有限元5-有限条

1、土木工程学院有限单元法有限单元法P-1/60有限单元法有限单元法第五章 有限条法土木工程学院有限单元法有限单元法P-2/605.1 引言 一、 发展概况 对于许多具有规则几何形状和简单边界条件的结构来说，完全的有限元分析常常是既浪费又不必要，有时甚至不可能（指超出计算机能力）。（张佑启结构分析的有限条法） 有限条法(Finite Strip Method)诞生于二十世纪60年代，一般认为主要创始人有：Y.K.Cheung(张佑启)教授和G.H.Powell(鲍威尔)、 D.W.Ogden(奥格登)两人。Y.K.Cheung在19661969年间首先用有限条法研究了矩形薄板弯曲问题，后两人开始于

2、板式桥梁的研究工作。土木工程学院有限单元法有限单元法P-3/60常见的有限条可分为1）根据形状 矩形条，扇形条，斜板条2）根据受力 弯曲板条，平面应力条，薄壳条本节的主要内容：矩形弯曲板条 有限条法在桥梁结构静力、动力和稳定分析方面得到广泛应用，并取得良好的效果。有限条法自从诞生以来，得到了迅速发展，在众多国内外学者的大量研究和实践中，先后提出了高阶有限条、样条有限条、组合有限条等方法，进而提出了有限层法、有限棱柱法、双样条子域法、有限条传递矩阵法等新方法。土木工程学院有限单元法有限单元法P-4/60土木工程学院有限单元法有限单元法P-5/60二、有限条法的力学模型二、有限条法的力学模型 有限

3、条法可看作是有限元的一种特殊形式或分支，是一种（有限元）半解析法，适应于一些量大面广的、常用的规则结构形式，采用有限条法可使弹性力学中的二维问题化为一维问题（三维化为二维），使总刚方程降阶，从而提高效率。 有限条单元结构的组合单元是沿结构纵向分布的“条”，条间纵向用结线连接，由于桥梁的纵向结构和这种“条”式单元基本一致，故采用此法分析时十分有效。 土木工程学院有限单元法有限单元法P-6/60 象有限元一样，有限条法亦需将连续体离散化，所不同的是，不象有限元一样可沿任意方面离散，而只能沿某一方向。如图示矩形板，用有限元分析（矩形元）的网格划分如右图示，而有限条则是沿x方向等分成若干条带。 有限条

4、：x方向采用多项式插值函数y方向采用三角级数三角级数表示： 然后板的位移函数采用一总和函数总和函数表示： )(xff )(yYf （梁函数梁函数） rmmmyYxfw1)()(土木工程学院有限单元法有限单元法P-7/60三、有限条法与有限元法的比较有限元有限条适用于任何几何形状、边界条件，材料变化，用途极广。用于规则形状的结构，中间可有弹性支撑，特别是桥梁。自由度较多，带宽较大，内存需求较大。自由度较少，带宽较小，内存需求较小。输入数据较多，出错的可能性较大。输入输出数据较少。土木工程学院有限单元法有限单元法P-8/60四、有限条法的解题步骤1）离散化。用假想的线把连续体分割成若干条。条与条之

5、间通过结线相互联接。2）选择位移模式rmmmyYxfw1)()( f (x)项采用多项式，Y(y)项采用连续函数；然后把位移场用结线位移来表达（形函数矩阵N），由此可得到条的应变（几何矩阵B）和应力（应力矩阵S）。土木工程学院有限单元法有限单元法P-9/603）用虚功原理和最小势能原理得到刚度矩阵和等效荷载。4）集成总刚，引入支座条件，解方程求得结线位移各级数项并叠加。rmmiidd15）计算各条在各组位移下的内力并叠加。rmmiiMM1土木工程学院有限单元法有限单元法P-10/605.2 梁函数和基本函数 为了收敛于正确值，位移函数必须满足下列简单要求：（1）梁函数f(x)，用来表示条元的横

