第7章_小波变换和多分辨率处理

1、小波和多分辨率处理 辛明琴Digital Image Processing, 3nd ed.12015/12/22小波变换是基于具有变化的频率和有限持续时间的小型波进行的。它是多分辨率理论的分析基础。本章将从多分辨率的角度解释小波变换。介绍图像编码，噪声去除和边缘提取等一些应用实例。2小波变换和傅里叶变换的区别 傅里叶展开函数是频率变化及持续时间无限的正弦波；小波变换的展开函数是持续时间有限及频率变化的小波。3主要内容背景多分辨率展开一维小波变换快速小波变换二维小波变换小波包47.1背景Background从数学的观点看，图像是一个亮度值的二维矩阵，像边界和对比强烈区域那样的突变特性的不同组合

2、会产生统计值的局部变化。如图7.1所示。图7.1 一幅自然图像和它的局部直方图变化57.1.1 图像金字塔图像金字塔图像金字塔是以多分辨率来解释图像的一种有效但概念简单的结构。图7.2 (a) 一个金字塔图像结构67.1.1 图像金字塔金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率的近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率就降低。图7.2 (a) 一个金字塔图像结构77.1.1 图像金字塔近似金字塔和预测残差金字塔近似金字塔和预测残差金字塔 如图7.2(b) 框图所表明的，近似值和预测残差金字塔都是以一种迭代的方式进行计算。图7.2 (b) 建立金字塔的方框图87.1.1 图像金字

3、塔传递由3个连续步骤组成：1.计算第j级输入图像降低的分辨率近似值。通过对输入进行滤波并以2为因数进行下采样实现。图7.2 (b) 建立金字塔的方框图97.1.1 图像金字塔传递由3个连续步骤组成：2.由步骤1产生的降低分辨率近似创建第j级输入图像的一个估计。这通过对产生的近似与第j级图像进行上采样和滤波来完成。得到的预测图像与第j级输入图像的维数相同7.1背景 Background图7.2 (b) 建立金字塔的方框图107.1.1 图像金字塔传递由3个连续步骤组成：3.计算步骤2的预测图像和步骤1的输入之间的差异。把得到的结果放在预测残差金字塔的第j级。图7.2 (b) 建立金字塔的方框图1

4、17.1.1 图像金字塔例7.1 高斯和拉普拉斯金字塔图7.3 两种图像金字塔及直方图（a）近似金字塔（b）预测残差金字塔127.1.2 子带编码子带编码子带编码是另一种与多分辨率分析相关的重要图像技术。在子带编码中，一幅图像被分解成为一系列频带受限的分量，称为子带。子带可以重组在一起无失真地重建原始图像。每个子带通过对输入图像进行带通滤波而得到。137.1.2 子带编码图7.6(a)显示了两段子带编译码系统的基本部分。图7.6 （a）一维子带编码和解码的两频带滤波器组，（b）频谱分离特性14目的：选择滤波器，以便子带编码和解码系统的输入和输出是相同的。最终采用了完美重建滤波器。157.1.2

5、 子带编码7.1.2 子带编码 一维滤波器也可用于图像处理的二维可分离滤波器。如图7.7所示。可分离滤波器首先应用于某一维(如垂直向)，再应用于另一维(如水平向)。167.1.2 子带编码例7.2 图7.1中花瓶的4频段子带编码 图7.9显示图7.1中花瓶的512512图像基于图7.6滤波器的4频段分离（a）近似子带（b）水平细节子带（c）垂直细节子带（d）对角线细节子带177.1.3 哈尔变换哈尔变换(Haar)是与多分辨率分析有关的图像处理手段之一。哈尔变换可以用下述矩阵形式表达：T=HFHT 其中，F是一个NN图像矩阵，H是NN变换矩阵，T是NN变换的结果。(7.1.15)187.1.3

