机械制图第三章

1、12453投影法：将投射线通过物体向投影面投射，并在投影面上得到图形的方法。投影：根据投影法得到的图形，如下图（右）所示。1物体的投影1要得到物体的投影，必须具备投射线、物体和投影面三个条件。中心投影法：投射线可自一点发出平行投影法：一束与投影面成一定角度的平行线在日常生活中，影子能看出物体的外轮廓形状，它不能清楚表现物体的完整结构，如下图（左）所示。人们对这种现象进行科学的抽象，总结出物体、投影面和观察者之间的关系，形成了投影法的概念。2中心投影2中心投影法的投射线自一点S发出，S称为投射中心。物体投影的大小取决于物体、投影面和投射中心三者之间的相互位置，如下图所示不能反映物体的真实大小，度

2、量性差，在机械图样中很少被采用。优点缺点采用中心投影法绘制的图形符合人的视觉习惯，立体感较强，广泛应用于建筑、装饰设计等领域。3平行投影斜投影正投影投射线为平行线时的投影投射线与投影面倾斜投射线与投影面垂直斜投影正投影实形性：当物体的某一平面（或棱线）与投影面平行时，其投影反映实形（或实长）。积聚性：当物体的某一平面（或棱线）与投影面垂直时，其投影积聚为一条直线（或一个点）。类似性：当物体的某一平面（或棱线）与投影面倾斜时，其投影与原形状类似，即凹凸性、直曲性和边数不变，但平面图形变小了，线段变短了。3平行投影和正投影4视图：正投影法绘制的物体的图形。物体的一个视图只能反映出两个方向的尺寸情况

3、，不同形状的物体在同一投影面上的投影有可能相同，所以，一个视图不能准确地表达物体的形状，如右图所示。4三视图的形成用互相垂直的两个平面作投影面，将物体向这两个投影面作正投影，这两个投影联合起来能表达物体长、宽、高三个方向的尺寸。所以，一般情况下两个视图能清楚表达物体的形状，但有些物体用两个视图也不能准确地表达其形状，如左图所示。拿走空间物体，保持V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90，将W面绕OZ轴向后旋转90，使其和V面处于同一平面内。通常不画投影面和投影轴，然后根据图纸的大小调整三个视图的相对位置，即可得到物体的三视图，如图所示（由上到下）。为了唯一确定物体的形状和大小，就必须采用多面投影，

4、即将该物体同时向多个方向进行投射，然后将其中的两个或三个投影配合起来就能全面、准确地表达物体的形状。用互相垂直的三个平面V、H、W作为投影面，将物体向这三个投影面作正投影所得到的三个视图称为三视图，三个投影面的交线称为投影轴，用OX、OY、OZ表示。三视图的形成过程如下：将物体放入由V、H、W面组成的投影体系中，用正投影法分别得到物体的三个投影，即在V面上的投影称为主视图，在H面上的投影称为俯视图，在W面上的投影称为左视图。5“长对正、高平齐、宽相等”反映了三个视图的内在联系，不仅物体的总体尺寸要符合上述规律，物体上的每一个形体、平面、棱边和点都必须遵从上述规律，如右图所示。5三视图的投影规律

5、因为主视图反映了物体长度方向（X方向）和高度方向（Z方向）的尺寸，俯视图反映了宽度方向（Y方向）和长度方向的尺寸，左视图反映了高度方向和宽度方向的尺寸，所以三个视图存在如下规律：主、俯视图长度相等长对正；主、左视图高度相等高平齐；俯、左视图宽度相等宽相等。6绘制三视图时的两个顺序6绘制三视图案例绘制三视图前，首先要对物体作形体分析，然后根据物体的形成过程从基础形体入手，逐步画出各部分的三视图。物体各组成部分的画图顺序。绘制物体的三视图时，要先画基础形体的三视图，然后按物体的形成过程，逐步绘制各基础形体的三视图，且必须将一个基础形体的三个视图绘制完成后，再画下一个基础形体的三视图。同一个形体三个

6、视图的画图顺序。三个视图中要先画形状特征最明显的那个视图，然后根据“长对正、高平齐、宽相等”绘制其他两个视图。注：绘制三视图时，可设想分别从物体的前方、左侧和上方观察物体，可见的棱线和轮廓线用粗实线绘制，不可见的棱线和轮廓线用细虚线绘制，回转曲面的轴线、圆的中心线、视图的对称轴线用细点画线绘制，如图所示。12形体分析：此物体的基础形体是一个长方体，然后在其上右方叠加一个侧板，侧板和长方体的右面对齐，再叠加一个后板，后板和长方体的后面对齐，最后在侧板上切去一角。1.画右侧板。由于右侧板与底板的前、后、右面都共面，因此这三处无交线。可先画主视图，后画俯、左视图。2.画后板。后侧板与底板的后面共面，

