第5章 刚体力学习题课

1、一、基本概念：一、基本概念：刚体：刚体：在任何外力作用下在任何外力作用下, 形状大小均不发生改变的物体。形状大小均不发生改变的物体。 是特殊的质点系。是特殊的质点系。 2iirmJ刚体转动惯量：刚体转动惯量：刚体的转动动能：刚体的转动动能：221 JEk 转转刚体定轴转动角动量：刚体定轴转动角动量： JLz dMA力矩的功：力矩的功：cpmghE 刚体的重力势能刚体的重力势能: mrJd22、基本原理：、基本原理：1 1）刚体定轴转动角动量原理：刚体定轴转动角动量原理：tLMzzdd 21d1122ttzzzztMJJL 2 2）刚体定轴转动角动量守恒定律：刚体定轴转动角动量守恒定律：常常量量

2、。，则则若若 JLMzz03） 刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律： JM 4）刚体定轴转动的动能定理：刚体定轴转动的动能定理：2022121d JJEMAk 合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一一) 转动动能转动动能 动能动能 力矩的功力矩的功 力的功力的功转动惯量转动惯量J ，力矩，力矩M 质量质量m ， 力力F 角加速度角加速度 加速度加速度 角速度角速度 速度速度刚体的定轴转动刚体的定轴转动质点的运动质点的运动trvddt ddtvaddt dd221mvEk221 JE

3、k barFAd baMA d质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比( (二二) )动能定理：动能定理：动能定理：动能定理：机械能守恒：机械能守恒：机械能守恒：机械能守恒：角动量守恒：角动量守恒：动量守恒：动量守恒：角动量原理：角动量原理：动量定理：动量定理：转动定律：转动定律：运动定律：运动定律：刚体的定轴转动刚体的定轴转动质点的运动质点的运动amF JMz ptFdd zddLtMz CEEpkC iiivmCJ CEEpCkkEMba dkbaErF d三、基本计算：三、基本计算：本章的习题主要包括以下几个类型：本章的习题主要包括以下几个类型：1 1

4、、力矩的计算、力矩的计算. .2 2、转动惯量的计算、转动惯量的计算、转动定律的应用、转动定律的应用、刚体的角动量定理和角动量守恒定律的应用、刚体的角动量定理和角动量守恒定律的应用、角动量守恒定律和机械能守恒定律的综合应用、角动量守恒定律和机械能守恒定律的综合应用miirmJ2 若质量离散分布：若质量离散分布：（质点，质点系）（质点，质点系）mrJd2 若质量连续分布：若质量连续分布： 平行轴定理：平行轴定理：2mdJJco 正交轴定理：正交轴定理：yxzJJJ zoyxp 转动惯量的计算：转动惯量的计算：oCd2）均匀圆盘）均匀圆盘 （圆柱体）：（圆柱体）：221mRJoo4）均匀球体：）均

5、匀球体：o252mRJo3）薄圆环）薄圆环（薄圆筒）：（薄圆筒）：o2mRJo常用的转动惯量：常用的转动惯量：1) 均匀细棒均匀细棒o231mLJoo2121mLJo练习：求下列各刚体对练习：求下列各刚体对O 轴的转动惯量：轴的转动惯量：o2m1m2l2lmmlRoo222)(2131RlmmRmlJ222221)42()2(121)2(31llmlmlmJ5）薄球壳：）薄球壳：232mRJoo2221127121lmlm 刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律：具体应用时应注意以下问题：具体应用时应注意以下问题：1) 力矩和转动惯量力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。必须对同一转轴而言。2) 一般

6、选取物体的实际运动方向为正方向，一般选取物体的实际运动方向为正方向， 以此确定力以此确定力矩及外力的正负。矩及外力的正负。3) 当系统中既有转动物体，又有平动物体时，当系统中既有转动物体，又有平动物体时， 对对转动物转动物体用转动定律建立方程体用转动定律建立方程， 对对平动物体则用牛顿运动定平动物体则用牛顿运动定律建立方程，律建立方程，并找到各物理量之间的联系。并找到各物理量之间的联系。基本步骤：基本步骤：1、选取研究对象，隔离物体，受力分析。、选取研究对象，隔离物体，受力分析。2、建立坐标系，确定正方向。、建立坐标系，确定正方向。3、根据不同规律，分别列出运动方程。、根据不同规律，分别列出运