6、 哈尔变换哈尔变换的变换矩阵H包含哈尔基函数hk(z)，它们定义在连续闭区间z0,1，k=0,1,2,N-1，这里N=2n。为生成H矩阵，定义整数k，即k=2p+q-1(这里0pn-1, p=0时，q=0或1，p0时， 0q2p)。 可得哈尔基函数为： 1 , 0 1)()(000zNzhzh(7.1.16)197.1.3 哈尔变换且 1 , 0 , 02/)/25 . 0( 22/ )5 . 0()/21( 21)()(22zotherwiseqzq-qzq-Nzhzhpppppppqk(7.1.17) NN哈尔变换矩阵的第i行包含了元素hi(z)，其中z=0/N，1/N，2/N，(N-1)

7、/N。207.1.3 哈尔变换例如，N=4时，k，q和p值如下：2200002211121111 41 4H(7.1.19) 44哈尔变换矩阵H4217.1.3 哈尔变换22哈尔变换矩阵H41111 21 2H(7.1.18) 它的基函数仅定义了2抽头完美重建滤波器组的分析滤波器h0(n)和h1(n)。227.1.3 哈尔变换例7.3 离散小波变换的哈尔函数 （a）用H2哈尔基函数的离散小波变换 （b）（d）由（a）得到的几种不同 的近似（64*64,128*128,256*256）237.2 多分辨率展开在多分辨率分析( MRA )中，尺度函数尺度函数被用于建立某一函数或图像的一系列近似值，

8、相邻两近似值之间的近似度相差2倍。被称为小波小波的附加函数用于对相邻近似值之间的差异进行编码。247.2.1 级数展开 信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开函数的线性组合(7.2.1)(7.2.2)(7.2.3) 展开集合的闭合跨度，表示为：)(anSpxVkkkkkxxf)()(xxfxxfxkkkd)()()(),(*257.2.1 级数展开 由于展开集合的正交性，该计算可以是3种可能形式中的一种。 情况1：如果该展开函数构成了V的一个正交基，即：(7.2.4)(7.2.5) 基与它的对偶相等。即：kjkjxxjkkj 1 0)(),()()(xxkk)(),(xfxkk267.2.

9、1 级数展开 情况2：如果该展开函数本身不正交，而是V的正交基，则：(7.2.6)(7.2.7)kjxxkj 0)(),(kjkjxxjkkj 1 0)(),( 基函数及其对偶称为双正交。使用式(7.2.3)计算 ，有：k277.2.1 级数展开)()(),(1)(xxfxAxfkkk222|)(|)(),(|)(|xfBxfxxfAkk 情况3：如果展开集合对V来说不是函数基，但支持式(7.2.1)中定义的展开，那么它是一个跨度集合，对于任一f (x)V有一个以上k集合。展开函数及其对偶称为超完备或冗余。它们组成了一个框架，其中：(7.2.8)(7.2.9) 对于某些A0，B=j0 (7.3

10、.6)(7.3.7)477.3.2 离散小波变换例7.8计算一维离散小波变换考虑四点的离散函数： f(0)=1，f(1)=4，f(2)=-3和f(3) = 0。因为M=4，J=2且由于j0=0，对x=0，1，2，3，j=0，k=0，或者对于j= 1，k=0求和。将使用哈尔尺度和小波函数，并假定f(x)的4个采样值分布在基函数的支撑区上，基函数的宽度为1。将4个采样点代入式(7.3.5)，可得： 1 10131411 21)()(21)0 , 0(0, 030 xxfWx487.3.2 离散小波变换例7.8计算一维离散小波变换这里采用的是哈尔尺度函数对于j=0且k=0的均匀空间采样。该值对应于7

11、. 1.3节的哈尔变换矩阵H4的第一行。继续使用式(7.3.6)和相似间隔的采样点j,k (x)(它对应于H4的第2,3,4行)，可得：4)1(0) 1(31411 21)0 , 0(W25 . 10003)2(421 21)0 , 1 (W25 . 1)2(0230401 21) 1 , 1 (W497.3.2 离散小波变换例7.8计算一维离散小波变换式(7.3.7)允许从变换中恢复出原始函数。重复求和，可得：)() 1 , 1 ()()0 , 1 ()()0 , 0()()0 , 0(21)(1 , 10 , 10 , 00 , 0 xWxWxWxWxf1025 . 1)2(25 . 11

