振动与波习题(031220)

1、一、谐振子谐振子1、运动学特征：、运动学特征：)1()tcos(A)tT2cos(A) t ( x A：振幅振幅T: 周期周期T 2 ：圆频率圆频率 : 初相初相, t0 时刻的位相。时刻的位相。)( t: 相位，它是反映质点在相位，它是反映质点在t时刻振动时刻振动状态的物理量。状态的物理量。振动振动A、f f由初始人为条件决定。由初始人为条件决定。0022020 xvtgvxA 由（由（1）：）：)2()tsin(Adtdxv (3) t cos(Adtdva2由（由（3）：）：xa2 2、动力学特征、动力学特征0 xdtxd222 （弹簧振子：（弹簧振子： ）mk2 3、能量特征、能量特征

2、0kxdtdvmkxmaf 由由方程两边同乘方程两边同乘dx:0kxdxmvdv0kxdxdxdtdvm constkx21mv210)kx21mv21(d2222 二二、描述谐振动的物理量、描述谐振动的物理量1 、振幅、振幅A：对一定的谐振动系统是确：对一定的谐振动系统是确定的，不依赖于定的，不依赖于时间零点时间零点的选取。的选取。2 、周期、频率和圆频率、周期、频率和圆频率：它们与谐振动：它们与谐振动系统本身的系统本身的固有性质固有性质有关。有关。例：弹簧振子：例：弹簧振子： mk21km2Tmk 3 、相位和初相、相位和初相)( t: 相位，反映质点在相位，反映质点在t时刻振动状态时刻振

3、动状态（位移、速度）（位移、速度） : 初相初相, t0 时刻的振动状态（位移、速度）时刻的振动状态（位移、速度）0022020 xvtgvxA & A并不唯一只能由上式决定。并不唯一只能由上式决定。22222020vxvxA &两同频率的谐振动在任意时刻的相位差：两同频率的谐振动在任意时刻的相位差： 反相反相同相同相和振动和振动振动振动落后落后超前超前比振动比振动振动振动)1 ,0k()1k2()1 ,0k(k20012 1212三、描述谐振动的方法三、描述谐振动的方法1、函数表示法、函数表示法 2、图线表示法、图线表示法3、旋转矢量法、旋转矢量法四、谐振动的合成四、谐振动的

4、合成 同方向、同频率的谐振动的合成：同方向、同频率的谐振动的合成：2211221112212221cosAcosAsinAsinAtgcos(AA2AAA 一、描述波动的物理量一、描述波动的物理量2、波长、波长 3、波速、波速 4、波速、波速u与与l l、T T的关系：的关系：Tul l 二、平面简谐波波动方程二、平面简谐波波动方程1、周期和频率、周期和频率（由振源决定，与介质无关）（由振源决定，与介质无关）波动波动)cos(tAy设：原点的振动方程设：原点的振动方程)xTt(2cosA)uxt (cosAy l l 波沿波沿x轴负向传播：轴负向传播：)xTt(2cosA)uxt (cosAy

5、 l l 波沿波沿x轴正向传播：轴正向传播：三、描述波动的方法三、描述波动的方法1、数学表示法：（波动方程）、数学表示法：（波动方程）2、几何表示法：波线、波面、波前、几何表示法：波线、波面、波前3、图线表示法：、图线表示法：yt 、 yx四、波的干涉四、波的干涉1、相干条件、相干条件：频率相同、振动方向相同、频率相同、振动方向相同、 恒定位相差。恒定位相差。2、干涉加强、减弱条件：、干涉加强、减弱条件：)rt(2cosAy1111 l l )rt(2cosAy2222 l l cosAA2AAA212221 )rr2(1212l l l l l l 2rr2,1212 时当 2121AAA2

6、)1k2(AAAk减弱加强l ll l 例题例题1：一质点作简谐振动，一质点作简谐振动， =4 rad/s ,振幅振幅A=2cm. 当当t=0时时,质点位于质点位于x=1cm处处,并且向并且向x轴轴正方向运动正方向运动,求振动表达式求振动表达式.321cos1x, 0t 得得：由由解法解法1:用解析法求解用解析法求解)t4cos(2)tcos(Ax 设设)cm()3t4cos(2x30sin0sinA)tsin(Adtdxv0t 得得：由由解法解法2:用矢量图法求解用矢量图法求解AB12O作半径为作半径为2cm的圆的圆,由由t=0时时,质点位于质点位于x=1cm处处,)cm()3t4cos(2

