电路课件第七章

1、动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件7.1一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应7.2一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应7.3一阶电路的全响应一阶电路的全响应7.4二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应7.5二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的零状态响应和全响应7.6第第7 7章章 一阶电路和二阶电路一阶电路和二阶电路的时域分析的时域分析含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。1 1. . 动态电路动态电路 7.1 7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 当动态电路状态发生改变时（换路）需要当动态电路状态

2、发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。个变化过程称为电路的过渡过程。下 页上 页特点返 回电路结构、状态发生变化电路结构、状态发生变化支路接入或断开支路接入或断开电路参数变化电路参数变化换路换路)(ddSCCtuutuRC应用应用KVL和电容的和电容的VCR得：得：若以电流为变量：若以电流为变量：)(d1StutiCRittuCitiRd)(dddS2 2. . 动态电路的方程动态电路的方程下 页上 页 (t 0)+uCUsRCi+- -)(SCtuuRituCiddC例例RC电路电路返 回)(SLt

3、uuRi)(ddStutiLRi应用应用KVL和电感的和电感的VCR得得：tiLuddL若以电感电压为变量：若以电感电压为变量：)(dSLLtuutuLRttutuuLRd)(dddSLL下 页上 页 (t 0)+uLUsRi+- -RL电路电路返 回有源有源 电阻电阻 电路电路 一个动一个动态元件态元件一阶一阶电路电路下 页上 页结论 含有一个动态元件电容或电感的线性电含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。一阶电路。返 回)(ddddSCC2C2tuutuRCtuLC)(SCtuuuRiL二阶电路二阶电路tuC

4、iddC2C2ddddtuLCtiLuL下 页上 页 (t 0)+uLUsRi+- -CuCRLC电路电路应用应用KVL和元件的和元件的VCR得得： 含有二个动态元件的线性电路，其电路方程含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。为二阶线性常微分方程，称二阶电路。返 回一阶电路一阶电路一阶电路中只有一个动态元件一阶电路中只有一个动态元件, ,描述描述电路的方程是一阶线性微分方程。电路的方程是一阶线性微分方程。描述动态电路的电路方程为微分方程；描述动态电路的电路方程为微分方程；动态电路方程的阶数通常等于电路中动动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。态元件的

5、个数。0)(dd01ttexatxa0)(dddd01222ttexatxatxa二阶电路二阶电路二阶电路中有二个动态元件二阶电路中有二个动态元件, ,描述描述电路的方程是二阶线性微分方程。电路的方程是二阶线性微分方程。下 页上 页结论返 回有源有源 电阻电阻 电路电路 一个动一个动态元件态元件一阶一阶电路电路下 页上 页结论 含有一个动态元件电容或电感的线性电含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。一阶电路。返 回一阶电路一阶电路一阶电路中只有一个动态元件一阶电路中只有一个动态元件, ,描述描述电路的方程是一阶线

6、性微分方程。电路的方程是一阶线性微分方程。描述动态电路的电路方程为微分方程；描述动态电路的电路方程为微分方程；动态电路方程的阶数通常等于电路中动动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。态元件的个数。0)(dd01ttexatxa0)(dddd01222ttexatxatxa二阶电路二阶电路二阶电路中有二个动态元件二阶电路中有二个动态元件, ,描述描述电路的方程是二阶线性微分方程。电路的方程是二阶线性微分方程。下 页上 页结论返 回 t = 0与与t = 0的概念的概念认为换路在认为换路在t=0时刻进行时刻进行0 换路前一瞬间换路前一瞬间 0 换路后一瞬间换路后一瞬间3.3.电路的初始条

7、件电路的初始条件)(lim)0(00tfftt)(lim)0(00tfftt初始条件为初始条件为 t = 0时时u ，i 及其各阶导数及其各阶导数的值。的值。下 页上 页注意0f(t)0()0( ff00)0()0( fft返 回d)(1)(tCiCtud)(1d)(100tiCiCd)(1)0(0tCiCut = 0+ 时刻时刻d)(1)0()0(00iCuuCCiucC+-电容的初始条件电容的初始条件0当当i()为有限值时为有限值时q (0+) = q (0)uC (0+) = uC (0)q =C uC电荷电荷守恒守恒 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值，

8、 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。结论d)(1)(tLuLtid) )(1d)(100tuLuLd)(1)0()0(00uLiiLL电感的初始条件电感的初始条件t = 0+时刻时刻0d)(1)0(0tLuLi当当u为有限值时为有限值时iLuL+-iL(0)= iL(0)LLi L (0)= L (0)磁链磁链守恒守恒 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结论L (0+)= L (0)iL(0+)= iL(0)qc (0+) = qc (0)uC (0