12、411 21)0(f x=0，1，2，3。如果x=0 与正变换情况一样，尺度和小波函数的均匀空间采样也用于反变换的计算。507.3.3 连续小波变换连续小波变换(CWT)是离散小波变换的自然延伸，将一个连续函数变换成两个连续变量(变换和尺度)的高冗余度函数。变换结果在时频分析上很容易解释并有很大价值。连续的平方可积函数f(x)的连续小波变换与实数值的小波(x)的关系如下：xxxfsWsd)()(),(,)(1)(,0,sxsxkjs(7.3.8)(7.3.9)517.3.3 连续小波变换s和分别称为尺度参数尺度参数和平移参数平移参数。给定W(s，) ，可以通过反连续小波变换求得f(x)： 02

13、,dd)(),(1)(ssxsWCxfsuuuCd| )(|2(7.3.10)(7.3.11)527.3.3 连续小波变换例7.9 一维连续小波变换墨西哥草帽小波：22241)1 (32)(xexx(7.3.12)537.3.3 连续小波变换例7.9 一维连续小波变换（a）小波函数（b）尺度化小波和傅里叶频谱关系（c）CWT一部分（d）小波函数灰度图)()()(80, 610, 1xxxf547.4 快速小波变换快速小波变换(FWT)是一种实现离散小波变换(DWT)的高效计算，该变换找到了相邻尺度DWT系数间的关系。它也称为Mallat人字形算法。nnxnhx)2(2)()( 用2j对x进行尺

14、度化，用k对它进行平移，令m=2k+n，得：mjnjjmxkmhnkxnhkx)2(2)2()2(2(2)()2(1(7.4.1)(7.4.2)557.4 快速小波变换mjjmxkmhkx)2(2)2()2(1(7.4.3)567.4 快速小波变换mmjWkmhkjW), 1()2(),(), 1()2(),(mjWkmhkjWm第7章 小波变换和多分辨率处理(7.4.7)(7.4.8)(7.4.9)0,2| ), 1()(),(kknnjWnhkjW(7.4.10)0,2| ), 1()(),(kknnjWnhkjW7.4 快速小波变换图7.17 一个FWT分析滤波器族 注意图7.17中的滤

15、波器族可以迭代产生多阶结构，用于计算两个以上连续尺度的DWT系数。587.4 快速小波变换图7.18 （a）一个两阶或两尺度FWT分析滤波器族，（b）它的频率分离特性 例如，图7.18(a)显示了一个用于计算变换的两个最高尺度系数的二阶滤波器族。注意，最高的尺度系数假定是函数自身的采样值。597.4 快速小波变换例7.10 计算一维小波变换 离散函数f(n)=1,4,-3,0；otherwisennh 0 1 , 0 21)(otherwisennnh 0 1 210 21)(1 , 01 , 00,20,2| ) 12(21)2(21| )()2(| )()(| ), 2()(), 1 (k

16、lkkknkknkxkxlxlkhnfnhnWnhkW(7.4.13)(7.4.14)607.4 快速小波变换例7.10 计算一维小波变换图7.19 使用哈尔尺度和小波向量计算序列1,4，-3,0的二尺堵快速小波变换617.4 快速小波变换从DWT/FWT的近似值和细节系数重建f(x)也存在一种高效的反变换，称为快速小波反变换(FWT-1)。它使用正变换中所用的尺度和小波向量以及第j级近似值和细节系数来生成第j+1级近似值系数。注意到图7.17中FWT分析部分和图7.4(a)中两频段子带分析部分的相似性，可以立即得出要求的FWT-1的综合滤波器族。627.4 快速小波变换图7.20 FWT-1

17、 的综合滤波器族 图7.20中的FWT-1的滤波器族执行下述计算：0upup| ),()(),()(), 1(kkjWkhkjWkhkjW(7.4.15)637.4 快速小波变换1FWT 与FWT-1正变换类似，反变换滤波器族可以如图7.21所示进行迭代，为了计算FWT-1重建的最后两个尺度描绘了两尺度结构。该系数合并过程可以扩展到任意数目的尺度，从而保证函数f(x)的完美重建。 图7.21 一个两级或二尺度FWT-1综合滤波器组647.4 快速小波变换例7.11 计算一维快速小波反变换图7.22 用哈尔尺度和小波向量计算序列 的两尺度快速小波反变换1,4, 1.5 2, 1.5 265FWT

