第5章-s域分析

1、信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-1页电子教案第五章第五章 连续系统的连续系统的s域分析域分析5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换二、收敛域二、收敛域三、三、(单边单边)拉普拉斯变换拉普拉斯变换5.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质5.3 拉普拉斯变换逆变换拉普拉斯变换逆变换5.4 复频域分析复频域分析一、微分方程的变换解一、微分方程的变换解二、系统函数二、系统函数三、系统的三、系统的s域框图域框图四、电路的四、电路的s域模型域模型信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-2页电子教案 拉普拉斯变换与傅里叶变换一样是信号处理的拉普

2、拉斯变换与傅里叶变换一样是信号处理的一种方法。一种方法。S 域分析与频域分析一样是系统的变域分析与频域分析一样是系统的变换域分析方法。换域分析方法。 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 频域分析频域分析以以虚指数信号虚指数信号ej t为基本信号，任意信为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2t (t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。）对于给定初始状态的系

3、统难于利用频域分析。 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-3页电子教案 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。频域来解决这些问题。 本章引入本章引入复频率复频率 s = +j ，以复指数函数，以复指数函数 est 为为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率复频率 s ，故称为，故称为s域分析域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。变换。

4、拉普拉斯变换是线性系统的一种有效分析工具。拉普拉斯变换是线性系统的一种有效分析工具。任何领域线性系统的分析几乎离不开拉普拉斯变换。任何领域线性系统的分析几乎离不开拉普拉斯变换。5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-4页电子教案5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，可用一有些函数不满足绝对可积条件，可用一衰减因衰减因子子e- t ( 为实常数为实常数)乘信号乘信号f(t) ，适当选取，适当选取 的值，的值，使乘积使乘积 f(t) e- t 当当 t 时信号幅度趋近于时信号幅度趋近于

5、0 ，从而，从而使使f(t) e- t 的傅里叶变换存在。的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换为相应的傅里叶逆变换为j1( )e()ed2ttbf tFj f(t) e- t= j(j)( )eed( )edtttf ttf tt (j)1( )(j )ed2tbf tF令令s = +j , d =ds/j ，有，有Fb( +j )=信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-5页电子教案tetfsFstbd)()(jjde)(j21)(ssFtfstb二、收敛域二、收敛域 只有选择适当的只有选择适当的 值才能使积分收敛，信号值才能使积分收敛，信号f(t)的双的双边拉普拉斯变换存在。边拉普拉斯变换

6、存在。 使使 f(t)拉氏变换存在拉氏变换存在 的取值范围称为的取值范围称为Fb(s)的收敛域。的收敛域。 通过举例说明通过举例说明Fb(s)收敛域的问题。收敛域的问题。5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换f(t) Fb(s) Fb(s)称为称为f(t) 的双边拉普拉斯变换或象函数的双边拉普拉斯变换或象函数f(t)称为称为Fb(s) 的双边拉普拉斯逆变换或原函数的双边拉普拉斯逆变换或原函数 双边拉普拉双边拉普拉斯变换对斯变换对信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-6页电子教案例例1. 因果信号因果信号f1(t)= e t (t) ，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。 解解 ()()j100e1

7、( )e ed1 limee()()stts tttbtF stss 对于因果信号，仅当对于因果信号，仅当Res= 时，其拉氏变换存在。时，其拉氏变换存在。 收敛域如收敛域如图所示。图所示。 可正可负可正可负j0收敛收敛域域收敛边收敛边界界5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 ， Res= = 不定，不定， = 无界，无界， 1ss平面平面信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-7页电子教案例例2. 反因果信号反因果信号f2(t)= e t (-t) ，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。 解解 eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(02ttttssttbsstsF对于反因果信号，仅当对

