自动控制c根轨迹绘制的基本法则剖析实用教案

1、会计学1自动控制自动控制c根轨迹根轨迹(guj)绘制的基本法则剖绘制的基本法则剖析析第一页，共54页。法则法则1 1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起于开环极点，终根轨迹的起点和终点：根轨迹起于开环极点，终于于(zhngy)(zhngy)开环零点。开环零点。证明:根轨迹起点是指根轨迹增益K*=0的根轨迹,而终点则是指 的根轨迹。设系统闭环传递函数为（4-6），则闭环系统的特征方程式为K0)()(11jmjinizsKps式中 可以从零变到无穷。当K*=0时，有Kips ), 2 , 1(ni说明K*=0时，闭环特征方程式的根就是开环传递函数的极点(jdin)，所以根轨迹必起于开环极点(jdin)。

2、 将特征方程改写(gixi)成如下形式一、绘制根轨迹的基本法则第1页/共54页第二页，共54页。0)()(111jmjinizspsK当 时，可得Kjzs ), 2 , 1(mj所以(suy)根轨迹必终于开环零点。实际系统中， ，因此有 条根轨迹的终点将在无穷(wqing)远处。的确，当 时，nm mnsmnsjmjinisszspsKlimlim11具有有限值的零点为有限零点，处于无穷(wqing)远处的零点叫无限零点,则根轨迹必终于开环零点。这时，开环零点数和开环极点数相等。第2页/共54页第三页，共54页。法则法则2 2 根轨迹根轨迹(guj)(guj)的连续性与对称性：根轨迹的连续性与

3、对称性：根轨迹(guj)(guj)是连续且对称于实轴的曲线。是连续且对称于实轴的曲线。 法则法则(fz)3 (fz)3 根轨迹的渐近线：当开环有限极点数根轨迹的渐近线：当开环有限极点数 大于有大于有限零点数限零点数m m时时, ,有有 条根轨迹分支沿着与实轴交角为条根轨迹分支沿着与实轴交角为 交点交点为为 的一组渐近线趋向无穷远处，且有的一组渐近线趋向无穷远处，且有 nmnamnka) 12() 1, 2 , 1 , 0(mnk和 mnzpnimjjia11证明：渐近线就是s值很大时的根轨迹，因此渐近线也一定(ydng)对称于实轴。将开环传递函数写成多项式比值形式，得a第3页/共54页第四页，

4、共54页。)()()()(11inijmjpszsKsHsGnasnansansmbsmbmsbmsK111111式中 ， mjjzb11niipa11当 时，上式可近似(jn s)为s111)()()(mnmnsbasKsHsG令 1)()(sHsG得渐近线方程(fngchng) Ksbasmn)1 (11第4页/共54页第五页，共54页。mnmnKsbas1111)()1 ( 根据(gnj)二项式定理 21111111)(11(1! 21)(1)1 (sbamnmnsmnbasbamn当 时，近似(jn s)有 ssmnbasbamn)(1)1 (11111mnmnKsmnbassbas1

5、11111)()(1 )1 ( 第5页/共54页第六页，共54页。mnkjmneKmnbas)12(111)( ) 1, 1 , 0,(mnksKmnzpnimjjia11mnka) 12(， 第6页/共54页第七页，共54页。举例说明例1 设控制系统(kn zh x tn)如图4-5所示，其开环传递函数为 )22)(4() 1()(2sssssKsG试根据已介绍的基本(jbn)法则，确定绘制根轨迹的有关数据。解：将开环零点、极点标注在s平面的直角坐标系上，以“”表示开环极点，以“”表示开环零点。在根轨迹绘制过程中，由于需要对相角和模值进行图解测量，所以横坐标与纵坐标必须采用相同的比例尺。 由

