矩阵的条件数

1、第二章 向量范数与矩阵范数2.4 矩阵的条件数 考虑线性方程组 它有准确解为: 如果方程组的系数矩阵以及右端项发生微小的变化，得 它有准确解: ，可以看出，方程组的解变化非常大。 1226826.000018.00001xx(1,1)Tx 1226825.999998.00002xx(10, 2)Tx 定义定义1：设设 ，|.|是是Cnxn上的一个矩上的一个矩阵范数阵范数.矩阵矩阵A的的条件数条件数定义为定义为n nnAC1cond( )AA A常用的条件数有：常用的条件数有： 1cond ( )AAA1111cond ( )AAA112221cond ( )()nHHnAAAA AA A是的

2、最大特征值，是的最小特征值常用的条件数有：常用的条件数有：112221cond ( )(max,min,)niniiAAAA=是 的特征值例例1：cond ( )A123233345Acond( )1A 1cond( )=cond()AAcond()=cond( ),0,.kAA kkC2222cond ()=1cond ()=cond ()=cond ( )UUAAUAcond()cond( )cond( )ABAB111211112311111121n nnHnijnnn4247261028cond (H )=1.5514 10cond (H )=1.4951 10cond (H )=1.

3、525 10注：当矩阵当矩阵A十分病态时，就说明十分病态时，就说明A已十分接已十分接 近一个奇异矩阵。近一个奇异矩阵。2626.00001Adet( )0.00002A 1300000.5300000100000100000A16cond ( )8.00001 600000.54.8 10AAA定理定理1 设设 是一个可逆矩阵，是一个可逆矩阵， 是一个矩阵，是一个矩阵，|.| 是是Cnxn上的一个矩阵范数上的一个矩阵范数.若若 则则 可逆，且有可逆，且有11111()1AAAAAAAA11AAn nnACn nACAA推论推论1 设设 ， 若存在若存在Cnxn上的一个矩阵范数上的一个矩阵范数|

4、.| 使得使得 则有则有111()cond( )1 cond( )()AAAAAAAAAA11AAn nnACn nAC定理定理2 设设 ， ， 而而Cn上的向量范数上的向量范数 与与Cnxn上的矩阵范上的矩阵范数数|.| 相容相容.设设x是线性方程组是线性方程组Ax=b的解，的解， 是是线性方程组线性方程组 的解的解若若 ，则，则 xn nnACn nACnbC()AA xbb11AAcond( )1 cond( )()cond( )1 cond( )()xxAAAxAAAbAAbAA定理定理3 设设 ， ， 而而Cn上的向量范数上的向量范数 与与Cnxn上的矩阵范上的矩阵范数数|.| 相容相容.若向量若向量 分别满足分别满足Ax=b， ，则有，则有,nx xCn nnAC,nb rCAxbr1cond( )cond( )rxxrAAbxb011,01 1A1cond( )()AO3 33100,001iAiiACbCi ()AA xb