浅谈变换法数字信号处理中的应用

1、目录摘要：2关键字：2引言31 数字信号处理中的几个重要变换的定义与性质31.1 傅里叶变换31.1.1 傅里叶变换的定义31.1.2 傅里叶变换的基本性质及定理31.2 拉普拉斯变换41.2.1 拉普拉斯变换的定义41.2.2 拉普拉斯变换的性质51.3 Z变换61.3.1 Z变换的定义61.3.2 Z变换的性质62 数字信号处理中的几个重要变换的联系与区别82.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系和区别82.1.1由傅里叶变换到拉普拉斯变换82.1.2.傅里叶变换与拉普拉斯变换的比较82.2 拉普拉斯变换与变换的关系92.3 傅里叶变换与变换的关系103几个重要变换在数字信号处理中的作用及其

2、应用103.1 傅里叶变换在数字信号处理中的作用113.2 傅里叶变换在数字信号处理中的应用113.2.1 应用傅里叶变换求系统对非周期信号的响应113.2.2 应用傅里叶变换求解微分方程113.2.3 傅里叶变换在无失真传输中应用123.3 拉普拉斯变换在数字信号处理中的作用123.4 拉普拉斯变换在数字信号处理中的应用123.4.1 应用拉普拉斯变换求解线性微分方程123.4.2 拉普拉斯变换与复频域电路的分析133.4.3 应用拉普拉斯变换求系统的零状态响应143.5 变换在数字信号处理中的作用143.6 变换在数字信号处理中的应用143.6.1 应用变换求一般因果序列激励下的零状态响应

3、143.6.2 应用变换求解差分方程154总结16参考文献18附件19附件119附件219致谢20浅谈变换法在数字信号处理中的应用 摘要：变换法是数字信号处理中用来分析和认识信号，提取有用信息最常用的方法。本文针对傅里叶变换、拉普拉斯变换、变换这几种最常用的变换法在数字信号处理中的应用，根据对它们的定义与性质的讨论，比较三种变换法的联系与区别，再分别从傅里叶变换角度、拉普拉斯变换角度、变换角度，研究其变换思想在数字信号处理中的应用，分析不同领域适合用哪一种变换法和分析方法。 关键字：傅里叶变换；拉普拉斯变换；变换；信号与系统引言 随着现代科学技术的发展，数字信号处理技术得到了很好的发展，它研究

4、信号处理的客观规律性，即如何把信号用数字或符号表示成序列。而变换法就是数字信号处理用来分析和认知信号，提取信号有用信息最常用的方法。在数字信号处理中常用的变换法有傅里叶变换（FT）、拉普拉斯变换（LT）、变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）等【11】。本文主要讨论的是傅里叶变换、拉普拉斯变换、变换这三大变换法在数字信号处理中的应用。在以傅里叶变换基础的频域分析法中，将时域微分、积分运算转变为频域的代数运算，简化了运算过程。拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，可以克服傅里叶变换分析法的缺点，如，连续信号不满足绝对可积条件时，不能直接进行傅里叶变换；具有初始条件的系统，也不能利用傅

5、里叶变换求系统的完全响应。变换是使离散时间信号的卷积运算变成代数运算，离散时间系统的差分方程变为域代数方程，从而可以较方便地分析系统响应。1 数字信号处理中的几个重要变换的定义与性质1.1 傅里叶变换1.1.1 傅里叶变换的定义由傅里叶级数知，一个周期信号可以展开成为傅里叶级数，而一个非周期信号可以看成某个周期信号其周期趋向于无穷大转化而来。故连续信号在上的傅里叶变换（FT）定义为：逆傅里叶变换定义为:。 由于，则信号的傅里叶变换也可以写为：逆傅里叶变换为：。若为因果信号的傅里叶变换定义为：。傅里叶变换是根据周期信号的傅里叶级数导出的，和周期信号一样，如果满足如下条件【1】：（1）绝对可积，即

