等时圆的妙用

1、问题问题1：如图所示，处在半径为如图所示，处在半径为R的竖直圆内的的竖直圆内的任一任一光滑光滑细杆细杆OB,一端一端B在圆周上在圆周上,另另一端一端O在圆在圆的最高点的最高点,OB与竖直方向的夹角为与竖直方向的夹角为,质点质点m m沿杆沿杆从从O O点由静止开始下滑点由静止开始下滑, ,求它在杆上运动的时间求它在杆上运动的时间? ?cosga cos2RxOB221atxOBgRgRaxtOB2coscos222mamgcosgRt2质点沿杆下滑所需的时间质点沿杆下滑所需的时间跟杆与竖直方向的夹角跟杆与竖直方向的夹角无关无关, ,仅由半径仅由半径R R决定决定, ,且等且等于质点从圆的最高点于

2、质点从圆的最高点O O到最到最低点低点A A做自由落体运动的时做自由落体运动的时间间, ,这个圆就是重力场中的这个圆就是重力场中的“等时圆等时圆”，这个性质叫这个性质叫做圆的自由弦的做圆的自由弦的等时性等时性。gRt2sincosgacos2RxAB221atxABgRggRaxtAB2sincoscos222mamgmgsincos例例2:2:如图所示如图所示, ,一倾角为一倾角为的传送带上方的传送带上方P P点为点为原料输入口，在原料输入口，在P P点与传送带之间建立一光滑管点与传送带之间建立一光滑管道道, ,使原料沿管道能在最短时间内到达传送带上使原料沿管道能在最短时间内到达传送带上,

3、,则管道与竖直方向的夹角则管道与竖直方向的夹角应为多大？应为多大？解：以解：以p p点为等时圆的点为等时圆的最高点，作出等时圆最高点，作出等时圆与皮带相切，如图所与皮带相切，如图所示示, ,设切点为设切点为B,B,圆心为圆心为O,O,连接连接OB,OB,由几何知识可由几何知识可得得2,AOB例例242AOgtssgACt45. 2101522gRt2通过空间任一点通过空间任一点A可作无限多个斜面，将若干可作无限多个斜面，将若干个小物体从点个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置

4、所构成的面是（位置所构成的面是（ ）A.球面球面 B.抛物面抛物面 C.水平面水平面 D.无法确定无法确定A解析：由解析：由“等时圆等时圆”可知，同一时刻这些小物体可知，同一时刻这些小物体应在同一应在同一“等时圆等时圆”上，所以上，所以A正确。正确。作业作业1 ：如图如图:，位于竖直平面内的固定光滑圆，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点竖直墙上另一点B与与M的连线和水平面的夹角为的连线和水平面的夹角为600，C是圆环轨道的圆心，是圆环轨道的圆心，D是圆环上与是圆环上与M靠得靠得很近的一点（很近的一点（DM远

5、小于远小于CM）。已知在同一时刻：）。已知在同一时刻：a、b两球分别由两球分别由A、B两点两点从静止开始沿光滑倾从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到斜直轨道运动到M点点；c球由球由C点自由下落到点自由下落到M点；点；d球从球从D点静止出发沿圆环运动到点静止出发沿圆环运动到M点。点。则：（则：（ ） A. a球最先到达球最先到达M点点 B. b球最先到达球最先到达M点点C. c球最先到达球最先到达M点点 D. d球最先到达球最先到达M点点ABCDMgRgRta24gRtc2gRTtd24解析：设圆轨道半径为解析：设圆轨道半径为R，据，据“等时圆等时圆”理论理论c做自由落体运动做自由落体运动 d球滚下

6、是一个单摆模型，摆长为球滚下是一个单摆模型，摆长为R,所以所以c球最先到达球最先到达M点点abtt ABCDM作业作业2：如图所示，在同一竖直线上有如图所示，在同一竖直线上有A、B两点，两点，相距为相距为h，B点离地高度为点离地高度为H，现在要在地面上寻，现在要在地面上寻找一点找一点P，使得从，使得从A、B两点分别向点两点分别向点P安放的光滑安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由木板，满足物体从静止开始分别由A和和B沿木板下沿木板下滑到滑到P点的时间相等，求点的时间相等，求O、P两点之间的距离两点之间的距离OPABPHh O12hRO PH22( )()2hOPRH HhABPHhO O1解

7、析：由解析：由“等时圆等时圆”特征可知，当特征可知，当A、B处于等处于等时圆周上且时圆周上且P点处于等时圆的最低点时，即能满点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求足题设要求如图所示，此时等时圆的半径为：如图所示，此时等时圆的半径为： 所以所以 作业作业3:如图，圆柱体的仓库内有三块长度不同如图，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板的滑板ao、bo、co，其下端都固定于底部圆心，其下端都固定于底部圆心o，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时。若有三个小孩同时从从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则处开始下滑（忽略阻力），则 （ ） aObcA. a处小孩最先到处小孩最先到O点点 B. b处小孩最先到处小孩最先到O点点C. c处小孩最先到处小孩最先到O点点 D. a、c处小孩同时到处小孩同时到O点点2sin21costgR2sin42gRt解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但但a、b、c三点不可能