8、于反因果信号，仅当Res= = 不定，不定， = ， 时，其收敛域时，其收敛域为为 Res 22211( )( )32bf tFsssRes= 33311( )( )32bf tFsss 3 2可见，象函数相同，但收敛域不同。可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必双边拉氏变换必须标出收敛域。须标出收敛域。5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-10页电子教案 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，为坐标原点。这样，t ，可以，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。省略。本课程主要讨论单边拉

9、氏变换。 三、单边拉氏变换三、单边拉氏变换 0defde)()(ttfsFstdefjj1( )( )e d( )2jstf tF sst 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换f(t) F(s)信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-11页电子教案四、常见函数的拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换 1、 (t) 1， - 2、 (t)或或1 ， 03、指数函数、指数函数 e-s0t 01ss -Res0cos 0t = (ej 0t + e-j 0t )/2 202sssin 0t = (ej 0t e-j 0t )/(2j) 2020s5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换1s信号与系统信号与系统西安

10、邮电大学第5-12页电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 0( )( )edstF sf tt Res 0 j(j)( )edtFf tt 要讨论其关系，要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。必须为因果信号。 根据收敛坐标根据收敛坐标 0的值可分为以下三种情况：的值可分为以下三种情况： （1） 0-2；信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-13页电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换（2） 0 =0，即即F(s)的收敛边界为的收敛边界为j 轴，轴， )(lim)(j0sFF如如f(t)= (t)F(s)=

11、1/s 22220001j(j )limlimlimjF= ( ) + 1/j （3） 0 0，F(j )不存在。不存在。 如如 f(t)=e2t (t) F(s)=1/(s 2) , 2；其傅里叶；其傅里叶变换不存在。变换不存在。借助前章广义借助前章广义傅里叶变换傅里叶变换信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-14页电子教案常见信号的拉氏变换常见信号的拉氏变换序号序号信号信号 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 收敛域收敛域 1.2.3. 4.5.6.)(t)()(tnns)(t00( )s tet01ss1s0Res 0sin() ( )tt2020s0)()cos(0tt202ss05.1 拉普拉

12、斯变换拉普拉斯变换1信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-15页电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换常见信号的拉氏变换常见信号的拉氏变换序号序号信号信号 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 收敛域收敛域 7.8.9. 10.11.12.0sin() ( )tett 2020)(s0cos() ( )tett 202)(ss)()!1(11ttnn1ns011( )(1)!nttetn ns)(10)(nnTtsTe110)(00nTtfnsTesF1)(0信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-16页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性

13、质一、线性性质一、线性性质若若f1(t)F1(s) Res 1 , f2(t)F2(s) Res 2则则 a1 f1(t)+a2 f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax( 1, 2) 例例f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 二、尺度变换二、尺度变换若若f(t) F(s) , Res 0，且有，且有实数实数a 0 ，则则f(at) Resa 0 1( )sFaa信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-17页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例：如图信号例：如图信号f(t)的拉氏变换的拉氏变换F(s) =)ee1 (e2sssss求图中信号求图

14、中信号y(t)的拉氏变换的拉氏变换Y(s)。解：解：y(t) = 4f(0.5t)Y(s) = 42 F(2s) )e2e1 (2e82222sssss)e2e1 (e22222sssss信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-18页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质三、时移（延时）特性三、时移（延时）特性 若若f(t) F(s) , Res 0, 且有且有实常数实常数t00 ,则则f(t-t0) (t-t0) e-st0F(s) , Res 0 与尺度变换相结合与尺度变换相结合f(at-t0) (at-t0)01etsasFaa例例1: 求如图信号的单边拉氏变换。求如图信

15、号的单边拉氏变换。解：解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1) (t-1)F1(s)=)e1 (1ssF2(s)= F1(s)信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-19页电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换“周期信号周期信号” fT (t) 111( )( )()(2 )Tftf tf tTf tT 特例特例： T(t) 11esT 21( )( ) 1eesTsTTftF s L L11( )( )f tF s已知已知1( )1esTF s 信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-20页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例2:已知已