6、（2）在任何有限区间内，仅有有限个最大最小值；（3）在任何有限区间内，有有限个第一类间断点。则信号的傅里叶变换存在，并满足逆变换。1.1.2 傅里叶变换的基本性质及定理（1）线性【1】设， ，则式中均为常数。（2）对称性【2】设信号的频谱为，若把中的换成，就为一频谱，则频谱所对应的信号为。（3）折叠性【1】【2】若，则，当为实函数时，当为虚函数时，.（4）尺度变换性【1】【2】若，则对任意常数有.（5）时移性【1】若，则式中为常数。（6）频移性【1】【2】设，则，.式中为常数。（7）时域微分性【1】【2】设，则（8）频域微分性【1】【2】若，则（11）时域卷积定理【1】若，则.（12）频域卷积

7、定理【1】若，则或1.2 拉普拉斯变换1.2.1 拉普拉斯变换的定义1、信号的单边拉普拉斯变换(LT)【3】的定义为式中称为复频率，为象函数，为原函数。象函数和原函数的关系还可以表示为。2、单边拉普拉斯变换收敛域【3】 的单边拉普拉斯变换存在的取值范围，即： 式中叫做收敛坐标，是实轴上的一个点。穿过并与虚轴平行的直线叫做收敛边界。收敛轴的右边为收敛区，收敛区不包括收敛轴。当时，收敛区含虚轴，函数的傅里叶变换存在；当时收敛区不包括虚轴，函数的傅里叶变换不存在；当时，收敛区不包含虚轴，函数的傅里叶变换存在，但有冲激项。3、信号的双边拉普拉斯变换的定义【3】 当一定是，若时为收敛因子，则是为发散因子

8、，有 但是，如果有函数在给定的范围内，使得即上式无限区间积分为有限值，则函数的双边拉普拉斯变换存在，记为： 1.2.2 拉普拉斯变换的性质【1】（1）线性 若则式中为任意常数。（2）时延（移位）特性 若，则 时延（移位）特性表明，波形在时间轴上向右平移，其拉普拉斯变换应乘以位移因子。适用时延特性的时延函数是，而不是。要注意区分的不同。（3）频率平移（域） 若，则式中是复函数。（4）尺度变换 若，则 ，其中（5）时域微分性 若则 式中是在时的值。（6）时域积分性 若，则式中表示积分运算，。（7）时域卷积定理 若，则1.3 变换1.3.1 变换的定义 1、离散信号的双边变换定义为：离散信号的单边变

9、换定义为：其中。2、变换的收敛域根据级数收敛的充要条件来求出变换的收敛域。关于变换收敛域有以下结论【1】：（1）变换收敛域取决于序列和值；（2）与不一定一一对应，故只有和其收敛域一起才可确定序列；（3）的序列（右序列）的变换收敛域一般在于平面半径的的圆外区域；（4）的序列（左序列）变换的收敛域位于平面收敛半径为的圆内区域；（5）的序列（双边序列）变换的收敛域位于平面的圆环区域内；（6）有限长双边序列变换的收敛域为；（7）有限长右边序列变换的收敛域为；（8）有限长左边序列变换的收敛域为。1.3.2 变换的性质【1】（1）线性若 则 式中。（2）双边变换的位移（移序）性（） 若信号的双边变换为 (

10、3)单边变换的位移性 若信号的单边变换为则信号左移后单边变换为 （4）指数序列加权若 则 (5)线性加权或z域微分性若 则 (6)时域卷积定理若 则 式中：，对三种变换法主要性质和定理的总结与归纳如下表：性质傅里叶变换拉普拉斯变换变换线性两个或两个以上信号的线性组合的傅里叶变换等于各信号的傅里叶变换组合。如果一个信号能分解为若干个基本信号之和，那么该信号的LT可以由各个基本信号的LT相加而得。两个或多个信号的线性组合的变换等于各个信号变换的线性组合。对称性信号的时域波形与其频谱函数具有对称互易性。折叠性信号在时域中倍等效于在频域中幅度原来的倍。尺度变换信号在时域中压缩为原来的倍等效于在频域中扩

