偏微分方程分类与标准型

1、第第2 2章章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型二阶线性偏微分方程的分类与标准型 2.1 2.1 常微分方程的解常微分方程的解( (复习复习) ) 2.2 2.2 二阶线性偏微分方程分类二阶线性偏微分方程分类 2.3 2.3 二阶线性偏微分方程简化二阶线性偏微分方程简化 2.4 2.4 三类方程的简化形式三类方程的简化形式2.1 2.1 常微分方程的解常微分方程的解( (复习复习) )一一. . 二阶常系数线性方程的标准形式二阶常系数线性方程的标准形式12121212( ),( )( , )( )( )( ),( )( ),( ).y xyxa bky xkyxy xyxy xyx 定定义义：

2、设设为为定定义义在在内内的的两两个个函函数数，如如果果存存在在非非零零常常数数 , ,使使得得, ,则则称称线线性性相相关关，否否则则称称线线性性无无关关12( ),( )0y xyxypyqy定定理理 设设是是方方程程的的两两个个线线 性性无无关关的的解解，则则12,.CC是是方方程程的的通通解解，其其中中为为任任意意常常数数二二. . 二阶常系数线性齐次微分方程的解二阶常系数线性齐次微分方程的解特征根：特征根： (1)(1)有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为齐次方程：齐次方程：特征方程：特征方程：齐次方程的通解为：齐

3、次方程的通解为：特解为：特解为：(3)(3)有一对共轭复根时有一对共轭复根时齐次方程的通解为齐次方程的通解为特征根为：特征根为：特解为：特解为：(2)(2)有两个相等的实根时有两个相等的实根时小结：二阶常系数线性齐次微分方程解小结：二阶常系数线性齐次微分方程解02 qprr,2422, 1qppr 特征根：特征根：齐次方程：齐次方程：特征方程：特征方程：利用了欧拉公式利用了欧拉公式例例: : 求下列方程的通解求下列方程的通解1430( ) yyy (2) 2 220yyy (3) 230yyy 解解 (1)(1)特征方程为特征方程为0342 rr所以方程的通解为所以方程的通解为 为任意常数为任

4、意常数21231 C,CeCeCyxx 1, 321rr解得解得 为任意常数为任意常数21221 C,CexCCyx 所以方程的通解为所以方程的通解为221 rr解得解得 (2) (2)特征方程为特征方程为02222rr所以方程的通解为所以方程的通解为 (3)(3)特征方程为特征方程为0322 rr解得解得ir212, 1 为任意常数为任意常数2121, 2sin2cosCCxCxCeyx 解解 特征方程为特征方程为0542 即即0)5)(1(特征方程有两个不相等的实数根特征方程有两个不相等的实数根5, 121 512xxyC eC e 所以所求方程的通解为所以所求方程的通解为对上式求导对上式

5、求导, ,得得5125xxyC eC e 例例: :求求 满足初始条件满足初始条件 450yyy 的特解的特解. .(0)1y (0)2y 将将 、 代入以上二式代入以上二式, ,得得1)0(y2)0( y1212125CCCC 解此方程组，得解此方程组，得1211,22CC所以所求特解为所以所求特解为51122xxyee )(xfqyypy (2)(2)对应齐次方程为：对应齐次方程为：, 0 qyypy (3)(3)通解结构通解结构:*( )( )( ),y xY xyx 三三. . 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程*( )( )( )yxypyqyf xY x如果是方程的一

6、个特解，如果是方程的一个特解，是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解为为(1)(1)非齐次线性方程通式：非齐次线性方程通式：2. 二阶线性偏微分方程分类二阶线性偏微分方程分类1.1.一般形式及分类判别一般形式及分类判别111222122xxxyyyxya ua ua ub ub ucuffcbbaaa,21221211其中，其中，都是区域都是区域上的实函数，上的实函数，并假定它们是连续可微的。并假定它们是连续可微的。2.2.二阶主部为：二阶主部为：1112222xxxyyya ua ua u21211220 =0 0 aa a 3.3.判别式及分类：判

7、别式及分类：双曲型双曲型抛物型抛物型椭圆型椭圆型22222uuaxtx22222uuauxt222uuaxuxt222110uu 判断下列方程的类型判断下列方程的类型思考：思考：3 3. 方程简化方程简化1.1.线性二阶偏微分方程的一般形式线性二阶偏微分方程的一般形式(2(2个自变量个自变量) )111222122xxxyyyxya ua ua ubub ucuffcbbaaa,21221211其中，其中，都是区域都是区域上的实函数，上的实函数，并假定它们是连续可微的。并假定它们是连续可微的。 n个自变量：个自变量：2111a0nnnijiijiijiuubcufx xx 其中其中 fcbai