7、动方程。mRM0mTgmRM0T例例1 一轴承光滑的定滑轮，质量一轴承光滑的定滑轮，质量M =1.0 kg，半径，半径R = 0.1 m， 一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，一端系有一一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，一端系有一 质量质量m = 2.0 kg 的物体，的物体， 已知定滑轮的转动惯量已知定滑轮的转动惯量 , 其初角速度其初角速度0 = 5.0 rad/s ，方向垂直纸面向里。，方向垂直纸面向里。 求：求：1）定滑轮的角加速度。）定滑轮的角加速度。 2）定滑轮角速度变化到零时，物体上升的高度。）定滑轮角速度变化到零时，物体上升的高度。221MRJ 解：解：1）研究定滑轮

8、的转动。分析所受力矩。）研究定滑轮的转动。分析所受力矩。 取滑轮转动方向为正。取滑轮转动方向为正。由转动定律：由转动定律： 221MRJRT 研究物体的运动。分析受力。取向上为正。研究物体的运动。分析受力。取向上为正。mamgT 关联方程：关联方程： Ra TT 联立解得：联立解得：2278.4(rad / s )mgRJmR 2）研究物体、定滑轮和地球组成的系统，在整个运动过程中，）研究物体、定滑轮和地球组成的系统，在整个运动过程中， 机械能守恒。取物体的初位置为势能零点。机械能守恒。取物体的初位置为势能零点。mghJmv 20202121 00 Rv 220()0.016m2mRJhmg法

9、法2由刚体的运动公式：由刚体的运动公式： 220 220 220RRh 例例2物体物体A和和B叠放在水平面上，由跨过定滑轮的不可伸长的轻叠放在水平面上，由跨过定滑轮的不可伸长的轻质细绳相互连接。今用大小为质细绳相互连接。今用大小为 F 的水平力拉的水平力拉 A。设。设A、B和滑轮和滑轮的质量都为的质量都为m，滑轮的半径为，滑轮的半径为R，对轴的转动惯量，对轴的转动惯量 。所所有的摩擦都不计。已知有的摩擦都不计。已知F = 10N，m = 8.0 kg，R = 0.05 m。求：。求：滑轮的角加速度及绳中的张力。滑轮的角加速度及绳中的张力。221mRJ FBABaT FATa解：解：隔离定滑轮和

10、物体隔离定滑轮和物体A、B， 分析受力。规定物体运动方分析受力。规定物体运动方 向为正方向。向为正方向。对于物体对于物体A，应用牛顿第二定律，得：应用牛顿第二定律，得：maTF 对于物体对于物体B，应用牛顿第二定律，得：应用牛顿第二定律，得：maT T T对定滑轮对定滑轮，应用转动定律，得应用转动定律，得TRT RJ 关联方程：关联方程：联立上式求解，得：联立上式求解，得：2rad/s1052 mRF N0.653 FT Ra 221mRJ N0.452 FT例例3一物体组。其中滑轮一物体组。其中滑轮A可随可随m的下降而上升。两滑轮的质的下降而上升。两滑轮的质量均为量均为M ，且均匀分布，半径

11、为，且均匀分布，半径为R ，绳子的质量及轴上的摩擦不，绳子的质量及轴上的摩擦不计。试求：计。试求：m下降的加速度及绳中的张力。下降的加速度及绳中的张力。RomA1aB2a解解: :选取地面为参考系，隔离动滑轮选取地面为参考系，隔离动滑轮A、 定滑轮定滑轮B 和物体和物体m，分析受力。规定，分析受力。规定 物体运动方向为正方向。物体运动方向为正方向。对物体对物体 m 应用牛顿第二定律，得：应用牛顿第二定律，得：11maTmg m1a1TgmoB1T 2T R对定滑轮对定滑轮B，应用转动定律，得应用转动定律，得121)( JRTT A2a2T3TgM对动滑轮对动滑轮A的质心运动应用牛顿的质心运动应

12、用牛顿第二定律，得第二定律，得: :232)(MaMgTT A2a2T3TgM对动滑轮对动滑轮A的定轴转动应用转动定律，得：的定轴转动应用转动定律，得：232)( JRTT 221MRJ 滑轮的转动惯量：滑轮的转动惯量：关联方程：关联方程： 2121112 aaRa 2211TTTT联立上式求解，得：联立上式求解，得：MmgMma78)2(41 MmMgMmT78)414(2 MmmMgT78111 MmMgMmT78)35(3 例例4已知已知m 1 ，m 2 ，M1 ，M2 ，R1 ，R 2 且且m 1 m 2 。求：求：m 2的加速度和张力的加速度和张力T1 ，T2 ，T3解：设解：设m

