第8章系统的状态空间分析

1、8.1 状态空间描述状态空间描述8.2 连续系统状态空间方程的建立连续系统状态空间方程的建立8.3 矩阵函数矩阵函数 8.4 连续系统状态方程求解连续系统状态方程求解8.5 离散系统状态空间方程的解离散系统状态空间方程的解8.6 系统函数矩阵与系统稳定性系统函数矩阵与系统稳定性第八章第八章 系统的状态空间分析系统的状态空间分析 8.1 状态空间描述状态空间描述 一、输入输出描述一、输入输出描述 1.系统模型：实际系统的基本特性的抽象化描述；系统模型：实际系统的基本特性的抽象化描述； 2.输入输出模型：利用系统输入输出关系建立的系统模型。输入输出模型：利用系统输入输出关系建立的系统模型。 特点：

2、用输入输出变量间的关系表征系统特性，不直接特点：用输入输出变量间的关系表征系统特性，不直接 涉及系统内部情况。涉及系统内部情况。3.描述方式：描述方式： 解析方式解析方式代数、微分、差分方程代数、微分、差分方程 图示方式图示方式电路图、方框图、信号流图电路图、方框图、信号流图 第一节第一节 4.描述方程（数学模型）描述方程（数学模型） *LTI瞬时系统：线性常系数代数方程（变量为瞬时系统：线性常系数代数方程（变量为t或或k）；）； *LTI动态系统：线性常系数微分、差分方程。动态系统：线性常系数微分、差分方程。 二、状态描述二、状态描述 1.单输入单输出一阶单输入单输出一阶LTILTI系统系统

3、 无记忆部分：无记忆部分：代数方程代数方程 )()()()()()(tdftcxtytbftaxtm式中式中a、b、c、d为常量为常量 记忆元件：记忆元件： dmxdmtxtt 0)()0()()(或微分方程：或微分方程： 积分方程：积分方程： )()(tmtx x(0)已知已知 第一节第一节 系统描述方程系统描述方程 )()()()0()()()()()()()()()()0()()(tdftcxtyxtbftaxtxtdftcxtytbftaxtmxtmtx已知已知已知已知 注意：注意：* *式式是是x(t)的一阶微分方程，若已知的一阶微分方程，若已知x(0)，可求，可求x(t)。 * *

4、式式中，由中，由x(t)和输入和输入f (t)。可求得输出。可求得输出y(t)。 * *按状态变量定义可选择记忆元件（积分器）输出变按状态变量定义可选择记忆元件（积分器）输出变 量作为系统的状态变量。量作为系统的状态变量。有记忆部分无记忆部分y1(t)yq(t)f1(t)fp(t)mn(t) xn(t)x1(t)xn(t).m1(t) x1(t).2.多输入多输出多输入多输出n阶阶LTILTI系统系统 TqTnTnTntytytytytftftftftxtxtxtxtxtxtxtxtDftCxtytxtBftAxtx)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()

5、()()()(212121210 式中式中已知已知 第一节第一节 状态模型：将系统划分为状态模型：将系统划分为有记忆和无记忆有记忆和无记忆两部分，选取独立两部分，选取独立 记忆元件输出变量作为记忆元件输出变量作为状态变量状态变量x(t)，并结合，并结合初始初始 状态状态x(0)、输入输入f (t)来确定其来确定其输出输出y(t)的一种分析的一种分析 模型。模型。三、状态空间描述方程三、状态空间描述方程 1.连续系统标准形式连续系统标准形式 )()()()0()()()(tDftCxtyxtBftAxtx 已知已知 ( (状态方程状态方程）（输出方程输出方程） 状态方程状态方程：x(t)的一阶矢

6、量微分方程，描述有记忆部分的一阶矢量微分方程，描述有记忆部分输入输出关系，着重体现系统的动态特性。输入输出关系，着重体现系统的动态特性。 输出方程：输出方程：描述输出与状态变量和输入之间的关系描述输出与状态变量和输入之间的关系，方程由无方程由无记忆部分的输入输出关系导出，是一组代数方程。记忆部分的输入输出关系导出，是一组代数方程。 第一节第一节 2.离散系统标准形式离散系统标准形式 )()()()0()()() 1(kDfkCxkyxkBfkAxkx已已知知 ( (状态方程状态方程）（输出方程输出方程） 四、状态空间分析步骤四、状态空间分析步骤 （1）选择状态变量：按状态模型，可选记忆元件输出