18、和FFT之间的区别(1)计算上的复杂性计算上的复杂性：包括在长度为M=2J的序列的FWT计算中的数学运算次数是O(M)阶。也就是说，浮点乘法和加法(使用滤波器族)的次数与序列的长度存在线性关系。这与FFT算法比较是有利的，FFT需要O(MLogM)阶。66FWT和FFT之间的区别(2)变换的基函数：变换的基函数：傅里叶的基函数(即正弦函数)保证了FFT的存在，而FWT的存在取决于使用的小波尺度函数是否可用，以及尺度函数和相应的小波的正交性(或双正交性)。因此，式(7.3.12)的墨西哥草帽小波不能用于计算FWT，因为它没有相应的尺度函数。换句话说，不能为墨西哥草帽小波建立一个像图7.15中那样

19、的滤波器族；它不满足FWT方法的基本假设。67FWT和FFT之间的区别(3)不可分割的关系：不可分割的关系：如果试图同时在时域和频域内对函数进行分析，就会遇到如下问题：如果想要关于时域的有价值信息，就要忍受频域的含糊，反之亦然。这是海森伯(Heisenberg)测不准原理在信息处理中的应用。为了用图示说明该原理，函数表达中用到的每个基函数都被概要地看成是时间频率平面的一个块。该块也称为海森伯单元或海森伯盒，显示了基函数能量的集中区域。块不重叠是正交基函数的特点。687.4 快速小波变换图7.23 时间一频率片 （a）传统时域（b）FFT与FWT相关的基函数（c）中等高度矩形的水平条带表示FWT

20、尺度697.5 二维小波变换 , x yxy一维变换很容易像图像那样扩展到二维函数。乘积产生可分离的尺度函数：)()(),(yxyxH(7.5.1)(7.5.2)()(),(yxyxV)()(),(yxyxD 可分离的“方向敏感的”小波，沿着不同方向的图像强度或灰度的变化：(7.5.3)(7.5.4)707.5 二维小波变换 给定可分离的二维尺度和小波函数，一维DWT到二维的扩展很简单。首先定义一个尺度和平移基函数：)2 ,2(2),(2/,nymxyxjjjnmj(7.5.5)(7.5.6),),2 ,2(2),(2/,DVHinymxyxjjijinmj717.5 二维小波变换则尺寸为MN

21、的函数f(x,y)的离散小波变换是：1010.,0),(),(1),(0MxNynmjyxyxfMNnmjW(7.5.7)(7.5.8),),(),(1),(1010,DVHiyxyxfMNnmjWMxNyinmji 727.5 二维小波变换f(x,y)可通过离散反小波变换得到：(7.5.9) DVHijjm ninmjim nnmjyxnmjWMNyxnmjWMNyxf,0,00),(),(1),(),(1),( 类似一维离散小波变换，二维DWT可以用数字滤波器和抽样来实现。737.5 二维小波变换图7.24 二维快速小波变换（a）分析滤波器族747.5 二维小波变换图7.24 二维快速小波

22、变换（b）分解结果757.5 二维小波变换图7.24 二维快速小波变换（c）综合滤波器族767.5 二维小波变换77图7.25 计算二维三尺度FWT（a)原图像 (b)一尺度FWT(c)二尺度FWT (d)三尺度FWT例7.12 计算二维快速小波变换7.5 二维小波变换图7.26 四阶对称小波。（a）-（b）分解滤波器，（c）-（d）重建滤波器，（e）一维小波，（f）一维尺度函数，（g）三个二维小波之一，78 例7.12 计算二维快速小波变换7.5 二维小波变换小波在图像处理中的用途，如在傅里叶域那样，基本方法是：计算一幅图像的二维小波变换修改变换计算反变换797.5 二维小波变换例7.13

