微机原理 第二章 计算机中数据的表示

1、第第2章章 计算机中数据的表示计算机中数据的表示青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院数值数据在计算机中的表示：n进制表示法n定点数与浮点数表示法n机器数的表示法青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院2.1 数制及其转换数制及其转换（1）基数：）基数：是指用来表示数据的数码的个数，超过（等于）此数后就要向相邻高位进一。例如，二进制中，只使用了例如，二进制中，只使用了0，1两个数码，所以基数为两个数码，所以基数为2。（2）位权：）位权：同一数码处在数据的不同位置时所代表的数值是不同的，它所代表的实际值等于数字本身的值乘上一个确定的与位置有关的系数，这个系数则称为位权位权，位权是以基数位权是以

2、基数为底的指数函数。为底的指数函数。例如，在二进制中位权为例如，在二进制中位权为 。i2补充补充: :三个重要的概念三个重要的概念（3 3）进位与借位：）进位与借位：在由左至右排列起来的数列中，其中左边为高位，右在由左至右排列起来的数列中，其中左边为高位，右边为低位，关系是边为低位，关系是逢逢N N进进1 1、借、借1 1当当N N。例如，二进制中，。例如，二进制中，是逢是逢2 2进进1 1、借、借1 1当当2 2。青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院数码为：数码为：0 09 9；基数是基数是1010。用字母。用字母D D表示表示运算规律：逢十进一，即：运算规律：逢十进一，即：9 91 1

3、1010。十进制数的权展开式：十进制数的权展开式：Dki10i一、十进制 (143.75)D =1102+4101+3100+710-1+510-2 若在数字电路中采用十进制必须要有十个电路若在数字电路中采用十进制必须要有十个电路状态与十个计数码相对应。将在技术上带来许多困状态与十个计数码相对应。将在技术上带来许多困难，很不经济难，很不经济。计算机中常用的进制计算机中常用的进制青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院数码为：数码为：0 0、1 1；基数是基数是2 2。用字母。用字母B B表示表示运算规律：逢二进一，即：运算规律：逢二进一，即：1 11 11010。二、二进制二进制数的权展开式：

4、二进制数的权展开式：(101.11)(101.11)B B 1 12 22 2 0 02 21 11 12 20 01 12 21 11 12 22 2 (5.75)(5.75)D D各数位的权是的幂各数位的权是的幂青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院二进制运算法则例题：二进制运算法则例题：加法运算：0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=10（逢2进1）减法运算：0-0=0；10-1=1（借1当2）；1-0=1；1-1=0乘法运算：00=0；01=0；10=0；11=1青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院数码为：数码为：0 07 7；基数是；基数是8 8。用字母。用字母O O表示

5、表示运算规律：逢八进一，即：运算规律：逢八进一，即：7 71 11010。八进制数的权展开式：八进制数的权展开式：Dki8i三、八进制(207.04)O 282 0817800814 82 (135.0625)D各数位的权是各数位的权是8 8的幂的幂青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院数码为：数码为：0 09 9、A AF F；基数是；基数是1616。 用字母用字母H H来表示来表示运算规律：逢十六进一，即：运算规律：逢十六进一，即：F F1 11010。十六进制数的权展开式：十六进制数的权展开式：Dki16i四、十六进制(2A.7F)(2A.7F)H H 2 216161 1101016

6、160 07 716161 11516162 2(42.4960937)(42.4960937)D D各数位的权是各数位的权是1616的幂的幂青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院一、二十转换一、二十转换方法：方法：将二进制数按权展开再相加，即可以转换为十进将二进制数按权展开再相加，即可以转换为十进制数。制数。2.1.3 不同数制间的转换（1011.01）B 1 23 022 121120021122 （11.25）D青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院二、十二转换二、十二转换方法一方法一 基数连除、连乘法基数连除、连乘法将整数部分和小数部分分别进行转换。 整数部分-除基数2逆取余数法;