11、大成原来的倍，同时幅度减小为原来的.信号在时域中压缩为原来的倍等效于在复频域中扩大成原来的倍，同时减小为原来的.同下面的指数序列加权。时移性信号在时域中沿时间轴右移时，相位滞后，其幅度保持不变。波形在时间轴上向右平移，其LT乘以移动因子.频移性给时间信号乘以，对应于将其频谱沿频率轴右移.时间函数乘以，其变换式在域内移动.时域微分时域中对信号取阶导数，等于频域中信号的频谱乘以.对信号取一阶导数等于倍原LT减.时域卷积定理两个时间信号的卷积等于各个时间信号频谱的卷积。如果一个信号能分解为若干个基本信号的卷积，那么该信号的LT可以由各个基本信号的LT相乘而得。如果一个信号等于另外两个信号的卷积，那么

12、其变换为两个信号变换的积。频域微分时域中信号的倍，等于频域中对信号求阶导数。频域卷积两个时间信号相乘的频谱等于各个时间信号频谱的卷积并乘以.双边变换位移若信号向右移动，其变换为原来得倍。指数序列加权时域中乘以指数序列等于平面的尺度压缩或扩展。从表中可以看出：连续信号的傅里叶变换和拉普拉斯变换都有线性性、尺度变换性、时移性、频移性时域微分性和时域卷积性等性质，而离散信号的变换只有线性性、尺度变换性、时域卷积双边变换位移、指数加权等性质。2 数字信号处理中的几个重要变换的联系与区别2.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系和区别2.1.1由傅里叶变换到拉普拉斯变换 根据1.1.1中的傅里叶变换存在条件

13、可知，当一个信号不满足存在条件（1）时，其傅里叶变换不一定存在，这时给乘以因子（为任意实常数）得到一个新的函数。若根据的具体性质，恰当地选取的值，能使时，即：，则满足绝对可积。设满足傅里叶变换存在的条件，则的傅里叶变换为：令，则（因为积分变量为，所以结果一定为的函数）即可得到单边的拉普拉斯变换。2.1.2.傅里叶变换与拉普拉斯变换的比较 信号的傅里叶变换为： （1）信号的单边拉普拉斯变换为： （2）当信号为因果信号时的傅里叶变换为： （3）因此，当信号为因果信号时，由（2）（3）可知，；当信号为非因果信号时，由（1）（3）可知，。 【例21】设有信号，可求得该信号的拉普拉斯变换和傅里叶变换分别

14、为，. 用MATLAB绘制傅里叶变换的频谱与拉普拉斯变换曲面图如下，程序见附录1图21 因果信号的傅里叶变换与拉普拉斯变换由图可知，因果信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换的频谱一致。【例22】设有非因果信号，用MATLAB绘制出信号的傅里叶变换与拉普拉斯变换的曲面图如下，程序见附录2：图22 非因果信号的傅里叶变换与拉普拉斯变换由图可知对非因果信号拉普拉斯变换的曲面图与傅里叶变换的频谱曲线不一致。2.2 拉普拉斯变换与z变换的关系连续信号的拉普拉斯变换：离散信号的z变换：对连续信号采样后的信号的拉普拉斯变换：代入理想采样信号【4】得采样序列的z变换为故，当时，。2.3 傅里叶变换与变换的关系 傅里

15、叶变换是拉普拉斯在虚轴上的特例，即，则，代入得由此可知采样序列在单位圆上的变换，就等于其理想采样信号的傅里叶变换的频谱。根据上述的讨论，可以得出三种变换法的关系如下图：FTZTLT即在满足一定条件时，从傅里叶变换到拉普拉斯变换只需令，从傅里叶变换到变换只需令，从拉普拉斯变换到变换只需令。其中拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，先找出变换与拉普拉斯变换的关系，再利用傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系推出其余变换的关系。3 几个重要变换在数字信号处理中的作用及其应用3.1 傅里叶变换在数字信号处理中的作用傅里叶变换揭示了连续非周期信号时域特性和频域特性之间的内在联系，傅里叶变换分析法是一种及其重要的信号分

