微分中值定理zhmPPT教案

1、微分中值定理微分中值定理zhm一、罗尔一、罗尔( (Rolle) )定理定理二、拉格朗日二、拉格朗日( (Lagrange) )中值定理中值定理三、柯西三、柯西( (Cauchy) )中值定理中值定理第1页/共47页设函数设函数)(xf在点在点 0 x的某邻域的某邻域),(0 xU内内 有定义并且在有定义并且在 0 x处可导，如果对任意处可导，如果对任意 的的),(0 xUx ，有，有 )()()()(00 xfxfxfxf 或或 则则 .0)(0 xf 1.引理（费马引理（费马( (Fermat) )定理）定理） xyo0 x.)(,0)(00的的为为函函数数则则称称若若xfxxf 驻驻点点

2、第2页/共47页2. 罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理 则在则在 (a,b) 内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 f ( ) =0 .设函数设函数 f (x) 满足条件：满足条件：1) 在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2) 在在开开区间区间(a,b)内可导内可导.3) f (a) = f (b).3 , 132)(12定理定理满足满足上上在区间在区间验证验证例例Rollexxxf 第3页/共47页物理解释物理解释: :变速直线运动在折返点处变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零瞬时速度等于零.几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy C.,)(的的在该点处的切线是水平在该

3、点处的切线是水平上至少有一点上至少有一点则弧则弧处纵坐标相等处纵坐标相等、点点在在连续光滑曲线连续光滑曲线CABBAxfy 第4页/共47页3、罗尔定理还指出了这样的一个事实：、罗尔定理还指出了这样的一个事实：若若 f (x) 可导，则可导，则 f(x)=0 的任何两个实根之间，的任何两个实根之间，至少有至少有 f (x) =0 的一个实根的一个实根.例例2 2 不求导数不求导数, 判断函数判断函数 f(x) = (x 1) (x 2) (x 3)的导数的导数f (x)有几个零点及这些零点所在的范围有几个零点及这些零点所在的范围.第5页/共47页4. 注意注意 1)若罗尔定理的三个条件中有一个

4、不满若罗尔定理的三个条件中有一个不满足足,其结论其结论可能不成立可能不成立.例如例如, 011)( )0 ,12,12xxf xxxx 1 ,1,)()2 xxxfx1yo11 ,0,)()3 xxxfx1yox1yo第6页/共47页2) 罗尔定理的三个条件是充分不必要的罗尔定理的三个条件是充分不必要的,即若有即若有一个不满足一个不满足,其结论也其结论也可能成立可能成立.例如例如,3, 1,1,yxx 第7页/共47页例例3 3.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连连续续在在则则xf. 3)1(, 1

5、)0( ff且且由零点定理由零点定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使,),1 , 0(011xxx 设另有设另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.为为唯唯一一实实根根即即 为方程小于为方程小于1的正实根的正实根.0 x第8页/共47页说明说明: :证明证明 在在 内有根用内有根用零点零点定理定理. .0)( xf),(ba证明证明 在在 内有根用内有根用罗尔罗尔定理定理. .0)( xf),(

6、ba例例4 4.)()(), 0(:, 0)(, 1)0(, ), 0(, 0)( ffaaffaDaCxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明设设第9页/共47页关键技巧关键技巧: 根据题意会知道如何构造辅助函数根据题意会知道如何构造辅助函数.即构造的辅助函数即构造的辅助函数F(x) 应满足关系式应满足关系式F (x) = f(x) .0)()(),(:, 0)()(, ),(,)( ffbabfafbaDbaCxf使使至少存在一点至少存在一点证明证明设设例例5 5第10页/共47页).()(:bfaf 去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中注意注意).()()( fabaf

7、bf 结论亦可写成结论亦可写成则在则在 (a,b) 内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 f (b) f (a) = f ( )(b a) ( (a,b) .Lagrange 中值定理：中值定理： 设函数设函数 f (x) 满足条件：满足条件：1) 在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2) 在在开开区间区间(a,b)内可导内可导.第11页/共47页作辅助函数作辅助函数证明：证明：,)()()()(xabafbfxfxF , ,)(baCxF 则有则有( )( , ) ,F xD a b , )()()()(bFabbfaafbaF ,)(上满足罗尔定理的条件上满足罗尔定理的条件在在即即ba

8、xF.0)(,),( Fba使得使得内至少存在一点内至少存在一点在在,0)()()( abafbff 即即).)()()(abfafbf 故有故有拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式第12页/共47页ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧.Lagrange1 , 0arctan)(中值定理的条件中值定理的条件上满足上满足在在验证验证xxf 例例1第13页/共47页,),()(内可导内可导在在设设baxf, ,00baxxx , )10(0 xx记记则有则有, )10()()()

9、(000 xxxfxfxxf即即. )10()(0 xxxfy增量增量 y 的精确表达式的精确表达式拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值定理也称为拉格朗日中值定理也称为微分中值定理微分中值定理第14页/共47页两个推论两个推论:(1) 设设 f (x) 在在 (a,b) 内可导且内可导且 f (x)=0，则，则 f(x)=C.(2) 设设 f (x) , ,g(x) 在在 (a,b) 内可导且内可导且 f (x) =g (x) ， 则则 f(x)=g(x) C. )()(, ),(,21

