提升小学生数学思考力

1、成都市科华中路小学 蒲华良什么是数学思考？就是在面临各种数学情境，特别是非数学问题时，就是在面临各种数学情境，特别是非数学问题时，能够从数学的角度，自觉运用数学的知识、方法、能够从数学的角度，自觉运用数学的知识、方法、思想和观念去发现其中存在的数学现象和数学规思想和观念去发现其中存在的数学现象和数学规律，并运用数学知识和思想方法去解决问题。律，并运用数学知识和思想方法去解决问题。数学思考的内容包括：义务教育数学课程标准（2011版）何为数学思考力？数学思数学思考力考力数感数感符号意符号意识识空间观空间观念念几何直几何直观观数据分数据分析观念析观念运算能运算能力力推理能推理能力力模型思模型思想想

2、应用意应用意识识创新意创新意识识l数学思考力数学思考力不等同于不等同于课标课标中的十中的十个个核心数学素养核心数学素养。数学思考力数学思考力不完全等同于不完全等同于数学思维能力数学思维能力。数学思维能力表示的是一个人用数学的知识和方法去认识事物和解决问题的熟练数学思维能力表示的是一个人用数学的知识和方法去认识事物和解决问题的熟练程度，数学思维能力的形成具有阶段性。程度，数学思维能力的形成具有阶段性。数学思考力是指表现在认识事物或解决问题过程中调动数学知识、思想、观念和数学思考力是指表现在认识事物或解决问题过程中调动数学知识、思想、观念和方法的程度。表示的是一种数学思考过程状态的客观指标，不受评

3、判人的主观影响。方法的程度。表示的是一种数学思考过程状态的客观指标，不受评判人的主观影响。数学思考力和数学思维能力如同学力与学历的关系。数学思考力和数学思维能力如同学力与学历的关系。数学思考力的内容（1233+16式）感悟感悟意识意识观念观念思想思想方法方法能力能力数感数感符号意识符号意识创新意识创新意识应用意识应用意识空间观念空间观念几何直观几何直观数据分析观念数据分析观念模型思想模型思想运算能力运算能力推理能力推理能力数感数感1 1种感悟种感悟符号意识符号意识创新意识创新意识应用意识应用意识3 3个意识个意识空间观念空间观念几何直观几何直观数据分析观念数据分析观念3 3种观念种观念对应思想

4、方法假设思想方法对应思想方法假设思想方法比较思想方法符号化思想方法比较思想方法符号化思想方法类比思想方法转化思想方法类比思想方法转化思想方法分类思想方法集合思想方法分类思想方法集合思想方法统计思想方法统计思想方法 可逆思想方法可逆思想方法极限思想方法极限思想方法 整体思想方法整体思想方法化归思想方法化归思想方法数形结合思想方法数形结合思想方法数学模型思想方法数学模型思想方法变中抓不变的思想方法变中抓不变的思想方法1616种思想方法种思想方法运算能力运算能力推理能力推理能力（合情推理（合情推理和演绎推理）和演绎推理）2 2项能力项能力 数感建立数认识的教学范式。建立数认识的教学范式。实物直观实物

5、直观 + + 反复操作反复操作 ，数量体验才到位，数量体验才到位。 如：长度单位认识。让估算成为检验数运算的习惯。让估算成为检验数运算的习惯。灵活多变的心算是培养数感的有效方法。灵活多变的心算是培养数感的有效方法。找数找数引入数字符号引入数字符号说数说数画数画数组数组数对比数对比数数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。中的数量关系。把符号看成可以感知的物体。不同的个体或同一个体

6、在不同时间解释符号的方式各不相同。让估算成为检验数运算的习惯。 学生交流学生交流 生：除以比小的数，商应大于生：除以比小的数，商应大于. . .所以错。所以错。 生：商生：商. .与除数与除数. .都比小，相乘后积应比小，不等于被除数，所以商不可能是都比小，相乘后积应比小，不等于被除数，所以商不可能是. . .生：把除法算式变成生：把除法算式变成/ /，商的最高位是十位。而，商的最高位是十位。而. .的商最高位是个位。生：变成除数是整数的除法后，十位商，商应是等的商最高位是个位。生：变成除数是整数的除法后，十位商，商应是等于十几。所以错了。于十几。所以错了。 生：除数乘商得到四位小数，仅管末位