16、析方法，可以说，现代信号处理发展了各种各样的信号分析方法，但还没有一种方法能够取代傅里叶变换分析方法的地位，而且在大部分应用中，傅里叶变换法还是最主要的分析手段。3.2 傅里叶变换在数字信号处理中的应用3.2.1 应用傅里叶变换求系统对非周期信号的响应系统的零状态相应定义【1】为： （31）与分别为线性时不变系统的单位冲激响应与激励。将（31）式两边取傅里叶变换，并利用其时域卷积定理得则为的逆变换。【例31】某线性时不变系统的冲激响应，求激励信号时系统的零状态响应。解：因为因此，系统零状态响应的频谱函数为进行逆变换得3.2.2 应用傅里叶变换求解微分方程已知阶LTI系统的微分方程的一般表示【3

17、】为两边取傅里叶变换并整理得可得系统的频响应函数为由此表明只与系统本身有关，与激励无关。【例32】已知某系统的微分方程为，求系统的频响函数。解：对微分方程两边同时取傅里叶变换，得则3.2.3 傅里叶变换在无失真传输中应用设输入信号为，那么经过无失真传输后，输出信号【5】为 （32）式中，是一个与时间无关的的常数，是滞后时间。设、的频谱函数分别为、，对（32）式进行傅里叶变换，由傅里叶变换的延时性得由于因此系统的无失真传输在频域的条件为3.3 拉普拉斯变换在数字信号处理中的作用 运用傅里叶变换分析法来求解信号的频谱也有局限性：一、某些信号，如指数增长信号，不存在傅里叶变换；二、系统频域分析法只能

18、求解系统的零状态响应，系统的零输入响应；三、频域分析中，傅里叶反变换一较为复杂。因此拉普拉斯变换是一种更加有效而简单的方法。拉普拉斯变换是以复指数为基本信号，将任意信号分解为众多不同复频率的复指数分量。3.4 拉普拉斯变换在数字信号处理中的应用3.4.1 应用拉普拉斯变换求解线性微分方程与它的逆变换得关系【7】.用拉普拉斯变换求解微分方程的步骤：（1）对微分方程（组）求拉普拉斯变换；（2）用代数法解出；（3）求出，即的逆变换。【例33】已知，求.解：对方程两边取拉普拉斯变换得整理得代入已知条件得因此3.4.2 拉普拉斯变换与复频域电路的分析 复频域电路的分析法的一般步骤【1】：（1）根据换路前

19、的电路（即时的电路）求时刻电感的初始电路和电容的初始电压；（2）求电路激励（电源）的拉普拉斯变换（即象函数）；（3）画出换路后电路（即时的电路）的复频域电路模型；（4）对复频域电路模型列出方程组，并求解方程组，从而求得全响应解的函数；（5）对所求得的全响应解的象函数进行拉普拉斯反变换，即得时域中的全响应解。【例34】电路如下图所示，已知，初级电压V，求次级零状态输出电压。R+ -*M解：（1）绘出域电路模型如图所示。R -*M（2）求激励的拉普拉斯变换由得.（3）根据域电路模型列回路方程并求解 即所以求拉普拉斯反变换得.3.4.3 应用拉普拉斯变换求系统的零状态响应系统的零状态响应求解步骤【8

