《信号与系统》第四章

1、第四章第四章 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换 连续时间信号的谱分析和时频分析连续时间信号的谱分析和时频分析时域中，连续信号的基本信号是冲激函数冲激函数，离散信号的基本信号是抽样序列抽样序列；以冲激（抽样）响应作为基本响应。频域中以复指数函数或序列复指数函数或序列作为基本信号。系统响应表示为不同频率的复指数信号响应的加权或积分。原因：1）它是LTI系统的特征函数。 2）复指数是正交函数。 3）信号频率和信号本身是现实可观测。信号的谱分析信号的谱分析：把信号表示为一组不同频率的复指数函数或正弦信号的加权和，称为信号的频谱分析或傅里叶分析。4.1 4.1 引言引言本章主要内容本章主要内容图图

2、两个矢量正交两个矢量正交 oV2V1904.2 复指数函数的正交性复指数函数的正交性两矢量V1与V2正交时的夹角为90。不难得到两正交矢量的点积为零， 即090cos2121VVVV 矢量的分解矢量的分解 oVc2V2c1V1V1V221图图 平面矢量的分解平面矢量的分解n 332211VcVcVcVoVc3V3c1V1V1V3V2c2V2n图 三维空间矢量的分解 推广到n维空间在区间 内，函数集 中的各个函数间，若满足下列正交条件：则称 为正交函数集正交函数集。式中 是复函数 的共扼函数。若K=1，则 为归一化正交函数集。),(21tt)(,),(),(10tttNmnKmndtttmttn

3、, 0)()(*21 Nntn, 1 , 0)(Nntn, 1 , 0)()(*tm)(tm1 正交函数的定义正交函数的定义2 正交函数集的完备性正交函数集的完备性NNnnNNtctctctctx01100)()()()()(),(21ttv若在区间 内，由N+1个正交函数 构成的正交函数集 是完备的,即再也找不到一个函数 能满足则在区间 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和表示： ),(21tt)(,),(),(10tttN)(,),(),(10tttN)(tNmdtttmtt, 1 , 00)()(*21NNnnNNtctctctctx01100)()()()()(dt

4、ttxKcttnn)()(121*dtttKttnn)()(21*1） 只与被分解信号x(t)及相应序号的基本信号 有关，与其它序号的基本信号无关；2） 称为x(t)与 的相关系数；nc)(tnnc)(tn 结论：结论：傅里叶级数的基础傅里叶级数的基础3 复指数函数是正交函数tje0 在区间 内是正交函数复指数函数集 在区间 内是正交函数集。正弦函数 和余弦函数 在区间 内是正交函数。)(01, 1Ttt, 1, 0,0netjn)(1, 1Ttttn0sintn0cos)(01, 1TttmnTmndtedteedteeTtttmnjTtttjntjnTtttjntjn,0)(0)(*011

5、00110001100 考虑复指数函数 的正交性tje04.3 周期信号的表示周期信号的表示 连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数1 1 用指数函数表示周期信号：复指数形式的傅里叶级数用指数函数表示周期信号：复指数形式的傅里叶级数ktjkkectx0)( 是以 为周期的周期信号。 K0 的项 为常数项或称直流分量； K=+N和K=-N的分量称为N次谐波分量。将周期信号表示成式（*）的形式，即一组成谐波关系的复指数函数的加权和，称为傅里叶级数表示或复指数形式的傅里叶级数。00/2T, 1,0,0ketjkk复指数函数集加权组合的信号(*)0c例例4 41 1 已知某一周期信号的傅里叶级数表示式为

6、已知某一周期信号的傅里叶级数表示式为式中式中求求(a)(a)其三角函数表示式；其三角函数表示式；(b)(b)用图解方法表示各谐波分量的用图解方法表示各谐波分量的波形及其合成波形波形及其合成波形x(t).x(t). 330)(ktjkkectx2, 3/1, 2/1, 4/1, 103322110ccccccc解：解：3 / )(2/ )(4/ )(1)(664422tjtjtjtjtjtjeeeeeetx根据欧拉公式ttttx6cos)3/2(4cos2cos)2/1 (1)(得nejt=cos(t)+jsin(t) e-jt=cos(t)-jsin(t) nsin(t)=(ejt-e-jt)

