第七章非正弦周期电流电路

1、第第7章章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路7.1 非正弦周期量及其分解非正弦周期量及其分解7.2 非正弦周期电流电路中的有效值、平均值和非正弦周期电流电路中的有效值、平均值和平均功率平均功率 7.3 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算 目的与目的与 要求要求1.了解常见的非正弦周期曲线及其分解2. 掌握非正弦周期量有效值3.会对非正弦周期电路进行分析与计算 重点重点与难点难点重点：重点： 1. 非正弦周期量的有效值 2.非正弦周期电路的 分析 计算难点：难点： 非正弦周期电路的分析 计算 Ot(a)uOt(b)uOt(c)i图7.1几种常见的非正弦波7.1 非正弦周期量及其

2、分解（一）非正弦周期量及其分解（一） 1、常见的非正弦周期曲线7.1 非正弦周期量及其分解（二）非正弦周期量及其分解（二） 1022110)sin()sin()2sin()sin()(kkkmkkmmmtkAAtkAtAtAAtf2. 设周期函数f(t)的周期为T, 角频率=2/T, 则其分解为傅里叶级数为 7.1 非正弦周期量及其分解（三）非正弦周期量及其分解（三）)sincos()sincoscossin(1010)(kkkkkkmkkmttkbtkaatkAtkAAfkkmkkkmkkkkkkkmAbAaAababaAcossintan,00227.1 非正弦周期量及其分解（四）非正弦周

3、期量及其分解（四）)(sin)(1sin)(2)(cos)(1cos)(2)()(21)(12002002000tdtktfdttktfTbtdtktfdttktfTatdtfdttfTaTkTkT例例7.1（一）（一）求图7.2所示矩形波的傅里叶级数。f (t)Um UmT2TtO图 7.2 例 7.1 图 例例7.1（二）（二）)2()()20()(TtTUtfTtUtfmm解解 图示周期函数在一个周期内的表达式为根据前述有关知识得)cos1 (2)(sin)(1)(sin10)(cos)(1)(cos10)()(21)(210202020tkkUtdtkUtdtkUbtdtkUtdtkU

4、atdUtdUammmkmmkmm例例7.1（三）（三）kUbkmk4, 1cos当k为奇数时, . 0, 1coskbk当k为偶数时, 由此可知该函数的傅里叶级数表达式为)5sin513sin31(sin4)( tttUtfm表表 7.1 几种周期函数（一）几种周期函数（一）名称波形傅里叶级数有效值平均值正弦波梯形波f (t)Tt0T2Amf (t)Tt0AmT2a aT2tAtfmsin)()sinsin15sin5sin251)3sin3sin91sin(sin4)(2 tkkaktatataaAtfm(k为奇数) 2mAmA2341aAm)1 (aAm表表 7.1 几种周期函数（二）几

5、种周期函数（二）名称波形傅里叶级数有效值平均值三角波矩形波f (t)Tt0AmT2)sin) 1(5sin2513sin91(sin8)(2212 tkktttAtfkm(k为奇数) f (t)Tt0AmT2)sin15sin513sin31(sin4)( tkktttAtfm(k为奇数) 3mA2mAmAmA表表 7.1 几种周期函数（三）几种周期函数（三）名称波形傅里叶级数有效值平均值半波整流波全波整流波f (t)Tt0AmT4f (t)Tt0AmT4.)6 , 4 , 2(.)cos12cos6cos7514cos5312cos311cos421(2)(2 ktkkkttttAtfm.)