6、向变化规律，应包含刚体位移和x向常应变状态，还要保证相邻条之间的协调。对于弯曲板条，其要求与梁相同。（2）基本函数Y(y)，用来表示条元的纵向变化规律，应满足条的端部条件。如果采用正交级数，会使问题得到简化。 通常采用梁的无限自由度振动的振型。位移模式为rmmmyYxfw1)()(土木工程学院有限单元法有限单元法P-11/60一、梁函数342321)(xaxaxaaxfm 梁函数用以表示条元的横向变化规律。图示梁有两个结点(i,j), 每个结点两个位移:线位移(挠度) d1，d3角位移 d2，d4任意点的位移函数:xb1d2d3d4d代入边界条件可得： L为平面梁单元的形函数，此处称梁函数梁函

7、数。 12323232322322323432232( )1ddxxxxxxxxf xxLddbbbbbbbbd 土木工程学院有限单元法有限单元法P-12/60二、基本函数 基本函数用来表示条元的纵向变化规律，Y.K.Cheung将基本函数取为振动梁微分方程（按振动梁微分方程的规律变化）: 4440d YYdyl根据结构力学中“梁的无限自由度振动”理论可知，其解的一般形式为: 在结构力学中，上式又称符拉索夫振动梁函数符拉索夫振动梁函数，式中C1C4 为由两端边界条件确定的待定常数，由不同的支承条件，可得出相应的基本函数Y(y) 。（5-2-1)ylCylCylCylCyYchshcossin)

8、(4321土木工程学院有限单元法有限单元法P-13/60几种常用支承条件的基本函数1两端简支 边界条件： Y(0)=Y(0)=0 Y(l)=Y(l)=0代入式(5-2-1)得: ( )sinmmYyyl或者 ( )sinmmYyylm=, 2, 3m 1( )sinY yyl第一振型谐波取, m=1, 土木工程学院有限单元法有限单元法P-14/602. 一端简支一端固定边界条件: Y(0)=Y (0)=0； Y(l)=Y(l)=0特解(基本函数):( )sinmmmmYyyshyll1=3.9266, 2=7.0683, 3=10.2102, 4=13.3520(m=5,6,）sinmmmsh

9、谐波图与简支梁相似。 为特征方程 tg()=th()的解。 414mm土木工程学院有限单元法有限单元法P-15/603. 两端固定边界条件:Y(0)=Y (0)=0；Y(l)=Y(l)=0基本函数:1=4.7300, 2=7.8532, 3=10.9956, 4=14.1372(m=5,6,）)ch(cosshsin)(ylylylylyYmmmmmmmmmmmchcosshsin为特征方程 cos()ch()-1=0的解。 212mm土木工程学院有限单元法有限单元法P-16/605.3 弯曲板有限条法弯曲板有限条法一、位移函数 图示简支板，在任意荷载作用下，将产生光滑的变形曲面(位移场)，

10、x、 y方向的变形曲线分别如图示，y方向变化规律取为基本函数，x方向变化规律取为梁函数。 土木工程学院有限单元法有限单元法P-17/60 现在，沿板的支承方向将其离散成有限个矩形板条。从中取出一典型条元e加以研究，当条元宽度b较窄时，其位移场可采用多项式f(x)和基本函数Y(y)的组合形式表示，可得挠度 ： (5-3-1)式中f(x)为描述横向位移变化规律的多项式函数，即，梁函数。Y(y)为摸拟板条纵向(y方向)挠度曲线的基本函数。代入得：其横向转角： (5-3-2)rmmmyYxfyxw1)()(),()()()()(),(13423211yYxxxyYxfyxwmrmrmm)()32(12

11、432yYxxxwmrm土木工程学院有限单元法有限单元法P-18/60 设条元结线i的挠度为wi，转角为i；结线j挠度为wj，转角为j，定义四个结线位移的表达式为:(5-3-3)式中: wim ， im ， wjm ， jm 为第m个谐波所对应的结线i、 j的挠度位移幅值和转角位移幅值。rmmjmjrmmjmjrmmimirmmimiyYxybwyYwybwwyYxywyYwyww1111)(),()(),()(), 0()(), 0(土木工程学院有限单元法有限单元法P-19/60将5-3-3代入5-3-1、5-3-2的左边并消去Ym(y)得: 由此解得:,.,r mbbbbbwwjmjmim