7、选择状态变量：按状态模型，可选记忆元件输出变量为状态变量；变量为状态变量； （2）建立状态空间方程；建立状态空间方程； （3）由状态方程求得状态向量解；由状态方程求得状态向量解； （4）由输出方程求得系统输出。由输出方程求得系统输出。 第一节第一节 8.2 连续系统状态空间方程的建立连续系统状态空间方程的建立 一、直接编写法一、直接编写法 CR12 usR22 i2i1al2l1L 1 Hx1b0.5 Fx2R33 u3 思路与步骤：思路与步骤：按状态模型选按状态模型选 各独立各独立uc , il为为 状态变量；状态变量； 状态变量数目状态变量数目 电系统阶数电系统阶数 独立独立uc , il

8、数目数目对与状态变量相联系的对与状态变量相联系的C、L列写列写KCL、KVL方程方程 利用利用KCL、KVL、VCR消去消去“非法非法”变量，整理得状态方程变量，整理得状态方程 用观察法写出输出方程。用观察法写出输出方程。 第二节第二节 CR12 usR22 i2i1al2l1L 1 Hx1b0.5 Fx2R33 u3 如左图电路：如左图电路：取取uc、il 为状态变量为状态变量 对接对接C的节点的节点b写写KCL方程方程 3RuiuccLc 对含对含L的回路的回路l1 写写KVL方程方程 cLuiRiL 22消去非法变量消去非法变量i221122211212RRiRuiiRiRuliiiaL

9、ssL回路节点整理得状态方程整理得状态方程 cLsLcLcuiRuRRRiLRuiuc)(12123 第二节第二节 sLcLcsLcLLccuiuiuuiuiiuu2132213201122输出方程输出方程 sLcsLRRiRucuiuiuuiiuuLs4121234121230001211 第二节第二节 二、由信流图、方框图建立状态空间方程二、由信流图、方框图建立状态空间方程 步骤：步骤： （1 1）按状态模型，选积分器（或一阶）按状态模型，选积分器（或一阶子子系统）系统） 输出为状态变量；输出为状态变量；（2 2）在积分器（或一阶）在积分器（或一阶子系统）输入端写出子系统）输入端写出 状态

10、方程；状态方程；（3）在信流图（或方框图）输出端写出输出）在信流图（或方框图）输出端写出输出 方程。方程。 第二节第二节 例例1 1：单输入单输出方程：单输入单输出方程 因积分器输出信号相应输出节点信号因积分器输出信号相应输出节点信号 故直接选诸积分器输出节点变量为状态变量故直接选诸积分器输出节点变量为状态变量 由积分器输入端写出状态方程：由积分器输入端写出状态方程： fxxxxxxxx32133221678由系统输出端写出输出方程由系统输出端写出输出方程 214xxy 第二节第二节 例例2：二输入二输出系统：二输入二输出系统 * *视视S域信流图域信流图 为为t 域信流图域信流图 *积分器输

11、出信号积分器输出信号 输出节点信号输出节点信号 直接选为状态变量直接选为状态变量 状态方程：状态方程： 21321232133212113235433232ffxxxfxxxxxxfxxx输出方程：输出方程： 2211xyxy 第二节第二节 例例3：建立系统状态空间方程：建立系统状态空间方程 * *视视S域信流图域信流图 为为t 域信流图域信流图 *积分器输出信号积分器输出信号 输出节点信号输出节点信号状态方程：状态方程： fxxfxxxxxx487613312211输出方程：输出方程： 1xy 第二节第二节 例例4：建立系统状态空间方程：建立系统状态空间方程 * *视视S域方框图域方框图 为

12、为t 域方框图域方框图 对应为对应为t 域信流图域信流图 *选积分器或一阶选积分器或一阶 子系统输出为状子系统输出为状 态变量，利用积态变量，利用积 分器，一阶子系统输入输出关系写出状态方程。分器，一阶子系统输入输出关系写出状态方程。子系统子系统：212121211,xxxpxxsxxsx 故故子系统子系统：fxxsxxfxs333,)(3223332 fxxx333322 子系统子系统：3131113,xxsxxxs 313xxx 输出方程：输出方程： 1xy 第二节第二节 三、由三、由H(p)、H(s)建立状态空间方程建立状态空间方程 步骤：步骤：由由H(p)、H(s)画出模拟信流图；画出

13、模拟信流图； 采用二中方法建立状态空间方程。采用二中方法建立状态空间方程。 注意：注意：不同模拟信流图（直接、串并形式）将导致不同模拟信流图（直接、串并形式）将导致 不同形式的方程；不同形式的方程； 应用直接形式应用直接形式时，积分器输出信号时，积分器输出信号 输出节点信号输出节点信号 四、由四、由微分（算子）方程微分（算子）方程建立状态空间方程建立状态空间方程 步骤：步骤：确定确定H(p)或或H(s)； 采用三中方法建立状态空间方程。采用三中方法建立状态空间方程。 第二节第二节 五、离散系统状态空间方程的建立五、离散系统状态空间方程的建立 步骤如下步骤如下 差分方程差分方程算子方程算子方程信