13、2 的加速度大小为的加速度大小为a ，方向向上，方向向上， m 1 的加速度大小也为的加速度大小也为a ，方向向下。，方向向下。2211RRa amTgm111 amgmT222 121113121)( RMRTT 222222321)( RMRTT 对两滑轮分析力矩，由转动定律：对两滑轮分析力矩，由转动定律：分析分析m1、m2 受力。由牛顿第二定律：受力。由牛顿第二定律：1R1M1T 3T2R2M2T 3T 2m2Tgm21m1Tgm11m2m2M2R1R1M112233,TTTTTT关联方程：关联方程：2121212)(2MMmmgmma ）（212121121111)(2)(4MMmmg

14、MMmgmmamgmT 2121122121223)(2421)(MMmmgMmgMmgmmaMagmT 联立得：联立得：212121221222)(2)(4MMmmgMMmgmmamgmT 刚体定轴转动角动量原理与角动量守恒定律：刚体定轴转动角动量原理与角动量守恒定律：(1) 光滑水平面上有一静止的细杆，若在细杆两端施加一对光滑水平面上有一静止的细杆，若在细杆两端施加一对 大小相等，方向相反的力，问在细杆运动过程中，细大小相等，方向相反的力，问在细杆运动过程中，细 杆的动量是否守恒，对杆中心点杆的动量是否守恒，对杆中心点O的角动量是否守恒？的角动量是否守恒？ 动能是否守恒？动能是否守恒？注意

15、区分：注意区分：角动量守恒与动量守恒的条件。角动量守恒与动量守恒的条件。合外力为零，则系统的合外力为零，则系统的动量守恒。动量守恒。合外力矩不为零，则系合外力矩不为零，则系统的角动量不守恒。统的角动量不守恒。合外力矩作正功，则系统的动能不守恒。合外力矩作正功，则系统的动能不守恒。oFF (2) 质量为质量为M，长为，长为l 的均匀细杆，可绕垂直于棒一端点的的均匀细杆，可绕垂直于棒一端点的 轴轴O 无摩擦地转动。若细杆竖直悬挂，现有一质量为无摩擦地转动。若细杆竖直悬挂，现有一质量为m 的弹性的弹性 小球飞来，与细杆作小球飞来，与细杆作完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞，问，问: 1) 在小球与细杆在小

16、球与细杆 相碰过程中相碰过程中; 2) 在小球与细杆一起转动的过程中在小球与细杆一起转动的过程中, 球与杆组成的系统的动量是否守恒？对于过球与杆组成的系统的动量是否守恒？对于过O点的轴的角点的轴的角 动量是否守恒？机械能是否守恒？动量是否守恒？机械能是否守恒？F合外力不为零，则系统的动量不守恒。合外力不为零，则系统的动量不守恒。合外力矩为零，则系统的角动量守恒。合外力矩为零，则系统的角动量守恒。发生的是完全非弹性碰撞，则系统的发生的是完全非弹性碰撞，则系统的机械能不守恒。机械能不守恒。合外力不为零，则系统的动量不守恒。合外力不为零，则系统的动量不守恒。合外力矩不为零，则系统的角动量不守恒。合外

17、力矩不为零，则系统的角动量不守恒。在转动过程中只有重力作功，则系统的机械能守恒。在转动过程中只有重力作功，则系统的机械能守恒。omgMgmFNovmLMgMgmN例例5 质量为质量为M，长为，长为l 的均匀细杆，可绕垂直于棒的一端的水平的均匀细杆，可绕垂直于棒的一端的水平 轴轴O无摩擦地转动。现有一质量为无摩擦地转动。现有一质量为m 的子弹以速度的子弹以速度 水平射水平射 入杆中。入杆中。 求：子弹与杆一起运动时的角速度求：子弹与杆一起运动时的角速度及转过的最大角度及转过的最大角度？vovm解：第一阶段：取子弹与细杆为一个系统。在碰解：第一阶段：取子弹与细杆为一个系统。在碰 撞过程中，合外力不

18、为零，而合外力矩为零。撞过程中，合外力不为零，而合外力矩为零。 系统相对于系统相对于O 轴的角动量守恒。轴的角动量守恒。 Jlvmmvl lv 第二阶段：系统绕第二阶段：系统绕 O 轴转动过程中，合外力不为零，轴转动过程中，合外力不为零，合外力矩也不为零，但只有重力做功，则系统的机械能合外力矩也不为零，但只有重力做功，则系统的机械能守恒。选棒的最低点为势能零点。守恒。选棒的最低点为势能零点。)cos1()cos1(2)(212122 mgllMglmJNFgM解得：解得：lMmmvlMmmv)3(3)3( 子弹与杆一起运动时的角速度子弹与杆一起运动时的角速度：子弹随杆转过的最大角度子弹随杆转过