10、2121xfxfxxbaxx 有有时时只须证明对只须证明对第15页/共47页拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理的应用: 1、用、用 Lagrange 中值定理证明等式：中值定理证明等式：例例2 21cossin22 xx证明证明.),( x说明说明欲证欲证 时时, , ,)(Axf Ix , 0)( xf,0Ix 且且.)(0Axf 使使只需证在只需证在 I 上上练习：练习：).,(,2cotarcarctan xxx 证明证明第16页/共47页2、用、用 Lagrange 中值定理证明不等式：中值定理证明不等式：Step1 找出适当的函数找出适当的函数 f (x) 及区间及区间,Step

11、2 验证验证 f (x) 满足满足Lagrange 中值定理条中值定理条件件,Step3 对对 f ( ) 作适当放大或缩小，推出所作适当放大或缩小，推出所要证的结果要证的结果.例例3 3.costantancos:,2022 证明证明若若第17页/共47页例例4 4.)1ln(1,0:xxxxx 时时当当证明证明证证),1ln()(xxf 设设, 0)(上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条条件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即第

12、18页/共47页则在则在 (a,b) 内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 Cauchy 中值定理中值定理 设函数设函数 f (x)、 g (x) 满足条件：满足条件：1) 在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2) 在在开开区间区间(a,b)内可导内可导且且 g (x) 0 .)()()()()()( gfbgagbfaf 第19页/共47页证证 作辅助函数作辅助函数, )()()()()()()(xgagbgafbfxfx ,),(,)(内可导内可导在在上连续上连续在在则则babax , )()()()()()()()(bagbgagbfbgafa 且且,0)(),( 使使定理知：至少存

13、在一点定理知：至少存在一点由由baRolle,0)()()()()()( gagbgafbff即即.)()()()()()( gfagbgafbf 第20页/共47页几何解释几何解释:)()()()()()( gfagbgafbf )()(tfytgx)(af)(bf)()(ddtgtfxy 注意注意: :xyo弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率)(ag)(bg)( g.,)(),(ABfgCAB该点处的切线平行于弦该点处的切线平行于弦在在上至少有一点上至少有一点在曲线弧在曲线弧 AB第21页/共47页,)(xxg 当当, 1)(,)()( xgabagbg)()()()()()( gfagbg

14、afbf ).()()( fabafbfLagrange 中值定理是中值定理是Cauchy 中值定理中值定理 的特例的特例.第22页/共47页例例).0()1(2)(, )1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数分析分析: 结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff xxxf)()(2第23页/共47页例例证证,)(2xxg 设设,1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1 , 0( 2)(01)0()

15、1(fff).0()1(2)(fff 即即).0()1(2)(, )1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数第24页/共47页1. 1. 微分中值定理的条件、结论及关系微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理)()(afbf xxg )()()(afbf xxF )(费马引理费马引理中值定理的数学符号简洁表述中值定理的数学符号简洁表述: P125第25页/共47页2. 微分中值定理的应用微分中值定理的应用(1) 证明恒等式证明恒等式(2

16、) 证明不等式证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论关键关键: : 利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数第26页/共47页中值定理的数学符号简洁表述中值定理的数学符号简洁表述: P125;0)(,),()()(),(,)1( fbabfafbaDbaCf使使且且);()()(),(),(,)2( fabafbfbabaDbaCf ，使使.)()()()()()(),(),(, 0)(),(,)3( gfagbgafbfbabaxxgbaDbaCgf ，使使且且第27页/共47页1. 填空题填空题3415 函数函数4)(xxf在区间在区间 1, 2 上满足拉格朗日

17、定理上满足拉格朗日定理条件条件, 则中值则中值._ 第28页/共47页一、一、 填空题：填空题：1 1、 函数函数4)(xxf 在区间在区间1,21,2上满足拉格朗日中值上满足拉格朗日中值定理，则定理，则=_=_ _ _. .2 2、 设设)4)(3)(2)(1()( xxxxxf， 方 程方 程0)( xf有有_个根，它们分别在区间个根，它们分别在区间_上上. .3 3、 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是_._.4 4、 微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的微分中值定理精确地表达函数在一个

18、区间上的_与函数在这区间内某点处的与函数在这区间内某点处的_之间之间的关系的关系. .5 5、 如果函数如果函数)(xf在区间在区间I上的导数上的导数_ _，那，那么么)(xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数. .练练 习习 题题第29页/共47页二、试证明对函数二、试证明对函数rqxpxy 2应用拉氏中值定理应用拉氏中值定理 时所求得的点时所求得的点 总是位于区间的正中间总是位于区间的正中间 . .三、证明等式三、证明等式21arctan1arcsin22 xxx )1 , 0( x . .四、设四、设0 ba，1 n，证明，证明 )()(11banababanbnnnn . .五、五