16、知f1(t) F1(s), 求求f2(t) F2(s)解：解： f2(t) = f1(0.5t) f1 0.5(t-2)f1(0.5t) 2F1(2s)f1 0.5(t-2) 2F1(2s)e-2sf2(t) 2F1(2s)(1 e-2s)例例3:求求f(t)= e-2(t-1) (t) F (s)=?信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-21页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质四、复频移（四、复频移（s域平移）特性域平移）特性 若若f(t) F(s) , Res 0 , 且有复常数且有复常数sa= a+j a,则则f(t)esat F(s-sa) , Res 0+ a

17、例例1:已知因果信号已知因果信号f(t)的象函数的象函数F(s)= 12ss求求e-tf(3t-2)的象函数。的象函数。 解：解：e-tf(3t-2) )1(322e9) 1(1sss例例2: f(t)=cos(2t /4) F(s)= ?解：解：cos(2t /4) =cos(2t)cos( /4) + sin(2t)sin ( /4) 42222242224)(222ssssssF信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-22页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质五、时域的微分特性（微分定理）五、时域的微分特性（微分定理） 若若f(t) F(s) , Res 0, 若若f(

18、t)为因果信号，则为因果信号，则f (n)(t) snF(s) 例例2:?2cosddtt?)(2cosddttt1( )1()0( )( )(0 )nnnnmmmfts F ssf 2( )( )(0 )( )( )(0 )(0 )ftsF sffts F ssff 例例1: (n)(t) ? sn信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-23页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质六、时域积分特性（积分定理）六、时域积分特性（积分定理） 若若f(t) F(s) , Res 0, 则则 01( )d( )ntnf xxF ss ( 1)( 1)11( )( )d( )(0 )t

19、ftf xxF sfss 例例1: t 2 (t) ? 0( )d( )txxtt 2200( )d( )d( )2tttxxxxxt232( )tts 信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-24页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例2:已知因果信号已知因果信号f(t)如图如图, 求求F(s).解解：对：对f(t)求导得求导得f (t)，如图，如图0( )d( )(0 )tfxxf tf 0( )( )dtf tfxx f (t) = (t) (t 2) 2 (t 2) 2211( )( )(1e)2essftF ssL L1( )( )F sF ss结论：结论：若若f

20、(t)为为因果信号因果信号，已知，已知f (n)(t) Fn(s) 则则 f(t) 由于由于f(t)为因果信号，故为因果信号，故 f(0-)=0( )nnF ss信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-25页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质七、卷积定理七、卷积定理 时域卷积定理时域卷积定理: 若因果函数若因果函数 f1(t) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2 则则 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 复频域（复频域（s域）卷积定理域）卷积定理: j1212j1( )( )( )()d2jccf t ftFF s 例：例： t

21、 (t) ?t (t) = (t) * (t) 21 11( )tts ss 信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-26页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质八、八、s域微分和积分域微分和积分 若若f(t) F(s) , Res 0, 则则 d( )() ( )dF st f tsd( )()( )dnnnF stf ts 例例1： 223d12()d2(2)sss ( )( )sf tFdt 22( )?tt et22( )tt et 21( )2tets信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-27页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例2：?)(si

22、nttt11)(sin2stt2sin11( )darctanarctanarctan12ssttsts 例例3：21e?tt 21et 21112()dlnln22tssests 112ss 0sinSi( )d?txtxx 11arctanss信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-28页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f()，而不必求出原函数，而不必求出原函数f(t)。初值定理初值定理: 设设函数函数f(t)不含不含 (t)及其各阶导数

23、及其各阶导数（即（即F(s)为真分式，为真分式，若若F(s)为假分式化为真分式），为假分式化为真分式），则则 )(lim)(lim)0(0ssFtffst终值定理终值定理:若若f(t)当当t 时存在时存在，并且，并且 f(t) F(s) , Res 0, 00，则则 )(lim)(0ssFfs信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-29页电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例1：222)(2ssssF2222lim)(lim)0(22sssssFfss0222lim)(lim)(2200sssssFfss例例2：22)(22ssssF22222lim)(lim)0(22ss