12、im1 32243234232121 121213232323422321jmjmimimjmjmimimimimbwbbwbbwbbwbw思考：对应于不同的协波Ym(y)，结线位移幅值是否相同？土木工程学院有限单元法有限单元法P-20/60将其代回5-3-1得用结线位移幅值表示的位移场 (5-3-4)式中: 是对应于第m个谐波的结线位移幅值列阵。 2323233223223232232(1) () () ()( )mmxxxxxxxxNxY ybbbbbbbb(5-3-5)是对应对于第m个谐波的形函数。它与梁函数L相比只是增加了乘子 Ym(y)。 于是板条中任意点的位移用矩阵形式表示为：mr

13、mmNyxw),(1Tjmjmimimmww.),(1211NNNNNNyxwrrmmrmm土木工程学院有限单元法有限单元法P-21/60二、二、(沿沿)结线结线(i, j)的位移的位移(函数函数) 实际应用时，通常只计算结线上的位移，将x=0和x=b代入得：当x=0时, 当x=b时, 1000mmNY0100mmNYx 0010mmNY0001mmNYx所以沿结线i, j的位移: : )().(),()(),(),(), 0(), 0(21211RyYIyYIyYIwwyYxybwybwxywywwwrrjmjmimimrmmjjii土木工程学院有限单元法有限单元法P-22/60式中I为四阶

14、单位矩阵1111I即：结线上沿y方向任意点的位移，是通过由第m个谐波解出的两结线的位移幅值 乘以相应基本函数Ym(y) 得到的，其最后的位移是r个谐波的叠加。 Tjmjmimimmww土木工程学院有限单元法有限单元法P-23/60三、条元应变与几何矩阵三、条元应变与几何矩阵B由平板理论知： xyxyZ式中B即为弯曲板条的几何矩阵： . 321rBBBBB rmmmmrmmmmBByxNyNxNyxwywxw11222222222222土木工程学院有限单元法有限单元法P-24/60子矩阵Bm 的展开形式为: 2232322232323322322322222232326124612626()()

15、()()32232(1)()()()121286121264() (2) () () mmmmmmmmmmmmmxxxxYYYYbbbbbbbbxxxxxxxxBYxYYYbbbbbbbbxxxxxxxxYYYYbbbbbbbb 3 4若取简支条元, 则式中: sinmmYylcosmmmYyll 222sinmmmYyll 为书写方便，Ym(y)写成了Ym土木工程学院有限单元法有限单元法P-25/60四、条元内力四、条元内力 弹性矩阵D与上章相同，弯、扭矩的正方向如图示，且应理解为单位长度上的量。 1xrymmmxyMFMDDBDBM土木工程学院有限单元法有限单元法P-26/60五、条元刚度

16、矩阵的一般形式五、条元刚度矩阵的一般形式 由单元刚度矩阵的一般表达式，条元的刚度矩阵: 0011121001.lbTTTTrlbTTrrrStBDB dxdyB DBB DBB DBtdxdyB DBB DB 或写成: 111211.rrrrSSSSSS土木工程学院有限单元法有限单元法P-27/60其中子块: 00lbTmnmnSBDBdxdy 由于条刚中的子块Smn 是44阶， 当取到级数的第r项时，则S为4r4r阶。 对于不同的支承条件，由于基本函数形式不同，可导出不同的几何矩阵。将其代入上式，则可求得不同支承条件的条刚。对上式积分可得条刚子块的显式如下。土木工程学院有限单元法有限单元法P

17、-28/60土木工程学院有限单元法有限单元法P-29/60式中：Dx , Dy , Dxy , D1 为各向异性板的弹性系数, 当各向同性时有: 0 xyDDD012xyDD10DD30212(1)EtDI1I5的5个积分式是：10lmnIY Y dy20lm nIY Y dy 30lmnIY Y dy 40lmnIY Y dy50lmnIY Y dy从上述条元刚度矩阵子块公式中可看出，不同支承条件(基本函数)的条刚元素， 主要体现在基本函数的积分公式上，将不同基本函数表达式代入，求出其中不同的五个积分，即可得到不同的条元刚度矩阵。 土木工程学院有限单元法有限单元法P-30/605.4 用有限