7、和侧板不等高。可先画主视图，后画俯、左视图。3.画右侧板切角。先画左视图，后画主、俯视图。4.检查视图，擦去多余图线，加深其余图线即可完成全图。根据右图所示物体的立体示意图，绘制其三视图。【案例1】画图步骤（参见右图）： 画基础形体（底板）。先画俯视图，后画主、左视图。形体分析：该物体的基础形体是一个“L”形立体，在其左侧和底部各切去一个矩形通槽，再叠加两个三棱柱板。由主视图可知长和高两个方向的尺寸，宽度方向的尺寸要从立体示意图上量取。1.1.先画先画“L L”形基础形体。高度和长度形基础形体。高度和长度尺寸与主视图中的图线对齐，宽度尺寸从立尺寸与主视图中的图线对齐，宽度尺寸从立体图上量取。体

8、图上量取。2.2.画左侧和底部切槽。左侧切槽先画俯画左侧和底部切槽。左侧切槽先画俯视图，底部切槽可由主视图中的投影画出。视图，底部切槽可由主视图中的投影画出。主视图上有的尺寸，不要从立体图上测量，主视图上有的尺寸，不要从立体图上测量，没有的尺寸从立体图上量取。没有的尺寸从立体图上量取。3.3. 画三棱柱板。从立体图上量取三棱画三棱柱板。从立体图上量取三棱柱板的尺寸时，必须沿柱板的尺寸时，必须沿X X、Y Y、Z Z三个投影轴方三个投影轴方向测量，立体图上和三个投影轴不平行的线向测量，立体图上和三个投影轴不平行的线段不反映实长，如三棱柱板的斜边。段不反映实长，如三棱柱板的斜边。已知图（a）所示的

9、主视图，参考其立体示意图补画俯、左视图。【案例2】画图步骤（参见右图）：形体分析：该物体是由一个长方体经3步切割而成，即先切割一个长方体的槽，再用两个平面切去一个角，最后切去一个三棱柱角，如下图所示。根据右图所示物体的立体示意图，绘制其三视图。【案例3】1.1.绘制基础形体长方体的主视图、绘制基础形体长方体的主视图、左视图和俯视图。左视图和俯视图。2.2.依次画长方体切槽的俯视图、依次画长方体切槽的俯视图、左视图和主视图。左视图和主视图。3.3.画后面的切角。先画该切角的画后面的切角。先画该切角的左视图，再画俯、主视图。左视图，再画俯、主视图。4.4.画前面的三棱柱切角。先画切画前面的三棱柱切

10、角。先画切角的主视图，再画俯、左视图。角的主视图，再画俯、左视图。画图步骤（参见下图）：需要特别注意的是，从立体图上量取尺寸时，一定要沿投影轴方向测量，和投影轴不平行的棱线在立体图上不反映实长。1点的投影1提示：统一规定，空间点用大写拉丁字母提示：统一规定，空间点用大写拉丁字母A A，B B，表示，表示，H H面投影用相应的小写字母面投影用相应的小写字母a a，b b，表示，表示，V V面投影用相应的小写字母加一撇面投影用相应的小写字母加一撇如如aa，bb，表示，表示，W W面投影用相应的小写字面投影用相应的小写字母加两撇如母加两撇如aa，bb，表示。表示。 如果空间不同位置的两个点在某个投影

11、面如果空间不同位置的两个点在某个投影面上的投影重合，称这两点为该投影面的重影点。上的投影重合，称这两点为该投影面的重影点。此时，在重影点所在的视图中，不可见点的投此时，在重影点所在的视图中，不可见点的投影应加圆括号，并注写在可见点的后面，如影应加圆括号，并注写在可见点的后面，如ee（f f）。）。空间点对于由V、H和W平面组成的投影体系有以下三种位置关系：当点的x、y、z坐标均不为零时，点的三面投影均落在投影面内，如图下中A点的投影。当点的x、y、z坐标有一个为零时，空间点在投影面上，其两个投影落在投影轴上。特别注意：当点在特别注意：当点在H H面上时，该点在面上时，该点在W W面的投影落在面