19、、 证明下列不等式：证明下列不等式： 1 1、baba arctanarctan； 2 2、时时当当1 x，exex . .六六、证证明明方方程程015 xx只只有有一一个个正正根根 . .第30页/共47页七、设函数七、设函数)(xfy 在在0 x的某邻域内且有的某邻域内且有n阶导数，阶导数，且且)0()0()0()1( nfff试用柯西中值定理试用柯西中值定理证明：证明：!)()()(nxfxxfnn ， （10 ）. .八、设八、设)(xf在在 ba, 内上连续，在内上连续，在( (ba,) )内可导，若内可导，若 ba 0, ,则在则在( (ba,) )内存在一内存在一 点点，使，使

20、)()()()(baffabfbaf . .第31页/共47页一、一、1 1、3415；2 2、3,(1,2),(2,3),(3,4)3,(1,2),(2,3),(3,4)；3 3、前者是后者的特殊情形、前者是后者的特殊情形, ,加加)()(bfaf 即可；即可；4 4、增量、增量, ,导数；导数；5 5、恒为零、恒为零. .练习题答练习题答案案第32页/共47页法国数学家法国数学家, 他是一位律师他是一位律师, 数学数学只是他的业余爱好只是他的业余爱好. 他兴趣广泛他兴趣广泛, 博博览群书并善于思考览群书并善于思考, 在数学上有许多在数学上有许多重大贡献重大贡献. 他特别爱好数论他特别爱好数

21、论, 他提出他提出的费马大定理的费马大定理:,2无整数解方程时当nnnzyxn至今尚未得到普遍的证明至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的提炼出来的.第33页/共47页法国数学家法国数学家.他在方程论他在方程论, 解析函数论解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献及数论方面都作出了重要的贡献, 近百近百余年来余年来, 数学中的许多成就都直接或间数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作接地溯源于他的工作, 他是对分析数学他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一产

22、生全面影响的数学家之一.第34页/共47页法国数学家法国数学家, 他对数学的贡献主要集中他对数学的贡献主要集中在微积分学在微积分学,柯柯 西全集西全集共有共有 27 卷卷.其中最重要的的是为巴黎综合学其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的校编写的分析教程分析教程, 无穷小分析概论无穷小分析概论, 微积微积分在几何上的应用分在几何上的应用 等等, 有思想有创建有思想有创建, 响广泛而深远响广泛而深远 .对数学的影对数学的影他是经典分析的奠基人之一他是经典分析的奠基人之一, 他为微他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面复变函数和微分方程方面

23、 . 一生发表论文一生发表论文800余篇余篇, 著书著书 7 本本 , 第35页/共47页.0,)1 , 0(:,01322210210 nnnxaxaxaaxnaaaa满足满足少存在一个少存在一个内至内至在在证明证明练习：设练习：设第36页/共47页例例4 4.)1 , 0(23423内内至至少少有有一一个个实实根根在在证证明明方方程程cbacxbxax 证证由由Rolle定理知定理知,)()(234xcbacxbxaxxf 设设,1 , 0)(连续连续在在则则xf,)1 , 0()(可导可导在在xf. 0)1()0( ff且且. 0)(),1 , 0(00 xfx使使.)1 , 0(0内的

24、实根内的实根即为方程在即为方程在x说明说明: : 证明证明 在在 内有根用内有根用零点零点定理定理. .0)( xf),(ba证明证明 在在 内有根用内有根用罗尔罗尔定理定理. .0)( xf),(ba第37页/共47页.0)()()(),(),(,)(, 0)()(, ),(,)( fgfbabaDbaCxgbfafbaDbaCxf使使证明：至少存在一点证明：至少存在一点设设推广推广:.0)()(),(:, 0)()(, ),(,)( ffbabfafbaDbaCxf使使至少存在一点至少存在一点证明证明设设例例.0)()(),(:, 0)()(, ),(,)( ffbabfafbaDbaCx

25、f使使至少存在一点至少存在一点证明证明设设例例6 6第38页/共47页.)()(,)(:,)(的零点的零点一定有一定有的两个零点之间的两个零点之间在在证明证明可导可导设设例例xfxfxfxf （即例（即例5 5）设设,0)()(2121xxxfxf 欲证欲证:, ),(21xx 使使0)()( ff只要证只要证0)()( ff e e亦即亦即0 )( xxxfe作辅助函数作辅助函数, )()(xfexFx 验证验证)(xF在在,21xx上满足上满足罗尔定理条件罗尔定理条件.提示提示:第39页/共47页证：证：210 xx )()()(1221xfxfxxf 12)(xf 0)(121 fx. )()()(2121xfxfxxf ,(2122xxx 不妨设不妨设 )0()()()(1221fxfxfxxf )(21 )011x 0)0(,0)( fxf0, 021 xx有有.)()()(2121xfxfxxf 例例 设设 , 证明对任意证明对任意第40页/共47页0)0(,0)( fxf0, 021 xx有有.)()()(2121xfxfxxf 例例 设设 , 证明对任意证明对任意”“0)( xf题设条件题设条件可减弱为可减弱为.)(单调减少”单调减少”“xf 第41页/共47页练习：练习：),1(e .lncos1sin 试证至少存在一点试证至少存在一点