第二章(矩阵)

1、辅导答疑暂时安排辅导答疑暂时安排：时间：时间：地点：地点：教教4-5314-531如图所示表示了四城市间的如图所示表示了四城市间的航班图航班图,如果从如果从A到到B有航班有航班,则则用带箭头的线连接用带箭头的线连接 A 与与B.ABCD发站发站到站到站ABCDABCD0110101010010100由由mn个数个数排成的排成的m行行n列的数表列的数表1,2,;1,2,ijaim jn111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为称为mn矩阵矩阵. .简称为矩阵简称为矩阵. .aij 表示矩阵的第表示矩阵的第i行第行第j列列元素元素.111212122212nnmmmnaaaaaaA

2、aaa记号记号.m nijijm nAAaa元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.矩阵矩阵例如例如 34695301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 2222222613i是一个是一个 复矩阵复矩阵,33 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 例如例如 2222222613i是一个是一个3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaA 称为称为行矩阵行矩阵( (或行向量或行向量).). 行数与列数都等于行数

3、与列数都等于n的矩阵的矩阵A，称为，称为 n 阶阶方方阵阵. .也可记也可记作作An. .,21 naaaB只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵( (或或列向量列向量).). 称为称为( (或或）. . n 00000021(3) (3) 形如形如 的方阵的方阵, ,OO不全为不全为0记作记作 .,21ndiagA (4) (4) 方阵方阵 100010001nII称为称为单位矩阵单位矩阵（或单位阵）（或单位阵）. .全为全为 1方阵方阵000000 称为称为数量矩阵数量矩阵. .全为全为 1（5）元素全为零的矩阵称为零矩阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵， mn零零 矩阵记作矩阵记作

4、mn或或 . .注意注意 .00000000000000000000 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如(6)(6) 上三角矩阵上三角矩阵：主对角线下方元素全为零的方阵主对角线下方元素全为零的方阵 下三角矩阵下三角矩阵：主对角线上方元素全为零的矩阵：主对角线上方元素全为零的矩阵 200200261311121222000nnmnaaaaaa 24105000011212212000mmmnaaaaaa2.2.两个矩阵两个矩阵A=(aij)mn与与 B=(bij)mn为同型矩阵为同型矩阵, , 并且对应元素相等并且对应元素相等, ,即即 , 2 , 1;, 2 , 1

5、njmibaijij 则称则称矩阵矩阵A与与B相等相等, ,记作记作A=B.例如例如1214356843739与为为同型矩阵同型矩阵.同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念1.1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等, ,列数相等时列数相等时, ,称为同型矩阵称为同型矩阵. .例例1 设设,131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已已知知 解解,BA . 2, 3, 2 zyx(1)(1)矩阵的概念矩阵的概念 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211列列的的一一个个数数表表行行nm(2) 特殊矩阵特殊矩阵 方阵方阵 ;nm 行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;单位

6、矩阵单位矩阵;对角矩阵对角矩阵;零矩阵零矩阵.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000021上（下）三角矩阵上（下）三角矩阵.+ + + + + + + += a11 a12 a1sa21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1nb21 b22 b2n bs1 bs2 bsn= c11c12c1nc21c22c2ncm1cm2cmn0410111,12,1132101,.ABCAB AC设求解解05,19AB.AC无意义1212( ,.,)nnaaABb bba1212( ,.,)nnaaBAb bba1 11 212 122212nnnnn

7、nabababa ba ba ba ba ba b1 122()nnbab ab a1212,( ,.,).,.nnaaABb bbAB BAa设求例例 2 2例例3 3111213112321222323132333 aaabb b baaabaaab解解12 122 232 3a ba b a b123bbb22211 122 233 312211 213311 323322 3.a ba ba baabbaabbaab b111213112321222323132333aaabb b baaabaaab11 121 231 3a ba ba b=13 123 233 3a b a b a