7、x3 并且向并且向x轴正方向运动轴正方向运动得得,初始时刻旋转矢量初始时刻旋转矢量端点位于图中端点位于图中B处处,故故初相为初相为 x例题例题2：一质点作周期为一质点作周期为T T的简谐振动，质的简谐振动，质点由平衡位置正方向运动到最大位移一半点由平衡位置正方向运动到最大位移一半处所需的最短时间为处所需的最短时间为A A）T/2 T/2 （B B）T/4 T/4 C)T/8 C)T/8 （D D）T/12T/12解解:用矢量图法求解用矢量图法求解A/2AOM=t= /6 =2 /T t=T/12Nx例例3.3.一物体作简谐振动，其振幅为一物体作简谐振动，其振幅为24cm24cm，周期，周期为为

8、4s4s，当，当t=0t=0时，位移为时，位移为12cm 12cm 且向且向x x轴负方轴负方向运动，求向运动，求1)1)简谐振动方程简谐振动方程2)2)物体由起始位置运动到物体由起始位置运动到x=0 x=0处所需的最短时处所需的最短时间间. .解解1)1) A=0.24m, T=4s, =2 /T= /2)m()t2cos(24. 0)tcos(Ax )m()32t2cos(24. 0 x 用旋转矢量法求用旋转矢量法求 作半径为作半径为A=0.24mA=0.24m的参考圆的参考圆对应于对应于 x x0.12m0.12m、V V0 0的振动状态为图中的振动状态为图中a a，相应的初相为相应的初

9、相为 2 2 /3/3a v0-0.24-0.120 x 由于求的是从由于求的是从a a状状态运动到态运动到x=0 x=0处所需处所需的最小时间，所以末的最小时间，所以末状态应选状态应选b;b;解解2)2) 如图所示，对应于如图所示，对应于x=0 x=0，在图中有，在图中有b b、c c两个可能的状态两个可能的状态. .由图可得，初、末两状态由图可得，初、末两状态位相差为位相差为 = 5/6= 5/6，故故 t tminmin /= 5/3/= 5/3（s).s).a-0.240 xbc例题例题4 一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的衡位置

10、的位移的大小为振幅的1/4时，其动能时，其动能为振动总能量的为振动总能量的 A）1/4 B）3/4 C）1/16 D）15/16解：解：总总总总总总E1615EEEE161kA16121kx21EA41xpk22p 1. 一弹簧振子，弹簧的倔强系数为一弹簧振子，弹簧的倔强系数为0.32N/m，重物的质量为重物的质量为0.02kg，则这个系统的固有频率，则这个系统的固有频率为为_,相应的振动周期为相应的振动周期为_。解：解：Hzmkmk64. 0212 5 . 02 T 2. 一质点作简谐振动，速度的最大值一质点作简谐振动，速度的最大值Vm=5cm/s,振幅振幅A=2cm。若令速度具有正最大。若

11、令速度具有正最大值的那一时刻为值的那一时刻为t=0,求振动表达式。求振动表达式。cmtx)225cos(2 解：解：Ot=0255 AVm)tcos(2x 3.一简谐振动的振动曲线如图，求此振动的一简谐振动的振动曲线如图，求此振动的周期。周期。xt5-A/2-A解：解：Ot=0t=5 = /3+ /2=5 /6=t=5 = /6 =2 /T T=12s 4. 一质点作简谐振动，其振动方程为一质点作简谐振动，其振动方程为 （SI）试用旋转矢量法）试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到求出质点由初始状态运动到 x=-0.12m, v0XyoAP传播方向传播方向2)P点点 的振动方程的振动方程x=0

12、.5代入代入)m)(2t2cos(2 . 0)2t2cos(2 . 0y )222cos(2 . 0 xty得：得：例题例题2. 一平面简谐波以波速一平面简谐波以波速u=0.5m/s沿沿x轴负轴负方向传播方向传播, t=2s时刻的波形如图所示时刻的波形如图所示, 求波动求波动方程方程.x(m)y(m)o0.512ux(m)y(m)o0.512u由图可得由图可得:l l=2m, A=0.5m =2= 2 u/ l l= /2)xt2cos(5 . 0)x2t2cos(5 . 0y l l 设波动方程为设波动方程为: 待定待定)x2tcos(Ay l l 解：解：)xt2cos(5 . 0y 由由

13、t=2,x=0,y=0 得得:2, 0)cos( 由由v0得得:x(m)y(m)o0.512ut=2s22, 0)sin( )m)(2xt2cos(5 . 0y 波动方程为波动方程为: 的确定的确定 也可根据也可根据图中图中1或或2的运动状的运动状态确定态确定.例题例题3. 位于位于A、B两点的两个波源，振幅相等，两点的两个波源，振幅相等，频率都是频率都是100赫兹，相位差为赫兹，相位差为 ，其，其A、B相距相距30米，米，波速为波速为400米米/ /秒，求秒，求: :A、B连线之间因相干干涉而连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。静止的各点的位置。解：解：如图所示，取如图所示，取A点为坐标原