6、法则法则1，根轨迹起于 的极点 ， 和 ， 终于 的有限零点 以及无穷远处。由法则法则2，根轨迹的分支数有4条，它们是连续的且对称于实轴。 )(sG4, 021ppjp 13jp 14)(sG11z由法则法则3，有 条根轨迹渐近线，它们的交点为3mn第7页/共54页第八页，共54页。第8页/共54页第九页，共54页。67. 13) 1()1140(3141jjzpiia各渐近线与实轴的交角(jio jio)分别为60) 12(mnka)0( k180) 12(mnka) 1( k300) 12(mnka)2( k以上(yshng)交角可用量角器s平面上绘出，或者用 aaatg算出各渐近线与虚轴

7、的交点(jiodin)来决定。 第9页/共54页第十页，共54页。第10页/共54页第十一页，共54页。法则法则4 4 根轨迹在实轴上的分布根轨迹在实轴上的分布 实轴上具有根轨迹的实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开环系统的零点数和极点数的总和为奇区间是：其右方开环系统的零点数和极点数的总和为奇数数(j sh)(j sh)。共轭复数的开环零点、极点对确定实轴上。共轭复数的开环零点、极点对确定实轴上的根轨迹无影响。的根轨迹无影响。 证明：如下图所示，成对出现的开环共轭复数零点或极证明：如下图所示，成对出现的开环共轭复数零点或极点对实轴上任一试探点点对实轴上任一试探点s1构成的两向量的相角之和在任构

8、成的两向量的相角之和在任何情况何情况(qngkung)下都等于下都等于0或或360，即，即 360,0)()(2111pspss1左方实轴上任一开环零点或极点(jdin)对该点构成的向量的相角为0 0)(11zss1右方实轴上任一开环零点或极点对该点构成的向量的相角为180 180)(31ps180的奇数满足根轨迹方程的相角条件。故实轴上的点若在根轨迹上，其右方实轴上的开环零点和极点综合必为奇数。 第11页/共54页第十二页，共54页。第12页/共54页第十三页，共54页。举例说明 例2 设系统(xtng)开环传递函数为 )20)(5)(1()5 . 0()(2sssssKsG试求实(qish

9、)轴上的根轨迹。 解 系统的开环零点为 ，开环极点为-1，-5，-20以及原点（两重根）。如图所示。 5 . 0第13页/共54页第十四页，共54页。区间(q jin)-20，-5右方的开环零点数和极点数总和为5，区间(q jin)-1，-0.5右方的开环零点数和极点数总和为3。故实轴上根轨迹在上述区间(q jin)内。 第14页/共54页第十五页，共54页。 当K*从零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点称分离点。分离点对应闭环重极点(jdin)，也就是闭环特征式的重根。 显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点，因为任何一条根轨迹不可能(knng)开始于一个开环极

10、点终止于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。 当然，分离点也可以是复数，两个(lin )相邻的开环复极点（或零点）之间可能有分离点，对实际系统，依据规则1到4一般就能确定有无分离点。 法则法则5 根轨迹的分离点和分离角根轨迹的分离点和分离角第15页/共54页第十六页，共54页。分离点的概念：若干根轨迹分离点的概念：若干根轨迹(guj)(guj)在复平面上的某一点相遇后在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为分离点；分离角定义为根轨迹又分开，称该点为分离点；分离角定义为根轨迹(guj)(guj)进入分进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。离点的

11、切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。 实轴上分离点的位置(wi zhi)可用重根法和极值法求得。 niimjjPdZd1111分离点的坐标分离点的坐标d是如下方程的解，分离角为是如下方程的解，分离角为 lk/) 12(（4-20） 必须说明的是，方程(fngchng)只是必要条件而非充分条件，也就是说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。 第16页/共54页第十七页，共54页。1）重根法重根法 )()(1)()()()(*11*sDsNKpszsKsHsGinijmj则闭环系统(xtng)特征方程式可写为 0)()(0)()(1*sNKsDsDsNK0)()()(0)()()

12、(*sNKsDsfsNKsDsf设且第17页/共54页第十八页，共54页。0)()()()(sDsNsDsN一般的，如果实轴上两相邻开环极点(jdin)之间有根轨迹，则这两相邻极点(jdin)之间必有分离点；如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间有根轨迹，则这两相邻零点之间必有分离点。如果实轴上根轨迹在开环零点与极点(jdin)之间，则它们中可能有分离点，也可能没有分离点。 联立二式，消去(xio q)K*，得： 从这个公式从这个公式(gngsh)(gngsh)中解得的中解得的s s就是所求的重根点，也就是分就是所求的重根点，也就是分离点离点 第18页/共54页第十九页，共54页