19、的最大角度： glMmMmvm)2)(3(1cos221 例例6质量分别为质量分别为M1、M2,半径分别为半径分别为R1 、R2的两均匀圆柱的两均匀圆柱,可分别绕它们本身的轴转动可分别绕它们本身的轴转动,二轴平行。原来它们沿同一转二轴平行。原来它们沿同一转向分别以向分别以 10， 20的角速度匀速转动的角速度匀速转动,然后平移二轴使它们然后平移二轴使它们的边缘相接触的边缘相接触,如图所示如图所示.求最后在接触处无相对滑动时求最后在接触处无相对滑动时,每个每个圆柱的角速度圆柱的角速度 1， 2。2211RR 二圆柱系统角动量守恒故有二圆柱系统角动量守恒故有解：在接触处无相对滑动时解：在接触处无相

20、对滑动时2211202101 JJJJ R1M1R2M2R2M2R1M12222211121 ,21RMJRMJ 其其中中由以上二式就可解出由以上二式就可解出 1 1、 2 2答：原解认为系统的总角动量为二圆柱各自对自己的答：原解认为系统的总角动量为二圆柱各自对自己的轴的角动量之和是错误的，因为轴的角动量之和是错误的，因为系统的总角动量只能系统的总角动量只能对某一个轴对某一个轴进行计算。当两柱体边缘没有相对滑动时进行计算。当两柱体边缘没有相对滑动时 1 1， 2 2方向相反，所以应为方向相反，所以应为2211RR 正确的解法：正确的解法：对两圆柱对两圆柱分别使用分别使用角动量定理角动量定理，由

21、于两柱接触时摩擦，由于两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反力大小相等、方向相反, ,力矩和冲量矩的大小正比于半力矩和冲量矩的大小正比于半径径, ,方向相同方向相同, ,则则: : )()(202222101111 JfdtRfdtRJfdtRfdtR这种解法对吗这种解法对吗? ?得得，消消去去 d tf)()(2022101121 JJRR1221 RR又又知知，由此可解得由此可解得:)( )(21222211121222112221111MMRRMRMRJRJRJRJR )( )(21111122221222121112222MMRRMRMRJRJRJRJR 2222211121,21RMJR

22、MJ 其其中中例例7已知棒的质量已知棒的质量M、长度长度l ,其上套有两环，质量均为其上套有两环，质量均为m, 可滑可滑动。动。m受阻力正比于速度。初始两环固定受阻力正比于速度。初始两环固定,距离距离O是是r，随棒以，随棒以1 转动。求：转动。求：(1)松开两环，当其达棒端松开两环，当其达棒端A、B时，系统角速度？时，系统角速度？ (2)两环飞离时，棒的角速度？两环飞离时，棒的角速度？解：解：(1)(1)阻力通过固定轴动力阻力通过固定轴动力矩为零。系统角动量守恒矩为零。系统角动量守恒, ,21LL 222122)21121()2121( mlMlmrMl 22122221121)2121(ml

23、MlmrMl （2）两环飞离时，对棒无力矩作用，因而棒的角速度仍为）两环飞离时，对棒无力矩作用，因而棒的角速度仍为2MrrABmm1 o 例例88如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到的摆锤拉到h0高度高度，令它自静止状态下，令它自静止状态下垂垂, ,于铅垂位置和直杆于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度h。chchhmlhol解解: :碰撞前单摆摆锤的速度为碰撞前单摆

24、摆锤的速度为002ghv 令碰撞后直杆的角速度令碰撞后直杆的角速度为为 ，摆锤的速度为，摆锤的速度为v由由角动量守恒角动量守恒，有，有2031,mlJJvmlmlv 式式中中 在弹性碰撞过程中在弹性碰撞过程中机械能守恒机械能守恒: :lvvv23,200 二式联立解得：二式联立解得：222021)(21 Jvvm 按机械能守恒按机械能守恒, ,碰撞后碰撞后摆锤摆锤达到的高度显然为达到的高度显然为：40hh 而而杆的质心杆的质心达到的高度满足达到的高度满足：cmghJ 221 2320hhhc 由此得：由此得：1、一轻绳绕于半径为、一轻绳绕于半径为 r 的飞轮边缘，并以质量为的飞轮边缘，并以质量