7、相乘是要去生：除数乘商得到四位小数，仅管末位相乘是要去掉，但不太可能连续去掉后面的三个，而变成被除的一位小数。所以基本可以掉，但不太可能连续去掉后面的三个，而变成被除的一位小数。所以基本可以判断得数错了。判断得数错了。 生：如果把生：如果把. .改成的话，得到的商是改成的话，得到的商是. .。而。而除以除以. .的商应该比除以的商大一些，所以不可能等于的商应该比除以的商大一些，所以不可能等于. .。 符号意识适时表述符号的适时表述符号的“能指能指”与与“所指所指”。如：速度。如：速度。符号的规范表达与自主性表达。如：怎样表示符号的规范表达与自主性表达。如：怎样表示 ? ?用好在过程理解上的符号

8、记录功能。如：除法竖式。用好在过程理解上的符号记录功能。如：除法竖式。完整揭示符号的本质意义。如完整揭示符号的本质意义。如“+”+”与与“- -”。213表示什么？表示什么？两个两个18表示的表示的 有什么不同？有什么不同？创新意识统治统治者者精英精英劳动者劳动者统治者统治者精英精英劳动劳动者者人数金字塔人数金字塔财富与智慧金字塔财富与智慧金字塔人类文明的金字塔结构人类文明的金字塔结构越是试图去复制别人的成功经越是试图去复制别人的成功经验，你失败的可能性就越大。验，你失败的可能性就越大。如果你能从赢家提前为你设定如果你能从赢家提前为你设定的思维中跳出来，重点去分析的思维中跳出来，重点去分析赢家

9、的思维方式和行动精神，赢家的思维方式和行动精神，你就能够让自己保持在一个清你就能够让自己保持在一个清醒的高度上，从容地看清事物醒的高度上，从容地看清事物背后的真正规律。背后的真正规律。创新意识“创新型教师创新型教师”才能培养出有创新意识的学生。才能培养出有创新意识的学生。（欣赏创新、接纳创新、发现创新、鼓励创新、引导创新）欣赏创新、接纳创新、发现创新、鼓励创新、引导创新）强化强化“发现问题、提出问题发现问题、提出问题”两个环节。两个环节。 （提合适的数学问题；（提合适的数学问题； 可不可以增加条件来提问？）可不可以增加条件来提问？）尊重问题解决的多元化，放得开，收得回。尊重问题解决的多元化，放

10、得开，收得回。五年级提问：五年级提问：买一个文具盒和一支铅笔共多少元？买一个文具盒和一支铅笔共多少元？ 先买先买1010支铅笔后还可以买多少支钢笔？支铅笔后还可以买多少支钢笔？应用意识教师要明确两个指向：用数学解释和解决现实问题；教师要明确两个指向：用数学解释和解决现实问题；将现实问题数学化。将现实问题数学化。寻找有挑战性的现实情境素材寻找有挑战性的现实情境素材数学问题要生活化。数学问题要生活化。 如：尾巴能接上吗？如：尾巴能接上吗？让学生带着让学生带着“任务任务”去数学化现实问题。去数学化现实问题。 如：调查一个小住了多少户人？如：调查一个小住了多少户人？空间观念要接触实物，只靠课件学习不利

11、于形成空间观念。 如观察物体 摆了画、画了摆效果最好。想象要细化，把抽象的过程拆分。精心设计习题，聚焦图形本质属性的认识。加强辨析，让数学思考更有灵活性和深刻性。多做游戏，让想象和理解变得可见。 如：感知1立方米的大小 空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。运动和变化；依据语言的描述画出图形等。认识：平移前后形状和大小不改变，位置改变；认识：

12、平移前后形状和大小不改变，位置改变； 物体平移时，每一个点移动的方向和距离是相同的。物体平移时，每一个点移动的方向和距离是相同的。方法：找对应点方法：找对应点找点的平移路径找点的平移路径数平移距离（格数）数平移距离（格数）难点：如何数对格数？难点：如何数对格数？被圆纸片盖住的是一个角吗？（二年级）回答是与非都不重回答是与非都不重要，关键是诊断学要，关键是诊断学生是否用角的形状生是否用角的形状特征去想象。特征去想象。几何直观理解上避免误区。几何直观不是指学习点、线、面、体的有关知识，而是用数形结合的思想方法去理解、分析和解决问题。在用几何直观解决问题过程中要根据具体的问题情境选择恰当的数学思想方

13、法。养成把想法画出来的习惯：说不清楚画出来，想不清楚画出来。 熟练掌握一些典型问题的常规画法。如：行程问题、分数问题一般画线段图，分数运算问题一般画矩形图或饼图。教给一些画图的技巧。边读题边补充数据和问题，边分析边完善图形。主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观 地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要