9、+) = uC (0)换路定律换路定律电容电流和电感电压为有限值是换路定电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。律成立的条件。 换路瞬间，若电感电压保持换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路前后保持不变。 换路瞬间，若电容电流保持换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。换路前后保持不变。换路定律反映了能量不能跃变。换路定律反映了能量不能跃变。下 页上 页注意返 回求初始值的步骤求初始值的步骤: :1.1.由换路前电路（稳定状态）求由换路前电路（稳定状态）求uC(0)

10、和和iL(0)；2.2.由换路定律得由换路定律得 uC(0+) 和和 iL(0+)。3.3.画画0+等效电路。等效电路。4.4.由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。b. b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。电容（电感）用电压源（电流源）替代。a. a. 换路后的电路换路后的电路（取（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。感电流方向相同）。下 页上 页小结返 回)0 ()0 ()0 ()0 ()0 (2RcuuiiuLLc和、例7-1 图7-1(a)所示电路中直流电压源的电压为U0。当电路中的电流和电压恒定不变时打开

11、开关S。试求2120)0(RRRUuc210_)0(RRUiL_)0()0(_)0()0(LLcciiuu，)0()0(210LciRRUi212022)0()0(RRRUiRuLR0)0(Lu7.2 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电动态元件初始储能产生的电压和电流。压和电流。1.1.RC电路的零输入响应电路的零输入响应已知已知 uC (0)=U0零输入响应零输入响应下 页上 页iS(t=0)+uRC+uCR返 回0ddCCutuRCtRC eA1 ptCeuA则则下 页上 页代入初始值代入初始值 uC (

12、0+)=uC(0)=U0A=U0iS(t=0)+uRC+uCR返 回0CRuutuCiCdd uR= Ri、其中其中有有0_)0()0(:UuuCC初始条件特征方程特征方程RCp+1=0RCp1 特征根特征根RCtRCtcceUeUu 0 )0(RCtRCtCeRURCeCUtuCi00)1(dd RCtcReUUu 0tU0uC0I0ti0令令 =RC , , 称称为一阶电路的时间常数为一阶电路的时间常数 秒伏安秒欧伏库欧法欧 RC电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；连续连续函数函数跃变跃变响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状

13、态成线性关系，其衰减快慢与RC有关有关; ;下 页上 页表明返 回时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = RC 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短电压初值一定：电压初值一定：R 大大（ C一定一定） i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间长放电时间长U0tuc0 小 大C 大大（R一定一定） W=Cu2/2 储能大储能大11 RCp物理含义物理含义下 页上 页返 回a. :电容电压衰减到原来电压电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。工程上认为工程上认为, , 经过经过 35 , 过渡过程结束

14、。过渡过程结束。U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0 t0 2 3 5t ceUu 0U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 下 页上 页注意返 回能量关系能量关系tRiWRd02电容不断释放能量被电阻吸收电容不断释放能量被电阻吸收, , 直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕. .设设 uC(0+)=U0电容放出能量：电容放出能量： 2021CU电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：tReRURCtd)(2 002021CUteRURCtd2 02002 20| )2(RCteRCRU下 页上 页uCR+C返 回2.2. RL电路的

15、零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程 Lp+R=0LRp特征根特征根 代入初始值代入初始值A= iL(0+)= I001)0()0(IRRUiiSLL00ddLLtRitiLptAeti)(LtLRtLReIeiti0LL)0()(t 0iLS(t=0)USL+uLRR1+-iL+uLRRLt LLeRItiLtu/0)( ddtI0iL0连续连续函数函数电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；下 页上 页表明跃变跃变-RI0uLt0返 回响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关有关; ;下 页

16、上 页秒欧安秒伏欧安韦欧亨 RL 令令 称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数 = L/R时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短L大大 W=LiL2/2 起始能量大起始能量大R小小 P=Ri2 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电慢，放电慢， 大大 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短物理含义物理含义电流初值电流初值iL(0)一定：一定：返 回能量关系能量关系tRiWRd 02电感不断释放能量被电阻吸收电感不断释放能量被电阻吸收, , 直到全部消耗完毕。直到全部消耗完毕。设设 iL(0+)=I0电感放出能量

17、：电感放出能量： 2021LI电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：tReIRLt d2/00)( 2021LI teRIRLt d/2020 0220| )2/(RCt eRLRI下 页上 页iL+uLR返 回一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应起的响应, , 都是由初始值衰减为零的指数衰减都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。函数。teyty )0()(iL(0+)= iL(0)uC (0+) = uC (0)RC电路电路RL电路电路下 页上 页小结返 回一阶电路的零输入响应和初始值成正比，一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输

