相似三角形判定综合复习

1、三角形三角形相似相似的判定方法有哪些？的判定方法有哪些？方法方法1：通过定义：通过定义方法方法5：两组角：两组角分别分别对应相等，对应相等，两个三角形相似两个三角形相似三 个 角 对 应 相 等三 边 对 应 成 比 例方法方法2：平行平行于三角形一边的直线与其于三角形一边的直线与其它它两边两边 相交，所相交，所得得三角形与三角形与原原三角形三角形相似相似方法方法3：三组对应边的比相等，两个三角形相似：三组对应边的比相等，两个三角形相似方法方法4：两组对应：两组对应边边比相等且夹角相等，比相等且夹角相等， 两个三角形相似两个三角形相似定理定理3 3：两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两

2、三角形相似。定理定理1 1：三组对应边的比相等，两三角形相似。三组对应边的比相等，两三角形相似。A= AA= A B= BB= BABCABCA AB BC CA A C C C CA AC C B B B BC CB B A A A AB BABCABCA AB BC C定理定理2 2：两组对应边的比相等且夹角相等，两组对应边的比相等且夹角相等， 两三角形相似。两三角形相似。ABCABCA AB BC CA BA BB CB CB= BB= BA AC CB BA AB BC C相似三角形的判定定理：相似三角形的判定定理：直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定: :BCABCA直角边和斜边

3、的比相等，两直角直角边和斜边的比相等，两直角三角形相似。三角形相似。 ABA BACAC=C=C =90oRtABCRtABCABCDEABCDE 21OCBADOCDABABCDE定理应用定理应用 如图，ACBADC90，AC ，AD2。问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？6 DCBAACABADAC32ADACABACABCDAC232CDACAB23要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当RtABCRtACD时，有（2）当RtACBRtCDA时，有 故当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似。 DCBA如图如图:ABC=CDB=90, AC=a, BC=b, 当当BD= 时

4、，时，ABC与与CDB相似相似. ADBC如图：已知如图：已知ABCCDB90，ACa，BC=b，当，当BD与与a、b之间满足怎样的关系式时，之间满足怎样的关系式时，两三角形相似两三角形相似DABCab解解: 1D90当当 时，即当时，即当 时，时，ABC CDB, 1D90当当 时时,即当即当 时，时，ABC BDC， 答：略答：略.B BD DB BC CB BC CA AC CB BD Db bb ba aB BD DA AB BB BC CA AC CB BD Db ba ab ba a2 22 2a ab bB BD D2 2a ab ba ab bB BD D2 22 2基本图形应

5、用基本图形应用（1）已知：如图，已知：如图，ABCABC中，中，P P是是ABAB边上的一点，连边上的一点，连结结CPCP满足什么条件时满足什么条件时 ACPACPABC?ABC?解解: :A= AA= A，当当1= ACB 1= ACB （或（或2= B2= B）时，）时， ACPACPABC ABC A= A A= A， 当当AC:APAC:APAB:ACAB:AC时，时， ACPACPABCABC答：当答：当1= ACB 1= ACB 或或2= B 2= B 或或AC:APAC:APAB:ACAB:AC时时, , ACP ACPABC.ABC.ABPC124ABCDEE思思维维要要严严密

6、密ABCD 在在ABCABC中，中，AB=9，AC=6， D是边是边AB上一点上一点 且且AD=2，E是是AC 上上的点的点 ，则，则AE= 时，时， ADEADE与与ABC相似？相似？34或3ADEABC?ABCDABCDEE已知，已知，ABC中，中，D为为AB上一点，画一条过上一点，画一条过点点D的直线的直线( (不与不与ABAB重合重合),),交交ACAC于于E，使所得，使所得三角形与原三角形相似，这样的直线最多能三角形与原三角形相似，这样的直线最多能画出多少条画出多少条? 在在ABCABC中，中，ABACABAC，过，过ABAB上一点上一点D D作作直线直线DE DE （不与（不与AB

7、重合），重合），交另一交另一边于边于E E，使所得三角形与原三角形相，使所得三角形与原三角形相似，这样的直线最多能画出多少条似，这样的直线最多能画出多少条? ?画出满足条件的图形画出满足条件的图形. .EDABCDABCDABCDABCEEE 在直角坐标系中，点在直角坐标系中，点A（2，0），），B（0，4），），C（0，3）。过点作直线交）。过点作直线交x轴于点，使以轴于点，使以、为顶点的三角形与、为顶点的三角形与AOB相似，这样相似，这样的直线最多可以作（的直线最多可以作（ ）条）条 A .2 B .3 C . 4 D. 6ABCDDODD动点与相似三角形动点与相似三角形o 在平面直角坐标

8、系中，四边形在平面直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形，为等腰梯形， OABC, OA=7, BC=3, COA=60,点点P为线段为线段OA上的一个动点，点上的一个动点，点P不与不与O、A重合，重合，连结连结CP.o （1）求点）求点B的坐标。的坐标。o （2）点）点D为为AB上一点，上一点，o 且且AD:BD=3:5,连结连结PD,o 在在OA上是否存在这样的上是否存在这样的o 点点P,使使CPD= BAO?o 若存在，求出直线若存在，求出直线PB的的o 解析式，若不存在，请说明理由。解析式，若不存在，请说明理由。OxyABCPD 2)提示，AD:BD=3：5， A B=OC=4AD=3

