自动化第4章频率特性分析法

1、第四章第四章 频域分析法频域分析法第第1 1节节 频率特性的基本概念频率特性的基本概念设某反馈系统如图所示设某反馈系统如图所示给系统输入一个给系统输入一个幅值不变幅值不变频率频率不断增大不断增大的正弦，的正弦，Ar=1 =0.5=1=2=2.5=4曲线如下曲线如下:结论：结论：给给稳定稳定的系统输入一个正弦，其的系统输入一个正弦，其稳态输出稳态输出是与输入是与输入同频率同频率的正弦，幅值随的正弦，幅值随而而变变，相角，相角也是也是的函数。的函数。一、频率特性的定义一、频率特性的定义q 幅频特性幅频特性：输出的幅值输出的幅值/ /输入的幅值输入的幅值随随 的变的变化特性，记为化特性，记为A( )

2、。q 相频特性相频特性：输出的相位输出的相位- -输入的相位输入的相位随随 的变的变化特性，记为化特性，记为 ( )。00.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.5200.511.522.53-5-4-3-2-1012345线性线性系统系统 系统系统频率特性与频率特性与系统系统传递函数的关系传递函数的关系 jssGjG)()(用黑板讲用黑板讲举例说明举例说明q 幅频特性幅频特性：|G(j )|q 相频特性相频特性： G(j )一、奈奎斯特一、奈奎斯特(Nyquist)图（极坐标图、幅相频图（极坐标图、幅相频 率特性图）率特性图） )()()()()()()(Im)(Re)(

3、jjGjeAejGjQPjGjjGjG)()()()()()(22PQarctgQPA第第2 2节节 频率特性的几种图示方法频率特性的几种图示方法0j)(A)()(P)(Q二、二、波德波德(Bode)图（对数频率特性图）图（对数频率特性图） q 对数幅频特性图对数幅频特性图横坐标：以横坐标：以lg 进行进行分度，分度，但以但以 标注标注 单位单位 rad/s或或Hz纵坐标：线性分度：纵坐标：线性分度：L( )=20lgA( ) 单位单位 分贝（分贝（dB）图中点坐标的确定：图中点坐标的确定：首先从横轴读得首先从横轴读得 ，然后取然后取lg ，作为，作为横坐标横坐标从纵轴读得从纵轴读得纵坐标纵坐

4、标20lgA( )对数坐标系对数坐标系0.1110 20lgA( )lg ,20lgA( )q 对数相频特性图对数相频特性图 横坐标：与对数幅频特性图相同。横坐标：与对数幅频特性图相同。纵坐标：线性分度，频率特性的相角纵坐标：线性分度，频率特性的相角 ( ) 单位单位 度度( )对数坐标系对数坐标系0.1110 ( )lg , ( )q 几点说明几点说明 在对数频率特性图中，由于横坐标采用了在对数频率特性图中，由于横坐标采用了 对数分度，因此对数分度，因此 =0不可能在横坐标上表不可能在横坐标上表 示出来，横坐标上表示的最低频率由所感示出来，横坐标上表示的最低频率由所感 兴趣的频率范围确定。兴

5、趣的频率范围确定。 在对数频率特性图中，角频率在对数频率特性图中，角频率 变化的倍变化的倍 数往往比其变化的数值更有意义。为此通数往往比其变化的数值更有意义。为此通 常采用频率比的概念：频率变化十倍的区常采用频率比的概念：频率变化十倍的区 间称为一个间称为一个十倍频程十倍频程，记为，记为decade或简写或简写 为为 dec。 对数坐标的优点对数坐标的优点 n 幅值相乘变为相加，简化作图；幅值相乘变为相加，简化作图；n 对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范 围围n 两个系统或环节的频率特性互为倒数时，两个系统或环节的频率特性互为倒数时， 其对数幅频特性曲线关于零

6、分贝线对称，其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称， 相频特性曲线关于零度线对称相频特性曲线关于零度线对称n 可以利用渐近直线绘制近似的对数幅频可以利用渐近直线绘制近似的对数幅频 特性曲线；特性曲线；n 将实验获得的频率特性数据绘制成对数将实验获得的频率特性数据绘制成对数 频率特性曲线，可以方便地确定系统的频率特性曲线，可以方便地确定系统的 传递函数。传递函数。一、比例环节一、比例环节 传递函数：传递函数： G(s) = K频率特性：频率特性：G(j ) = K = Kej0对数幅频特性：对数幅频特性：L( ) = 20lgK对数相频特性：对数相频特性： ( ) = 0幅频特性：幅频特性：A( )

