似形的知识结构的知识结构 三、三、相似形相似形的教学的教学 实验稿实验稿（空间与图形）（空间与图形）20112011年版年版（图形与几何（图形与几何）图形的认识图形与变换图形与坐标图形与证明图形的性质图形的变化图形与坐标“图形与几何图形与几何”大纲大纲（几何）（几何）图形与证明实验实验稿稿2011年版年版（ （1 1）两条平行直线被第三条直线）两条平行直线被

2、第三条直线所截，同位角相等。所截，同位角相等。 (2)(2)两条直线被第三条直线所截，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直如果同位角相等，那么这两条直线平行。线平行。（3 3）两边及其夹角分别相等的）两边及其夹角分别相等的两个三角形全。两个三角形全。（4 4）两角及其夹边分别相等的）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。两个三角形全等。（5 5）三边分别相等的两个三角）三边分别相等的两个三角形全等。形全等。（6 6）两个全等三角形的对应边）两个全等三角形的对应边相等，对应角相等。相等，对应角相等。（1)1)两点确定一条直线。两点确定一条直线。（2 2）两点之间线段最短。）两点

3、之间线段最短。 (3) (3)过一点有且只有一条直线与已知直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。线垂直。 (4) (4)两条直线被第三条直线所截，如果两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。同位角相等，那么这两条直线平行。（5 5）过直线外一点有且只有一条直线）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。与这条直线平行。（6 6）两边及其夹角分别相等的两个三）两边及其夹角分别相等的两个三角形全。角形全。（7 7）两角及其夹边分别相等的两个三）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。角形全等。（8 8）三边分别相等的两个三角形全等。）三边分别相等的两个三角形全等。（9 9）

4、两条直线被一组平行线所截，所）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。得的对应线段成比例。基本事实(1)了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段,通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.(2)通过具体实例认识图形的相似,探索相似图形的性质,知道相似多边形的对应角相等,对应边成比例,面积的比等于对应边比的平方.（2）通过具体实例认识图形的相似。）通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。了解相似多边形和相似比。（5）了解相似三角形的性质定理：相似三角）了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。比的

5、平方。(3)了解两个三角形相似的概念,探索两个三角形相似的条件.（3 3）掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，）掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。所得的对应线段成比例。（4 4）了解相似三角形的判定定理：两角分别相等）了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。了解相似三角形判定定理证明。个三角形相似。了解相似三角形判定定理证明。(4)了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小.(5)通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似,利用图形的相似解决一些实际问题(如利用

6、相似测量旗杆的高度).（7）会利用图形的相似解决一些简单）会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。的实际问题。 数学教学大纲（试用修订版）对相似形的要求 (1)比例线段 比与比例.比例的基本性质.合比性质.等比性质.两条线段的比.成比例的线段. 平行线分线段成比例.截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定. 具体要求 理解比与比例的概念.能够说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项或比例中项. 掌握比例的基本性质定理、合比性质和等比性质.会用它们进行简单的比例变形. 理解线段的比、成比例线段的概念.会判断线段是否成比例.了解黄金分割. 了解平行线分线段成比例定理及截三角形两边或其延长

7、线的直线平行于第三边的判定定理的证明;会用它们证明线段成比例、线段平行等问题,并会进行有关的计算.会分线段成已知比. (2)相似形 相似三角形.三角形相似的判定.直角三角形相似的判定.相似三角形的性质. 具体要求 理解相似三角形的概念. 灵活运用两对对应角相等、或一对对应角相等且夹边成比例、或三对边之比相等则两三角形相似的判定定理,以及一对直角边和斜边成比例则两直角三角形相似的判定定理. 理解相似比的概念和相似三角形的对应高的比等于相似比的性质. 会按已知相似比作一个三角形与已知三角形相似.相似形相似形比例线段比例线段相似三角形相似三角形比例及其性质比例及其性质黄金分割黄金分割平行线分线段平行