7、/(2j) cos(t)=(ejt+e-jt)/2X(t)X(t)是实信号是实信号因为因为)()(txtxktjkkectx0)( 两边取共轭两边取共轭ktjkkectx0*)(kk替代以ktjkkectx0*)(kkkkcccc*或 比较比较2 三角函数形式的傅里叶级数ktjkkectx0)( 重写重写)(0010tjkkktjkkececctxkkcc*)(00*10tjkkktjkkececctx 复数性质复数性质10Re2)(0ktjkkecctxkjkkeAc令1001)(0)cos(2Re2)(0kkkktkjktkAceActxk傅里叶级数的傅里叶级数的三角函数形式三角函数形式2

8、 三角函数形式的傅里叶级数100)cos(2)(kkktkActx在连续时间情况下，实周期信号的傅里叶级数的三角函数形式：极坐标形式：正弦余弦形式形式：1000)sincos(2)(kkktkDtkBctx数学上等效kjkkeAc令kkkjDBc令3 傅里叶级数系数的确定周期信号的复指数形式的傅里叶级数：ktjkkectx0)(dtetxTctjkTk00)(10kc已知x(t)可以分析出所含的频谱；系数 称为x(t)的傅里叶系数或频谱；系数 是x(t)中的直流或常数分量0cdttxTcT0)(100正弦余弦形式傅里叶级数的系数tdtktxTBTk00cos)(220tdtktxTDTk00s

9、in)(220极坐标形式的傅里叶级数的系数另一种求法：22kkkDBAkkkBDtg由正弦余弦形式傅里叶级数的系数确定0,Im,RekcDcBkkkk3 傅里叶级数系数的确定掌握掌握 式式 444，445，446例 42 已知x(t)是一周期的矩形脉冲，如图所示，求其傅里叶级数。解：解：1000,/2TTT脉脉宽宽基基波波频频率率，信信号号周周期期周周期期内内的的其其他他时时间间,02/|,)(1TtAtx1）012/2/000/1)(1110TATdtATdttxTcTTT)/sin()/()2/sin()/2(1)(10110002/2/0001100TTkkATkTkAdteATdtet

10、xTctjkTTtjkTk2）ktjkkectx0)(3）复指数形式的傅立叶级数复指数形式的傅立叶级数正余弦形式的傅立叶级数正余弦形式的傅立叶级数例 44 已知 ,求其复指数形式的傅立叶级数 tttttx00002sin42cos5sin3cos7)(sincos2)(0100tkDtkBctxkkk解解: 对比对比02, 02, 42, 52, 32, 722211kkDBDBDB其其余余系系数数ktjkkectx0)(*kkkkkkkcjDBcjDBc, 25 . 2, 25 . 2, 5 . 15 . 3, 5 . 15 . 32211jcjcjcjctjtjtjtjejejejejtx

11、000022)25 . 2()25 . 2()5 . 15 . 3()5 . 15 . 3()(例4-5已知 求其正弦-余弦形式的傅立叶级数 tjtjtjtjejejejejtx000022) 32 () 25 (4) 25 () 32 ()(sincos2)(0100tkDtkBctxkkk解解:02, 02, 42, 52, 32, 722211kkDBDBDB其其余余系系数数ktjkkectx0)(*kkkkkkkcjDBcjDBc32, 25, 4, 25,3221012jcjccjcjctjtjtjtjejejejejtx000022)25 . 2()25 . 2()5 . 15 .