18、条法分析简支弯曲薄板用有限条法分析简支弯曲薄板 一、基本函数 由前已知，将符拉索夫振动梁函数微分方程： 的通解5-2-1式，代入其边界条件： Y(0)=Y(0)=Y(l)=Y(l)=0后, 得简支条的基本函数为:sinsinmmmYyyll,2mm4440d YYdyl土木工程学院有限单元法有限单元法P-31/60二、条元刚度矩阵与条元刚度方程二、条元刚度矩阵与条元刚度方程1条元刚度矩阵 上节已导得条刚的一般形式为： 1112112.rrrrrSSSSSSS上节提到，计算条刚元素时，将涉及以下五个积分：0lmnY Y dy0lm nY Y dy 0lmnY Y dy 0lmnY Y dy0lm

19、nY Y dy土木工程学院有限单元法有限单元法P-32/60可以证明，在简支条元中，由于基本函数的正交性，当mn时，上述五个积分均为0。 因此，在简支条元中，非对角元子块均为零，即Smn =0(mn)。此时，简支板的条刚可简化为： sinmmYyl 1122.0.0.rrSSSS式中: mmABCSDEAEFBC对称(5-4-1)(5-4-2)土木工程学院有限单元法有限单元法P-33/60其中:2136136127055xyxyllbllADk DkDkDbbb2212311342055xyxyllbllBDk DkDkDb3212242101515xyxyllblblbCDk DkDkDb2

20、136961214055xyxyllbllDDk DkDkDbbb 2212313840105xyxyllbllEDk DkDkDb 3212803015xyxyllblblbFDk DkDkDb2)(lmk式中， 土木工程学院有限单元法有限单元法P-34/60 由于条刚不耦联，便可一个谐波一个谐波的单独计算，然后再叠加，因此，简支板是最能体现有限条法优越性的一种情况。另外，从条刚中的元素表达式可见，对应于第m个谐波的条刚，每个元素均随着谐波号发生变化，这也是与前面单元刚度矩阵的不同之处。 2. 条元结线力 与结线位移列阵对应的结线力列阵可表示为: 11( )iimirriiimimjjjmj

21、mmjjmjmVVVFMMMFYyFVVVMMM 以和函数表示 对应于各谐波的条元结线力，也可由条刚与结线位移的乘积获得。 土木工程学院有限单元法有限单元法P-35/603. 条元刚度方程 条刚S中的全部非对角元素(子块)为零，不仅简化了条刚，更重要的是，使得第m个谐波的结线力只与第m个谐波的结线位移有关，即总刚的非藕联性。因此，可对每个谐波所对应的结线力（位移）单独计算，然后再叠加，所以在下面的讨论中，我们可将条刚暂时理解为44阶的。对应于第m个谐波的条元刚度方程为： emjjiiemjjmjimijmiiemjjiiwwSSSSMVMV土木工程学院有限单元法有限单元法P-36/60三、总刚

22、度矩阵及总刚方程的建立三、总刚度矩阵及总刚方程的建立 总刚的形成仍然采用前述直接刚度法，即由各结线的平衡条件建立平衡方程，其过程亦与前述大致相同，现简述如下： 首先将对应第m个谐波的条刚按结线分块：(5-4-3) emjmjmimimeemjjemjiemijemiiemjmjmimimwwSSSSMVMV土木工程学院有限单元法有限单元法P-37/60 条刚中的每个子块均为22。子块具有两重下标，内下标ij指示子块在总刚中的结线位置，外层下标指示子块对应的谐波号。按结线将其展开得: eeeeeiiiiijjmmmmmeeeeejjiijjjmmmmmFSSFSS(5-4-3a) 然后根据结线平

23、衡条件，即可建立求解结线位移的平衡方程。 土木工程学院有限单元法有限单元法P-38/60例：图示简支板，将其划分成五个条元。根据结线的平衡条件有：P2m=F2m+F2m 按照在杆系中的相同方法，将FF2 2 m m、FF2 2 m m用5-4-3代替，并将条元结线位移用整体位移代替后,便可得: 对每条结线取平衡，均可获得一个类似的平衡方程，于是可装配成总刚，同样可由“对号入座”的方法形成总刚度方程如下：土木工程学院有限单元法有限单元法P-39/60mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmwwwwwwSSSSSSSSSSSSSSSSMVMVMVMVMVMV66554433221112

