电阻电路的一般分析方法

1、3 .1 电路的图3.2-3 .3 支路电流法3.4 网 孔 电 流 法3.5 回路电流法3.6 结点电压法第第3章章 电阻电路的一般分析电阻电路的一般分析 前面二章，我们学习了电路的基本定律，前面二章，我们学习了电路的基本定律，欧姆定律，基尔霍夫定律，可以分析简单的电欧姆定律，基尔霍夫定律，可以分析简单的电路。路。 我们还学习了电阻电路的等效变换，通过我们还学习了电阻电路的等效变换，通过电阻的串并联和电阻的串并联和Y- 的等效变换，电压源和电流的等效变换，电压源和电流源的等值变换可以求解电路中的电压和电流等源的等值变换可以求解电路中的电压和电流等物理量。物理量。 本章，我们介绍的分析方法，不

2、要求改变本章，我们介绍的分析方法，不要求改变电路的结构，例如：我们可以选择一组合适的电路的结构，例如：我们可以选择一组合适的变量（电压或电流），然后，根据变量（电压或电流），然后，根据KCL，KVL列独立的方程组列独立的方程组-电路方程，然后求解各个变电路方程，然后求解各个变量。量。 3-1 3-1电路的图电路的图 怎样根据电路的连接性质来选择电路方程的独立怎样根据电路的连接性质来选择电路方程的独立变量？需要应用图论的初步知识。变量？需要应用图论的初步知识。 KCL和和KVL分别表明了支路电流之间和支路电压分别表明了支路电流之间和支路电压之间的约束关系。之间的约束关系。 由于这些约束关系与构成

3、电路元件的性质无关，由于这些约束关系与构成电路元件的性质无关，因此，在研究这些约束关系时可以不考虑元件的特征。因此，在研究这些约束关系时可以不考虑元件的特征。 我们可以用我们可以用线段线段来代替电路中的每个元件，这段来代替电路中的每个元件，这段线段称为线段称为支路支路，也可以说：这里的支路是一条抽象的，也可以说：这里的支路是一条抽象的线段，把它画成直线或曲线无关紧要。线段，把它画成直线或曲线无关紧要。 线段的端点称为线段的端点称为结点，结点，每条支路的两端都连到相每条支路的两端都连到相应的结点上应的结点上。 这样得到的几何结构图称为这样得到的几何结构图称为“图形图形”或称为或称为“图图”（gr

4、aph），），如图所示。如图所示。 1Rus1+-is22R3R4R5R6R 在图的定义中，结点和支路各自是一个整体，任在图的定义中，结点和支路各自是一个整体，任一条支路必须终止在结点上，注意：移去一条支路并一条支路必须终止在结点上，注意：移去一条支路并不把结点也移去，允许有孤立结点的存在。但移去结不把结点也移去，允许有孤立结点的存在。但移去结点，必须把与该结点连接的支路全部移去。点，必须把与该结点连接的支路全部移去。1Rus1+-is22R3R4R5R6R 上图电路模型中，有上图电路模型中，有6个电阻，两个电源，如果认个电阻，两个电源，如果认为每一个二端元件构成电路的一个支路，图为每一个二端

5、元件构成电路的一个支路，图(b)就是该就是该电路的图。它共有电路的图。它共有5个结点和个结点和8条支路。条支路。 我们还可以把元件的串联组合作为一条支路，画出我们还可以把元件的串联组合作为一条支路，画出它的图如图（它的图如图（c）。）。 (a)(b)1Rus1+-is22R3R4R5R6R(a)(c)它共有它共有4个结点和个结点和7条支路。条支路。所以当用不同的元件结构定义电路的一条支路时，所以当用不同的元件结构定义电路的一条支路时，该电路的图将不同，结点数和支路数也将不同。该电路的图将不同，结点数和支路数也将不同。1Rus1+-is22R3R4R5R6R(d)我们还可以把元件的并联组合作为一

6、条支路，我们还可以把元件的并联组合作为一条支路，画出它的图如图（画出它的图如图（d）。）。 在电路中通常规定每一条支路的电流参考方向，在电路中通常规定每一条支路的电流参考方向，电压的参考方向取关联参考方向。如果把电路的图电压的参考方向取关联参考方向。如果把电路的图的每一条支路也取一个方向，这个方向就是支路电的每一条支路也取一个方向，这个方向就是支路电流的参考方向。这样电路的图就称为流的参考方向。这样电路的图就称为“有向图有向图”，而没有方向的图则称为而没有方向的图则称为“无向图无向图”。1Rus1+-is22R3R4R5R6R1Rus1+-is22R3R4R5R6R+-US1R1R2R3R4R