7、 = K相频特性：相频特性： ( ) = 0第第3 3节节 典型环节的频率特性典型环节的频率特性比例环节的频率特性图比例环节的频率特性图Bode Diagram()L( )-20020406010-1100101102-180-900 90 180 20lgKK0ReImNyquist Diagram二、惯性环节二、惯性环节 传递函数：传递函数：11)(TssG频率特性：频率特性：jarctgTeTTjjG221111)(相频特性相频特性: ( ) = - arctgT 幅频特性：幅频特性：2211)(TA0ReIm1/21 =0 = -45 =1/T惯性环节的奈氏图为惯性环节的奈氏图为圆心在

8、圆心在(1/2, 0)处，半处，半径为径为1/2的半圆的半圆。q 低频段低频段( ( 1/1/T ) )lg20lg20TTTLlg201lg20)(22转折频率转折频率-30-20-10010-90-4501/TL( ) ( )Bode Diagram实际幅频特性实际幅频特性渐近线渐近线- -20dB/dec-4-3-2-100.1110T转折频率转折频率惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线三、一阶微分三、一阶微分环节环节 传递函数：传递函数：1)( ssG频率特性：频率特性：jarctgejjG2211)(221arctg =0 = Nyquist图 0Re

9、Im1对数相频特性：对数相频特性： ( ) = arctg频率特性：频率特性：jarctgejjG2211)(对数幅频特性：对数幅频特性：221log20)(Lq 低频段低频段( ( 1/1/ ) )lg20lg20lg201log20)(22L01log20)(22L0 10 2030904501/ L( ) ( )Bode Diagram0.1/ 10/ 转折频率转折频率实际幅频特性实际幅频特性渐近线渐近线20dB/dec一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数( ( =T)=T)。一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于一阶微分环节与惯性环节的

10、对数幅频特性曲线关于 0 0dB 线对称。相频特性曲线关于零度线对称。线对称。相频特性曲线关于零度线对称。四、积分四、积分环节环节 传递函数：传递函数：ssG1)(频率特性：频率特性：2111)(jejjjG虚频特性：虚频特性：1)(Q实频特性：实频特性：0)(PNyquist图图0ReIm =0 = 对数幅频特性：对数幅频特性：log20)(L对数相频特性：对数相频特性： ( ) = -90频率特性：频率特性：2111)(jejjjG0.1110100-40-200200-45-90-135-180L( ) ( )Bode Diagram20dB/dec五、纯微分五、纯微分环节环节 传递函数

11、：传递函数：ssG)(频率特性：频率特性：2)(jejjG实频特性：实频特性：0)(P虚频特性：虚频特性：)(QNyquist图图 0ReIm =0 =频率特性：频率特性：2)(jejjG对数相频特性：对数相频特性： ( ) = 90对数幅频特性：对数幅频特性：log20)(L-2002040045901351800.1110100L( ) ( )Bode Diagram20dB/dec六、振荡六、振荡环节环节 用黑板讲用黑板讲Nyquist Diagram-3-2-10123-6-5-4-3-2-10 =0.2 =0.5 =0.7 =0 = =1 =0.3 =0.1 1)0()( AA0)0

12、()(q 21)()(nAA90)()(nq 0)()( AA180)()(q 00.2 0.4 0.6 0.811.2 1.4 1.6 1.8201234 = 0.05 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.40 = 0.50 = 0.707 = 1.00 / / nA( )由振荡环节的幅频特性曲线可见，当由振荡环节的幅频特性曲线可见，当 较小时，较小时，在在 = n附近，附近，A( )出现峰值，即发生出现峰值，即发生谐振谐振。峰值频率为峰值频率为221nr-180-135-90-4500.1110 ( )-40-30-20-1001020L( )Bode Diag

13、ram / / n-40dB/dec = 0.3 = 0.1 = 0.7 渐近线渐近线 = 0.2 = 0.5 = 1.0-8-40481216200.1110 = 0.05 = 0.10 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.35 = 0.40 = 0.80 = 0.90 = 1.00 = 0.50 = 0.60 = 0.707 / / nError (dB)七、二阶微分七、二阶微分环节环节 传递函数：传递函数：10, 12)(22sssG频率特性：频率特性：21)(22jjG1)0()( AA0)0()(q 2)(A 90)(q )(A180)(q =0 = 10