7、 小数部分-乘基数2顺取整数法。合并合并例：例：(44.375)(44.375)D D( )( )B B青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院整数部分整数部分:基数连除，基数连除，取余数自下而上取余数自下而上. 2 44 余数 低位 2 22 0=K0 2 11 0=K1 2 5 1=K2 2 2 1=K3 2 1 0=K4 0 1=K5 高位 0.375 2 整数 高位 0.750 0=K1 0.750 2 1.500 1=K2 0.500 2 1.000 1=K3 低位小数部分小数部分:基数连乘，基数连乘，取整数自上而下取整数自上而下.所以：所以：(44.375)(44.375)D D(

8、101100.011)(101100.011)B B青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院方法方法二：降幂比较法：降幂比较法 要求熟记要求熟记 20 210 的数值的数值 。202122232425262728292101248163264128 256 512 1024157) 12829) 16) 85272413) 411232220) 0715712824291623138225420112 B( 157 )( )D10011101青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院三、二十六转换三、二十六转换 将二进制数由小数点开始，整数部分向左将二进制数由小数点开始，整数部分向左, ,小小数

9、部分向右，数部分向右，每每4 4位分成一组位分成一组，不够，不够4 4位补零，位补零，则每组二进制数便是一位十六进制数。则每组二进制数便是一位十六进制数。( 1 0 1 1 1 1 0. 1 0 1 1 0 0 1 )B00 =(5E.B2 )H青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院=(1000 1111 1010.1100 0110)B 四、四、十六十六二二转换转换方法：将每位十六进制数用方法：将每位十六进制数用4 4位二进制数表示。位二进制数表示。( 8 F A . C 6)H青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院五、五、八进制数与二进制数的八进制数与二进制数的转换转换二进制数与八进制

10、数的相互转换，按照每二进制数与八进制数的相互转换，按照每3 3位二进制数对应于一位八进制数进行转换。位二进制数对应于一位八进制数进行转换。（ 1 1 0 1 0 1 0 . 0 1 )1 1 0 1 0 1 0 . 0 1 )B B (152.2)(152.2)O O000(374 .26)O= =（ 011 111 100 . 010 110011 111 100 . 010 110）B B青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院六、六、十六进制数与十进制数的十六进制数与十进制数的转换转换 将十六进制数转换成十进制数时，按权展将十六进制数转换成十进制数时，按权展开再相加即可。开再相加即可。

11、将十进制数转换成十六进制数时，可先将十进制数转换成十六进制数时，可先转换成二进制数，再将得到的二进制数转转换成二进制数，再将得到的二进制数转换成等值的十六进制数。换成等值的十六进制数。青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院进制间的转换进制间的转换十进制十进制八进制八进制二进制二进制十六进制十六进制一位3分3位一合4位一合一位4分按权展开除2取余，乘2取整除8取余，乘8取整除16取余，乘16取整按权展开按权展开青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院 带符号数和无符号数带符号数和无符号数 对于整数来说最高有效位为符号位，则该数为带符号数；反之，若数的最高有效位为数值位，则为无符号数。 机器数的

12、表示机器数的表示 在最高符号位以0表示正数的符号，以1表示负数的符号，并且每一位的数值也用0或1表示，这样的数叫机器数。把对应于该机器数的数值叫真值。例如：+120=01111000 - 120=11111000青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院 机器数的范围：由计算机的机器数的范围：由计算机的CPU字长来决定字长来决定。当使用当使用8位寄存器时，字长为位寄存器时，字长为8位，所以一个无符号整数位，所以一个无符号整数的最大值是：的最大值是：（11111111）B=（255）D，此时机器数的范围是此时机器数的范围是0255。当使用当使用16位寄存器时，字长为位寄存器时，字长为16位，所以一

13、个无符号整位，所以一个无符号整数的最大值是：数的最大值是：（1111111111111111）B=（FFFF）H=（65535）D，此此时机器数的范围是时机器数的范围是065535。 青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院（1）原码：规定正数的符号位为）原码：规定正数的符号位为0，负数的符号位为，负数的符号位为1，其它，其它位按照一般的方法来表示数的绝对值。用这样的表示方法得到的位按照一般的方法来表示数的绝对值。用这样的表示方法得到的就是数的原码。就是数的原码。例如：当机器字长为例如：当机器字长为8位二进制数时：位二进制数时： X1011011 X原码原码01011011 Y1011011