13、。2）极值(j zh)法由图4-8可知，就实轴根轨迹部分而言，当K*=0时，轨迹从P1、P2出发，随着K*的增大，两支会合于A点，此时的K*是最大值（因为K*再大，轨迹已离开实轴了）。同理，对 Z这段轨迹来说，分离点B对应(duyng)着K*的最小值。因此可以用求极值的方法求取分离点。0)()(*sNKsD由得)()(*sNsDK因而(yn r)()()()()()()()()()(22*sNsDsNsNsDsNsDsNsNsDdsdK若令K*=0，既上式分子为0，其结果与重根法结果相同第19页/共54页第二十页，共54页。 图4-8 分离点示意图第20页/共54页第二十一页，共54页。0)(

14、)(11dsjmjinizspsdsd由重根法和极值法得求解(qi ji)分离点的另外一个公式：第21页/共54页第二十二页，共54页。例3 设控制系统(kn zh x tn)的开环传递函数为：)2)(1()()(*sssKsHsG求根轨迹(guj)在实轴上的分离点。解：1.用重根法本题(bnt)中1)(),2)(1()(sNssssD故0)(, 263)(2sNsssD0)()()()(sDsNsNsD代入有577. 1,423. 00263212ssss解之得本题的实轴根轨迹区间为 和 ，故分离点只有一个。因s2不在根轨迹区间，所以分离点必落在 s1处。2,(0, 1第22页/共54页第二

15、十三页，共54页。)2)(1()()(sssKsHsG例4 已知负反馈系统(xtng)的开环传递函数为 试绘制系统(xtng)的根轨迹。 解 令开环传递函数的分母(fnm)为零，得三个开环极点的值 2, 1, 0321ppp1、根轨迹的起点和终点：起于三个开环极点 终点均为无穷远处。 2、根轨迹的分支数等于特征方程式的阶次，即3支。 3、根轨迹的渐近线：有 条渐近线，它们在实轴上的交点坐标为 303mn13021011mnzpmjjniia)0, 2()0, 1()0, 0(jjj、第23页/共54页第二十四页，共54页。各渐近线与实轴正方向(fngxing)的夹角分别是 根据根据(gnj)(

16、gnj)公式公式 mnka) 12(:0k3) 12(mnka:1kmnka) 12(:2k35) 12(mnka4、实轴上的根轨迹(guj)：（ ），（1，0）。 2,5、根轨迹与实轴的分离点坐标 根据公式 0)()(11dsjmjinizspsdsd第24页/共54页第二十五页，共54页。0)2)(1(dssssdsd02323dssssdsd0)263(2dsss从而(cng r)得 578. 1,422. 021dd 由第4点知 不是根轨迹(guj)上的点，故舍去。因此我们可最后画出根轨迹(guj)如图4-9所示。 2d第25页/共54页第二十六页，共54页。图4-9 根轨迹图第26页

17、/共54页第二十七页，共54页。图4-10 根轨迹的起始(q sh)角与终止角法则法则6 6 根轨迹的起始角与终止角根轨迹的起始角与终止角: :根轨迹离开开环复数极点处的切根轨迹离开开环复数极点处的切线方向线方向(fngxing)(fngxing)与正实轴方向与正实轴方向(fngxing)(fngxing)的夹角的夹角, ,称为起始角称为起始角, ,以以 表示，见图表示，见图4-10 4-10 ；根轨迹进入开环复数零点处；根轨迹进入开环复数零点处的切线方向的切线方向(fngxing)(fngxing)与正实轴方向与正实轴方向(fngxing)(fngxing)的夹角，称为的夹角，称为终止角，以

