平面及其方程空间直线及其方程PPT教案

1、平面及其方程空间直线及其方程平面及其方程空间直线及其方程zyxo0Mn),(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.,),(zyxM任取点),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0则有 故的为平面称n机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共39页kji,1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取该平面 的法向量为),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用点法

2、式得平面 的方程346231nn3121MMMM机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共39页此平面的三点式方程三点式方程也可写成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情况一般情况 : 过三点)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共39页此式称为平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax时,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为 PozyxRQ分析:利用三点

3、式 按第一行展开得 即0axyzab0a0c机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共39页04573zyx023zyx第5页/共39页以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,000zyx则0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程与此点法式方程等价, )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共39页 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时,

4、 B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;,), 0(iCBn机动 目录 上页 下页 返回 结束 By+C z = 0 表示经过x轴的平面； A x+C z = 0 表示经过y轴的平面； A x+By = 0 表示经过z轴的平面；第7页/共39页 C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面; B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.第8页/共39

5、页例例3. .用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解解: 因平面通过 x 轴 ,0 DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点) 1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy(自己练习) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共39页 8 1 :0,2 -5 350,5 ,50.ByDBDDBy题由题意设所求平面方程为：将点， ， 代入上述方程，得所求平面方程为(3)0,.ByCzD由题意设所求平面方程为将点， 和点， 代入上式，0有，所求方程为第10页/共39页设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212

6、121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共39页221) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共39页因此有垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 设所求平面的法向量为,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0

7、) 1() 1() 1(2CzCyCxC约去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和则所求平面故, ),(CBAn方程为 n21MMn且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共39页外一点,求),(0000zyxP0DzCyBxA222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解: :设平面法向量为),(1111zyxP在平面上取一点是平面到平面的距离d .0P,则P0 到平面的距离为01PrjPPdnnnPP010P1P

8、nd, ),(CBAn (点到平面的距离公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共39页1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共39页0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyB

9、xA机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(1111CBAn 第16页/共39页)5,15,10(0) 1(5) 1(15) 1(10zyx0632zyx求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程.) 1 , 1 , 1 (7zyx051223zyx解解: 已知二平面的法向量为取所求平面的法向量 则所求平面方程为化简得),1, 1, 1 (1n)12,2,3(2n21nnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共39页第18页/共39页一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七节空间直线及其方程 第八章 第19页/

10、共39页xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1 1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共39页),(0000zyxM故有说明说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为 则),(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方程为s已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM例如, 当,0, 0时pnm和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共39页设得

11、参数式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共39页解解: :先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程组,得已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共39页故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3, 1,4(21nns

12、312111kji机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共39页.531124,53124,5,21zyxtztytxttts即则直线方程为程的方向向量由题意可设所求直线方：题.11224-3,12243,2,4,1,2,412,20,312zyxtztytxtttsBAsBA即得所求直线方程为可设平行所求直线方向向量由题意：题第25页/共39页.111416253421,2,5,3,4,2,1.,4782121kjikjinnnnnn则方向向量平行与给定直线的则所求平面的法线向量法线向量为解：设所求平面方程的：题.065111416,0311014216,zyxzyx即所求平面为根据

13、平面的点法式方程第26页/共39页2L1L则两直线夹角 满足21, LL设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共39页特别有特别有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ ss机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共39页解解: 直线直线二直线夹角 的余弦为13411:1zyxL0202:2zxyxL cos2

14、2从而4的方向向量为1L的方向向量为2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共39页当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;L当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共39页特别有特别有: :L) 1(/)2(L

15、0pCnBmApCnBmAns/ns解解: : 取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 132垂 ) 1,3,2(nn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共39页一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 内容小结内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共39页,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm直线夹角公式:),(1

16、111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121cosssss 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第33页/共39页, 0DzCyBxACpBnAm平面 :L L / 夹角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx直线 L :),(CBAn ),(pnms 0 ns0nsnsns L机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页/共39页)1 ,2, 1(A,11231:1zyxLiL设直线解：解：,2上在因原点LO12:2zyxL相交,求此直线方程 .的方向向量为过 A 点及 的平2L面的法向量为则所求直线的方向向量方法方法1 利用叉积. ),2, 1( isi, n,1nss所以OAsn2121112kjikji333一直线过点 且垂直于直线 又和直线nOA2L2s机动 目录 上页 下页 返回 结束 第35页/共39页设所求直线与的交点为512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直线的方向向量方法方法2 利用所求直线与L2 的交点 .即故所求直线方程为 2L),(00