14、Y原码原码11011011原码表示的整数范围是（原码表示的整数范围是（2n-11）（2n-11），），其中其中n为为机器字长。机器字长。通常：通常：8位二进制原码表示的整数范围是位二进制原码表示的整数范围是127127， 16位二进制原码表示的整数范围是位二进制原码表示的整数范围是3276732767。 n常用的机器数编码方案有：原码、反码和补码常用的机器数编码方案有：原码、反码和补码0的原码有两种的原码有两种青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院（2）反码：对于一个带符号的数来说，）反码：对于一个带符号的数来说，正数正数的反码与其原码相的反码与其原码相同，同，负数负数的反码为其原码除符号位

15、以外的各位按位取反。的反码为其原码除符号位以外的各位按位取反。例如：当机器字长为例如：当机器字长为8位二进制数时：位二进制数时： X1011011 X原码原码01011011 X反码反码01011011 Y1011011 Y原码原码11011011 Y反码反码10100100原码是最基本的码制，用原码在计算机上运算时，首先要判原码是最基本的码制，用原码在计算机上运算时，首先要判断数据的符号，然后才能进行运算，这将增加机器的复杂程度断数据的符号，然后才能进行运算，这将增加机器的复杂程度和运算时间。为此引入了反码和补码。（是在原码求补码的过和运算时间。为此引入了反码和补码。（是在原码求补码的过程中

16、产生的中间码）程中产生的中间码）青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院（3）补码：正数的补码与其原码相同，负数的补码为其）补码：正数的补码与其原码相同，负数的补码为其反码在最低位加反码在最低位加1。例如：例如： X1011011 X原码原码01011011 X补码补码01011011 Y1011011 Y原码原码11011011 Y反码反码10100100 Y补码补码10100101补码表示的整数范围是补码表示的整数范围是2n-1（2n-11），），其中其中n为机为机器字长。器字长。则：则：8位二进制补码表示的整数范围是位二进制补码表示的整数范围是128127， 16位二进制补码表示的整数范

17、围是位二进制补码表示的整数范围是3276832767。 0的补码是唯一的。的补码是唯一的。青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院舍去计算(1001)2-(0101)2 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 补码 补码 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0二进制减运算可以用加法运算来实现。减法变加法例例青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院例1.4.1 写出带符号位二进制数00011010(+26)、10011010(-26)、00101101(+45)和10101101(-4

18、5)的反码和补码。 原原 码码00011010100110100010110110101101 反反 码码00011010111001010010110111010010 补补 码码00011010111001100010110111010011青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院n(1)比较比较正数它们都等于真值本身，而对于负数各有不同的表示。正数它们都等于真值本身，而对于负数各有不同的表示。最高位都表示符号位，补码和反码的符号位可作为数值最高位都表示符号位，补码和反码的符号位可作为数值位的一部分看待，和数值位一起参与运算；但原码的符位的一部分看待，和数值位一起参与运算；但原码的符号位不

19、允许和数值位同等看待，必须分开进行处理；号位不允许和数值位同等看待，必须分开进行处理；对于真值对于真值0：原码和反码各有两种不同的表示形式，而：原码和反码各有两种不同的表示形式，而补码只有惟一一种表示形式；补码只有惟一一种表示形式；原码、反码表示的正、负数范围相对原码、反码表示的正、负数范围相对0来说是对称的；来说是对称的；但补码负数表示范围较正数表示范围宽，能多表示一个但补码负数表示范围较正数表示范围宽，能多表示一个绝对值最大的负数，其值等于绝对值最大的负数，其值等于- 2n （纯整数）或（纯整数）或-1（纯（纯小数）；小数）；n(2)转换：书上的题！转换：书上的题！青岛理工大学琴岛学院青岛

20、理工大学琴岛学院例1：用补码运算求120-63+120补=01111000 1 +63补=00111111-63补=110000012 做加法：1 + 2结果为正数，即为57D例2：用补码运算求64+6564补=01000000 1 65补=01000001 2 做加法： 1 + 2结果为10000001为负数了，产生了错误，为什么？青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院（4）补码与真值之间的转换：给定机器数的真值可以通过补码的定义来完成真值到补码的转换，若已知某数的补码求其真值，计算方法如下：正数补码的真值等于补码的本身；负数补码转换为其真值时，将补码按位求反末位加1，即可得到该负数补码对