8、 b1122,.,.1122ABAB BA设求解解0000AB4400BA. ()ABBA不可交换 且且 AB=O A=O 或或 B=O2311,.,.1321CDAC AD求1122,.,.1122ABAB BA设求解解2311,.,.1321CDAC AD求但是但是 ImAmn=Amn=AmnIn， ( k Im )Amn = kAmn = Amn (k In)ACADCDAO(矩阵乘法不适合消去律矩阵乘法不适合消去律) 3030AC3030AD11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb111212122212nnmmm

9、naaaaaaAaaa设，12,nxxXx12mbbbbAXb则方程组就是1231323514xxxxx12323511014xxx例例 5：写出线性方程组写出线性方程组 的矩阵形式的矩阵形式解：11111221221122221122nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa设，12,nxxXx12myyYyYAX则A为线性变换的系数矩阵(B + C)A = BA +CA11,1,2,.kkAAAA A k定义Ank设 为 阶方阵， 为正整数，,()mkm kmkmkm kA AAAA设为正整数，注意注意k

10、kkABA B一般，（）2010110101001A32100101011010AA A43010110101001AA A0110A例例 7 已知矩阵已知矩阵 ，求，求 A2, A3 及及A4解解： 定义（转置）定义（转置）111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa设，112111222212.mmnnmnaaaaaaAAaaa称为 的转置T T, ()m nn mAAT T行和列交换行和列交换位置位置例例122,458A1425 ;28AT T18 6 ,B18.6BT T11231013 ,22,.12111ABAB B A设求T TT T解解335184AB358()31

11、4B AABT TT TT T, .ijjiaai j即反对称矩阵：反对称矩阵：AA T T0,iiijjiaaaij 即例如， 下列矩阵是否是对称矩阵？反对称矩阵？031302120，211100105，223201310例例8 证明：任意矩阵都可以表示为一个对称矩阵与一证明：任意矩阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和个反对称矩阵之和 证证 设设A A为一个矩阵，令为一个矩阵，令 12()BAA12()CAA那么那么 111222 ()()() )BA AA AAA 12()AAB类似地，类似地， CC 即即B B为对称矩阵，为对称矩阵，C C为反对称矩阵容易验证为反对称矩阵容易验

12、证 AB C从而，从而，A A可以表示为对称矩阵可以表示为对称矩阵B B与反对称矩阵与反对称矩阵C C之和之和5. 5. 矩阵的行列式矩阵的行列式由由n阶阶方阵方阵A按照原来的按照原来的位置构成位置构成n阶阶行列式行列式称为方阵称为方阵A的行列式，记为的行列式，记为 A 或者或者detA.注意：只有方阵才能定义它的行列式注意：只有方阵才能定义它的行列式.性质：性质：n阶方阵的行列式具有如下性质：阶方阵的行列式具有如下性质：（1） |AT| = |A| （2）k |A| =kn | A|（3）|AB| = |A| |B|定义定义 如果如果n阶方阵阶方阵A的行列式的行列式detA0,则称则称A为为

13、非奇异矩非奇异矩阵阵(或或非退化矩阵非退化矩阵),如果如果detA=0,则称则称A为为奇异矩阵奇异矩阵(或或退化退化矩阵矩阵).定理定理 设设A,B都都是是n阶方阵，阶方阵，则则AB为为非奇非奇异矩阵异矩阵当且仅当且仅当当A，B都为都为非奇异矩阵非奇异矩阵.推论推论 设设A,B都都是是n阶方阵，阶方阵，如果如果A为为奇异奇异矩阵矩阵，则，则AB和和BA都为都为奇奇异矩阵异矩阵.|A1A2Ak | = |A1| |A2| |Ak | 一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换矩阵的三种初等变换：矩阵的三种初等变换：（1）互换矩阵两行）互换矩阵两行(列列)：rirj (ci cj)（2）某行）某行(列列