12、的投影落在OYOY轴上，当按三视图的形成方法展开轴上，当按三视图的形成方法展开投影面时，其投影面时，其W W面的投影随面的投影随OYOY轴一起绕轴一起绕OZOZ轴向后旋转落在轴向后旋转落在OYOYW W轴上轴上，如下图中B点的投影。当点的x、y、z坐标均有两个为零时，空间点在投影轴上，其一个投影与原点重合，如下图中C点的投影。无论点在空间处于什么位置，其三面投影仍然遵守“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。2直线的投影2空间直线对投影面有三种位置关系：垂直、平行和倾斜（一般位置）。若空间直线垂直于一个投影面，则必平行于其他两个投影面，这样的直线称为投影面垂直线。垂直于V、H、W面的直线分别称之

13、为正垂线、铅垂线和侧垂线。投影面垂直线在其垂直的投影面上的投影积聚为一个点，在其他两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴，且反映实长，如右图所示。铅垂线正垂线侧垂线1投影面垂直线2若空间直线平行于一个投影面，且倾斜于其他两个投影面，这样的直线称为投影面平行线。平行于V、H、W面的直线分别称之为正平线、水平线和侧平线。投影面平行线在与其平行的投影面上的投影反映实长，在其他两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴，且投影线段的长小于空间线段的实长，如下表所示。水平线正平线侧平线若将投影面平行线与V、H、W面的夹角定义为、和，则该直线和与其平行的投影面的夹角为0，和其他两个投影面的夹角在其平行的投影面上反

14、映真实大小。2投影面平行线2一般位置直线和三个投影面均处于倾斜位置，其三个投影均与投影轴倾斜，且投影线段的长小于空间线段的实长，从投影图上也不能直接反映出空间直线和投影平面的夹角，如下图所示。3一般位置直线3平面的投影3空间平面对投影面有三种位置关系：平行、垂直和倾斜（一般位置）。1投影面平行面若空间平面平行于一个投影面，则必垂直于其他两个投影面，这样的平面称为投影面平行面。平行于V、H、W投影面的平面分别称为正平面、水平面和侧平面。投影面平行面在与其平行的投影面上的投影反映实形，在其他两个投影面上的投影积聚成一条直线，且平行于相应的投影轴，如右表所示。水平面正平面侧平面32投影面垂直面空间平

15、面垂直于一个投影面，且倾斜于其他两个投影面，这样的平面称为投影面垂直面。垂直于V、H、W投影面的平面分别称之为正垂面、铅垂面和侧垂面。投影面垂直面在与其垂直的投影面上的投影积聚成一条直线，该直线和投影轴的夹角反映了空间平面和其他两个投影面所成的二面角，在其他两个投影面上的投影为类似形，如表右所示。正垂面铅垂面侧垂面33一般位置平面若空间平面和三个投影面均处于倾斜位置，则该平面称为一般位置平面。一般位置平面在三个投影面上的投影均为类似形，在投影图上不能直接反映空间平面和投影面所成的二面角，如下图所示。4综合案例（一）4 平面MNP的V、H面投影均为三角形，而三条直线PM、MN和NP均为一般位置直

16、线，所以不能直接断定平面MNP是侧垂面还是一般位置平面，但可采用这两种方法来判断。一种是补画出W面投影，看其是否积聚成一条直线；另一种是作平面内的水平线或正平线，看其是否垂直于W面。若垂直于W面，则为侧垂面，否则为一般位置平面。本例采用后一种方法，由于平面MNP内的水平线MK不垂直于W面，因此平面MNP为一般位置平面。 分析： 平面ABC中，BC是侧平线，AB是水平线，AC是正平线，所以平面ABC中不能作出既平行于H面，又平行于V面的直线，故平面ABC是一般位置平面。 平面DEF中，直线DE是侧垂线，直线DF和EF均为一般位置直线，所以平面DEF是侧垂面。判断下图中平面ABC、DEF和MNP对

17、投影面的位置关系。【案例1】4分析：由“长对正”可知，这两个三角形只能对应俯视图上的acb（d），考虑到直线BD可能是铅垂线，结合其基础形体长方体，可断定abc对应abc，而BCD为正平面，在长方体的前面上，然后由ABC和BCD的主视图和俯视图，可在左视图上找到这两个平面，进而想象出物体的形状，如图（b）所示。已知下图（1）所示立体的三视图中有一个一般位置平面ABC，请标出其三面投影。【案例2】因为ABC是一般位置平面，所以其三个视图一定均为类似形，而主视图和左视图均为两个三角形，因此可先从主视图开始分析，将主视图分为abc和bcd，如图(a)所示。4分析：下图所示为五棱锥的三视图，判断五棱锥