7、512312345123 3-2 3-2KCLKCL，KVLKVL的独立方程数的独立方程数 1 2 3 4654321支路和结点加以编号支路和结点加以编号给出支路的方向给出支路的方向(电流与电压参考方向关联电流与电压参考方向关联)这是一个电路的图这是一个电路的图,是是一个有向图一个有向图,支路数支路数=?结点数结点数=? 1 2 3 465432100004543652321641 iiiiiiiiiiiiKCL个个结结点点应应用用对对 一个支路和两个结点相连，一个结点的电流如果一个支路和两个结点相连，一个结点的电流如果流进（流进（+），另一个结点一定是流出（），另一个结点一定是流出（-），在

8、以上四），在以上四个方程中，每个电流出现两次，一正一负，因此个方程中，每个电流出现两次，一正一负，因此4个个方程相加，方程相加，0=0，也就是一个方程是不独立的。但任，也就是一个方程是不独立的。但任意三个是独立的意三个是独立的 对具有对具有n个结点的电路，在任意个结点的电路，在任意n-1个结点个结点上可以得出上可以得出n-1个独立的个独立的KCL方程，相应的方程，相应的n-1个结点称为独立结点。个结点称为独立结点。讨论了独立结点后，我们可以应用讨论了独立结点后，我们可以应用KCL列出列出n-1个独立个独立方程，接下来对回路应用方程，接下来对回路应用KVL，需要讨论独立回路。需要讨论独立回路。为

9、了确定独立回路的个数，我们先讨论一些基本概念：为了确定独立回路的个数，我们先讨论一些基本概念：连通图连通图如果在图如果在图G的任意两个结点之间，至少存在的任意两个结点之间，至少存在一条由支路构成的路径，则图一条由支路构成的路径，则图G称为连通图，称为连通图，否则就称为非连通图。否则就称为非连通图。654321结点结点1，2，3，4和相应的支和相应的支路构成了路构成了4个结点的连通图，个结点的连通图，结点结点5，6和相应的支路构成和相应的支路构成了了2个结点的连通图，个结点的连通图，结点结点1，2，3，4，5，6和相和相应的支路构成了应的支路构成了6个结点的个结点的非连通图，非连通图，回路回路

10、从图从图G的某一个结点出发，沿一些支路的某一个结点出发，沿一些支路移动，到达另一个结点，形成了一条路径，移动，到达另一个结点，形成了一条路径，如果这条路径的起点和终点重合，且经过的如果这条路径的起点和终点重合，且经过的其它结点都各不相同，那么这条路径就是一其它结点都各不相同，那么这条路径就是一条闭合的路径，构成条闭合的路径，构成G的一个回路。的一个回路。4321567812345支路（支路（1，5，8）构成回路）构成回路（2,5,6）（）（1,2,3,4）（）（1,2,6,8）（4,7,8）（）（3,6,7）（）（1,5,7,4）（3,4,8,6）（）（2,3,7,5）（）（1,2,6,7,4

11、）（1,2,3,7,8）（）（2,3,4,8,5）（）（1,5,6,3,4）共有共有13个不同的回路，但独立回路个不同的回路，但独立回路数远少于总回路数。数远少于总回路数。对每个回路都可以应用对每个回路都可以应用KVL列方程，列方程，4321567812345对对(1,5,8),(2,5,6)列方程，列方程，支路支路5出现两次，通过加出现两次，通过加或减总可以消去或减总可以消去5支路的支路的电压，余下电压，余下(1,8,6 ,2)，可，可见见(1,5,8),(2,5,6) ,(1,8,6 ,2)只有两个是独立的。只有两个是独立的。一个图的回路数很多一个图的回路数很多, 如何确定它的一组独立回路

12、如何确定它的一组独立回路有时不太容易有时不太容易, 我们要引进我们要引进“树树”的概念来帮助我的概念来帮助我们寻找独立的回路组。们寻找独立的回路组。在讨论独立回路前，讨论树，树支在讨论独立回路前，讨论树，树支，连支连支我们在图中移去某些支路，我们在图中移去某些支路，使余下的图形中包含全部结使余下的图形中包含全部结点和部分支路，树连通而又点和部分支路，树连通而又不包含回路。不包含回路。4321567812345树是这样定义的：树是这样定义的：一个连通图一个连通图G的树的树T包含包含G的全部结点和部分支路，的全部结点和部分支路，而树而树T本身是连通的而又不包含回路。本身是连通的而又不包含回路。对上