24、ssssFfss22221)(2ssssF信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-30页电子教案 序序号号 性质性质 名称名称 信号信号 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质 定义定义 1线性线性2尺度尺度3时移时移 4复频移复频移 jj1( )( ) d ,02 jstf tF s es t 00( )( )d ,stF sf t et )()(2211tfatfa)()(2211sFasFa0),(aatf0),(1aasFa0),()(000tttttf0),(0sFest)(0tfets00),(ssF5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-31

25、页电子教案5时域微分时域微分6时域积分时域积分7时域卷积时域卷积 8时域相乘时域相乘dttdftf)()()1(nnndttfdtf)()()(0( )(0 ),sF sf11( )0( )(0 )nnnmmms F ssf 0( )ntfddftft)()(dftfntn)()()()0,max(),(10sFsn( 1)11( )(0 )F sfss()1111( )(0 )nmnn mmF sfss )()(21tftf为因果信号),max(),()(2121sFsF)()(21tftf2211,)()(21cdsFFjjcjc5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质信号与系统信

26、号与系统西安邮电大学第5-32页电子教案9S域微分域微分10S域积分域积分11初值定理初值定理 12终值定理终值定理 )()(tftn0)(),(sFnttf)(0,)(dFs)(lim)0(ssFfs0),(lim)(sssFfs 在收敛域内在收敛域内F(s)为真分式为真分式5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-33页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 直接利用定义式求反变换直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困复变函数积分，比较困难。通常的方法难。通常的方法 （1）查表）查表 （2）

27、利用性质）利用性质 （3）部分）部分分式展开法。分式展开法。若象函数若象函数F(s)是是s的的有理分式有理分式，可写为：，可写为： 11101110.( ).mmmmnnna sasa saF ssbsb sb 若若mn （假分式）（假分式）,可用可用多项式除法多项式除法将象函数将象函数F(s)分分解为有理多项式解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。与有理真分式之和。 ( )( )( )( )B sF sP sA s信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-34页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换6116332261161531258)(23223234ssssssssssss

28、ssF 由于由于L-11= (t)， L -1sn= (n)(t)，故多项式，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。下面主要讨论有理真分式的情形。 部分分式展开法部分分式展开法若若F(s)是是s的实系数有理真分式（的实系数有理真分式（mn)，则可写为，则可写为 01110111.)()()(bsbsbsasasasasAsBsFnnnmmmm 式中式中A(s)称为系统的称为系统的特征多项式，特征多项式，方程方程A(s)=0称为称为特征方程特征方程，它的根称为，它的根称为特征根，特征根，也称为系统的也称为系统的固有频固有频

29、率率（或自然频率）。（或自然频率）。n个特征根个特征根pi称为称为F(s)的的极点。极点。 信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-35页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换（1）F(s)为单极点（单根）为单极点（单根）nniipsKpsKpsKpsKsAsBsF.)()()(2211ipsiisFpsK)()()(e11tpsLtpiiniiipsKsAsBsF1)()()(1( )( )inp tiif tK et 312( )()13kkkF smnsss10(2)(5)( )(1)(3)ssF ss ss例例1:已知已知，求其逆变换。，求其逆变换。解：部分分式法解：部分分

30、式法信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-36页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换100( )10(2)(5)100(1)(3)3ssksFsssss211(1)( )10(2)(5)20(3)ssksFssss s 其中：其中：100 120101( )3133F ssss)(e310e203100)(3ttftt333(3)( )10(2)(5)10(1)3ssksF ssss s 31210(2)(5)( )(1)(3)13ssF ss sskkksss信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-37页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换32597( )(1)