18、的侧面和侧棱对投影面的位置关系。【案例3】由图可知五棱锥的后侧面SDE的底边DE是侧垂线，所以SDE是侧垂面，其他四个侧面是一般位置平面，底面是水平面。五棱锥的侧棱SB是侧平线，其他四条侧棱是一般位置直线。4已知下图（1）所示物体的主视图和左视图，分析物体上的平面对投影面的位置关系，想象物体的形状，补画出俯视图。【案例4】画图步骤：补画俯视图时，要先画长方体的俯视图，然后画左右切角后的俯视图，再画前方切角后的俯视图，最后画矩形竖槽。完成的视图如图3所示。首先想象其基础形体，基础形体为长方体；由主视图上两条斜线可知，在长方体上用两个正垂面切去左右两个角；由左视图上的斜线可知，在长方体上用一个侧垂

19、面切去前方的一个角；由主视图中间的矩形和左视图中的虚线可知，还要在长方体前方切去一个矩形竖槽，如图2所示。提示：已知两个视图，要补画其他视图时，首先应根据已知视图中对应线框的投影想象其立体图，然后再根据立体图，并结合投影关系补画其他视图。在想象立体图时，可从反映该特征最明显的视图入手，忽略图中的虚线和部分线条想象其基础形体，然后再考虑其他图线产生的原由。 补画某个视图时，为了防止出现错误，一定要按该物体的形成过程绘制，切记不要看到棱边就画，想画哪就画哪。4根据左下图所示立体示意图绘制其三视图，尺寸1:1从该立体图上量取。【案例5】形体分析：该立体图可以理解为由基础形体通过叠加和切割形成的，即在

20、长方体的基础上叠加一个形体，然后切割一个矩形角和三角形角，如右下图所示。需要注意的是，同一个形体可以有多种分析方法，不同的分析方法，其画图的难易程度不同。4画图步骤：本例要求采用1:1的绘图比例绘图，因此绘制三视图时，需要在立体图上量取尺寸。在立体图上量取尺寸时，要沿与立体图中X、Y、Z轴平行的方向（即轴测轴方向）测量，如右图所示。在画三视图时，需要根据该立体的形成过程逐步绘制各部分的投影。此外，画三视图时要先打底稿，画完整个立体的三个视图后再加深图线，具体画图步骤如右图所示。2直线和直线的位置关系2直线和直线的位置关系有平行、相交和异面（交叉）。若空间两直线平行，则这两直线的同面投影均相互平

21、行；反之，若两直线的同面投影相互平行，则这两直线平行。如图3-30（a）中，直线K1和K2、M1和M2、N1和N2平行。一般情况下，直线的两组同面投影平行，则空间两直线平行，但当直线为投影面平行线时，通常还要检查在其所平行的投影面上的投影是否平行。如图3-30（b）所示，虽然abcd，abcd，但由于AB、CD均为侧平线，且侧面投影ab与cd相交，故两条直线不平行。1空间两直线平行32空间两直线相交若空间两直线相交，则三个投影必相交，且交点符合点的投影规律；反之，若两直线的各组同面投影都相交，且交点符合空间点的投影规律，则空间两直线平行。若两直线的三个同面投影相交，但交点不符合点的投影规律，则

22、空间两直线不相交（即异面）。如下图中，直线K1和K2、M1和M2、N1和N2相交，AB和CD不相交。33空间两直线交叉（异面直线）既不平行又不相交的两直线称为交叉直线或异面直线。交叉两直线的同面投影可能相交，但其交点并不是空间交点的投影，而是重影点。对重影点可见性的判断，可以帮助判断两直线的交叉关系。如图（a）所示，H面投影上的交点实际上是点、的重影点，根据上遮下的方法可知点可见，点不可见，故直线CD在直线AB的前方。交叉两直线的投影可能会有一组或两组同面投影平行，但绝不会有三组投影平行，如图（b）所示。一般情况下，若两个投影面上两直线的投影均相交，且交点符合点的投影规律，则两直线一定相交。但