8、线分线段成比例定理成比例定理推论推论用比例判定用比例判定二直线平行二直线平行平行线截三角形平行线截三角形与原三角形对应与原三角形对应应边成比例应边成比例定义定义性质定理性质定理预备定理预备定理判定定理判定定理 避繁就简避繁就简, ,我们今天讲平面几何我们今天讲平面几何, ,当然当然不能照搬不能照搬几何原本几何原本那套体系那套体系, ,但但是是, ,也不要把平面几何最基本的内容也不要把平面几何最基本的内容和体系打乱和体系打乱, ,伤筋动骨伤筋动骨, ,使其失去平面使其失去平面几何的几何的“原汁原味原汁原味”！ 实际问题比例线段相似图形比例基本性质黄金分割平行线分三角形两边成比例相似多边形相似三角

9、形相似三角形的判定相似三角形的性质实际问题 荷兰学者范希尔夫妇经过理荷兰学者范希尔夫妇经过理论和实践两方面的长期探索论和实践两方面的长期探索, ,指出学生的几何思维存在指出学生的几何思维存在5 5个水平个水平: : 直观直观 分析分析 推理推理 演绎演绎 严谨严谨 感受相似感受相似( (学生通过直观图形从整体上学生通过直观图形从整体上感受图形的相似感受图形的相似) ) 分析相似分析相似( (学生能从图形的基本组成元学生能从图形的基本组成元素得出相似图形的性质素得出相似图形的性质, ,能构造图形说明能构造图形说明相似相似) ) 关系关系推理推理( (学生能够理解相似的判定学生能够理解相似的判定定

10、理定理, ,并能通过简单的推理得到更多的性并能通过简单的推理得到更多的性质质) ) 形式演绎形式演绎( (学生能够进行判定定理的形学生能够进行判定定理的形式证明式证明, ,能够进行多步骤的演绎能够进行多步骤的演绎) ) 拓展拓展( (学生能对相似图形的位置关系进学生能对相似图形的位置关系进行分类行分类, ,发现其与变换间的关系发现其与变换间的关系; ;利用群的利用群的理论解释相似理论解释相似) ) 1.1.教学中要尽量从现实生活中的大量教学中要尽量从现实生活中的大量实例实例 出发出发, ,设置丰富的问题情境设置丰富的问题情境, ,显示显示图形相似的有关内容图形相似的有关内容, ,以直观的方式进

11、以直观的方式进行教学行教学. . 2. 2.教学中应充分利用这部分内容的特教学中应充分利用这部分内容的特点点, ,将观察、动手操作等实践活动贯穿将观察、动手操作等实践活动贯穿于教学过程的始终于教学过程的始终. . 要做两个形状相同的三角形框架，其要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别是、中一个三角形框架的三边的长分别是、，另一个三角形框架的一边长为、，另一个三角形框架的一边长为，怎样选料可使这两个三角形相似，怎样选料可使这两个三角形相似 3.3.注意直观操作与推理证明的有机结合注意直观操作与推理证明的有机结合, ,应把推理证明作为探索活动的自然延续应把推理证明作为探索活

12、动的自然延续和必然发展和必然发展. . 教学中运用大量图形与直观教学中运用大量图形与直观, ,这有助于这有助于培养学生学习兴趣培养学生学习兴趣, ,有助于对知识的理解有助于对知识的理解, ,但直观不是最终的目的但直观不是最终的目的, ,应该从直观进一应该从直观进一步发展形象思维步发展形象思维, ,培养学生的直觉能力培养学生的直觉能力, ,再过渡到抽象思维再过渡到抽象思维, ,理性认识理性认识, ,这样认识这样认识才完整才完整. . “ “看一看看一看” “量一量量一量” “做一做做一做” 等活动在学习几何的初级阶段等活动在学习几何的初级阶段( (实验几实验几何何) )可以发挥重要作用可以发挥重

13、要作用. .但是数学实验终但是数学实验终归是数学学习的辅助手段归是数学学习的辅助手段, ,数学毕竟不数学毕竟不是实验科学是实验科学, ,不认识几何的逻辑性不认识几何的逻辑性, ,只能只能认识一些关于图形的零散的表象认识一些关于图形的零散的表象, ,而不而不能认识几何学在图形背后蕴涵的科学思能认识几何学在图形背后蕴涵的科学思维方法的本质维方法的本质. . 平面几何的教学价值最集中地平面几何的教学价值最集中地表现为促使平面几何的公理化表现为促使平面几何的公理化的知识结构得以形成的探索之的知识结构得以形成的探索之中中. .因此因此, ,应该把培养学生的求应该把培养学生的求真意识当成平面几何教学的首真