13、图，符合以上定义的树有很多对上图，符合以上定义的树有很多 4321567812345567812345563112345573112345树树567812345252812345不是树，有回路不是树，有回路不是树，不连通不是树，不连通567812345563112345573112345树树 满足树的定义的连通图不止一个，构成满足树的定义的连通图不止一个，构成树的支路称为树支，观察以下几个树，我们树的支路称为树支，观察以下几个树，我们发现树支数均为发现树支数均为4。 可见树就是用最少的树支把所有的结点可见树就是用最少的树支把所有的结点连在一起，并且不构成任何回路的图形。连在一起，并且不构成任何

14、回路的图形。 树支数为树支数为n-1连连枝枝4321567812345567812345树支：树支：5，6，7，8，除了树支外，余下的支路称为连，除了树支外，余下的支路称为连支，支，1，2，3，4就是连支，只有把连支补上才会出现就是连支，只有把连支补上才会出现回路。回路。树支和连支构成了图树支和连支构成了图G的全部支路的全部支路4321567812345图图G中，结点数中，结点数n=5支路数支路数b=8树支数树支数n-1连支数连支数b-(n-1)=b-n+1567812345左图的树中，每加上一左图的树中，每加上一条连支后就能构成回路，条连支后就能构成回路，这样的回路只有一条连这样的回路只有一

15、条连支，其余全部为树支，支，其余全部为树支，称为称为单连支回路或基本回路。单连支回路或基本回路。独立回路独立回路独立回路数独立回路数=连支数连支数=b-n+1n=4,b=6,树支数树支数：3,连支：连支：3 1 2 3 4654321红色的支路是树支，加上连支红色的支路是树支，加上连支后可构成三个独立回路如下：后可构成三个独立回路如下： 1 2 4431 3 1 2 45421 1 3 4654独立回路数独立回路数=连支数连支数=b-n+1我们之前已拥有我们之前已拥有n-1个独立的结点方程个独立的结点方程方程的总数方程的总数b-n+1+ n-1= b选择不同的树，可以得到不同的回路组选择不同的

16、树，可以得到不同的回路组显然，以上的基本回路组是独立的显然，以上的基本回路组是独立的平面图：各条支路除了连接的结点外，不再交叉平面图：各条支路除了连接的结点外，不再交叉非平面图：支路存在交叉非平面图：支路存在交叉 1 2 3 4654321平面图平面图非平面图非平面图12345 1 2 3 4654321对一个平面图引入网孔的概念对一个平面图引入网孔的概念网孔：自然的孔，它限网孔：自然的孔，它限定的区域内不再有支路。定的区域内不再有支路。平面图的全部网孔是一平面图的全部网孔是一组独立回路。网孔数是组独立回路。网孔数是b-n+1(1,3,4),(2,3,5),(4,5,6)是网孔是网孔(1,2,

17、4,5)不是网孔不是网孔根据根据KCL可列出可列出n-1个独立方程个独立方程根据根据KVL可列出独立回路方程可列出独立回路方程b-n+1个个全部独立方程的总数全部独立方程的总数n-1+ b-n+1=b 如果以支路电流如果以支路电流,和支路电压作为变量，列和支路电压作为变量，列方程求解各个支路的电流，各支路的电压，这方程求解各个支路的电流，各支路的电压，这种方法就是支路电流法种方法就是支路电流法 习题习题:3-1/b, 3-2/b, 3-3/b, 3-5/b 3-3 3-3支路电流法支路电流法 对一个具有对一个具有b条支路和条支路和n个结点的电路，以支个结点的电路，以支路电流和支路电压为变量时，

18、有路电流和支路电压为变量时，有2b个未知量，根个未知量，根据据KCL列列n-1个方程，根据个方程，根据KVL列列b-n+1个方程，个方程，在根据在根据VCR列出列出b个方程，共有个方程，共有2b个独立方程，可个独立方程，可以解出以解出2b个变量，这种方法称为个变量，这种方法称为2b法。法。 为了减小方程的个数，可以利用元件的为了减小方程的个数，可以利用元件的VCR将各支路的电压直接用支路电流表示，方将各支路的电压直接用支路电流表示，方程的未知数就降为程的未知数就降为b个个,这种方法就称为支路电流这种方法就称为支路电流法。法。例 计算如图检流计中的电流 IG解：结点数结点数 n= 4,支路数支路