23、若其中有一直线为投影面平行线，则一定要检查两直线在三个投影面上的交点是否符合点的投影规律，如图（c）所示。34空间直线和直线垂直直线和直线垂直可分为垂直相交和垂直异面。直角射影定理：如果空间直线ABCD，且ABH面（水平线），则AB和CD的水平投影abcd；反之，如果abcd，且ABH面（水平线），则空间直线ABCD，如下图所示。由直角射影定理可知，空间互相垂直的两条直线（即垂直相交或垂直异面），若两条直线都与某投影面倾斜，则两直线在该投影面上的投影不垂直。只有当两条直线中至少有一条直线平行于某投影面时，这两条直线在该投影面上的投影才垂直。如下图所示的直线中，直线K1和K2、M1和M2、N1和

24、N2垂直，AB和CD不垂直。3点和平面的位置关系3点和平面的位置关系有两种：点在平面上和点不在平面上。若点在平面内的一条已知直线上，则该点在平面上。如图（a）所示，已知平面ABC的三面投影，及K点的V面投影k，求作K点的H面和W面投影。作图方法：过K点在平面ABC内作一条直线AM，求出AM的V，H面投影，则K点的水平投影k在AM的水平投影am上，然后利用点的投影规律求出k。采用同样的方法，可判断空间点是否在平面上。如图（b）所示，已知K点的V，H面投影k和k，通过作辅助线AM可知，K点的H面投影k不在am投影线上，故K点不在平面ABC上。4直线和平面的位置关系4直线和平面的位置关系有：平行、相

25、交和直线在平面内三种。直线在平面内可以理解为直线和平面平行的特例，直线与平面垂直是直线和平面相交的特例。如图（a）所示，直线AB上的两点C，D在平面H内，则直线AB在平面H上；直线CD和点G在平面H内，且过G点的直线EF平行于CD，则EF在平面H内；如图（b）所示，ABC确定一个平面，E点在该平面内，过E点作EFAC，则EF一定在平面ABC内。1直线在平面内判断直线是否在平面内： 若直线上的两点在平面内，则直线在平面内； 过平面内的一个已知点，作平面内的一条已知直线的平行线，则直线在平面内。图（c）为四棱锥上加工一个三棱柱孔的三视图，三棱柱孔的端面三角形在四棱锥的前、后侧面上，已知三棱柱孔的主

26、视图后，可用上述基本作图方法求出三棱柱孔的俯视图和左视图。4如图（a）所示，已知CD是平面ABC内的一条水平线，mncd，mncd，则空间直线MN平行于平面ABC；图（b）中立体上面的棱线AB和CD平行于立体的底面。2直线与平面平行直线与平面平行的判定定理：若空间一直线平行于平面上的任意一条直线，则该直线与该平面平行。4如图所示，已知直线MN是正垂线，要作MN与平面ABC的交点O，作图方法是：交点O的V面投影o和m（n）点重合，O点在平面ABC内，过O点在平面ABC内作一条直线AD，然后求出AD的水平投影ad，则ad和mn的交点就是O点的水平投影o。根据交叉直线AB的V面投影ab在直线MN的V

27、面投影m（n）的上方，可以判断出水平投影中平面ABC挡住了直线MN上的部分，即被遮挡部分用虚线表示。3直线和平面相交直线和平面相交时，交点为直线和平面的公共点。若直线和平面两者中有一个对投影面处于垂直位置，则交点可直接求出。4上图中，已知两三棱柱相交，要补画俯视图中的小三棱柱，作图方法是：先求出小三棱柱的三个侧棱的水平投影，然后求出小三棱柱的三个侧棱和大三棱柱侧面的交点A，B，C的水平投影，再根据可见性连线即可。下图中，已知平面P是正垂面，MN是一般位置直线，要作直线MN和平面P的交点，作图方法是：mn和p的交点就是直线MN和平面P的交点O的V面投影o，O点在直线MN上，所以O点的水平投影o在

28、mn上。从V面投影上看，mo在p的上方，所以水平投影上mo可见，no不可见。4如图（b）所示，平面ABC是正垂面，过D点作平面ABC的垂线DE，则DE一定是正平线，DE的V面投影de和平面ABC的V面投影abc垂直，E点为垂足点，DE的H面投影de平行于OX轴。4直线和平面垂直直线和平面垂直的判定定理：若空间直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线和平面垂直。如图3-39（a）所示，直线BD垂直于平面P内的相交直线AB和BC，所以直线BD垂直于平面P。如图（c）所示，已知一般位置平面ABC和D点的两面投影，要过D点作直线DE垂直于平面ABC，作图方法是：先在平面内作一条水平线C和一条正平线A，