14、)乘以非零常数乘以非零常数k：kri(kci)（3）把）把j行行(列列)乘以非零数乘以非零数k加到第加到第i行行(列列)：ri+krj (ci+kcj)AB：矩阵：矩阵A经过初等变换变成经过初等变换变成B定义定义 2.17 由单位矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为称为n阶初等矩阵阶初等矩阵二、初等矩阵二、初等矩阵例如，例如， 经过一次初等变换可以得到下列经过一次初等变换可以得到下列几种初等矩阵：几种初等矩阵： 1001E1,2E 1Ek0k 2Ek0k 1,2Ek 2,1Ek0110001k100k101k101k111213142122232431323

15、334aaaaAaaaaaaaa设先看如下的例子先看如下的例子111213142122232431323334001010100aaaaaaaaaaaa313233342122232411121314aaaaaaaaaaaaArr31相当于相当于对实对实A施第一施第一种初等种初等行变换行变换(1,3)EA111213142122232431323334100000012,400100100aaaaAEaaaaaaaa再看如下的例子再看如下的例子111413122124232231343332aaaaaaaaaaaaAcc42相当于相当于对实对实A施第一施第一种初等种初等列变换列变换可以证明：可

16、以证明： mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211设设( , )mm nEi j A( , )m nnAE i j( ( )mm nEi kA( ( )m nnAE i k( , ( )m nnAE i j k( , ( )mm nEi j kAi 的的 行乘以行乘以Akji 的的 行的行的 倍加到倍加到 行上行上Ak交换交换 的的 ， 两行两行Ajii 的的 列乘以列乘以Akji 的的 列的列的 倍加到倍加到 列上列上Ak交换交换 的的 ， 两列两列Aji一、矩阵的行列式一、矩阵的行列式由由n阶方阵阶方阵A按照原来的按照原来的位置构成位置构成n行列式行列式称为方阵称为方阵A的

17、行列式，记为的行列式，记为 A 或者或者detA.注意：只有方阵才能定义它的行列式注意：只有方阵才能定义它的行列式.性质：性质：n阶方阵的行列式具有如下性质：阶方阵的行列式具有如下性质：（1） |AT| = |A| （2）k |A| =kn | A|（3）|AB| = |A| |B|定义定义 如果如果n阶方阵阶方阵A的行列式的行列式detA0,则称则称A为为非奇异矩非奇异矩阵阵(或或非退化矩阵非退化矩阵),如果如果detA=0,则称则称A为为奇异矩阵奇异矩阵(或或退化退化矩阵矩阵).定理定理 设设A,B都都是是n阶方阵，阶方阵，则则AB为为非奇非奇异矩阵异矩阵当且仅当且仅当当A，B都为都为非奇

18、异矩阵非奇异矩阵.推论推论 设设A,B都都是是n阶方阵，阶方阵，如果如果A为为奇异奇异矩阵矩阵，则，则AB和和BA都为都为奇奇异矩阵异矩阵.|A1A2Ak | = |A1| |A2| |Ak | 数数a 0：a a-1 = a-1 a =1若若A可逆，则可逆，则A-1存在，且存在，且 .二、矩阵的逆二、矩阵的逆1、定义、定义设有设有B和和C 满足满足 AB = BA = I, AC = CA = I.)()(CICCBAACBBIB 则则注意注意若若A, B均为方阵，且均为方阵，且AB = I (或或 BA = I), 则则A可逆且可逆且B=A-1.11,.,0nndDddd（）；1111nd

19、dD11, (0)kIIkk（ ）I -1 = I证证 3:11()()AB B A11()A BBA1AAI111()ABABB A所以可逆， 且4：1()AAT TT T1()A AT TI2、伴随矩阵、伴随矩阵 |A| =a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 annA11 A21 An1 A12 A22 An2 A1n A2n Ann 其中Aij是行列式 中元素aij的的的代数余子式的代数余子式. 推论推论2.22.2设设A为为n阶方阵阶方阵, 如果存在如果存在n阶方阵阶方阵B使得使得AB=In(或者或者BA=In), 则则A可逆且可逆且B=A-1.推论推论2.3