14、点，点为坐标原点，A、B联线为联线为X轴，取轴，取A点的振动方程点的振动方程 : :)cos( tAyA在在X轴上轴上A点发出的行波方程：点发出的行波方程：)2cos(l l xtAyA B点的振动方程点的振动方程 : :) 0cos(tAyBBAXxm30 x30O在在X轴上轴上B B点发出点发出的行波方程：的行波方程：)30(20coslxtAyB两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干静止的点满足：两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干静止的点满足：BAXxm30 x30O l l ) 12()(2)(121020 krrl) 12()30(2kxx,.2, 1, 0 klkx 230

15、化简后化简后或或lkx230lkx 230mu4 l l因为因为：,.2, 1, 0215 kkxmx29,27,25,.9 ,7 ,5 ,3 , 1 BAXxm30 x30O1,3,5,7,9,11,13,1529,27,25,23,21,19,17,15 xx 1. 图为沿图为沿x轴正方向传播的平面简谐波在轴正方向传播的平面简谐波在t=0时时刻的波形。刻的波形。 若波动方程以余弦函数表示，求若波动方程以余弦函数表示，求O点处质点振动的初相位。点处质点振动的初相位。解解:yot=02 f f t=0,x=0,y=0,dy/dt0 xyo2.频率为频率为100Hz,传播速率为传播速率为300m

16、/s的平面简的平面简谐波，波线上两点振动的位相差为谐波，波线上两点振动的位相差为 /3，则此，则此两点相距两点相距 A）2m B)2.19m C)0.5m D）28.6m3x2 l l 解解:)m(5 . 0u616x l l 在在 时刻时刻 与与 两点处质点速度之比是两点处质点速度之比是 A) 1 B) -1 C) 3 D) 1/3 3. 一平面简谐波的波动方程为一平面简谐波的波动方程为解解:4/2l l x4/31l l x)/(2cosl l xtAy /1 t)/xt(2sinA2dtdyVl l )/x1(2sinA21tl l 1)2/3sin()2/sin()/x1(2sin)/

17、x1(2sinVV2121 l l l l 4. 当一平面简谐机械波在弹性媒体中传播当一平面简谐机械波在弹性媒体中传播时下述结论哪个正确？时下述结论哪个正确？A）媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能）媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒减小，总机械能守恒.B）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周 期性变化，但两者相位不相同期性变化，但两者相位不相同.D）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大.C）媒质质元的振动动能和弹性势能的相位）媒质质元的振动动能和弹性势能的相位 在任一时刻都相同，但两者数值不同在任一时刻都

18、相同，但两者数值不同. 5. 如图所示为一平面简谐波在如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形时刻的波形图，设此简谐波的频率为图，设此简谐波的频率为250Hz，且此时质点，且此时质点P的运动方向向下，求该波的波动方程的运动方向向下，求该波的波动方程. X (m)Y(m)o-APA22100解解: =2=500 l l=200m轴传播轴传播XP X (m)Y(m)o-APA22100)x2tcos(Ay l l )100 xt500cos(Ay 设波动方程为设波动方程为22cosA22y, 0 x, 0t 的取舍的取舍 4)SI)(4100 xt500cos(Ay X (m)Y(m)o-APA2

19、210040v 4 yo * 6. 如图所示，原点如图所示，原点O是波源，振动方向垂直纸面，是波源，振动方向垂直纸面，波长为波长为l l , AB为波的反射平面，反射时无半波损失。为波的反射平面，反射时无半波损失。O点位于点位于A点的正上方，点的正上方，AO= h ,OX轴平行于轴平行于AB。求。求OX轴上干涉加强点的坐标轴上干涉加强点的坐标(限于限于x 0)。 OXhABl l kxhx 22)2(2)2.2 , 1(2)(422l ll ll lhkkkhx 解解:7. 一平面简谐波沿一平面简谐波沿x轴负方向传播轴负方向传播, t时刻的波时刻的波形如图所示形如图所示, 则则 t+T/4 时刻时刻x轴上的轴上的1，2，3三三点的振动位移分别是点的振动位移分别是（A）A，0，-A； （B）-A，0，A；（C）0，A，0； （D）0，-A，0。xyoA13u-A2左移T/4B1S2S4/3l l8、1S如图如图 ， 和和 是两个相干波源，相距是两个相干波源，相距 ， 若两波在若两波在 、 连线上传播，振幅均连线上传播，振幅均 为为A ，已，已知在知在 该该 连线上连线上 左侧各点的合成波的强度为其中左侧各点的合成波的强度为其中一个波的强度的一个波的强度的 4 倍