14、流图信流图方框图方框图h(k)、H(E)H(z)选移位器输出选移位器输出为状态变量为状态变量在移位器输入在移位器输入端写状态方程端写状态方程在系统输出端在系统输出端写出输出方程写出输出方程 第二节第二节 例例5：由方框图建立系统状态空间方程：由方框图建立系统状态空间方程 (a)f1(k)E1E1y1(k) 3f2(k)y2(k)x3(k)E1 2 423x2(k)x1(k)f1(k)y1(k)f2(k)y2(k)111x2(k 1)x2(k)x1(k)E 1E 1111E 11x3(k 1)x3(k) 3 4 232(b)1)()(3)(3)1()()(4)(2)1()()1(21331212

15、21kkkxkxkkxkxkxkxkx ( (状态方程状态方程）（输出方程输出方程） )()()(2)()()(231211kkxkxkykxky 第二节第二节 例例6：由差分方程建立系统状态空间方程：由差分方程建立系统状态空间方程 见教材见教材P375 第二节第二节 8.3 矩阵函数矩阵函数 一、矩阵的特征多项式、特征方程、特征根一、矩阵的特征多项式、特征方程、特征根 设设n阶方阵阶方阵A，则有，则有 特征多项式：特征多项式： niiiAIq0det)(式中式中I为单位阵，为单位阵，为标量，为标量，detdet 表示取行列式。表示取行列式。 特征方程：特征方程：q()=0特征根（值）：特征方

16、程的根特征根（值）：特征方程的根 例：若设例：若设 3021A则有特征多项式则有特征多项式 3021302100)(AIq34)3)(1(2特征方程：特征方程： 34)(2q特征根：特征根： 3121 第三节第三节 二、凯莱哈密顿定理二、凯莱哈密顿定理 内容：任一方阵内容：任一方阵A恒满足它的特征方阵，即恒满足它的特征方阵，即 niiiAAq00)(验证：验证： 3021A34)(2q000030031208490811001330214302134)(22IAAAq三、矩阵函数三、矩阵函数 1.1.定义：设标量函数定义：设标量函数f (x)可可 展开为收敛的幂级数展开为收敛的幂级数 kkkx

17、xf0)(第三节第三节则称则称 )2()(0kkkAAf为矩阵为矩阵A A的函数，简称矩阵函数。的函数，简称矩阵函数。 正弦标量函数：正弦标量函数：! 7! 5! 3sin753xxxxx正弦矩阵函数：正弦矩阵函数：! 7! 5! 3sin753AAAAA指数矩阵函数：指数矩阵函数：指数标量函数：指数标量函数：33220! 31! 211!1txtxxttxkekkkxt33220! 31! 21!1tAtAAtItAkekkkAt2. 重要定理：重要定理： n阶方阵阶方阵A的矩阵函数的矩阵函数f (A)可表示为一个次数不超过可表示为一个次数不超过(n-1) 的的A的多项式，即的多项式，即)2

18、()(10112210knkknnAAAAIAf 式中式中k 为标量。为标量。 与与f (A)相应的标量表达式：相应的标量表达式： )3()(112210nnxxxxf式中各系数按下面两种情况确定：式中各系数按下面两种情况确定： case 1. A具有相异特征根具有相异特征根 设设n阶方阵阶方阵A的特征根为的特征根为1 、2 、n 。在式。在式(3)中，分别中，分别令令x 1 、2 、n。得。得 1112121101)(nnf1212222102)(nnf联立求得联立求得0 、 1 、n-1。case2. A具有多重特征根具有多重特征根 设设n阶方阵阶方阵A在在x1 处具有处具有m m重特征根

19、，其余重特征根，其余(n-m)个一阶特个一阶特 征根征根分别为分别为 m1 、m2 、n。 在式在式(3)(3)中，令中，令x=m+1， n 得到得到(n-m)个独立方程。个独立方程。 其余其余m个方程为：个方程为： )()()(111212110111121211011112121101111111nnddddnnddddnnmmmmfff联立求得联立求得0 、 1 、n-1。3. f (A)计算步骤：计算步骤： (1) 求方阵求方阵A的特征根；的特征根； (2) 确定系数确定系数k (3)112210)(nnAAAIAf例例1.1.已知已知2011A求求 。Ate解解（1）A的特征根的特征

20、根 0)2)(1(201100)(AIq2121（2）计算系数）计算系数 1010 xtAteAIetttttteeeeee21201021022（3） ttttAteeeeAIe22100例例2. .已知已知 4130A求求 。kA解解（1）A的特征根的特征根 0)3)(1(413)(AIq3121（2）计算系数）计算系数 1010)()(kkfAIAAfkkkkkk)3(5 . 0) 1(5 . 0)3(5 . 0) 1(5 . 13)3() 1(101010kkkkkkkkkAIAAf)3(3) 1()3() 1()3(3) 1(3)3() 1(321)(10（3） 四、四、eAt的性质