29、根据直角射影定理，作dea2，dec1，则DE垂直于相交直线C和A，所以DE垂直于平面ABC，垂足不能直接求出。5平面和平面的位置关系5平面和平面的位置关系有平行和相交两种情况，垂直是相交的特例。如图（a）所示，平面P内的相交直线AB和BC，分别平行于平面P1内的相交直线A1B1和B1C1，则平面P平行于平面P1。1平面与平面平行平面和平面平行的判定定理：若在一个平面内能作出两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则两平面平行。过空间一点只能作一个平面平行于已知平面。如图（b）中，acgd，acgd，所以空间直线ACGD；cbde，cbde，所以空间直线CBDE。由ACGD和CBDE，可

30、以断定平面ABC平行于平面DEFG。5若两平面中一个为投影面垂直面，另一个为一般位置平面，则交线为一般位置直线，如图（b）所示。要判断图（b）中V面投影的可见性，要先从H面投影分析，三角形平面被矩形平面分为两部分，前部分三角形的V面投影可见，后面的四边形部分被矩形遮挡。2平面与平面相交平面与平面相交时，其交线为两平面的公共线。若两平面均垂直于某投影面，则交线也垂直于该投影面，如图（a）所示。要判断图（a）中H面投影的可见性，要先从V面的投影分析。从V面投影看，三角形平面被矩形平面分为两部分，上部分三角形的H面投影可见，下部分四边形部分被矩形遮挡。图（c）为三棱柱被水平面CDEF和正垂面ABCD

31、切去一角后的三视图，平面CDEF和平面ABCD的交线CD是正垂线。5如图（b）所示，要过空间A点作任意一个平面ABC垂直于正垂面P和铅垂面M，作图方法是：先作一条水平线AB垂直于平面M，再作一条正平线AC垂直于平面P，则平面ABC为所求平面。3平面与平面垂直平面和平面垂直的判定定理：若空间直线垂直于一平面，则包含该直线的所有平面都垂直于该平面。如图（a）所示，直线AB垂直于平面P，则包含直线AB的平面M和平面N均垂直于平面P。如图（c）所示，要过K点作一个侧垂面KMN，且KMN垂直于一般位置平面ABC。作图方法是：先按图3-42（c）所示作一条直线KM垂直于平面ABC，再作一条侧垂线KN，则平

32、面KMN为所求平面。6综合案例（二）6直线BC和AB不与平面P相交，而矩形的左边和ABC相交，设交点为M，因矩形的左边为正垂线，所以不能直接求出交点的投影。但交点M的V面投影m和矩形左边的V面投影重合，因此可求出交点M的H面投影m，其作图方法见图（b）所示。分析：由V面投影可知，平面P是正垂面，ABC是一般位置平面，故两平面的交线是一般位置直线。直线AC和P平面相交，交点K的V面投影为直线AC和平面P的V面投影的交点k，水平投影k在AC的水平投影ac上。俯视图中平面ABC和矩形P的可见性要结合主视图分析，由于交线为可见和不可见的分界线，所以交线KM的水平投影是可见的；直线AC和平面P的交点K将

33、AC分为AK和KC两段，AK的水平投影可见，KC的水平投影部分被平面P遮挡，其余类推。求图（a）所示平面ABC和矩形P的交线，补画俯视图并判断可见性。【案例1】6分析：平面P为铅垂面，平面ABC是一般位置平面，所以两平面的交线EF为一般位置直线。若要过K点作一条既平行于平面ABC，又平行于平面P的直线，则该直线必平行于两平面的交线，所以先求出平面ABC和平面P的交线EF的两面投影，再过K点作交线EF的平行线KM，则KM即为所求。具体的作图过程如图（b）所示。已知图（a）所示平面ABC、平面P和K点的两面投影，完成相交两平面的V面投影，并过点K作直线KM，使KM平行于平面ABC和平面P。【案例2

34、】6分析：由图（a）可知，四棱锥的底面是水平面，四个侧面是一般位置平面。两个截平面中一个是水平面，另一个是正垂面。俯视图中，水平面和四个侧面均相交，且四条交线平行于四棱锥底面的棱线，截断面为五边形；左视图中，水平截平面的投影为一条直线段，所以只要求出左侧棱和水平截平面交点的水平投影，然后作底面侧棱的平行线，即可求出水平截断面的俯视图，最后根据“宽相等”即可求出其侧面投影。图（a）所示为四棱锥被两平面切割，补画切割后的俯视图和左视图。【案例3】正垂截平面只和两个侧面相交，截断面为三角形。两个截平面的交线为正垂线，根据“长对正”先求出截断面的俯视图，然后根据“宽相等”求出其左视图，最后整理三棱锥的