20、2.3设设A为为n阶可逆矩阵阶可逆矩阵, 证证()2A AII12( ()AAII112()AAAI所以 可逆， 且12()()A IAI112()IAIAA 所以可逆， 且在许多工程问题的矩阵计算中，由于矩阵的阶数一般很高，因此，为了使矩阵的结构更清楚，同时也为了利用矩阵所具有的某些特点，常常采用分块法，将大矩阵的运算化成一些小矩阵的运算。=A11A12A13A14 对于行数和列数较高的矩阵，我们用若干条纵线对于行数和列数较高的矩阵，我们用若干条纵线和横线将其分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为原来和横线将其分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为原来矩阵的子阵或子块，以这些子块为元素所构成的矩阵矩阵的

21、子阵或子块，以这些子块为元素所构成的矩阵称为称为分块矩阵分块矩阵。1、分块矩阵的概念、分块矩阵的概念111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa例如例如：123111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa通常，通常，要适当地选择分法，使一些子块为便于运要适当地选择分法，使一些子块为便于运算的特殊矩阵，如算的特殊矩阵，如单位矩阵单位矩阵，零矩阵零矩阵，上（下）上（下）三角形矩阵三角形矩阵等等11122122 AAAA123100201130041A选择如下的分法选

22、择如下的分法 100201130041A211 22IAAA0例如，对矩阵例如，对矩阵 便可以得分块矩阵便可以得分块矩阵 11111111,ssrrsrrsAABBABAABB同同型型矩矩阵阵加法：加法：分块方法相同分块方法相同11111111.ssrrrsrsABABABABAB分块矩阵有着与普通矩阵相类似的运算方法和性质分块矩阵有着与普通矩阵相类似的运算方法和性质对应块对应块相加相加1111.srrsAAAAA数乘：数乘：分块矩阵分块矩阵对应块对应块数乘数乘1111.srrskAkAkAkAkA11111111 , strrssst Am lBlnAABBABAABB设为矩阵， 为矩阵，分

23、块成11 ijijissjCA BA B其中1212,.iiisjjsjABAAABBB其中矩阵 列的分法与矩阵 行的分法相同 即子块的列数分别等于子块的行数则乘法乘法1111()tijr trrtCCCABCCC 求求 AB . 1000010011102101A1001112 1B212100 0010 0111 0210 1IAAI0 例例 设矩阵设矩阵 解解 分别把分别把A、B分块成分块成 211001112 1IBB222121111001.0000IIIABAIBAB0212100 0010 0111 0210 1IAAI0211001112 1IBB1111rssrAAAAA11

24、11TTsTTrsrAAAAA则则转置转置设设即分块矩阵转置时，既要把整个分块矩阵转置，即分块矩阵转置时，既要把整个分块矩阵转置，又要把其中每一个子块转置。又要把其中每一个子块转置。1(),ijm nmAa1(,.,),i1,2,.,miiinaa其中12()( ,),ij m nnAa1(,.,) ,1,2,.,jjmjaajn其中T T分块行矩阵分块行矩阵分块列矩阵分块列矩阵112diag(,)ttAAA AAA分块对角矩阵分块对角矩阵iAnAA其中 为 阶矩阵， 都是方阵也就是 的主对角线上的子块都是方阵，其余子块都是零矩阵！1100100031001000,0100013100210214AB11001000310010000100013100210214AB1122AOBOOAOB20004000100000561122ABOOA B 例例 设矩阵设矩阵 求求 AB.解解 1,mAAA1,mBBB1111+,+,+mmmmABA BABA BA BAB即即:则则:1,kkkmAAA特别地特别地:11,.,mmAAAAA设均可逆。.1111 mAAA则则分块对角分块对角的逆的逆且且|A| = |A1| |A2