21、应的真值。青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院由补码转换成原码由补码转换成原码青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院【例】 给定 X补码01011001B，求真值X； 给定X补码11011010B，求真值X。（1）由于X补码代表的数是正数，则其真值：X1011001B （126124123120） （641681） （89）D（2）由于X补码代表的数是负数，则其真值：X（1011010求反1）B （01001011）B （0100110）B （125122121） （3242） （38）D 青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院真 值原码反码补码+127+1+0-0-1-127-128

22、0111 11110000 00010000 00001000 00001000 00011111 1111不能表示不能表示0111 11110000 00010000 00001111 11111111 11101000 0000不能表示不能表示0111 11110000 00010000 00000000 00001111 11111000 00011000 0000青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院 数据格式：数据格式：定点格式定点格式和和浮点格式浮点格式 在机器中，小数点的位置通常有两种约定，在机器中，小数点的位置通常有两种约定，一种规定小数点的位置固定不变，这时的机一种规定小数

23、点的位置固定不变，这时的机器数称为器数称为“定点数定点数”；另一种规定小数点的；另一种规定小数点的位置可以浮动，这时的机器数称为位置可以浮动，这时的机器数称为“浮点数浮点数”。青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院定点数表示法定点数表示法在计算机内部，符号位由二进制表示，而小数点不占位数，是采用人为约定的方法。根据小数点位置不同，有两种定点数：定点整数和定点小数。1、定点整数：约定小数点在数值位的最低位之后，此时计算机中所表示的数一律为整数。定点整数又被划分为带符号和不带符号的两类。青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院带符号整数带符号整数：某n位二进制数，最高位为符号位，其他N-1位为数

24、值部分。n位带符号二进制数可表示的数值范围为|N|2n-1 - 1 Nf Nn-2 Nn-3 N2 N1 N0符号位 数值部分（n-1位） 小数点位置无符号整数无符号整数：所有的数位都用来表示数值。n位无符号二进制数可表示的数值范围为0|N|2n - 1 Nn-1 Nn-2 Nn-3 N2 N1 N0小数点位置青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院2、定点小数：用最高位表示符号，其他n-1位二进制数表示数值部分，将小数点定在数值部分的最高位左边。则n位二进制数所表示的数值范围为|N| 1 2(n-1) Nf Nn-2 Nn-3 N2 N1 N0小数点位置 数值部分（n-1位）青岛理工大学琴岛

25、学院青岛理工大学琴岛学院浮点数通常的格式：浮点数通常的格式：N=N= S 其中，其中，N为浮点数或实数；为浮点数或实数；S尾数，是一个纯尾数，是一个纯小数小数，决定了数值的精度，即有效位数；，决定了数值的精度，即有效位数；Sf数符，数值的符号位；数符，数值的符号位；E称为浮点数的指数，是一个称为浮点数的指数，是一个整数整数（通常叫做阶码（通常叫做阶码）；）；Ef阶符，一位，表示阶码的符号；阶符，一位，表示阶码的符号；R是基数（为常数）是基数（为常数）ER浮点数表示法浮点数表示法 Ef E(m位) Sf S(n位)阶码部分 尾数部分 计算机内部浮点数格式计算机内部浮点数格式阶码尾数底（基数）青岛

26、理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院例如：例如：0.0001111，规格化表示为：，规格化表示为：0.11112-3。其操作为：尾数左移其操作为：尾数左移3次，阶码减次，阶码减3满足：0.5 |S| 1的数特征：对于原码表示的尾数，数值位的最高位应为1，而对于补码表示的尾数，正数数值位的最高位S1=1，负数数值位的最高位S1=0(S=-0.5例外)。意义：在于尾数的有效位被充分利用，使表示的数值尽可能高。1、规格化浮点数青岛理工大学琴岛学院青岛理工大学琴岛学院2、数值精度与范围浮点数实际由两个定点数组成：（1）在机内表示中，阶码是一个定点整数，用于指出小数点在数据中的位置，它的位数m决定了浮点数的表示范