第3讲函数的极限PPT学习教案

1、会计学1第第3讲函数的极限讲函数的极限观察函数观察函数 当当 时的变化趋势时的变化趋势 x 1( )f xx 1lim0 xx oxyxy1一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限第1页/共22页1. 定定义义或或( )f xA lim( )xf xA ( )()f xA x 函数函数( )f x当当x大于某一正数是有定义，如果大于某一正数是有定义，如果0 存在常数存在常数,A对任意给定的对任意给定的( (不论它多小不论它多小) )，总，总,XxX 存在正数存在正数使得当使得当x满足不等式满足不等式时时, ,对应对应的函数值都满足不等式的函数值都满足不等式x ( )f

2、x则常数则常数A就叫做函数就叫做函数当当时的极限，时的极限，记作：记作： Axfx)(lim” ：“X 0 00 0,X 当当时时, 有有xX ( ).f xA 第2页/共22页oxy)(xfy A几何解释几何解释:直线直线 y = A 为曲线为曲线( )yf x 的水平渐近线的水平渐近线.oxyxy1例例2 证明证明： 2 21 11 11 1limxx XX AA例例1 证明证明： 1 10 0lim.xx 第3页/共22页直线直线 y = A 仍是曲线仍是曲线 y = f (x) 的渐近线的渐近线 .lim( )xf xA , 0 0,X 0 0当当xX 时时, 有有( )f xA li

3、m( )xf xA , 0 0,X 0 0当当xX 时时, 有有( )f xA 几何意义几何意义 :2. .单向极限单向极限12121212( ),( )xxf xg x 都有水平渐近线都有水平渐近线.y 1 1如如oxyx21x211第4页/共22页lim arctan,2xx limarctan2xx 问题问题：limarctan?xx xyOarctanyx 例例3 证明：证明：0 0coslimxxx Axfx)(limlim( )xf xA lim( ).xf xA 且且xyOarccotyx lim arccotxx lim arccot0 xx 第5页/共22页观察函数观察函数

4、当当 时的变化趋势时的变化趋势 0 x 21yxxyy=x2+1O120lim(1)1xx二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限第6页/共22页否则称当否则称当 时，时， 发散发散 . .0 xx( )f x1. .定义定义 设函数设函数( )f x在点在点0 x的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,如果存在常数如果存在常数A，对于任意给定的，对于任意给定的 0, 总存在总存在正数正数0, 使得当使得当x满足不等式满足不等式00 xx 时，时，对应的函数值对应的函数值( )f x都满足不等式都满足不等式( ),f xA 或或0lim( )xxf xA 0( )(

5、)f xA xx则常数则常数A叫做函数叫做函数( )f x当当0 xx时的极限，记作时的极限，记作lim( )xxf xA 0 0当当 时时，xx 000, 0, ( ).f xA 有有” ：“ 第7页/共22页与否与与否与( )f xx0 0在在有无定义及取何值无关有无定义及取何值无关.xx 0 00 0定义中定义中表示表示, lim( )xxxxf x 0 00 0存在存在21,0( )2,0 xxf xx yxy=x2+1O120lim( )1xf x 2( )1,0f xxx注注: : 第8页/共22页几何解释几何解释: :)(xfy AAA0 x 0 x 0 x xyo当当x在在0

6、x的去心的去心 邻域时邻域时, 函数函数( )yf x 图形完全落在以直线图形完全落在以直线y=A为中心线，宽为为中心线，宽为2 的带形区域内的带形区域内.第9页/共22页例例6 证明证明1lim(21)1.xx 例例7 证明证明211lim2.1xxx 例例8 证明证明: : 当当0 00 0 x 00lim.xxxx 时时, 例例4 证明证明0lim(xxCCC 为常数为常数).例例5 证明证明00lim.xxxx 第10页/共22页xyo11yx11yx第11页/共22页左、右极限统称为左、右极限统称为单侧极限单侧极限2. 单侧极限单侧极限左极限左极限 :0()f x 0lim( )xx

7、f xA , 0 0, 0 0当当(,)xxx 0000有有( ).f xA 右极限右极限 :()f x 0 0lim( )xxf xA 0 0, 0 0, 0 0当当(,)xxx 0000 有有( ).f xA 0 0lim( )xxf xA 0000lim( )lim( )xxxxf xf xA时时,时时,第12页/共22页yx11 o0lim1;xxx 例例9 验证验证0lim1.xxx 0lim?xxx 问题问题：例例10 设函数设函数,( ),xxf xxxx 101000001010讨论讨论 0 x 时时,( )f x的极限是否存在的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy第1

8、3页/共22页定理定理1 1 若若 存在，那么极限唯一存在，那么极限唯一. . 0lim( )xxf x2. 局部有界性局部有界性1. .极限的唯一性极限的唯一性三、函数极限的性质三、函数极限的性质定理定理2若若0lim ( ),xxf xA 那么存在常数那么存在常数0M 和和0, 使得当使得当00 |xx 时，有时，有|( )|.f xM 第14页/共22页( )0)f x ( A 0 ,则存在则存在0(,),x 3. 局部保号性局部保号性若若0lim( )0,xxf xA 则存在则存在推论推论:使当使当0(,),x 时时, 0(,)xx ( ( )0)f x 0lim( ),xxf xA

9、则则0.A (0)A ( )0.f x 使当使当0(,)xx 时时,0 x0 xAAAx0 xy)(xfy ( ).2Af x 有有0 x若在若在的某去心邻域内的某去心邻域内( )0f x , 且且 定理定理3第15页/共22页4. 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系 ( (海因定理海因定理) )定理定理4)(lim0 xfxxnx如果极限如果极限存在存在, ,为函数为函数0 x( )f x的定义域内任意收敛于的定义域内任意收敛于的数列的数列, ,且满足且满足0(),nxxnN )(nxf那么相应的函数值数列那么相应的函数值数列必收敛，且必收敛，且0lim ()lim ( ).n

10、nxxf xf x 例例: 22xxysin1sinlim220 xxx, 11sinlim22 nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn第16页/共22页利用定理利用定理4证明函数极限不存在的方法：证明函数极限不存在的方法：法法2 找两个趋于找两个趋于0 x的不同数列的不同数列 nx及及 ,nx 使使lim()nnf xlim()nnf x 法法1 找一个数列找一个数列 :nx0,nxx 0(),nxxn 且且不存在不存在 .lim()nnf x使使海因定理海因定理 函数极限存在的充要条件是它的函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在任何子列的极限都存在,

11、 ,且相等且相等. .4. 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系 ( (海因定理海因定理) )limsinxx0 01 1不存在不存在 .例例11 证明证明第17页/共22页1. 函数极限的函数极限的 或或X 定义及应用定义及应用2. 函数极限的性质函数极限的性质:保号性定理保号性定理与左右极限等价定理与左右极限等价定理 作业作业 P37 1(3)(4) ; 2 ; 5 ; 6 ; 9 内容小结第18页/共22页函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)第19页/共22页过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(x