31、(2)sssF sss例例2:2323222232597322772643ssssssssssssss 解：假分式，利用长除法解：假分式，利用长除法已知已知 ，求其逆变换。，求其逆变换。3( )2(1)(2)sF ssss信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-38页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换12( )212kkF ssss21( )212F ssss2( )( )2 ( )(2ee) ( )ttf tttt11223(1)2(1)(2)311ssskssssks 其中：其中：部分分式展开部分分式展开32597( )=(1)(2)32(1)(2)sssF sssssss

32、信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-39页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换特例：特例：F(s)包含共轭复根时包含共轭复根时( p1,2 = j )j)(j)()()()()(22sssDsBssDsBsF)(jj221sFsKsKK2 = K1*BAKsFsKsje|)()j(j1j1je|je|jj)(j1j1211sKsKsKsKsFf1(t)=2|K1|e- tcos( t+ ) (t)若写为若写为K1,2 = AjB f1(t)= 2e- tAcos( t) Bsin( t) (t) 信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-40页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变

33、换拉普拉斯逆变换例例3223( )(25)(2)sF ssss23( )(1j2)(1j2)(2)sF ssss 0121j21j22kkksss 121j2(1j2)( )3(1j2)(2)1j25sksF ssss 其中: 已知已知 ，求其逆变换。，求其逆变换。解：解：242bbaca 1,21j2jp 1,2j ,12(,)55kABAB 即信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-41页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换20237(1j2)(1j2)5sskss 12127jj55555( )1j21j22F ssss 1,2 12,55AB )(e57)2sin(52)

34、2cos(51e2)(2ttttftt f(t)= 2e- tAcos( t) Bsin( t) (t) 信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-42页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换例例4： 求象函数求象函数F(s)的原函数的原函数 f(t)。 )22)(1)(1(42)(2223sssssssssF356124( )1jj1j1j KKKKKKF sssssss K1= sF(s)|s=0 = 2， K2= (s+1)F(s)|s=-1= 1 K3= (s j)F(s)|s=j=j/2 =(1/2)ej( /2) ,K4=K3*=(1/2)e-j( /2) K5= (s+

35、1 j)F(s)|s=-1+j= 3j41e2K6=K5*)()43cos(e2)2cos(e2)(ttttftt解解：A(s)=0有有6个单根，它们分别是个单根，它们分别是s1=0，s2= 1，s3,4= j1 ，s5,6= 1 j1，故，故 信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-43页电子教案由前面看出：由前面看出：1. 当极点为当极点为实数实数时，则系数时，则系数Ki也是也是实数实数。响应。响应是按指数规律变化。是按指数规律变化。2. 当极点为当极点为复数复数时，则一定是共轭极点同时存时，则一定是共轭极点同时存在，且共轭极点对应的在，且共轭极点对应的系数系数也一定是也一定是共轭共轭的。的

36、。响应是振幅按指数规律变化的振荡波。响应是振幅按指数规律变化的振荡波。5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-44页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换（2）F(s)有重极点（重根）有重极点（重根） 若若A(s) = 0在在s = p1处有处有r重根，重根， )(.)()()()()(111112111psKpsKpsKsAsBsFrrr1)()(dd)!1(11111psrrrrsFpssrK1!)(nnsnttL111111e( )()(1)!p tnnLttspndds K11=(s p1)rF(s)|s=p1， K12= (s

37、p1)rF(s)|s=p1 信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-45页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换例例: :32( )(1)sF ss s131112232( )(1)(1)(1)kkkkF sssss312( )(1)( )sF ssF ss111112( )3spsskF ss11212211d(2) 12( )2dspsssskFssss已知已知 ，求其逆变换。，求其逆变换。解：解：令令其中：其中：信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-46页电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换121312241d1 d214( )2d2 d122sspskF s

38、ssss23002( )2(1)sssksF ss 323222( )(1)(1)(1)Fsssss23( )e2 e2e2( )2tttf tttt11111e( )(1)!()p tnnttnsp 利用利用信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-47页电子教案5.4 复频域分析复频域分析 5.4 复频域系统分析复频域系统分析 一、微分方程的变换解一、微分方程的变换解 描述描述n阶系统的微分方程的一般形式为阶系统的微分方程的一般形式为 nimjjjiitfbtya00)()()()(系统的初始状态为系统的初始状态为y(0-) , y(1)(0-), , y(n-1) (0-)。思路思路：用：用