35、轮廓线。注意：左视图中，右侧棱的投影有一段不可见，所以画成虚线，如图（b）所示。1直角三角形法1当直线或平面相对投影面处于一般位置时，其投影不能直接反映出它们的实长、实形及对投影面的倾角。但在工程上，往往要求用作图的方法解决这一问题。常用的是直角三角形法和投影变换法。直角三角形法的原理如图（a）所示，在直角ABD中，ADab，BDZBZAZ，AB为空间直线AB的实长，BAD为直线AB与H面的夹角。从投影图（b）可以看出，a点与b点的Z坐标差Z是已知的，所以可画出直角abB，使abB ABD，则aB为空间直线AB的实长，baB为直线AB与H面的夹角。同理，若求直线AB与V面的夹角，可用a点与b点

36、的Y坐标差Y为直角边作直角abB，则Bab为直线AB与V面的夹角，aB为空间直线AB的实长。2直角三角形法2一般位置直线可经过一次换面将其换成新投影面的平行线。如图所示，若要求空间直线AB对H面的夹角和AB的实长，可在由V，H面组成的投影体系中添加新投影面V1，使V1和H面垂直，且与直线AB平行，则在由V1，H面组成的新投影体系中AB为正平线，且直线AB端点的Z坐标不变，由此可在V1面上得到直线AB的投影a1b1。从图可见，直线AB的水平投影ab与X1轴平行，新投影a1b1反映一般位置直线AB的实长，a1b1与X1轴的夹角反映空间直线AB与H面夹角的实际大小。1直线的投影变换2具体作图方法（如

37、右图所示）： 在适当位置画出新轴X1平行于ab； 过a，b点分别作新轴X1的垂线，然后量取a1ax1axZa，b1bx1bxZb，即可得a1和b1点。 连接a1b1即为所求，a1b1AB，反映实长，a1b1与X1轴的夹角反映直线AB与H面夹角的实际大小。若要求直线对V面的夹角，可在由V，H面组成的投影体系中添加新投影面H1，使H1和V面垂直，且与直线AB平行，则在由V，H1面组成的新投影体系中AB为水平线，且线段AB端点的Y坐标不变，所以可由原投影求出直线在H1面上的投影，以及直线AB对V面的夹角，如左图所示。2如图所示，直线AB为水平线，可在由V，H面组成的投影体系中添加新投影面V1，使V1

38、与H面垂直，并与直线AB也垂直，则在由V1，H面组成的新投影体系中直线AB为正垂线，此时可求出直线AB在V1面上的投影，如图所示。投影面平行线经过一次换面可以变换成投影面垂直线。2一般位置平面经过一次换面可以变换为投影面的垂直面，因此，经过一次换面可求出该平面与投影面的夹角。如右图所示，若要求平面ABC与V面的夹角，可在由V，H面组成的投影体系中添加平面ABC的投影面垂直面V1。具体作图方法（如右图所示）： 先在平面内作一条水平线BD，使新投影面V1垂直于H面和这条水平线BD。 作新轴O1X1与BD的水平投影bd垂直。 按直线的投影变换求出ABC各点的新投影，即可得ABC的积聚投影a1b1c1

39、，则积聚投影a1b1c1与新轴O1X1的夹角反映平面与V面的夹角的实际大小。2平面的投影变换同理，若要求平面ABC与H面的夹角，则需要变换H面，并在平面ABC内作一条正平线，将正平线积聚成一个点。2投影面垂直面经一次换面可将其换成投影面平行面，从而求出其实形，如图所示。作图方法是：保留H面换掉V面，并使新投影面V1与H面垂直，同时与平面P平行，因此平面P在新投影体系中为正平面，其投影反映实形。一般位置平面可经过两次换面求出其实形，即先将一般位置平面变换成投影面垂直面，再将其变换成投影面平行面求出实形。3综合案例（三）3分析：“凸”字形断面为正垂面，断面形状可理解为矩形切去两个小矩形。矩形的高度