19、数 b=6,网孔数网孔数m=3。应应根据根据KCL列列3个方程，根据个方程，根据KVL列列3个方程，个方程，共六个。共六个。对节点对节点a I1 I2 IG = 0对节点对节点b I3 + IG I4 = 0对节点对节点c I 2 + I 4 I = 0对回路对回路abda I1R1+ IGRG I3R3 = 0对回路对回路acba I2R2 I4R4 IGRG = 0对回路对回路dbcd I3R3 + I4R4 E=0 cE(R2R3 R1R4 )RG(R1+R2) (R3+R4)+ R1R2(R3+R4)+ R3R4(R1+R2)IG =abdR1R2R3R4GI1I2I3I4IGRG+I

20、E+-1234us1is5i1i2i3i4i5i6R1R2R3R4R5R612341234561234234树树例例1234234+-1234us1is5i1i2i3i4i5i6R1R2R3R4R5R666655554443332221111)(RiuRiiuRiuRiuRiuRiuuss 1234123456+-1234us1is5i1i2i3i4i5i6R1R2R3R4R5R6000642543321 uuuuuuuuu00)(066442255544333322111 RiRiRiRiiRiRiRiRiRiuss1234123456 00)(066442255544333322111 R

21、iRiRiRiiRiRiRiRiRiuss SKKKssuiRRiRiRiRiRiRiRiuRiRiRi0664422555544331332211 SKKKssuiRRiRiRiRiRiRiRiuRiRiRi0664422555544331332211RKiK为为k个支路的电阻上的电压，个支路的电阻上的电压，iK的参考方向与回的参考方向与回路方向一致时取路方向一致时取“+”，不一致时取，不一致时取“-”， 等式右边等式右边usk为第为第k个支路的电源电压，如果有电流源个支路的电源电压，如果有电流源则等值变换为电压源。注意由于移项到等式的右边，则等值变换为电压源。注意由于移项到等式的右边，因此

22、当因此当usk方向与回路方向一致时取方向与回路方向一致时取“-”，不一致时，不一致时取取“+”， 电压降为正电压降为正电位升为正电位升为正KVL的另一种表达式：任一回路中，电阻电压的代数的另一种表达式：任一回路中，电阻电压的代数和等于电源电压的代数和。和等于电源电压的代数和。电压降电压降电位升电位升 SKKKssuiRRiRiRiRiRiRiRiuRiRiRi0664422555544331332211+-1234us1is5i1i2i3i4i5i6R1R2R3R4R5R6+-1234us1is5i1i2i3i4i5i6R1R2R3R4R5R6000654432621 iiiiiiiii00)

23、(066442255544333322111 RiRiRiRiiRiRiRiRiRiuss加上对结点加上对结点1，2，3列出的列出的KCL方程，有方程，有支路电流法的求解步骤：支路电流法的求解步骤：1。选定各支路电流的参考方向。选定各支路电流的参考方向2。列。列KCL方程方程3。选独立回路，规定回路绕行方向，列。选独立回路，规定回路绕行方向，列KVL方程方程 支路电流法要求支路的电压均能以支路电流表示。支路电流法要求支路的电压均能以支路电流表示。当一条支路仅含电流源而不存在与之并联的电阻时，当一条支路仅含电流源而不存在与之并联的电阻时，就无法将支路电压以支路电流表示。这种无并联电阻就无法将支路

24、电压以支路电流表示。这种无并联电阻的电流源称为无伴电流源，处理方法以后讨论。的电流源称为无伴电流源，处理方法以后讨论。 3-4 3-4网孔电流法网孔电流法 网孔电流法是以网孔电流作为电路的变量，利网孔电流法是以网孔电流作为电路的变量，利用基尔霍夫电压定律列写网孔电压方程，进行网孔用基尔霍夫电压定律列写网孔电压方程，进行网孔电流的求解。然后再根据电路的要求，进一步求出电流的求解。然后再根据电路的要求，进一步求出其它物理量。其它物理量。适用平面电路适用平面电路+us1+us2+us3R1R2R3im1im2i1i3i2图示电路图示电路n=2,b=3网孔数网孔数2沿网孔连续流动的假想电流称为网孔电流