9、/2 又OPCADP 设OP=X,由X:AD=OC:AP 列出方程，解得X=1或6)32,5(B312322323xyxy或 如图：在如图：在ABC中，中， C= 90,BC=8,AC=6.点点P从点从点B出发，沿着出发，沿着BC向点向点C以以2cm/秒的速度移动秒的速度移动;点点Q从点从点C出发，沿着出发，沿着CA向点向点A以以1cm/秒的速度移动。秒的速度移动。如果如果P、Q分别从分别从B、C同时出发，问：同时出发，问：经过多少秒时经过多少秒时CPQ CBA; AQPCBAQPCB 经过多少秒时以经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与为顶点的三角形恰好与ABC相似？相似？o 提示o

10、只有一种情况，t=12/5o 除上面一种外还有一种情况，t=32/11o (0t4)基本图形应用基本图形应用（2） 将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一有，把它们一 一写出来一写出来. .解：有相似三角形，它们是：解：有相似三角形，它们是：ADE BAE, BAE CDA ，ADE CDA（ ADE BAE CDA） EDBCGAF已知：如图，已知：如图，PQRPQR是等边三角

11、形，是等边三角形， APB = 120 APB = 120 求证：求证：（1）PAQBPR2AQRB=QR（2）PRQBA如图点如图点C C、D D在线段在线段ABAB上，上，PCDPCD是等是等边三角形边三角形（2 2）当）当ACPACPPDBPDB时，求时，求APBAPB的度数的度数（1 1）当）当ACAC、CDCD、DBDB满足怎样的关满足怎样的关系式时，系式时，ACPACPPDBPDBPDCBAF 如图，已知如图，已知EM AM，交，交AC于于D，CE=DE 求证：求证：2ED DM=AD CD。结结论论成成立立。F FC CD D, ,A AM MD D由由条条件件得得, ,可可得得

12、C CD DF F是是R Rt tE EF F, ,D DE E又又知知C CE ED DE E, ,F F可可延延长长D DE E到到F F，使使E E要要得得出出2 2E ED D，, ,D DM MC CD DA AD D2 2E ED D（还还应应考考虑虑系系数数2 2），例例式式应应把把积积的的形形式式转转化化成成比比C CD D成成立立，A AD DD DM M要要证证2 2E ED D证证法法一一：CMEDA故故结结论论成成立立。D DA AM M，D DE EG G由由题题易易证证得得, ,D DM MA AD DD DG GE ED D即即D DM MA AD DC CD D

13、2 2E ED D只只需需证证明明2 2D DG G, ,得得C CD D，根根据据等等腰腰三三角角形形的的性性质质C CD D，证证法法二二：过过点点E E作作E EG G如图，已知如图，已知EM AM，交，交AC于于D，CE=DE 求证：求证：2ED DM=AD CD。 GACEDM综合运用综合运用 已知如图，在已知如图，在ABC中，中，AD是是BAC的平的平分线，分线，EFAD于点于点F，AFFD。求证：求证：DEBECE ABCDFEo 解解：连接AE，EF垂直平分ADo AE=DE。ADE=DAE。ADE=B+BAD， DAE=CAD+CAE。AD是BAC的角平分线，BAD=CAD。

14、B=CAE。又AEB=AEC(公共角）。ABECAE，AE/CE=BE/AE，AE=BE CE。AE=DE，DE=BECE。 如图，已知点如图，已知点P P是边长为是边长为4 4的正方形的正方形ABCDABCD内一点，且内一点，且PB=3 PB=3 BFBPBFBP，垂足为，垂足为B B，请在射线，请在射线BFBF上找一点上找一点M M，使以点，使以点B B、M M、C C为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABPABP相似相似 F F P PD DC CB BA A则则BM=BM= 3163或提示o 由条件：ABP=CBM，(1)M1B：BP=BC：AB，即M1B：3=4:4,M1B=3（此时全

15、等）o (2)M2B:AB=BC:BP,即M2B：4=4：3，M2B=16/3.MB有二解：3或16/3. 正方形正方形ABCD边长为边长为4，M、N分别是分别是BC、CD上的两个动上的两个动点，当点，当M点在点在BC上运动时，保持上运动时，保持AM和和MN垂直垂直. （1）证明：）证明：RtABMRtMCN； （2）当）当M点运动到什么位置时点运动到什么位置时RtABMRtAMN，求此，求此时时x的值的值. NMDCBAo 提示 o (2)已知了这两个三角形中相等的对应角是ABM和AMN,如果要想使RTABMRTAMN，那么两组直角边就应该对应成比例，即AM/MN=AB/BM，根据（1）的相

16、似三角形可得出AM/MN=AB/MC,因此BM=MC，M是BC的中点，即X=2已知，如图，D为ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在ABC作CBE=ABD，BCE=BAD，BE、CE交于E，连接DE。 求证：DBEABC 分析：分析：由已知条件ABD=CBE，DBC公用.所以DBE=ABC，要证的DBE和ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两对应边的比相等。从已知条件中可看到CBEABD，这样既有相等的角，又有对应边的比相等，问题就可以得到解决。证明证明：在CBE和ABD中， CBE=ABD, BCE=BAD， CBEABD. AB:BC=BD:BE AB:BD=BC:BE .又CBE=ABD， CBE+DBC=ABD+DBC. 即DBE=ABC DBEABC点评：点评：本题应用综合分析法，本题应用综合分析法，既用到了相似既用到了相似三角三角形形的性质的性质，又用到了相似三角形的判定又用到了相似三角形的判定，要求同学们对四种判定方法和要求同学们对四种判定方法和 基本图形要熟基本图形要熟练掌握练掌握。 o已知，在ABC中，BAC=90，ADBC,E是AC的中点，ED交AB的延长线于F,o求证：AB:AC=DF:AFo分析分析：o 欲证AB:AC=DF:AF，虽然这四条线段可分配于ABC和D