8、ij,是自变量是自变量 nxxx,21的函数的函数2. 变量替换与变量替换与方程转型方程转型(1)变量代换：变量代换：(2)一般式转为：一般式转为：系数为：系数为：变量替换是研究偏微分方变量替换是研究偏微分方程的有效手段，适当的变程的有效手段，适当的变换，可简化方程、易求解。换，可简化方程、易求解。注：变量替换必须为注：变量替换必须为非奇异变换非奇异变换非奇异变换：雅克比非奇异变换：雅克比(Jacobi)行列式在点行列式在点(x0, y0)不等于零，即：不等于零，即：则：在点则：在点(x0, y0)附近变换是可逆的。附近变换是可逆的。3. 方程简化方程简化4. 求特解求特解构造一阶偏微分方程：

9、构造一阶偏微分方程：求一个特解求一个特解 ，则：，则：再求另一个特解再求另一个特解 ，则，则A22= 0偏微分方程转偏微分方程转为常微分方程为常微分方程5 5. 特征方程与特征曲线特征方程与特征曲线1.1.特征方程：特征方程：2.2.解：解：3.3.特征曲线：特征曲线：例例2.1.12.1.1 判断偏微分方程类型并化简：判断偏微分方程类型并化简：2360 xxxyyyyuuuu111222113a, a, a 解：解：123, yxCyxC102uu2()230dydydxdx特征方程特征方程3, 1dydydxdx 特征方程的解：特征方程的解：特征线：特征线：3 , yxyx令：令：2121

10、12240aa a 双曲型方程双曲型方程例例2.1.32.1.3 设常数设常数A,B,C满足满足240BAC20AmBmCm1、m2是如下方程的两个根是如下方程的两个根12()()uf m xyg m xy的通解为：的通解为：0 xxxyyyAuBuCu 证明二阶线性偏微分方程证明二阶线性偏微分方程12, m xym xy0u 证明：设证明：设21(4)0ACBuA则：则：4 三类方程的简化形式三类方程的简化形式当当 02211212aaa时，给出一族实的特征曲线时，给出一族实的特征曲线1),(cyx2),(cyx取取 ),(yx),(yx则则02211 AA方程变为方程变为若再作若再作 ,则

11、上述方程变为：则上述方程变为： 1.1.双曲方程型方程：双曲方程型方程：当当 02211212aaa时，只有一个解时，只有一个解 它只能给出一个实的特征线，它只能给出一个实的特征线， cyx),(。取与。取与 ),(yx函数无关的函数无关的 ),(yx作为另一个新的变量作为另一个新的变量则有：则有： 2.2.抛物型方程：抛物型方程：当当 02211212aaa时，给出一族复特征线时，给出一族复特征线),(yx),(yx在该变换下：在该变换下： 0, 02211AA且方程化为：且方程化为：令令 ii,则有：则有：3.3.椭圆型方程：椭圆型方程：小结：三种方程的标准型式：小结：三种方程的标准型式：

12、例题例题1 1：分类并标准化方程：分类并标准化方程：解：该方程的解：该方程的0)(222yxxy故该方程是抛物型的。故该方程是抛物型的。特征方程：特征方程：0)(2)(222ydxdyxydxdyxdyydxx从而得到方程的一族特征线为：从而得到方程的一族特征线为：dydxyxlnlnyCxCxy/自变量代换自变量代换yxy;( (由于由于和和必须函数无关必须函数无关, ,所以所以宜取最宜取最简单的函数形式简单的函数形式, ,即即= =x 或或= =y) )原方程化简后的标准形式为：原方程化简后的标准形式为：0u特征的解：特征的解：例例2 2. 判断偏微分方程类型并化简：判断偏微分方程类型并化

13、简： 23260 xxxyyyxyuuuuu 解：解： 111a112a322a故故 042211212aaa故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程032)(2dxdydxdy故有故有 13Cxy或或 2Cxy取新变量取新变量 yx 3yx则则3dxdy1dxdy或或 解为解为例例2(续续) 3uuux， uuuy222222296uuuux 22222222uuuuy 代入原方程得：代入原方程得：2161240uuu 即：即：23144uuu 例例3 3. 判断偏微分方程的类型并化简：判断偏微分方程的类型并化简：22cos(3sin)0 xxxyyyyuxux uyu21112221cos3sina, ax, a(x) 解：解：12sin2, sin2yxxCyx - xC()032uuu 22()2cos(3sin)0dydyxxdxdx特征方程特征方程cos2, cos2dydyxxdxdx 特征方程的解：特征方程的解：特征线：特征线：sin2 , sin2yxxyx - x令：令：22cos3sin40 xx 双曲型方程双曲型方程-ts ,第二章：第二章： 复习思考题与作业复习思考题与作业一写出二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程与特写出二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程与特 征根。征根。二二. 简