25、为m 的物体挂在的物体挂在 绳端，飞轮对过轮心且与轮面垂直的水平固定轴的转动惯量绳端，飞轮对过轮心且与轮面垂直的水平固定轴的转动惯量 为为J，若不计算摩擦，飞轮的角加速度，若不计算摩擦，飞轮的角加速度 = ( )2、一轻绳绕于半径一轻绳绕于半径 r = 0.2 m 的飞轮边缘，并施以的飞轮边缘，并施以F = 98 N 的拉力，若不计摩擦，飞轮的角加速度等于的拉力，若不计摩擦，飞轮的角加速度等于39.2 rad s-2， 此飞轮的转动惯量为（此飞轮的转动惯量为（ ）F JFr 20.5kg mFrJ 20.5 kg m JrT maTmg 2mrJmgr 练习题练习题 4、几个力同时作用在一个具

26、有固定转轴的刚体上，如果这、几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果这 几个力的矢量和为零，则此刚体几个力的矢量和为零，则此刚体 A）必然不会转动）必然不会转动 B）转速必然不变）转速必然不变 C）转速必然改变）转速必然改变 D）转速可能改变，也可能不变。）转速可能改变，也可能不变。5、 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动，一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， A）它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变）它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变 B）它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小）它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小 C）它受热或遇冷时，角速度均变大）它受热或遇冷时，角速度均变大 D）它受热时角

27、速度变小，遇冷时角速度变大）它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大3、质量分别为、质量分别为m、2m的两物体，用一长为的两物体，用一长为 l 的轻质刚性细杆的轻质刚性细杆相连，系统绕通过杆且与杆垂直的竖直固定转轴相连，系统绕通过杆且与杆垂直的竖直固定转轴O转动，已转动，已知知O轴离质量为轴离质量为2m的质点距离为的质点距离为 l / 3，质量为，质量为m 的质点的线的质点的线速度为速度为 v 且与杆垂直，则该系统对转轴的角动量大小为且与杆垂直，则该系统对转轴的角动量大小为om3llm2vmvl6、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平地举、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平地

28、举 两哑铃在该人把此两哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、两哑铃在该人把此两哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、 哑铃与转动平台组成的系统的哑铃与转动平台组成的系统的 A）机械能守恒，角动量守恒）机械能守恒，角动量守恒 B）机械能守恒，角动量不守恒）机械能守恒，角动量不守恒 C）机械能不守恒，角动量守恒）机械能不守恒，角动量守恒 D）机械能不守恒，角动量也不守恒）机械能不守恒，角动量也不守恒7、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，射来两个转动，射来两个 质量相同，速度大小相同，方向相反的子弹，子弹射入圆盘质量相同，速度大小相同，方向相反的子弹，子弹射入圆

29、盘 并留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度：并留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度：A）增大；）增大； B）不变；）不变；C）减小；）减小； D）不能确定。）不能确定。mmMo8、均匀细棒、均匀细棒OA可绕通过其一端可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴而与棒垂直的水平固定光滑轴 转动，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到转动，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到 竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？ A）角速度从小到大，角加速度从大到小）角速度从小到大，角加速度从大到小 B）角速度从小到大，角加速度从小到大）

30、角速度从小到大，角加速度从小到大 C）角速度从大到小，角加速度从大到小）角速度从大到小，角加速度从大到小 D）角速度从大到小，角加速度从小到大）角速度从大到小，角加速度从小到大 JM cos2lmgM 9、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 A）取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。）取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。

31、D）取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关。）取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关。 C10. 如图所示，如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮为两个相同的绕着轻绳的定滑轮A滑轮滑轮挂一质量为挂一质量为M的物体，的物体，B滑轮受拉力滑轮受拉力F，而且，而且FMg设设A、B两两滑轮的角加速度分别为滑轮的角加速度分别为 A和和 B，不计滑轮轴的摩擦，则有，不计滑轮轴的摩擦，则有 (A) A B (B) A B (C) A B (D) 开始时开始时 A B，以后，以后 A B AMBF11. 一水平的匀质圆盘，可绕通过盘心的竖直光滑固定轴自由转一水平的匀质圆盘，可绕通过盘心的竖直光滑固定轴自由转动圆盘质量为动圆盘质量为M，半径为，半径为R，对轴的转动惯量，对轴的转动惯量J(1/2)MR2当圆盘以角速度当圆盘以角速度0转动时，有一质量为转动时，有一质量为m的子弹沿盘的直径方向的子弹沿盘的直径方向射入而嵌在盘的边缘上子弹射入后，圆盘的角速度射入而嵌在盘的边缘上子弹射入后，圆盘的角速度 _