24、1266655655544544433433322322211211665544332211结线上的外荷载土木工程学院有限单元法有限单元法P-40/60 由式可见，只有相交于结线i的两个板条才可能对总刚矩阵i行子块有“贡献”。因此，形成总刚的某行时，只需考虑对应结线左、右条刚的子块。而与其它条元的条刚无关，由于这一特性，使得简支板总刚的带宽很小（半带宽仅为4），与板单元比较， 若上例采用55网格，则未知数n=663=108, 半带宽D=3(7-1)=18，规模要大得多。对每一谐波求解，可得第m个谐波所对应的结线位移，重复上述过程，将1r个谐波的位移叠加即得最后位移(内力)。 由上可见，采用有限

25、条法，不仅可大大提高计算速度，还可视谐波数r的多少，无限逼近其精确解。土木工程学院有限单元法有限单元法P-41/60四、条元内力四、条元内力 在工程中，板的分析通常是要求获知其内力（或应力），由条元内力矩阵： rmmmttttxyyxBDBDdzDzdzzMMMF1222202 弯矩和扭矩的物理量与在板的基本理论一节中所述相同。土木工程学院有限单元法有限单元法P-42/60五、荷载等效变换五、荷载等效变换 荷载的等效变换仍然采用有限元中按能量原理推导的一般公式获得。设结线i、 j上对应于第m个谐波的等效结线力为: TqimimjmjmmFVMVM则一般公式可与为: 00lbTqmFNP dxd

26、y 或写成: 1100TqlbTqrrmFNP dxdyFN 土木工程学院有限单元法有限单元法P-43/60下面给出简支条在几种常用荷载下的公式:1.1.均布荷载均布荷载q q232323223000023322223212sin322212212lbblTqmmxxbbxxxmbbFNqdxdyqdxydylxxbbxxbbbblqbmb 它比均布力作用的两端固定梁的固端力相比，多了乘子2l/m。 土木工程学院有限单元法有限单元法P-44/602. 集中力 230023230002002300233200233212sin32qmxxbbxxxmbbFPylxxbbxxbb土木工程学院有限单

27、元法有限单元法P-45/60当X0=0时 (在i结线上)： 0010sin00qmmFPyl 当X0=0, y0 =l/2(中点)时： 010sin020qmmFP 土木工程学院有限单元法有限单元法P-46/603局部分布力 342323420342343222234243qmmxxxbbxxxbbFqCxxbbxxbb式中: 21nnnxxx12(coscos)mmmmbCk yk ykmmkl土木工程学院有限单元法有限单元法P-47/60六、边界条件的处理六、边界条件的处理 当条元的结线边界为非自由时，必须对结线的边界约束情况加以处理，即修改总刚度方程。如上例，若为四边简支板（如图），则对

28、应有： 0 , 061ww 由此可知，可通过处理边界条件，利用简支板的条元刚度矩阵计算另两个边界为各种不同支承情况的板。如结线边界为简支、固定、自由的情况。土木工程学院有限单元法有限单元法P-48/60 应特别指出，当遇非简支板条时（如两端固定）即总刚与m个谐波藕联时，则应对每个谐波均作边界约束处理，这点在编程时应特别注意。 如上例的总刚方程，若非简支板而是固支板，且取前三个谐波计算，则总刚方程为: 土木工程学院有限单元法有限单元法P-49/60 mmwwwwwwSSSMVMVMVMVMVMV366112661116611321366112661116611土木工程学院有限单元法有限单元法P-