14、作用。数据分析观念高度重视：大数据时代到来。实现中国梦，需要数据先锋。培养数据分析人才，教育任重而道远。有七册教材安排“统计与概率”知识，用心良苦。区分一二学段要求，不可降低，也不能拨高。多让学生经历调查、实验、分析、猜测、合情推理的过程。多给交流空间：你发现什么？你认为什么？你建议什么？这才是“统计与概率”教学的宗旨。只能用合情推理（归纳）不能用演绎推理，不能验证，勿倒置 数据，这个数据，这个2121世纪人类探索的新连续，正在被云计算发现、征服。世纪人类探索的新连续，正在被云计算发现、征服。 （大数据分析）不再追求精确度，不再追求因果关系，而是承认混杂（大数据分析）不再追求精确度，不再追求因

15、果关系，而是承认混杂性，探索相关关系。性，探索相关关系。 思维转变过来，数据就能巧妙地用来激发新产品和新型服务。数据思维转变过来，数据就能巧妙地用来激发新产品和新型服务。数据正成为巨大的经济资产，成为新世纪的矿产和石油，将带来全新的创业正成为巨大的经济资产，成为新世纪的矿产和石油，将带来全新的创业方向、商业模式和投资机会方向、商业模式和投资机会 数据挖掘不仅能够成为公司的竞争力，也将成为国家竞争力的一部数据挖掘不仅能够成为公司的竞争力，也将成为国家竞争力的一部分。通过大数据，创建新的产业群，实现分。通过大数据，创建新的产业群，实现“中国制造到中国创造中国制造到中国创造”的改的改变，意义就更大。

16、变，意义就更大。 宽带资本董事长田溯宁：宽带资本董事长田溯宁：大数据时代大数据时代序言序言 运算能力在具体的问题情境中理解算理。引导学生从数概念和运算意义的角度去思考算法。鼓励算法多元化，但需要聚焦到基本算法的理解和掌握，以便达到运算的技能。遵循运算技能形成的认知规律：懂会熟活。前一步没过关，不要急于进入下一步。抓一次性正确率的诊断与补救，不可盲目追求练习强度。一定量欠的重复训练是形成运算技能的必要手段。开展丰富多样的趣味活动，激发孩子的运算兴趣。运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生

17、理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。推理能力合情推理：合情推理： 已有事实已有事实_(_(经验和直观）经验和直观）( (归纳和类比归纳和类比) )结果即：由因索果结果即：由因索果演绎推理：已有事实演绎推理：已有事实( (规则规则) )( (逻辑推理法则逻辑推理法则) )结果即：执果索因结果即：执果索因为什么小学强调得多的是合理推理能力？为什么小学强调得多的是合理推理能力？ 合情推理用于探索思路，发现结论。培养创新型人才更需要培养合情推理能力。合情推理用于探索思路，发现结论。培养创新型人才更需要培养合情推理能力。 史宁中教授

18、认为：演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。我们缺史宁中教授认为：演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。我们缺少的是根据情况少的是根据情况“预测结果预测结果”的能力，根据结果的能力，根据结果“探索成因探索成因”的能力。而这正是归纳的能力。而这正是归纳推理能力。推理能力。小学数学推理思想的应用表挖掘培养合情挖掘培养合情推理能力的教推理能力的教学资源。学资源。（三上）（三上） 在观察中比较，在观察中比较，在比较中概括。在比较中概括。积累积累“合情推合情推理理”的学习经的学习经验验掌握计算方法不是本课最重掌握计算方法不是本课最重要的教学目标，培养合情推要的教学目标，培养合情推

19、理的能力才是本课的中心目理的能力才是本课的中心目标。标。难点在规纳这一步。难点在规纳这一步。重点是组织学生经历重点是组织学生经历“操作操作观察观察猜测猜测类比类比归纳归纳应用与拓展应用与拓展”这个数学思考的过程，积累这个数学思考的过程，积累解决问题的学习活动经验。解决问题的学习活动经验。你怎样处理你怎样处理这个部分？这个部分？掌握一些合掌握一些合情推理情推理 的的步骤和方法步骤和方法观察异同。观察异同。猜测或发现。猜测或发现。举例子分析发现或验证发举例子分析发现或验证发现。现。把发现用文字、符号、图把发现用文字、符号、图形、表格等表达出来。形、表格等表达出来。用你的发现解决相关的问用你的发现解