14、ReImNyquist Diagram = 1/ 2 二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数( ( 1/1/ n ) )。二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于关于 0 0dB 线对称，相频特性曲线关于零度线对线对称，相频特性曲线关于零度线对称。称。八、延迟环节八、延迟环节 传递函数：传递函数：sesG)(频率特性：频率特性：jejG)(幅频特性：幅频特性：1)(A相频特性：相频特性：)(对数幅频特性：对数幅频特性：0)(L-600-500-400-300-200-10000.1110 ( ) 10L( )

15、0-20-101 =0 0ReImNyquist Diagram)()1 ()1)(1 ()()1 ()1)(1 ()(2121mnTjTjTjjjjjKjGvnvmq 0型系统（型系统（v = 0） 0： A(0)K ： A( )0 (0)0 ( )(nm)90第第4 4节节 系统的开环频率特性系统的开环频率特性一、系统开环幅相频率特性的绘制一、系统开环幅相频率特性的绘制n-m=1n-m=2n-m=3K 0 n-m=4 ReIm0q I型系统（型系统（v = 1） 0： ： (0)90 ( )(nm)90A( )0A(0) ReIm0n-m=2n-m=3 0 n-m=4 n-m=1)()1

16、()1)(1 ()()1 ()1)(1 ()(2121mnTjTjTjjjjjKjGvnvmq II型系统（型系统（v = 2） ：()(nm)90A()0 0：(0)180A(0)ReIm0n-m=2n-m=3 0 n-m=4 )()1 ()1)(1 ()()1 ()1)(1 ()(2121mnTjTjTjjjjjKjGvnvm极点和零点全部位于极点和零点全部位于s左半平面的系统称为左半平面的系统称为最小最小相位系统相位系统。反之，称为。反之，称为非最小相位系统非最小相位系统。延迟。延迟环节通常视为非最小相位环节。环节通常视为非最小相位环节。q 开环含有开环含有v个积分环节的系统，个积分环节

17、的系统，Nyquist曲线起曲线起自幅角为自幅角为v90的无穷远处。的无穷远处。q n m时，时，Nyquist曲线终点幅值为曲线终点幅值为 0 ，而相角，而相角为为(nm)90。q 不含一阶或二阶微分环节的系统，相角滞后量不含一阶或二阶微分环节的系统，相角滞后量单调增加。含有一阶或二阶微分环节的系统，由单调增加。含有一阶或二阶微分环节的系统，由于相角非单调变化，于相角非单调变化， Nyquist曲线可能出现凹凸。曲线可能出现凹凸。举例说明举例说明上述结论仅对最小相位系统成立。上述结论仅对最小相位系统成立。考虑系统：考虑系统：)()()()(21sGsGsGsGn)()()(jeAjG)()(

18、)(2121)()()(njneAAA)()()()(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)(2121nnLLLAAAAL)()()()(21n二、系统开环对数频率特性的绘制二、系统开环对数频率特性的绘制举例说明举例说明用黑板讲用黑板讲一、米哈伊洛夫稳定定理一、米哈伊洛夫稳定定理 第第4 4节节 NyquistNyquist稳定判据稳定判据系统稳定的条件：当系统稳定的条件：当 由由0变化到变化到 时，矢量时，矢量D(j )的相角变化量的相角变化量2)(argnjD此即为此即为米哈伊洛夫稳定定理米哈伊洛夫稳定定理。n为系统的阶数。为系统的阶数。 一阶系统一阶系统特征方程：特征方程：D(s

19、) = s + p 0特征根：特征根：s = -p 0，系统稳定。，系统稳定。在频域内为：在频域内为：D(j ) = p + j = j - ( - p)ReIm0-pj D(j )-p 221)(argjD当当 由由0变化到变化到 时：时： 二阶系统二阶系统0)(2)(2122pspssssDnn-p1-p2ReIm0 1 2j +p1j +p222)(argjD当由0变化到时：022)(argjD当由0变化到时：q 实根情形实根情形( 1)-p1-p2ReIm0 1 2j + p1j +p2q 共轭虚根情形共轭虚根情形(0 0的情形，即的情形，即 由由 00+ 变化时，变化时，G(j )以

