水平集方法简介

1、水平集方法演讲者：? 指导教师：?拓扑优化简介n目的：在一定的外力和约束作用下，寻找具有最佳传力路径的结构布置形式。n方法：将设计域划分为有限个单元，依据一定的算法删除部分区域形成带孔的连续体，实现连续体的拓扑有化。在拓扑优化中，采用各种惩罚措施来压缩中间密度材料，进而删除部分区域，根据惩罚措施不同进而衍生出均匀化方法,变密度方法等。n缺陷：由于栅格模型本身原因，得到最优结构边界是一种锯齿形边界，为了得到光滑的边界，不得不再进行形状优化，采用一种映射关系，把栅格模型转化为一种光滑曲面模型，但是这种映射关系处理不是很容易，而且计算量也比较大。在描述结构几何形状信息时，边界的位置形状，法向量和边界

2、的曲率不能直接表示出来。n解决措施：提出面向结构几何形状描述的方法，即引入一种描述结构拓扑形状的隐式函数即：水平及函数，用它的零水平集来描述结构的边界，然后通过目标函数和约束函数的敏度分析来改变水平集函数的取值以得到不断变化的结构拓扑形状。水平集方法简介1.水平集定义（用数学方法解释）： 一条平面封闭曲线可隐式表示为一个二维函数的水平集（线）即将其看作三维曲面 与平面 的交线。随时间 变化的平面封闭曲线可表示为：可看作随时间 变化的三维曲面簇 与平面 相交得到的水平集（线）2.水平集方法处理的核心思想： 把 n 维描述视为高一维（n+1）维的水平集，或者说是把n维描述视为有 n 维变量的水平集

3、函数 u 的水平集。这样一来就把( , ), ( , )Cx y u x yc( , )uu x yuct( )( , ), ( , , )C tx y u x y tct( , , )uu x y tuc求解n维描述的演化过程转化为求解关于有n维变量的水平集函数u的演化所导致的水平集的演化过程。其要点是通过这种变化，引入了变中的相对不变：水平集函数u的水平c不变。我们把这种变中的相对不变叫做泛对称。引入了泛对称，就引入了规律，而引入了规律就能推演出水平集在此规律下各种具体条件而演化的具体演化方程。实例：通过把二维平面曲线嵌入到三维曲面，将平面闭曲线演化的问题转化为三维曲面的演化。优点：可以方

4、便的处理曲线演化时拓扑结构的变化t=0t=13.水平集方法的基本方程： 考虑零水平集 所对应的水平集函数 ，则有 （4-1） 对方程（4-1）两边求关于时间的偏导数，有 （4-2） 假设F为外法向方向的速度，那么这其中因此，我们便得到基本方程式 （4-3）( )x t( ( ), )0 x t t( ( ), )0 xx t tttxnFt / |n | 0Ft曲线就是根据方程（4-3）进行演化，且几何形状的变化只与运动速度（即（4-3）中的F有关）。注： 为法向方向， 梯度算子（在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率 ） F为边界法向速度。演化实例如图

5、所示：n4.水平集的一般性算法： （1）设定水平集函数的初态； （2）确定速度F的形式； （3）按基本方程推演水平集函数的各状态； （4）对于每一水平集函数的状态求解水平集。优化的过程可以被认为是让F成为一个有优化目标函数驱动的水平集函数面上点的移动过程。优化的关键是找到合适的法向速度F,使得在该速度场的驱动下得到考虑目标函数和约束条件的最优拓扑结构。水平集拓扑优化的实例一.分析思想： 一般情况下是以结构柔顺度最小作为目标函数，实体材料所占的体积为约束条件。二.1.隐式边界模型建立： 定义一个足够大的固定的参考域 ，以使它完全包含被优化的结构 ，即 ，结构边界表面 隐含地定义为嵌入的函数 的一

6、个等值表面，即 ，用符号距离函数 来定义边界的内外区域内外区域，如下所示：DDDDD( )x |,( )0Dx xDx( )x( , )0( , )0( , )0 x txDDx txDx txD D 对 通过链导法求导则可以得到如下水平集函数演化方程：隐含在水平集函数 （即符号距离函数）中的零水平集方零水平集方程程为：2.拓扑优化模型的建立：以结构最小化拓扑优化问题的数学模型如下所示： （2-1）( , )x t( , )| 0 x tFt ( , )x t( ) |( , )0txx t01min:( ,)( )( )()2DJ uu Eu Hd max1:( )( )()2V()DDDD

7、stu Eu HdpududHdV 对于上面问题，采用增广拉格朗日方法，将体积约束作为一个惩罚项施加在目标函数上得： 是拉格朗日乘子，在一个迭代步中通过一定值 来求解上式，然后更新 并检查是否收敛。3.形状灵敏度分析（关键的一步）（关键的一步） 结合水平集方法进行结构拓扑优化，目标函数对形状的导数已经不是目标函数关于某个变量的变分，而是目标函数关于当前几何形状的变分，通过同胚映射，把原本的几何域通过微小振动映射到另一几何域。定义映射 和形状导数，映射前的区域为 经过映射后的区域为 ，表达式如下： 对于 应用泰勒级数展开式，省略高阶项，有： 20maxmin:( ,)( ,)()DJ uJ uH

8、dV ( , )Tp( , ):TppppD () 为无穷小量( )( , )( )pTppp4.水平集方程求解求得水平集速度后，带到水平集方程，用数值差分格式进行求解：12222 1/22222 1/2max(,0)min(,0)max(,0)min(,0)max(,0)min(,0) max(,0)min(,0)max(,0)min(,0) nnijijijijxxyyijijijijxxyyijijijijtFFDDDDDDDD 式中的 是形状变化的速度，也可以认为是材料在时间 经过 点时的速度。在上面定义的映射下，给出函数 的形状导数的定义：通过 以上的形状导数概念对（2-1）进行求导

9、，求得导数值，并根据导数值适当的选择水平集方程式的速度F,使得目标函数的一阶导数小于零,目标函数是下降的，这样就建立了物理约束条件与水平集方程之间的联系。( )pp000()()()|limdd 式中： 为插值点 沿x方向的向前差分和向后差分。 为插值点 沿y方向的向前差分和向后差分。,xxijijDD(, )i j,yyijijDD(, )i j5.重新初始化 求解水平集方程，更新设计域水平集函数后，要重新初始化，以保持水平集函数为符号距离函数性质，且满足通过求解微分方程进行重新初始化，求解下面偏微分方程直到结果收敛为止。其中， 为符号距离函数，满足|=10()(| 1)0st 0()s 000()10()00()10SSS 通过对 进行改进，可得到更好平滑数值结果。0()s 002220()|Sdx 当水平集函数趋于平坦时， 加速收敛，水平集陡峭时， 延缓收敛，这样可保持一致的收敛速度，避免迭代次数增加和界面错乱。|Sd |Sd三.具体迭代步骤Step1.设计域初始拓扑猜测，水平集函数初始化。Step2.1.有限元分析，计算位移 （2.1） 2.计