39、拉普拉斯变换微分特性拉普拉斯变换微分特性)0()()()(101)(pippiiiyssYsty若若f (t)在在t = 0时接入系统，则时接入系统，则 f ( j )(t) s j F(s)信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-48页电子教案5.4 复频域分析复频域分析yzi(t), yzs(t), y(t) s域的代数方程域的代数方程)()()()()()()0()(0000)(101sFsAsBsAsMsFsasbsaysasYniiimjjjniiinipippiiYzi(s)Yzs(s)11( )0000( )(0 )( )nnimiippjiijiipja sY sasyb sF

40、s 信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-49页电子教案5.4 复频域分析复频域分析例例1 描述某描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t)+ 6 f (t)已知初始状态已知初始状态y(0-) = 1,y(0-)= -1, 激励激励f (t) = 5cos t (t)，求系统的全响应求系统的全响应y(t).解解： 方程取拉氏变换，并整理得方程取拉氏变换，并整理得zizs2425( )( )( )(2)(3)21ssY sYsYsssss )(65) 3(265)0(5)0( )0()(22sFsssssyysysYYzi(s)Yzs

41、(s)15)(2sssF信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-50页电子教案j26.6j26.62145e5e( )232jjY ssssssy(t)= 2e2t (t) e3t (t) 4e2t (t) + 2 5cos(26.6 ) ( )tt yzi(t)yzs (t)暂态分量暂态分量yt (t)稳态分量稳态分量ys (t)zs( )( )( )( )B sYsF sA szizs2425( )( )( )(2)(3)21ssY sYsYsssss 5.4 复频域分析复频域分析信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-51页电子教案5.4 复频域分析复频域分析二、系统函数二、系统函数 系统函

42、数系统函数H(s)定义为定义为 defzs( )( )( )( )( )YsB sH sF sA s它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。初始状态无关。yzs(t)= h(t)*f (t)H(s)= L h(t)Yzs(s)= L h(t)F(s)信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-52页电子教案求求H(s)的途径：的途径：zs( )( )( )( )( )YsB sH sF sA s (2)已知微分方程，在零状态条件下通过拉氏变已知微分方程，在零状态条件下通过拉氏变换可求得换可求得(3)已知已知f(t)激励下的激励下的yzs(t)

43、，通过，通过s变换求变换求H(s)。(1)已知已知h(t)，通过拉氏变换求，通过拉氏变换求H(s)；(4)已知框图，通过已知框图，通过s域模型求域模型求H(s)。5.4 复频域分析复频域分析信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-53页电子教案5.4 复频域分析复频域分析例例2： 已知当输入已知当输入f (t)= e-t (t)时，某时，某LTI因果系统的零因果系统的零状态响应状态响应 yzs(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t) (t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。 解解2( )2(4)4228( )( )(2)(3)2356

44、zsYsssH sF sssssssh(t) = (4e-2t -2e-3t) (t)微分方程微分方程为为 y(t)+5y(t)+6y(t) = 2f (t)+ 8f (t) s2Yzs(s) + 5sYzs(s) + 6Yzs(s) = 2sF(s)+ 8F(s) 取逆变换取逆变换 yzs(t)+5yzs(t)+6yzs(t) = 2f (t)+ 8f (t) 信号与系统信号与系统西安邮电大学第5-54页电子教案5.4 复频域分析复频域分析三、系统的三、系统的s域框图域框图 时域框图基本单元时域框图基本单元f(t)tftyd)()(af(t)y(t) = a f (t)s域框图基本单元域框图基本单元(零状态零状态)s1F(s)Y(s) = s1F(s)aF(s)Y(s) = a F(s)f1(t