18、入线性。称为零输入线性。衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。下 页上 页小结 = R C = L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。RC电路电路RL电路电路返 回例7-2 图7-7所示是一台汽轮发电机的励磁电路，开关未断开时，电路中电流已经恒定不变，在t=0时，断开开关。求：（1）电阻、电感回路的时间常数（2）电流i的初始值（3）电流i和电压表处的电压uv（4）开关刚断开时，电压处的电压ssRRLv6 .79105189. 0398. 03AARUi2 .18

19、5189. 035)0(Aii2 .185)0()0(Aeeiitt125602 .185)0(kVeVeiRuttvv125601256039262 .185105解: (1)(2)(3)kVuv926)0(4)Vuc6)0(例7-3 图7-8所示电路，开关s合在外置1时电路已达稳态，t=0时开关位置由位置1合向位置2，试求t=0时的电流i(t).解：Vuucc6_)0()0(电容以外的电路为含有受控源的电阻电路，其等效电路Req可用外施激励法1)2()(,26122iuRuiiiiiiueq则ssCReq25. 025. 01Veeuuttcc46)0(AeAedtddtduCtittcc

20、446)6(25. 0)(动态元件初始能量为零，由动态元件初始能量为零，由t 0电电路中外加激励作用所产生的响应。路中外加激励作用所产生的响应。SCCddUutuRC方程：方程：7.3 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 解答形式为：解答形式为：CCCuuu 1.1.RC电路的零状态响应电路的零状态响应零状态响应零状态响应非齐次方程特解非齐次方程特解齐次齐次方程方程通解通解下 页上 页iS(t=0)US+uRC+uCRuC (0)=0+非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程返 回与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解RCtAeu C变化

21、规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定的通解的通解0ddCCutuRCSCUu 通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）Cu 特解（强制分量）特解（强制分量）CuSCCddUutuRC的特解的特解下 页上 页返 回全解全解uC (0+)=A+US= 0 A= US由初始条件由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数定积分常数 ARCtAeUuutu SCCC)(下 页上 页) 0( )1 ( S SSCteUeUUuRCtRCt从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：RCteRUtuCiSCdd返 回-USuCuC“UStiRUS0tuC0电压、电流是随时间按同一指数

22、规律变化的函电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：数；电容电压由两部分构成：连续连续函数函数跃变跃变稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）暂态分量（自由分量）下 页上 页表明+返 回响应变化的快慢，由时间常数响应变化的快慢，由时间常数 RC决定；决定； 大，大，充电慢，充电慢， 小充电就快。小充电就快。响应与外加激励成线性关系；响应与外加激励成线性关系；能量关系能量关系2S21CU电容储存能量：电容储存能量：电源提供能量：电源提供能量：2SS0SdCUqUtiU2S21CU电阻消耗能量：电阻消耗能量：tRRUtRiRCted)(d20S02 电

23、源提供的能量一半消耗在电阻上，一半电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。转换成电场能量储存在电容中。下 页上 页表明RC+-US返 回2. 2. RL电路的零状态响应电路的零状态响应SLLUiRtiLdd)1 (SLtLReRUi已知已知iL(0)=0，电路方程为：，电路方程为：LLLiii tiLRUS0RUiSLA0)0(tLRAeRUSiLS(t=0)US+uRL+uLR+tLReUtiLuSLLdduLUSt0例例1t=0开关开关k打开，求打开，求t 0后后iL、uL及电流源的电压。及电流源的电压。解解 这是这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状

24、态响应问题，先化简电路，有：201010eqRV201020Us1 . 020/2/eqRL下 页上 页iL+uL2HUoReq+t 0A1/)(eq0RUiLA)1 ()(10tLetiV20)(10100ttLeeUtu)V1020(10510StLLeuiIu返 回iLK+uL2H102A105+u7.4 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。加激励源作用时电路中产生的响应。以以RC电路为例，电路微分方程：电路为例，电路微分方程：1. 1. 全响应全响应全响应全响应下 页上 页返 回SddU

25、utuRCCCiS(t=0)US+uRC+uCR解答为：解答为： uC(t) = uC + uC特解特解 uC = US通解通解tCAeu = RCSddUutuRCCC解答为：解答为： uC(t) = uC + uCSddUutuRCCC解答为：解答为： uC(t) = uC + uCuC (0)=U0uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US由初始值定由初始值定0)(0 teUUUAeUutSStSC强制分量强制分量( (稳态解稳态解) )自由分量自由分量( (暂态解暂态解) )2. 2. 全响应的三种分解方式全响应的三种分解方式uC-USU0暂态解暂态解uCUS稳态解稳态解U0u

