第二节 二重积分

1、*三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第九章 一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时, 0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 则)(1xy)(2xyxboyDax若D为Y 型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(

2、21dcydDyxyxfdd),(则机动 目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负均非负DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于Dyxyxfdd),(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxy说明说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序, 必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxx

3、d),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321DDDD则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy211xy o221d y例例1. 计算,dDyxI其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. x解法解法1. 将D看作X型区域, 则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将D看作Y型区域, 则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y机动 目录 上页 下页 返回 结束

4、例例2. 计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算,ddsinDyxxx其中D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域.oxyDxxy 解解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行,

5、说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD将:D视为Y型区域 , 则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln

6、(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrrkkkr221内取点kkkrr221)(及射线 =常数, 分划区域D 为krkrkkkr机动 目录 上页 下页 返回 结束 kk

7、kkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrd机动 目录 上页 下页 返回 结束 Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf设,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(d特别特别, 对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 f 1 则可求得D 的面积d)(21202Dd思考思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答答: ;

8、0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解: 在极坐标系下,200:arD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角2reddrr20d由于故坐标计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2d02xex事实上, 当D 为 R2 时,Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例6的结果, 得)1 (limd4222

9、0aaxexe故式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2机动 目录 上页 下页 返回 结束 baxxfd)() )(txtttfd)()(定积分换元法*三、二重积分换元法三、二重积分换元法 ),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(满足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一阶导数连续;雅可比行列式上在D)2

10、(;0),(),(),(vuyxvuJ(3) 变换DDT:则Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(定理定理:,),(上连续在闭域设Dyxf变换:是一一对应的 ,vuvuJdd),(ovuDoyxDT机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyxDovuD证证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 用平行于坐标轴的 ,坐标面上在vou 直线分割区域 ,D任取其中一个小矩T形, 其顶点为),(, ),(21vhuMvuM1Mu4M3M2Mhu vkv通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边形, 其对应顶点为)4, 3, 2, 1(),(iyxMiii1M4M3M2M,22kh 令则12xx

11、 ),(),(vuxvhux).,(, ),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux机动 目录 上页 下页 返回 结束 14xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy )(),(ohvuuy同理得14yy )(),(okvuvy当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为4121MMMM14141212yyxxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 vuvuJdd),(d因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式: Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(

12、),(vuvuJdd),(例如例如, 直角坐标转化为极坐标时, sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 计算其中D 是 x 轴 y 轴和直线2 yx所围成的闭域. 解解: 令,xyvxyu则2,2uvyuvx),(),(vuyxJyxeDxyxyddvuevuDdd2120d21vvveed)(211201ee2 yxDxoy2121212121vvvuue dxyxye,ddyx)(DD DD2vvu vuuov机动 目录 上页 下页 返回 结束 ybx 2y

13、ax 2Doyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例9. 计算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所围成的闭区域 D 的面积 S .解解: 令Duvopqab则bvaqupD :D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd)(31abpq机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 试计算椭球体1222222czbyax解解: yxzVDdd2yxcDbyaxdd122222由对称性, 1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax则D 的原象为20,1: rD),(),(ryxJcossinsincosrb

14、braaDcV2rrrcbad1d210220cba34rba21rddrrba的体积V.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(,),(21rrDDDrrfyxf)

15、sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般换元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且则DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为ddrrDo)(1r)(2r在变换下机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式机动 目录

16、 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设, 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交换积分顺序后, x , y互换oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 交换积分顺序ararccoscosar oxa)0(d),(dcos022arrfIa提示提示: 积分域如图rrar0dararccosararccosId),(rf机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P95 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11 (2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19( 1); *20 (2) 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 axy2解：解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax备用题备用题1. 给定改变积分的次序.)0