6、6 , 4 , 2(.)cos12cos4cos5312cos31121(2)(2 ktkkkttAtfm2mAmA22mAmA表表 7.1 几种周期函数（四）几种周期函数（四）名称波形傅里叶级数有效值平均值锯齿波3mA2mAf (t)2Tt0AmT.)3 , 2 , 1(.)sin1.3sin312sin21(sin2)(ktkktttAAtfmm7.1 非正弦周期量及其分解（五）非正弦周期量及其分解（五）0, 00kaa1sin)(kktkbtf)()(ttff不包括直流分量和余弦项3.某些非正弦周期函数某些非正弦周期函数（1）周期函数为奇函数 7.1 非正弦周期量及其分解（六非正弦周期量

7、及其分解（六） （2） 周期函数为偶函数周期函数为偶函数 偶函数的傅里叶级数中bk=0, 所以偶函数的傅里叶级数中不含正弦项。 )()(ttff（3）奇谐波函数）奇谐波函数 T2TtOf (t)图 7.3 奇谐波函数 7.1 非正弦周期量及其分解（七非正弦周期量及其分解（七） 奇谐波函数只包括奇次谐波，不包括直流分量和偶次。奇谐波函数只包括奇次谐波，不包括直流分量和偶次。1)sincos()(kkktkbtkatf.)5sin513sin31(sin4)(tttUUtumm(k为奇数) 7.1 非正弦周期量及其分解（八非正弦周期量及其分解（八）u(t)2UmT2TtO(a)u1(t)UmtO(

8、b)u2(t)UmT2TtOUm(c)图 7.4 波形的分解 例例7.2试把表7.1中振幅为50V、周期为0.02s的三角波电压分解为傅里叶级数（取至五次谐波）。 解解 电压基波的角频率为sradT/10002. 022VtttttttttUtum)500sin62. 1300sin50. 4100sin5 .40()500sin251300sin91100(sin508)5sin2513sin91(sin8)(227.2 非正弦周期电流电非正弦周期电流电路中的有效值、路中的有效值、 平均值平均值和平均功率和平均功率7.2.1 有效值（一）有效值（一）1002)sin()()(1kkkmTtk

9、IItidttiTITkkkmdttkIITI0210 )sin(17.2.1 有效值（二）有效值（二）.)()sin()(21)(sin21)(sin12212012202212012200001220012220kkkkkkqqmkTkmkTkmkkkTkkmUUUUUUIIIIIIqkdttqItkITdttkIITIIdttkIIT7.2.2 平均值（一）平均值（一）1. 周期量的平均值：周期量绝对值的平均值周期量的平均值：周期量绝对值的平均值TavdttiTI0)(1tItimsin)(当 时, 其平均值为 IIItdtItdtIImmmmav898. 0637. 02sin1sin

10、21020TavdttuTU0)(17.2.2 平均值（二）平均值（二）IIKIIKmAavf 2. 对周期量, 有时还用波形因数Kf、波顶因数K和畸变因数Kj来反映其性质:IIKj1对上例的正弦量 1414. 1211. 11IIKIIKIIKjmAavf7.2.3 平均功率（一）平均功率（一）10100)sin()()sin()()(1kikkmkukkmTtkIItutkUUtudttpTPdttkIItkUUTdttituTdttpTPkikkmTkukkmTT )sin( )sin(1)()(1)(110010007.2.3 平均功率（二）平均功率（二）0000001IUdtIUTP

11、TkkkikukkmkmTikkmukkmkIUIUdttkItkUTPcos)cos(21)sin()sin(1010coskkkkIUPP7.2.3 平均功率（三）平均功率（三）1sinkkkkIUQ12201220kkkkIIUUUISSPUIPcos 等效正弦波替代原来的非正弦波。等效的条件是: 等效正弦量的有效值为非正弦量的有效值，等效正弦量的频率为基波的频率, 平均功率不变。 例例7.4（一）（一）已知某电路的电压、 电流分别为VtttiVtttu)500sin2)30100sin(63)()30300sin(8)30100(2010)(求该电路的平均功率、 无功功率和视在功率。