29、50/60 注意：由总刚度方程解出的结线位移只是各谐波的位移幅值，而不是结线位移，结线位移应按5-3-3计算，如： )(), 0 (1yYwywwrmmimi土木工程学院有限单元法有限单元法P-51/60输入原始数据形成原始刚度矩阵 形成结线荷载列阵 引入支承条件 解方程求结线位移，并累加D=D+m 计结线内力并累加，F=F+Fm 结束 条刚Smm 计等效结线力 弹性矩阵D,几何矩阵B m=1r循环 7. 程序设计程序设计土木工程学院有限单元法有限单元法P-52/605.5 简支板有限条分析程序设计简支板有限条分析程序设计 结合一个算例，介绍简支板有限条分析程序设计。条元划分1. 图示为在第四

30、章中分析过的四周简支方板，但能否用简支板条方法分析图示四周简支方形板？回答是肯定的。前面提到条元宜沿短边方向划分，如果是一正方形板，可沿某一边长方向划分条元。如果是对称的，也可取半结构计算，如程序中的算例，便是取上一章分析过的12m方板的例题的一半作为计算对象。如下图：土木工程学院有限单元法有限单元法P-53/60共划分成6个条元，含有7条结线。 土木工程学院有限单元法有限单元法P-54/602. 原始数据原始数据 条元数 M=6；计算次数 ZS=4；约束数 YS=2；荷载集度 q=1；集中力数 FJ=0板长 L=12m；板宽 B0=6m； =0.3； E0=3E5；厚度 t=0.3约束边界号

31、 BJ( )=1,14； 计算谐波号=1，3，5，7即可得原始数据文件内的输入数据如下： 6, 4, 2, 1, 012, 6, 0.3, 3E5, 0.31, 141, 3, 5, 7 土木工程学院有限单元法有限单元法P-55/603.计算结果计算结果m = 1 deflection rotationline 1 0.00000 0.03194 line 2 0.03136 0.03028 line 3 0.05975 0.02618 line 4 0.08323 0.02058 line 5 0.10063 0.01411 line 6 0.11129 0.00716 line 7 0.1

32、1488 0.00000 土木工程学院有限单元法有限单元法P-56/60Deflection of Middle-line 0 0.035 0.068 0.093 0.109 0.115 0.109 0.093 0.068 0.035 0 Mx MyStrip = 1 2.839176 2.302775 Strip = 2 4.658082 4.161909 Strip = 3 5.844096 5.603872 Strip = 4 6.577119 6.628736 Strip = 5 6.973215 7.240724 Strip = 6 7.097317 7.443891土木工程学院有限

33、单元法有限单元法P-57/60Deflection of Middle-line土木工程学院有限单元法有限单元法P-58/60m = 3 deflection rotationline 1 0.00000 -0.00059 line 2 -0.00055 -0.00048 line 3 -0.00094 -0.00031 line 4 -0.00119 -0.00018 line 5 -0.00133 -0.00010 line 6 -0.00139 -0.00004 line 7 -0.00141 0.00000土木工程学院有限单元法有限单元法P-59/60Deflection of Mid

34、dle-line 0 0.001 0.001 0.000 -0.001 -0.001 -0.001 0.000 0.001 0.001 0 Mx MyStrip = 1 .2164175 .2930753 Strip = 2 .2466782 .4666353 Strip = 3 .2417718 .5670096 Strip = 4 .2316401 .6212149 Strip = 5 .2245702 .6473111 Strip = 6 .2222065 .6550171 土木工程学院有限单元法有限单元法P-60/60Deflection of Middle-line土木工程学院有限单

35、元法有限单元法P-61/60m = 5 deflection rotationline 1 0.00000 0.00008 line 2 0.00006 0.00005 line 3 0.00010 0.00002 line 4 0.00011 0.00001 line 5 0.00011 0.00000 line 6 0.00012 0.00000 line 7 0.00012 0.00000土木工程学院有限单元法有限单元法P-62/60Deflection of Middle-line 0 0.000 0.00 -0.000 -0.000 0.000 0.000 -0.000 -0.000 0.00 0 Mx MyStrip = 1 5.760285E-02 9.216719E-02 Strip = 2 5.123232E-02 .1278349 Strip = 3 4.723469E-02 .141498 Strip = 4 .0455429 .146269 Strip = 5 4.494305E-02 .1478104 Strip = 6 4.481358E-02 .148165 土木工程学院有限单元法有限单元法P-63/60m = 7 deflection ro