40、（39）在主视图上反映其实长，矩形的宽度（40）在俯视图上反映其实长，所以可画出矩形的实际大小。同理，也可画出小矩形的实际大小。求下图所示物体“凸”字形断面的实形。【案例1】3分析：三棱锥S-ABC的四个面均为一般位置平面，锥顶S到底面ABC的高SD是一般位置直线，若将底面ABC变换成新投影面的垂直面，则高线SD在新投影面上的投影与底面ABC的投影垂直，且SD平行于新投影面，因此SD在新投影体系中的投影即为高线SD的实长。作图步骤（参见图3-53（b）：在底面ABC内作一条水平线bm，然后添加新投影轴O1X1（新轴O1X1与水平线bm平行），从而将底面ABC变换为新投影面V1的垂直面。如图3-

41、53（a）所示，求三棱锥的锥顶S到底面ABC高的实长和投影。【案例2】依次求出锥顶S和底面ABC在V1面内的投影，然后过s1点作直线a1c1的垂线s1d1，则s1d1为高线SD的V1面投影。SD在新投影体系中为正平线，所以，s1d1即为高线SD的实长。过s点作O1X1轴的平行线，然后过d1点作O1X1轴的垂线，两线的交点d为D点在H面上的投影。利用d1点到O1X1轴的距离等于D点的Z坐标，可求出D点的V面投影d。3分析：为了求出二面角C-AB-D的实际大小，需要将交线AB变换为投影面的垂直线，而AB为一般位置直线，所以需要经过两次换面才能将交线AB变换为投影面垂直线。作图步骤（参见图（b）：添

42、加新的投影面V1，则在由V1，H面组成的投影体系中，交线AB为正平线，所以添加的X1轴平行于ab。求出二面角C-AB-D在V1面上投影c1-a1-b1-d1。求图（a）所示变形接头左侧面和前面所成二面角C-AB-D的大小。【案例3】保留V1面，添加新的投影面H2，则在由V1，H2面组成的投影体系中，交线AB为铅垂线，所以添加的X2轴垂直于a1b1。求出二面角C-AB-D在H2面上投影c2-a2b2-d2，该角即为二面角C-AB-D的实际大小。1测绘任务说明1徒手绘制图3-55所示平面立体的草图，按1:1测量尺寸，并将尺寸标注在草图上，然后利用绘图工具或AutoCAD绘图软件绘制该立体的工作图样

43、。2测绘步骤2测绘前先对零件进行分析，以确定主视图的投射方向，一般选形状特征最明显的方向为主视图的投射方向。主视图的投射方向确定后，左视图和俯视图的方向也就随之确定。1确定主视图的投射方向徒手绘制草图时，可先用2H铅笔轻轻画出底稿，然后再用H或2H铅笔加深细线，用HB铅笔加深粗实线，线型要粗细分明。画草图的粗实线铅笔笔尖要削成圆头。绘图时要注意图样上直线和圆弧的宏观效果，不要仅仅计较某些细节上的曲直。较长的线和圆弧可分段画，即画一段后停顿一下，调整一下方向和姿势，然后再画下一段。绘图时各图线的尺寸采用目测，使各图线间的比例大致准确即可。右图为案例平面立体的草图。2徒手绘制草图2用钢板尺、游标卡

44、尺等测量工具测量线性尺寸，并将尺寸标注在草图上。标注尺寸时要注意，对称结构要以对称轴为基准标注两侧的总体尺寸，如俯视图上的尺寸50和主视图上的尺寸30。3确定主视图的投射方向由草图绘制工作图样的方法有两种，一种是尺规作图，一种是采用计算机绘图软件（AutoCAD）绘图，软件绘图将在下一节讲述。尺规作图的步骤如下： 4徒手绘制草图1.确定图纸大小和绘图比例。先根据图样的复杂程度确定图纸大小，然后根据物体的大小和图纸的幅面选择绘图比例，尽量选择国家标准推荐的绘图比例。2.绘制图样。在图板上用透明胶带固定好图纸的四角后，先用2H（或H）铅笔画底稿，底稿宜浅不宜深，以能看清楚为准；尺寸的底稿只画尺寸界线和尺寸线，箭头不画底稿，画底稿时只画控制字高的底稿线即可。画底稿的顺序为“图框线标题栏图样”。全部底稿画完后再加深图线。加深用的粗线铅笔和细线铅笔按第1章介绍的方法切削，加深顺序为“视图中的细线和尺寸视图中的粗实线图框和标题栏”。23.填写标题栏。在标题栏中将图样的名称、材料、代号，以及绘图比例等内容填写在相应位置。4.校核全图。全面检查图样，确认正确无误后在标题栏中签上制图人名称及日期，最后取下图纸即可。