20、决相关的问题。题。数学思想和方法数学思想是宏观的，在解决问题中起方向性指导作用；数学数学思想是宏观的，在解决问题中起方向性指导作用；数学方法是微观的，是解决问题的具体策略。方法是微观的，是解决问题的具体策略。数学思想方法不可独立教学，要在解决具体问题的过程中去数学思想方法不可独立教学，要在解决具体问题的过程中去让孩子们去感悟和体会。不要当成一种数学知识或一项数学让孩子们去感悟和体会。不要当成一种数学知识或一项数学技能去教学。技能去教学。每一种数学思想和方法有各自独立的意义，但也有交叉。有每一种数学思想和方法有各自独立的意义，但也有交叉。有时会单用一种数学思想和方法，也有时同时用几种思想方法时会

21、单用一种数学思想和方法，也有时同时用几种思想方法，教学时重点体会一种主流就行。，教学时重点体会一种主流就行。1、对应思想方法小学一般是一一对应。小学一般是一一对应。应用：在数轴（线）上表示数，比多少，三角形底与应用：在数轴（线）上表示数，比多少，三角形底与高的对应，问题解决等高的对应，问题解决等建议：操作、画图或列表。建议：操作、画图或列表。例：（用对应思想理解数量关系例：（用对应思想理解数量关系) ) 一本书一本书300300页，小林看了页，小林看了5 5天，还剩下天，还剩下100100页。平均每页。平均每天看多少页？天看多少页？游戏破难点：找对应点游戏破难点：找对应点2、假设思想方法理解：

22、改变原数据，原来的数量关系与逻辑关系不变，对比前后变化。属一种转化思想方法。策略：灵活假设数据。例：3、整体思想方法。整体思想方法的长期渗透。整体思想方法的长期渗透。如：结合具体问题情境从“上位的数量关系”到“特殊的数量关系”的引导上位数量关系：“部分数、部分数与总数”，“部分数、部分数与相差数”，“每份数、份数与总数”。如从“每份数份数=总数”到“速度时间=路程”再到“每时行的千米数小时数=共行的千米数”对解题策略的选择与思考对解题策略的选择与思考。（例）（例）部分部分+部分部分=整体整体（不同）（不同）部分数部分数+ +部分数部分数= =总数总数加数加数+ +加数加数= =和和（相同）（相

23、同）每份数每份数份数份数=总数总数因数因数因数因数=积积部分数、部分数与总数部分数、部分数与总数部分数、部分数部分数、部分数与相差数与相差数每份数每份数、份数与总数、份数与总数部分数、部分数与部分数、部分数与倍数（分率）倍数（分率）具体数量关系式具体数量关系式具体数量关系式具体数量关系式具体数量关系式具体数量关系式具体数量关系式具体数量关系式生：生：. .* *20+1.220+1.2* *30-(22.5+0.86) 30-(22.5+0.86) 生解释后生解释后师追问：为什么要加小括号？师追问：为什么要加小括号？生：（生：（. . .）* *20+(1.2-20+(1.2-0.75)0.7

24、5)* *30 30 师追问：小括号里各算的什么？师追问：小括号里各算的什么？生：生：. . . .（元），（元），. .* *20=12.8(20=12.8(元），元），. . . .（元），（元），. .* *. .（元），（元），. .+ +. . .（元）。师追问：（元）。师追问：你为什么分步列式不用综合算式呢？生：综你为什么分步列式不用综合算式呢？生：综合太长了。合太长了。生：（生：（1.51.50.860.86）* *. .（元）（元）（. . .）* *. .（元），（元），. .+ +. . .（元）。（元）。师：对后面三个同学的解答你有什么看法？师：对后面三个同学的解答你有什

25、么看法？生：它们思路都一样。但生生：它们思路都一样。但生3 3分步写的，容易看分步写的，容易看懂。生懂。生2 2用综合式，中途不用计算，思路容用综合式，中途不用计算，思路容易连起来想。生用两个综合算式，每个算易连起来想。生用两个综合算式，每个算式不长，比较合适。式不长，比较合适。4、分类思想方法。分类标准的必要性讨论。分类标准的必要性讨论。强化有序思考意识。强化有序思考意识。例：有序列举。例：有序列举。师：你准备怎样找出能摆出的三角形？师：你准备怎样找出能摆出的三角形？生：找三根，按任意两边之和大于第三生：找三根，按任意两边之和大于第三边来判断。边来判断。生：按顺序全部排列，然后一个一个来生：