12、 3()5 . 15 . 3()(4.44.4波形对称性与傅里叶系数波形对称性与傅里叶系数1 偶对称偶对称)()(txtxv波形对纵轴对称v奇函数在对称区间积分为零v傅里叶级数中只有常数项和余弦项100002010cos2cos22cos2cos2)(kkktkBctkBtBtBctx20000cos)(42TkdttktxTB4.44.4波形对称性与傅里叶系数波形对称性与傅里叶系数2 奇对称奇对称)()(txtxv波形对原点对称v 为奇函数， 为偶函数；奇函数在对称区间积分为零v傅里叶级数中只有正弦项v任何信号x(t)都可以分解为偶函数和奇函数两部分。tktx0cos)(tktx0sin)(

13、1000201sin2sin22sin2sin2)(kkktkDtkDtDtDtx20000sin)(42TkdttktxTD2/)()()(2/)()()(txtxtxOdtxtxtxEv4.44.4波形对称性与傅里叶系数波形对称性与傅里叶系数3 偶半波对称偶半波对称在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；这时x(t)是一个周期减半为 的周期非正弦波，其基波频率为 ，即其只含有偶次谐波；)2/()(0Ttxtx20T024 奇半波对称奇半波对称在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的负值；为镜像对称方式；这时x(t) 只含有奇次谐波；)2/()(0Ttxtx20

14、000sin)(402TkkdttktxTkD为奇数为偶数20000cos)(402TkkdttktxTkB为奇数为偶数4.44.4波形对称性与傅里叶系数波形对称性与傅里叶系数5 双重对称双重对称X(t)是奇函数或偶函数，同时又具有奇半波对称或偶半波对称；这种波形对与纵轴相隔 的垂线对称，又称为1/4波对称；通过例46说明双重对称有与傅里叶系数的关系。 表41 波形对称性、对称条件及其对应的傅里叶系数；求复杂函数的傅里叶系数时，可以先求其偶部和奇部的傅里叶系数，然后相加。 例4740T4.44.4波形对称性与傅里叶系数波形对称性与傅里叶系数习题1如图所示信号为周期信号的一个周期，其付氏级数包含

15、 ( ) A. 直流 、 偶次余弦项 B. 直流 、奇 次余弦项 C. 直流 、 偶次正弦项 D. 直流 、 奇次正弦项习题2 信号如图所示，其三角型付氏级数为（ ） A. n 为奇数 B. n 为偶数 C. n 为奇数 D. n 为偶数 4.54.5周期信号的频谱与功率谱周期信号的频谱与功率谱三角函数形式的傅里叶级数： 将 对 的函数关系，绘成图，称为振幅频谱图，简称为频谱图； 将 对 的函数关系，绘成图，称为相位频谱。 图410 (a) 100)cos(2)(kkktkActxkA0k0kk频谱)(tx单边频谱单边频谱 将 和 对 的函数关系绘成图，称为复指数频谱 图410 (b)kkkA

16、cc|0,argargkcckkk|kckcarg0k双边频谱双边频谱)()(00010tjkkktjkkktjkkececcectx同频率的分量同频率的分量,幅值相等幅值相等,但但相位差相位差 双边频谱双边频谱单边频谱单边频谱 每一条谱线代表一个谐波分量每一条谱线代表一个谐波分量正负频率对应的两条谱线合并起来代正负频率对应的两条谱线合并起来代表一个谐波分量表一个谐波分量,谱线长度是单边的一谱线长度是单边的一半半ZZZc/sin)(sin)2/ 1/() 2/ 1)sin(/(0001TkTkTATck以例42为例，讨论周期信号的复指数频谱抽样函数抽样函数ktjkeTkcTATtx0)2/(s

17、in)/()(1001主峰高度01/TAT主峰宽度11/2/2TT谱线间隔数110TTSinc(Z)为偶函数为偶函数,以周期以周期 起起伏伏,振幅再振幅再Z的正负两个方向都的正负两个方向都衰减衰减,并在并在 通过零通过零点点2, 2 , 3z T0增大时增大时?结论结论： （1）周期信号具有离散性、谐波性、收敛性 （2）只考虑对波形影响较大的较低频率分量。把包含主要谐波 分量的 这段频率范围称为矩形脉冲信号的有效带宽度。 （3）频谱的包络仅仅和脉冲的形状有关，而与脉冲的重复周期 无关。1/20T0T4.54.5周期信号的频谱与功率谱周期信号的频谱与功率谱周期信号的功率频谱周期信号的功率频谱功率