20、】：（1）求系统输入的单边拉普拉斯变换；（2）求系统函数；（3）求零状态响应的单边拉普拉斯变换；（4）求得单边拉普拉斯逆变换。【例35】当线性连续系统的输入时，零状态响应。若输入信号为，求系统的零状态响应。解：、和的单边拉普拉斯变换分别为，因此故.3.5 变换在数字信号处理中的作用对于连续信号我们用傅里叶变换和拉普拉斯变换来求解，而在离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，因此，我们一般用变换来求解系统的零状态响应、零输入响应和全响应。3.6 变换在数字信号处理中的应用3.6.1 应用变换求一般因果序列激励下的零状态响应定义【8】 为离散系统函数，它是系统零状态响应

21、的变换与激励的变换之比。应用域分析法求解零状响应的四个步骤：（1）求激励的变换有（2）求离散系统函数，常用三种方法：若给定差分方程，则在零状态下取变换，并安可得；若给定，则为的变换；若给定系统图或信号流图，则有梅森公式可得。（3）求零状态响应的Z变换；（4）求得反变换得。【例36】已知离散系统输入为时，零状态响应。求输入为时系统的零状态响应。解：求、和，有，系统函数为所以 求的反变换为.3.6.2 应用变换求解差分方程【例37】已知描述某离散系统的差分方程为,已知，试求该系统的零输入响应，零状态响应和全响应。解：，（1）求零输入响应。当系统无外激励作用是时，可得齐次差分方程为对其进行变换可得整

22、理并代入初始条件的分子分母同乘以得 求其反变换得.（2）求零状态响应。此时系统的初始状态为零，对差分方程两边取变换有整理并代入初始条件得 分子分母同乘以得 求其反变换得.（3）求全响应: .【例38】用变换分析法求解微分方程。，解：对差分方程两边求变换得整理并代入初始条件的求其反变换得4 总结傅里叶变换、拉普拉斯变换和变换时是数字信号处理中分析信号的重要工具，傅里叶变换是很多方法的基础，例如拉普拉斯变换就是它的推广。本文对三种变换法的定义和性质做了简要的说明，讨论了三种变换法之间的联系，介绍了三种变换法在数字信号处理不同领域中的应用对教学研究有一定的价值。分析连续信号可以采用傅里叶变换法或拉普

23、拉斯变换法，傅里叶变换法是讨论信号作用于连续系统时在频域中求解其零状态响应的方法，如求任意激励信号作用下的零状态响应、系统的频域响应函数、无失真传输信号、微分方程的频域解；用拉普拉斯变换法求信号作用于连续系统时在频域中求解其零状态响应，远要比傅里叶变换法方便的多，当信号的傅里叶变换不存与对复频域的电路分析时，采用拉普拉斯变换法来求其零状态响应；离散信号采用变换法来求解离散系统的零状态响应、零输入相应和全响应。参考文献1 段民哲.信号与系统（第三版）M.北京：电子工业出版社，20082 程乾生.数字信号处理简明教程M.北京：高等教育出版社，20073 张小红.信号、系统与数字信号处理M.北京：机

24、械工业出版社，20044 刘顺兰、吴杰.数字信号处理M.西安：西安电子科技大学出版社，2003.46-48.5 许波.信号与系统分析M.西安：西安电子科技大学出版社，2007.1306 郑方、徐明星.信号处理原理M.北京：清华大学出版社，2003.47-50,95-104,118-137.7 C.Henry Edwards、David E.Penneyb.常微分方程基础M.北京：2005.269，270.8 杨晓非、何丰.信号与系统M.北京：科学出版社，2008.227,228,297,298.9 和卫星、许波.信号与系统分析M.西安：西安电子科技大学出版社，2007,106.10 薛年喜.MATLAB在数字信号处理中的应用M.北京：清华大学出版社，200311张洪涛、万红.数字信号处理M.武汉：华中科技大学出版社，2007,49-72附件附件1 a=0:0.1:5; b=-20:0.1:20; a,b=meshgrid(a,b); s=a+i*b; Fs=(1-exp(-2*s)./s; Fs=abs(Fs); subplot(2,1,1); meshc(a,b,Fs); view(-50,20); axis(-0,5