18、终止角，以 表示，见图表示，见图4-104-10ip21,ppzi2, 1zz第27页/共54页第二十八页，共54页。在图4-10所示的根轨迹上取一实验点 ，使 无限地靠近开环复数极点 ,即认为(rnwi) ,则这时 ，依据相角条件有 1s1s1p11ps 1)(11pps)()(1)()()(312111ppppzpsHsGp180= )()()(1801312111ppppzpp nijjjimjjipppzpi11)()(180 同理可得 njjimijjjizpzzzi11)()(180第28页/共54页第二十九页，共54页。图4-11 终止(zhngzh)角的求取第29页/共54页第

19、三十页，共54页。归纳得求起始角和终止角的一般归纳得求起始角和终止角的一般(ybn)(ybn)公式：公式： ,.2, 1, 0);() 12(,.2, 1, 0);() 12(1)(1)(11kkkknjzpmijjzzzinijjppmjpzpiijijijij(4-23)，(4-24) 第30页/共54页第三十一页，共54页。举例说明 例5 已知负反馈系统(xtng)的开环传递函数为 25. 33) 1()()(2sssksHsG试绘制(huzh)系统的根轨迹。 解 令 ，得开环极点 ；令开环传递函数的分子(fnz)为零，得系统的开环零点025. 332 ssjp5 . 12, 11z1、

20、根轨迹分支数为2； 2、二条根轨迹的起点分别为（ ）和 ，它们的终点为 和无穷远处。 j, 5 . 1), 5 . 1(jz3、根轨迹的渐近线：由于 ，所以系统只有一条渐近线，它就是负实轴。 12mn4、实轴上的根轨迹：（ ）； 1,第31页/共54页第三十二页，共54页。5、根轨迹(guj)与实轴分离点坐标 0125. 332dssssdsd025. 022 dd得 12. 0,12. 221dd 为根轨迹(guj)与实轴的分离点。 1d6、求起始(q sh)角 )()(1801211ppzpp= 6 .206906 .116180 6 .2062p从而可画出如图4-12所示的根轨迹。 第3

21、2页/共54页第三十三页，共54页。图4-12第33页/共54页第三十四页，共54页。法则法则7 7 根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴相交，则根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴相交，则交点上的交点上的 值和值和 值可用劳斯判据确定，也可令闭环特值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的征方程中的 然后分别令其实部和虚部为零而求得然后分别令其实部和虚部为零而求得。 Kjs 证明：若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在纯虚根，这意味着 的数值使闭环系统处于临界稳定状态。因此，令劳斯表第一列中包含 的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点上的 值。此 KKK第34页/共54页第三十五页，共54页。外，因

22、为一对纯虚根是数值相同(xin tn)但符号相异的根，所以利用劳斯表中 行的系数构成辅助方程，必可解出纯虚根的数值，这一数值就是根轨迹与虚轴相交的 值。如果根轨迹与正虚轴（或负虚轴）有一个以上的交点，应采用劳斯表中大于2的 偶次方行的系数构造辅助方程。 2ss确定根轨迹与虚轴交点处参数的另一种方法，是将将 代入闭环特征方程代入闭环特征方程，得到 js 0)()(1jHjG令上述(shngsh)方程的实部和虚部分别为零，有 0)()(1RejHjG和 0)()(1ImjHjG从而(cng r)可求得 值和 值。 Kck第35页/共54页第三十六页，共54页。解 控制系统(kn zh x tn)的

23、特征方程是 例6 求例3系统(xtng)根轨迹与虚轴交点的坐标及临界参数值Kc02323ksss将 代入上式，得 js 02323kjj032k 023 根轨迹(guj)与虚轴的交点坐标为 )(21s将 的值代入实部方程得 6ck当 时，系统将不稳定。 ckk 第36页/共54页第三十七页，共54页。法则法则8 8 根之和。系统的闭环特征方程在根之和。系统的闭环特征方程在n nm m 的一般的一般(ybn)(ybn)情况情况下可以有不同形式的表示下可以有不同形式的表示0)(.)()(.)()(11111111*1niinniinniinnnnmjjniissssssasasaszsKps式中s