18、谱功率谱将x(t)看作电压或电流，考察其在 电阻上所消耗的平均功率。将功率用傅里叶级数表示周期信号在时域中的平均功率等于频域中各次谐波平均功率之和，称为功率信号的帕色伐尔定理。将各次谐波的平均功率 与 的关系画出，即得功率频谱，且为单边频谱；将 的关系画出，得双边功率频谱。 例4812/2/2000)(1TTdttxTP2/2/0000)(1TTktjkkdtectxTP2/2/22000|)(1TTkkctxT122/2/2020)2(21)(100kkTTActxT22|22/)2(kkcA或0k02|kck与 习题3 已知周期信号 x(t) 的付氏级数表示式为其单边幅度谱 、 相位谱为

19、( )周期信号 x(t) 内双边频谱如图所示 ,其三角函数表示式为 ( ) A. B. C. D. 习题习题4n1 收敛的三个条件n2 吉伯斯现象4.6 4.6 傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性 吉伯斯现象吉伯斯现象4.7非周期信号的表示非周期信号的表示 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换1 非周期信号傅里叶变换的导出ktjkkectx0)(1）将x(t)以T0为周期无限重复，从而得到周期为T0的周期函数2）令3）4）)(tx)()(,0txtxT则)()(lim0txtxTktjkkectx0)(00/2TdtetxTctjkkTT02/02/0)(10无穷小则kcT,0dtetxdt

20、etxTctjTTtjkTkT)()(limlim2/2/000000dtetxTcXtjkT)(lim)(00 x(t)的频谱密度函数)()(txXdteXeXtxectxtxXcXTctjktjkTktjkkTTTkTkT)(212)(lim)(1lim)(lim)() 1 (2)(limlim)(lim00000000000）代入，得将（傅里叶变换对dtetxXtj)()(deXtxtj)(21)(傅里叶反变换傅里叶变换)()(txX结论： x(t)的频谱是连续的，即存在于所有的频率 上。 通过这两个变换，把信号的时域特性和频域特性联系起来。 x(t)的频谱表示了是由怎样的不同频率的正弦

21、信号组成的。 的相位。表示相应的各频率分量幅角率分量的相对大小，表示非周期信号中各频频谱函数得模)(arg| )(| )(|)()(argXXeXXXj的比较的比较与与kcX)(dtetxXtj)()(deXtxtj)(21)(ktjkkectx0)(dtetxTctjkTk00)(10仅仅代代表表频频谱谱密密度度代代表表谐谐波波幅幅值值由由周周期期到到非非周周期期由由离离散散到到连连续续)(,)3()2(,)1 (00jXckkT不同点不同点:例例4 )()()(txX求求已知已知4.8傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数与傅里叶变换的关系1傅里叶系数与傅里叶变换的关系v周期信号 的傅里叶

22、系数 可以从某一周期内信号 的傅里叶变换的样本 中得到。 )(txkc)(tx)(0kX2/2/02/2/)()(0000TTtTTTtxtxt或或00/ )(TkXck 1）x(t)绝对可积 2）在任何有限区间内，x(t)只有有限个极大值和极小值 3）在任何有限区间内，x(t)不连续点个数有限，而且在不连续点处，x(t)值是有限的。傅里叶变换的收敛2 周期信号的傅里叶变换 周期信号的傅里叶级数可以得到它的傅里叶变换。该周期信号的傅里叶变换是由一串在频域上的冲激函数组成的。 kkktjkkkcectx)(2)(00周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换出现在等间隔频率出现在等间隔频率 上上的一串冲激函数的一串冲激函数04.9 连续时间傅里叶变换的性质与应用1 1 线性线性2 2 共轭对称性共轭对称性)()()()(22112211XaXatxatxa)()(*XX)()()()(2211XtxXtx若若x(t)是一个实时间函数是一个实时间函数00)()()()(00tjtjeXttxeXttx3 时移性延时的作用只改变频谱函数的相位特性而不改变其幅频特性延时的作用只改变频谱函数的相位特性而