23、基于小波的边缘检测图7.27 改进的边缘检测DWT。（a）（c）选择的 删去系数的两尺度分解，（b）（d）相应的重建807.5 二维小波变换通常基于小波的对图像去噪声(即消除噪声部分)的过程如下所示：1.为分解，选择一个小波(如哈尔对称小波)和级别数或尺度P。然后，计算噪声图像的FWT。2.门限化细节系数。即从尺度J-1到J-P选择和应用一个门限处理细节系数。这可以由硬门限实现，即元素绝对值比门限值低则置零，或由软门限实现，即元素绝时值比门限值低则置为零，并且标定非零的系数接近零。软门限去除了硬门限所固有的不连续性(在门限处)。3.基于原始的近似系数，在J-P级执行小波重建，并对J-1到J-P

24、级改进细节系数。817.5 二维小波变换例7.14 基于小波的噪声去除图7.28 对噪声去除改进DWT。（a）人体头部的 带 噪 声 的M R I 图 像 ，（b），（c）和（e）门限化细节系数后的各 种 重 建 ，（d）和（f）在（c）和（e）重建时移去的信息827.6 小波包快速小波变换将一个函数分解为一系列与对数相关的频段。即低频被组成窄频段，高频被组成宽频段。它规定了通常所说的恒定Q滤波器，如果想要较大地控制时频平面的一部分(即高频较相似的频段)，FWT必须由更灵活的分解称为小波包的产生。过程的代价是FWT计算复杂性的增加，从O(M)到O(MlogM)。837.6 小波包 图7.29(

25、a)的两尺度滤波器族的图示分解是一个二叉树。图7.29(b)详细叙述了树的结构并将合适的FWT尺度和小波系数连接到它的节点。根节点被赋予最高的尺度近似系数，它是函数自身的取样，但叶子继承变换的近似和细节系数的输出。847.6 小波包 这些概念进一步说明于图7.30，其中，描绘了一个三尺度FWT分析族、分析树和相应的频谱。857.6 小波包11JJJWVV122JJJJWWVV1233JJJJJWWWVV 分析树提供了表示多尺度小波变换的紧凑和有益的方法。它们比相对应的滤波器和基于子取样的方框图容易画并占有较少的空间，使它相对容易定位有效的分解。 例如，图7.30(b)的三尺度分析树提供了下列三

26、种展开选择：867.6 小波包 分析树还是表示小波包的有效机理，它们比在细节是迭代滤波器的传统小波变换更简单。 这样，图7.30(b)的三尺度FWT分析树变成图7.31的三尺度小波包树。877.6 小波包 图7.31中的三尺度小波包树几乎是三尺度FWT树的有效分解(和相关的时间-频率片)数目的三倍。回顾在正常的FWT中，进行分离、滤波，并且单独对低通波段进行抽样。这将在频率波段间生成一个固定的对数函数关系。因此，当图7.30(a)中的三尺度FWT分析树提供三种可能的分解的时候见式(7.6.1)到式(7.6.3) 图7.29的小波包树支持26种不同的分解。例如，VJ及函数f(n)可以进行如下扩展

27、：DDJDAJADJAAJDJAJJJJWWWWWWWVV, 1, 1, 1, 1, 2, 233887.6 小波包它们的频谱如图7.30( b)中所示，或者：ADJAAJDJJJWWWVV, 1, 1, 11 它们的频谱在图7.31中进行了描述。注意，最后的频谱和图7.30的完全包频谱或图7.28(c)的三尺度FWT频谱之间的区别。一般来说，P尺度、一维小波包变换(和P+1层分析树相关)支持惟一的分解，这里D(1)=1。1)() 1(2PDPD897.6 小波包90图7.32 三尺度完全小波包分析树的 （a）滤波器组（b）频谱分离特性7.6 小波包图7.33 式 中分解的频谱图7.34 一个二维FWT的第一次分解（a）频谱，（b）子空间分析树11,1,1,jjjDjAAjADVVWWW917.6 小波包 图7.35显示了一个三尺度、二维小波包分析树的一部分。像图7.31中它对应的一维部分一样、传统FWT细节节点下一代的每一个节点的第一