24、i为闭环特征(tzhng)根。 当nm 2时，开环n个极点(jdin)之和总是等于闭环特征方程n个根之和。 niiniips11所以当开环增益K增大时，若闭环某些根在s平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。此法则用于判断根轨迹的 走向。 第37页/共54页第三十八页，共54页。二、二、 闭环极点的确定闭环极点的确定(qudng)(qudng)。设控制系统特征方程式。设控制系统特征方程式n n个个根为根为 ，则有，则有nssss.321、0)()(10111asasassHsGnnn0)()()()(121nsssssssHsG 11nniias01)(asini对于稳定(wndng)的控制系

25、统有 01asini第38页/共54页第三十九页，共54页。例7 已知例3所示系统的根轨迹与虚轴相交时两个闭环极点为 ，试确定与之对应(duyng)的第三个闭环极点 及临界增益Kc 22, 1js3s解 已知系统(xtng)的特征方程为 023)()(123kssssHsG根据(gnj)方程根的和与系数的关系 3321sss可得 3)2(233213jjsss 6321ssskc三、放大倍数的求取三、放大倍数的求取： 第39页/共54页第四十页，共54页。根轨迹增益与开环放大根轨迹增益与开环放大(fngd)(fngd)倍数的关系倍数的关系 0 型 系 统(xtng)：)()()()(lim11

26、0inijmjcsppzKsHsGK型系统(xtng)： )()()()(lim210inijmjcsvpzKsHssGK第40页/共54页第四十一页，共54页。型系统(xtng)： )()()()(lim3120inijmjcsapzKsHsGsK例8 求例3所示系统(xtng)的临界开环放大倍数 K解 已知： 它对应(duyng)型系统,又 2, 1, 0321ppp6cK则 3)2() 1(16)(132ppKKcv例9 负反馈控制系统的开环传递函数为 )22)(73. 2(*)()(2ssssKsHsG试绘制系统的根轨迹。 第41页/共54页第四十二页，共54页。解 令 可解得开环极点

27、(jdin)为 0)22)(73. 2(2ssss01P ， ， jP 12jP 1373. 24P1、根轨迹(guj)的分支数为4； 2、四条根轨迹的起点分别为 终止(zhngzh)于无穷远处； 3、根轨迹的渐近线：根轨迹有四条渐近线，它们在实轴上的交点坐标是 18. 104073. 2110)()(11jjmnzpmjjniia渐近线与实轴正方向的夹角分别为 4) 12(:0mnkka)0 ,73. 2(), 1(), 1()0 , 0(、jj第42页/共54页第四十三页，共54页。 43) 12(:1mnkka45) 12(:2mnkka 47) 12(:3mnkka4、实轴上的根轨迹(

28、guj)：（ ）； 0 ,73. 25、根轨迹(guj)与实轴的分离点坐标 0)22)(73. 2(2dsssssdsd得 3 . 1d6、根轨迹(guj)的起始角 第43页/共54页第四十四页，共54页。)()()(1802423212ppppppp= 753090135180753p7、根轨迹(guj)与虚轴的交点 根据(gnj)公式 0)()(1RejHjG0)()(1ImjHjG得方程组 046. 724k046. 573. 43得 及 )0(0k)0(07. 1k28. 7ck该系统(xtng)为型系统(xtng)，则 第44页/共54页第四十五页，共54页。)(33. 1)73.

29、2)(1)(1 (128. 7)()(121sjjpzkKinijmjcv根据如上分析和计算(j sun)，可绘出系统的根轨迹如图4-12. 8、闭环极点(jdin)的确定 系统(xtng)的特征方程为 046. 546. 773. 4)(234ksssssD第45页/共54页第四十六页，共54页。73. 44321sssskssss)()()(432107. 12, 1js28. 7ck73. 473. 42143ssss33. 628. 72143ssss得 84. 0365. 24, 3js第46页/共54页第四十七页，共54页。图4-12 根轨迹(guj)图第47页/共54页第四十八页，共54页。在研究控制系统在研究控制系统(kn zh x tn)(kn zh x tn)时，常常会碰到时，常常会碰到一种情况，就是系统仅具有两个开环极点和一个开环一种情