12、例例7.4（二）（二）解解 平均功率为平均功率为var52)60sin(2622060)60cos(26220310QWP无功功率为无功功率为 视在功率为视在功率为 VAUIS1 .9822)26(328)220(102222227.3 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算 1、 其分析电路的一般步骤步骤如下: (1) 将给定的非正弦激励信号分解为傅里叶级数, 并根据计算精度要求, 取有限项高次谐波。 (2) 分别计算各次谐波单独作用下电路的响应, 计算方法与直流电路及正弦交流电路的计算方法完全相同。对直流分量, 电感元件等于短路, 电容元件等于开路。对各次谐波, 电路成为正弦交流

13、电路。 (3) 应用叠加原理, 将各次谐波作用下的响应解析式进行叠加。 例例7.5（一）（一）图7.5(a)所示电路中, ,)303sin(250sin210010)(Vtttu并且已知 ,10,5,15/1 ,221RRCL求各支路电流及R1支路吸收的平均功率。 例例7.5（二）（二）i2Ci1R2R1iu(t)(a)R2R1I(0)U0(b)I1(0)i2(1)Ci1(1)R2R1i(1)u1(t)(c)Li2(3)Ci1(3)R2R1i(3)u3(t)(d)LLI2(0)图 7.5 例 7.5 图 例例7.5（三）（三）AIIIARUI202510)0(1)0()0(210)0(1解：

14、(1) 在直流分量0=10V单独作用下的等效电路如图7.5(b)所示, 这时电感相当于短路, 而电容相当于开路。各支路电流分别为例例7.5（四）（四） (2) 在基波分量 单独作用下, 等效电路如图7.5(c)所示, 用相量法计算如下: tVtusin2100)(1AIIIAjLjRUIAjLjRUIVU38. 65 .20)3 .5655. 58 .216 .18(3 .5655. 5151001008 .216 .182501000100)1(2)1(1)1(111)1(111)1(11例例7.5（五）（五） (3) 在三次谐波分量 单独作用下, 等效电路如图7.5(d)所示。此时, 感抗

15、 , 容抗 。Vtu)303sin(250363)3(LXL531)3(CXCAIIIAjjXRUIAjjXRUIVUCL17.1062. 857.5647. 4510305019.204 . 66530503050)3(2)3(1)3()3(23)3(2)3(13)3(11例例7.5（六）（六）AttiiItiAttiiItiAttiiIti)57.563sin(247. 4)3 .56sin(255. 5)()19.203sin(24 . 6)8 .21sin(26 .182)()17.103sin(262. 8)38. 6sin(25 .202)()3(2)1(2)0(22)3(1)1(

16、1)0(11)3()1()0(例例7.5（七）（七）WUIUIUIPAIAIAI8 .19518 .20417272019.50cos504 . 6)8 .21cos(1006 .18102coscos12. 747. 455. 572.194 . 66 .18226.2262. 85 .20233)3(111)1(10)0(112232221222例例 7.6（一）（一）图7.6所示电路中,已知 R=10, L=30, L1=10, 1/C=90。试求 i(t)、i1(t)、u(t)。 ,)3sin230sin25010(Vttusi1L1uCLRius(t)图 7.6 例 7.6 图 例例

17、 7.6（二）（二）ARUIIUso110100)0(100解解 (1) 对直流分量 (2) 在基波作用下 37.7644.4225.1130109010901030101)1(0501111jjjjjCjLjCjLjLjRZVUs例例 7.6（三）（三）AjLjUIVjUAZUIs37.76325. 11063.1325.1363.1325.1337.76178. 125.1137.76178. 137.7644.420501)1()1(1)1(11)1( ( 3 ) 对 三 次 谐 波 , 并 联 的 L1、 C 发 生 谐 振 , 即3L1=1/3C=30, 这部分阻抗为无穷大, 所以 例例 7.6（四）（四）VttuuUtuAttiiItiAtiiItiAjjLjUIVUUIss3sin230)63.13sin(225.13)()903sin(2)37.76sin(2325. 11 )()37.76sin(2178. 11 )(11030303300)3()1(0)3(1)1(1)0(11)3()1(03)3(13)3(