14、意识当成平面几何教学的首要任务要任务. . 4. 4.把握演绎的把握演绎的“度度” (1)(1)合比性质合比性质 等比性质等比性质 (2)(2)射影定理射影定理 (3)(3)相似三角形的性质相似三角形的性质 5. 5.教学中应注意启发学生探索证明的教学中应注意启发学生探索证明的不同思路不同思路, ,并进行适当的比较和讨论并进行适当的比较和讨论, ,开开阔学生的视野阔学生的视野. . 例 在ABC中,ABAC,AD=AE,DE与BC的延长线交于M,求证:BM:CM=BD:CE. .ADBCMEFABCMEDNABCMDGEADBCLME 例 判断下列各组中的两个三角形是否相似,如果相似,写出它们

15、的对应边的比例式. (1)如图,DEBC,ABC与ADE; (2)如图,AED=C, ABC与ADE.ABCDEABCED变式1 改为已知ADE=B,则ABCADE吗?变式如图，若点D与点C重合，在AED=ACB的条件下， ABCADE吗?变式如图，若点D与点C重合，CEAB,ACBC,则ABCADE吗?图中共有几对相似三角形？AEBC(D)ABC(D)E“相似三角形相似三角形”基本图形结构基本图形结构 获得的知识获得的知识, ,如果没有完整的结构把如果没有完整的结构把它连在一起它连在一起, ,那是一种多半会被遗忘的那是一种多半会被遗忘的知识知识, ,一串不连贯的论据在记忆中仅有一串不连贯的论

16、据在记忆中仅有短促得可怜的寿命短促得可怜的寿命. . 布鲁纳布鲁纳 7. 7.注意前后知识的内在联系注意前后知识的内在联系. . 全等三角形是相似三角形的特例全等三角形是相似三角形的特例. .判定两判定两个三角形全等需要三个条件个三角形全等需要三个条件( (其中至少有一其中至少有一个条件是一边相等个条件是一边相等),),而判定两个三角形相而判定两个三角形相似需要两个条件似需要两个条件( (不需要边相等的条件不需要边相等的条件););两两全等三角形的对应线段相等全等三角形的对应线段相等, ,而两相似三角而两相似三角形对应线段成比例形对应线段成比例. .因此因此, ,教学时可用教学时可用类比类比的

17、方法的方法引导学生去认识相似和全等的关系引导学生去认识相似和全等的关系, ,弄清区别和联系弄清区别和联系. . 相似比等于表示两个三角形有什么关系？ 全等三角形和相似三角形有什么联系和区别？有什么关系？与那么的相似比为与的相似比为与设kkkABCCBAkCBAABC, 判断正误 相似三角形是全等三角形； 全等三角形是相似三角形； 全等三角形的相似比等于； 相似三角形的相似比一定不等于 我们知道，对应角相等、对应边也相等的两个三角形全等你还记得三角形全等的判定条件吗？ 你认为判定两个三角形相似至少需要哪些条件？ 两个三角形中，至少有几个角对应相等能保证这两个三角形相似？ 8. 8.加强实际应用的

18、教学加强实际应用的教学. . 相似三角形的知识在实际中应用很广相似三角形的知识在实际中应用很广, ,能直接应用相似三角形的判定与性质的能直接应用相似三角形的判定与性质的例子很多例子很多. .加强这方面的教学加强这方面的教学, ,不仅可以不仅可以加深学生对所学知识的理解和掌握加深学生对所学知识的理解和掌握, ,而而且通过应用知识解决实际问题且通过应用知识解决实际问题, ,还会提还会提高他们学习的兴趣和学习的积极性高他们学习的兴趣和学习的积极性. . 有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是米在这块草坪的图纸上，这条边的长为厘米，其他两边的长都是厘米你能求出这块草坪的实际周长与面积吗？ 你知道古埃及的金字塔有多高吗？据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯游历古埃及时，只用一根木棍和尺子就测量、计算出了金字塔的高度，使古埃及法老阿美西斯钦羡不已你明白泰勒斯测算金字塔高度的道理吗？ 9. 9.努力体现图形相似的文化价值努力体现图形相似的文化价值. .教教