20、以幅值幅值 顺时针旋转顺时针旋转v90 。即按常规方法作出即按常规方法作出 由由 0+ 变化时的变化时的Nyquist曲线后，从曲线后，从G(j0)开始，以开始，以 的半径顺时针补画的半径顺时针补画v90 的圆弧的圆弧(辅助线辅助线)得到完整的得到完整的Nyquist曲线。曲线。 =0 =0 =0+ReImI型系统 =0 =Re0 =0+ImII型系统 =0 =Re0 =0+Im型系统举例说明举例说明一、相角裕度一、相角裕度第第5 5节节 稳定裕度稳定裕度-1ReIm =0 = c ( c) ( c)-18000 ( )L( ) c ( c) c称为幅值穿越频率称为幅值穿越频率相角裕度相角裕度

21、 ( c)180 ( c)二、幅值裕度二、幅值裕度-1ReIm g1/Kg =0 = -18000 ( )L( ) gKg g称为相位穿越频率称为相位穿越频率)()(1)(1ggggjHjGAK)(lg20)(1lg20)(gggAAdBK为了得到满意的性能，一般要求：为了得到满意的性能，一般要求：Kg 6dB 且且 ( c) 3070 -1ReIm0 = 幅值裕度与相角裕度的计算幅值裕度与相角裕度的计算用黑板讲解用黑板讲解幅值裕度与相角裕度的缺陷幅值裕度与相角裕度的缺陷 L( )0 c-20dB/dec-40-20-40-60 1 2 3 4低频段低频段(第一个转折频率第一个转折频率 1 之

22、前的频段之前的频段)中频段中频段( 1 10 c)高频段高频段( 10 c 以后的频段以后的频段)第第6 6节节 利用开环频率特性分析系统的性能利用开环频率特性分析系统的性能一、低频段一、低频段vjKjG)()(低频段频率特性可近似为：低频段频率特性可近似为：vKL 0)(lg20lg20)(vKL L( )120lgKv = 0v = 1-20dB/dec 1-40 2稳态误差系数：稳态误差系数： 0型系统型系统 KpK； Kv Ka0 I型系统型系统 Kp ； Kv 1 ；Ka0 II型系统型系统 Kp ； Kv 22aK二、中频段二、中频段中频段反映系统的中频段反映系统的稳定性稳定性和和

23、快速性快速性。最小相位系统的相角裕度主要取决于最小相位系统的相角裕度主要取决于开环开环对数幅频特性中频段的斜率对数幅频特性中频段的斜率，同时，低频，同时，低频段和高频段的斜率、中频段的带宽等都对段和高频段的斜率、中频段的带宽等都对系统的相角裕度系统的相角裕度有影响有影响。L( ) ( ) 020lgKL( ) ( ) -20-90 cL( ) ( ) -40-180 c ( c)=180 ( c)=90 ( c)=0 低、中、高频段斜率相同低、中、高频段斜率相同 低频段斜率变化对低频段斜率变化对 ( c)的影响的影响L( )0 0-20 1 c90180)(1ccarctgL( )0 -40-

24、20 1 c1145)(cccarctgL( )0 -60-20 1 c0)(1290)(211cccarctg 高频段斜率变化对高频段斜率变化对 ( c)的影响的影响L( )0 -40-20 2 c4590)(22cccarctgarctgL( )0 -60-20 2 c0)(1290)(222cccarctg中频段的带宽的影响中频段的带宽的影响3021321090)(ccccccccarctgarctgarctgarctgarctgarctg c 2 1 3 00L( )-20-40-20-40-60时时：hhc1221当当相位裕量最大。相位裕量最大。hharctgharctgharctgc211)(max1、2离c越远，即h= 2/1越大，相位裕量 (c)越大。 L( )0 c-20dB/dec-40-20-40-60 1 2 3 4三、高频段三、高频段从系统开环频率特性曲线来看，系统具有低从系统开环频率特性曲线来看，系统具有低通滤波特性。通滤波特性。高频段越陡，滤除高频干扰的性能越强。高频段越陡，滤除高频干扰的性能越强。l 结论结论一个设计合理的系统：一个设计合理的系统： 中频段的斜率以中频段的斜率以20dB为宜；为宜； 低频段和高频段可以有更大的斜率。低频段和高频段可以有更大的斜率。低频段斜率大，提高稳态性能；低频段斜率大