26、c全解全解tuc0 全响应全响应 = 强制分量强制分量+ +自由分量自由分量下 页上 页返 回 全响应全响应= =稳态分量稳态分量+ +瞬态分量瞬态分量全响应全响应 = = 零状态响应零状态响应 + + 零输入响应零输入响应)0()1 (0 teUeUuttSC下 页上 页零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应S(t=0)USC+RuC (0)=U0+S(t=0)USC+RuC (0)=U0S(t=0)USC+RuC (0)= 0返 回3. 3. 三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路下 页上 页返 回全响应总是由初始值、特解和时间常数三个要素决全响应总是由初始值、特解和时间常数三个要素决

27、定的。定的。在直流电源激励下，若初始值为在直流电源激励下，若初始值为f(0+)，特解为稳定，特解为稳定解解 时间常数为时间常数为 ，则全响应，则全响应f(t)可写为可写为)(fteftf)(f)0()(f)(用用0+等效电路求解等效电路求解 时间常数时间常数初始值初始值稳态解稳态解三要素三要素 f f )0()(用用t的稳态的稳态电路求解电路求解 如果电路中仅含一个储能元件（如果电路中仅含一个储能元件（L或或C），电），电路的其他部分由电阻和独立电源或受控源连路的其他部分由电阻和独立电源或受控源连接而成，这种电路仍是一阶电路。在求解这接而成，这种电路仍是一阶电路。在求解这类电路时，可以类电路时

28、，可以把储能元件以外的部分，应把储能元件以外的部分，应用戴维宁定理或诺顿定理进行等效变换，然用戴维宁定理或诺顿定理进行等效变换，然后求得储能元件上的电压和电流，后求得储能元件上的电压和电流，如果还要如果还要求其它支路的电压和电流，则可以按照变换求其它支路的电压和电流，则可以按照变换前的原电路进行。前的原电路进行。(a)例7-4 图7-15(a)所示电路中，Us=10V,Is=2A,R=2,L=4H。试求S闭合后电路中的电流iL和i。解：戴维宁等效电路如图(b)所示,其中VVRIUUssoc6)2210(2RReqAiiLL2)0()0(_AAiL326)(sRLeq2AeAeittL)53()

29、 32(35 . 021电流i可以根据KCL求得为AeiIitLs)55(5 . 0(a)例7-4 图7-15(a)所示电路中，Us=10V,Is=2A,R=2,L=4H。试求S闭合后电路中的电流iL和i。sCReq2Vetutc5 . 07)(例7-5 图7-16所示电路中，开关S闭合前电路已达稳定，t=0时S闭合，求t=0时电容电压的零状态响应，零输入响应和全响应。图7-15(1) uc(0)=-7V(2) 电容以外等效戴维宁uoc和Req Uoc=3.5V,Req=4(3)时间常数(4)零输入Vetutc)1 (5 . 3)(5 . 0Vetutc)5 .105 . 3()(5 . 0零

30、状态全响应例7-5 图7-16所示电路中，开关S闭合前电路已达稳定，t=0时S闭合，求t=0时电容电压的零状态响应，零输入响应和全响应。图7-15例7-5 图7-16所示电路中，开关S闭合前电路已达稳定，t=0时S闭合，求t=0时电容电压的零状态响应，零输入响应和全响应。Vetutc5 . 07)(4)零输入零状态Vetutc5 . 07)(4)零输入Vetutc)1 (5 . 3)(5 . 0零状态Vetutc5 . 07)(4)零输入(1) uc(0)=-7V(2) 电容以外等效戴维宁uoc和Req Uoc=3.5V,Req=4(3)时间常数(1) uc(0)=-7V(2) 电容以外等效戴

31、维宁uoc和Req Uoc=3.5V,Req=4(3)时间常数(1) uc(0)=-7V(2) 电容以外等效戴维宁uoc和Req Uoc=3.5V,Req=4(3)时间常数(4)零输入Vetutc5 . 07)(4)零输入零状态Vetutc5 . 07)(4)零输入Vetutc)1 (5 . 3)(5 . 0零状态Vetutc5 . 07)(4)零输入图7-15例7-5 图7-16所示电路中，开关S闭合前电路已达稳定，t=0时S闭合，求t=0时电容电压的零状态响应，零输入响应和全响应。7.5 7.5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应uC(0+)=U0 i(0+)=002CCCutuRC

32、tuLCdddd已知：已知：1. 1. 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应以电容电压为变量：以电容电压为变量：电路方程：电路方程：0CLuuRitiLutuCiLCdddd RLC+-iuc初始条件：初始条件：uC(0+)=U0i(0+)=0 00tCtudd012 RCPLCP特征方程：特征方程：电路方程：电路方程：02CCCutuRCtuLCdddd2. 2. 零状态响应的三种情况零状态响应的三种情况二二个个不不等等负负实实根根 2CLR 二二个个相相等等负负实实根根 2CLR 二二个个共共轭轭复复根根 2CLR LCLRRP2/42过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼LCLRLR1)2(22特征根：特征根： 2 ) 1 ( CLR 2121Ctt