26、按顺序全部排列，然后一个一个来判断，就能找出所有的三角形了。判断，就能找出所有的三角形了。3cm,3cm,3cm(3cm,3cm,3cm(能）；能）；3cm,3cm,4cm(3cm,3cm,4cm(能）；能）；cm,3cm,6cm(cm,3cm,6cm(不能）；不能）；3cm,4cm,6cm(3cm,4cm,6cm(能）。能）。师：我们从这一组数据中，还可以得到哪师：我们从这一组数据中，还可以得到哪些结论？些结论？生：能拼出一个等边三角形，一个等腰三生：能拼出一个等边三角形，一个等腰三角形，一个不等边三角形，有三根小棒角形，一个不等边三角形，有三根小棒不能摆成一个三角形。不能摆成一个三角形。

27、看似一道简单的巩固题，师这样教学，充分发挥了这道题在培养学生思维能力方面的看似一道简单的巩固题，师这样教学，充分发挥了这道题在培养学生思维能力方面的功能。其一，完成了本题的最低要求功能。其一，完成了本题的最低要求“摆出两种摆出两种”，达到了运用知识解决实际问题的，达到了运用知识解决实际问题的最基础要求最基础要求保低；同时，让学生列出所有的情况，再来判断，拨高了要求，满足保低；同时，让学生列出所有的情况，再来判断，拨高了要求，满足了优生的学习需求。其二，对五根小棒进行有序排列，强化了有序思维意识，培养了了优生的学习需求。其二，对五根小棒进行有序排列，强化了有序思维意识，培养了学生思维能力。其三：

28、最后追问还可得出什么结论，从另一个思维角度来认识同一问学生思维能力。其三：最后追问还可得出什么结论，从另一个思维角度来认识同一问题，培养了学生用数学概念来解释现象的能力和求异思维能力。题，培养了学生用数学概念来解释现象的能力和求异思维能力。5、类比思想方法把主要精力放在找共同属性上。把主要精力放在找共同属性上。6、符号化思想方法（学生独立完成后，汇报）（学生独立完成后，汇报）生生1 1：3 3根小棒，只能摆一种，是等边三角形。根小棒，只能摆一种，是等边三角形。4 4根小棒也只能摆一种，等腰三角形。根小棒也只能摆一种，等腰三角形。5 5根小根小棒能摆一种等腰三角形，棒能摆一种等腰三角形，6 6根

29、小棒能摆一根小棒能摆一种等边三角形。种等边三角形。师：你是怎么想的呢？师：你是怎么想的呢？生：用生：用1 1表示一根小棒的长，这样就可以用数表示一根小棒的长，这样就可以用数字来表示长度了。我们把摆的情况写出字来表示长度了。我们把摆的情况写出来：来：3 3根：根：1 1，等边三角形。，等边三角形。4 4根：，等腰三角形。根：，等腰三角形。5 5根：，（不能）；，（能，根：，（不能）；，（能，等腰三角形）。等腰三角形）。根：，（不能）；，根：，（不能）；，（不能）；，（能，是等边三（不能）；，（能，是等边三角形）角形）师：这样用数字表示有什么好处呢？师：这样用数字表示有什么好处呢？生：用数字表示长

30、度，简单清楚。生：用数字表示长度，简单清楚。师：你们发现摆成的三角形有什么特点师：你们发现摆成的三角形有什么特点? ?生：不是等边三角形就是等腰三角形。生：不是等边三角形就是等腰三角形。师：如果小棒的根数更多，比如师：如果小棒的根数更多，比如7 7根、根、8 8根、根、9 9根，还有这样的规律吗？请你们试一试。根，还有这样的规律吗？请你们试一试。生：。我们发现到生：。我们发现到9 9根时，不是这样。出根时，不是这样。出现了现了2 2，3 3，4 4这种一般的三角形。这种一般的三角形。用符号记录思维的过程。用符号记录思维的过程。7、数学模型思想方法【理解理解】反映现实世界事物特征的数量关系或空间

31、形反映现实世界事物特征的数量关系或空间形式都称为数学模型。数学模型的主要表达形式是式都称为数学模型。数学模型的主要表达形式是数学数学符号表达式和图表。符号表达式和图表。【范围范围】自然数列，数轴表示数，四则运算式，方程自然数列，数轴表示数，四则运算式，方程，数量关系，字母公式，统计图表，用分数表示可能，数量关系，字母公式，统计图表，用分数表示可能性等。性等。【教学举例教学举例】如何构建方程的数学模型？如何构建方程的数学模型？ （1 1）用字母表示未知量；（）用字母表示未知量；（2 2）“= =”两边表示相同意义两边表示相同意义8、数形结合思想方法。、一个等腰三角形两条边分别是厘米和厘米，这个三角形的周长是多少？、一个等腰三角形两条边分别是厘米和厘米，这个三角形的周长