21、的性质 IeeteAAt000. 1tBAAtBtBtAteeeeeBAABBAn)(. 2，则，若，阶方阵AeeAedtdAtAtAt. 311)()()(. 4PePetxeAtxetxedtdAttPAPAtAtAt（P为非奇异矩阵）为非奇异矩阵） )()()()0()()()(tDftCxtyxtBftAxtx已知 8.4 连续系统状态方程求解连续系统状态方程求解 状态空间方程的标准形式状态空间方程的标准形式 一、时域解一、时域解 1.1.状态方程时域解状态方程时域解 状态方程状态方程 已知)0()()()(xtBftAxtx左乘左乘e e-At -At 并移项整理得并移项整理得 )(

22、)()(tBfetxAetxeAtAtAt)()(tBfetxedtdAtAt 第四节第四节 0- t 积分积分 dBfexetxeAtAAt)()0()(00dBfexetxttAAt)()0()(0)(dfBetxtatt)()()0()(0)()()0()(fBtxt)()(txtxfx 第四节第四节 2.2.输出方程输出方程时域时域解解 )()()()()0()()()()0()()()()()0()()()()(tytytfthxtCtfDBtCxtCtDftfBtCxtCtDftCxtyfxh(t):冲激响应矩阵冲激响应矩阵 )()(tftD例一：教材例一：教材P395 例二：教材

23、例二：教材P398 第四节第四节 二、二、S 域解域解 时域方程时域方程 )()()()0()()()(tDftCxtyxtBftAxtx已知)()()()()()()()(321321sXsXsXsXtxtxtxtx设设 )0()()0()()0()()0()()()()()(332211321xssXxssXxssXxssXtxtxtxtx)()()()(sYtysFtf 第四节第四节 1.1.状态方程状态方程S 域解域解 )()()0()(sBFsAXxssX整理得整理得 )()0()()(sBFxsXAsI)()()()()0()()()()0()()(11sXsXsBFsxssBFA

24、sIxAsIsXfx )()()(1sXsXLtxfx预解矩阵: )(S 第四节第四节 2.2.输出方程输出方程S域域解解 )()()()()0()()()()0()()()()()0()()()()(sYsYsFsHxsCsFDBsCxsCsDFsFBsCxsCsDFsCxsYfx H(s):系统函数矩阵系统函数矩阵 )()()(1sYsYLtyfx 第四节第四节 )0()()0()()(1xsLxttxx 3.3.状态转移矩阵状态转移矩阵(t)与预解矩阵与预解矩阵(s) 1)()()(AsIsetAt eAt的的S域计算方法域计算方法 )()(111AsILsLeAt 其中其中 AsIAs

25、IadjAsIs)()()(1 ijjiijTijMbbadjB) 1(之代数余子式中为ijijbBM 第四节第四节 4.4.冲激响应矩阵冲激响应矩阵H(t)与系统函数矩阵与系统函数矩阵H(s) )()()()()()(11sFsHLsYLtfthtyffDBsCsHtDBtCth)()()()()( 第四节第四节 8.5 离散系统状态空间方程的解离散系统状态空间方程的解 )()()()0()()() 1(kDfkCxkyxkBfkAxkx已知一、时域解一、时域解 1.状态方程时域解状态方程时域解 用迭代法求解差分方程用迭代法求解差分方程 )2() 1 ()0()0()2()2()3() 1

26、()0()0() 1 () 1 ()2()0()0() 1 (232BfABfBfAxABfAxxBfABfxABfAxxBfAxx 第五节第五节 0)(kAkk)()()() 1()0()()()0()()0()(1110kxkxkfBkxkkBfAxAiBfAxAkxfxkkikkik式中式中 离散系统状态转移矩阵离散系统状态转移矩阵 2.输出方程输出方程时域时域解解 )()()(*)()0()()()() 1()0()()()() 1()0()()()()(kykykfkhxkCkfkDBkCxkCkDfkfBkCxkCkDfkCxkyfx式中式中 )() 1()(kDBkCkh单位响应矩阵单位响应矩阵 第五节第五节 二、二、Z 域解域解 设设 )()()()()()(11zXzXzXkxkxkxnn)0()()0()()0()() 1() 1() 1(111zxzzXzxzzXzxzzXkxkxkxnnn)()()()(zYkyzFkf1.1.状态方程状态方程S 域解域解 )()()0()(zBFzAXzxzzX整理得整理得 )()0()()(zBFxzXAzI 第五节第五节 )()()()()0()()()()0()()(1