25、。任一支沿网孔连续流动的假想电流称为网孔电流。任一支路电流等于流经该支路的网孔电流的代数和路电流等于流经该支路的网孔电流的代数和。+us1+us2+us3R1R2R3im1im2i1i3i2如果我们设网孔电流为如果我们设网孔电流为一组独立的变量，就可一组独立的变量，就可以应用以应用KVL列网孔的电列网孔的电压方程，求出网孔电流。压方程，求出网孔电流。 网孔电流是一个假想沿着各自网孔内循环网孔电流是一个假想沿着各自网孔内循环流动的电流，设网孔的电流为流动的电流，设网孔的电流为im1；网孔的网孔的电流为电流为im2。网孔电流在实际电路中是不存在的，网孔电流在实际电路中是不存在的，但它是一个很有用的

26、用于计算的量。选定图中但它是一个很有用的用于计算的量。选定图中电路的支路电流参考方向，再观察电路可知电路的支路电流参考方向，再观察电路可知:+us1+us2+us3R1R2R3im1im2i1i3i2 电路中所有支路的电路中所有支路的电流都可以用网孔电流电流都可以用网孔电流来表示。来表示。支路支路1，只有网孔电流，只有网孔电流im1流过，流过， i1= im1支路支路3，只有网孔电流，只有网孔电流im2流过，流过， i3= im2注意：因为网注意：因为网孔电流参考方孔电流参考方向和支路电流向和支路电流一致取一致取“+”支路支路2，有网孔电流，有网孔电流im1流过，参考方向和支路电流参流过，参考

27、方向和支路电流参考方向相同，取考方向相同，取“+”。有网孔电流。有网孔电流im2流过，参考方流过，参考方向和支路电流参考方向相反，取向和支路电流参考方向相反，取“-”。 i2= im1- im2+us1+us2+us3R1R2R3im1im2i1i3i2以网孔电流作为变量，以网孔电流作为变量，只需要列网孔的电压方只需要列网孔的电压方程，网孔电流从结点流程，网孔电流从结点流进，流出自动满足进，流出自动满足KCL 32221322122111322233212211)()(ssmmmssmmmssssuuRiiRiuuRiiRiuuRiRiuuRiRiKVL有有对对网网孔孔应应用用为为变变量量的的

28、方方程程以以上上就就是是以以网网孔孔电电流流作作 3223221212221132221322122111)()()()(ssmmssmmssmmmssmmmuuRRiRiuuRiRRiuuRiiRiuuRiiRi+us1+us2+us3R1R2R3im1im2i1i3i2如果，我们定义如果，我们定义R11为网孔为网孔1的自阻，就是网孔的自阻，就是网孔1所有电阻所有电阻之和，这里之和，这里R11 = R1+ R2如果，我们定义如果，我们定义R22为网孔为网孔2的自阻，就是网孔的自阻，就是网孔2所有电阻所有电阻之和，这里之和，这里R22= R2+ R3如果，我们定义如果，我们定义R12和和R21

29、为为网孔网孔1和和2的互阻，就是网孔的互阻，就是网孔1和和2共有的电阻，这里共有的电阻，这里R12 = R21 =-R2为何取负号？为何取负号？+us1+us2+us3R1R2R3im1im2i1i3i2如果，我们定义如果，我们定义R12和和R21为为网孔网孔1和和2的互阻，就是网孔的互阻，就是网孔1和和2共有的电阻，这里共有的电阻，这里R12 = R21 =-R2 由于网孔的绕行方向和网孔电流的方向一致由于网孔的绕行方向和网孔电流的方向一致R11和和R22总总是正的，是正的，im2R2代表代表im2在网孔在网孔1引起的压降，它和网孔引起的压降，它和网孔1的绕的绕行方向相反了，因此取负号，行方

30、向相反了，因此取负号，R12=-R2 32232212122211)()(ssmmssmmuuRRiRiuuRiRRi im1R2代表代表im1在网孔在网孔2引起的压降，它和网孔引起的压降，它和网孔2的绕的绕行方向相反了，因此取负号，行方向相反了，因此取负号，R21=-R2+us1+us2+us3R1R2R3im1im2i1i3i2 32232212122211)()(ssmmssmmuuRRiRiuuRiRRi改写以上方程得：改写以上方程得： 2222212111212111smmsmmuiRiRuiRiR互电阻具有对称性互电阻具有对称性：R12=R21，R23=R32互电阻极性互电阻极性：

31、彼此网孔电流流过这些支路的方向一致：彼此网孔电流流过这些支路的方向一致 为为“+”，相反为，相反为“-” 如果把网孔电流均规定为顺时针（或逆时针）如果把网孔电流均规定为顺时针（或逆时针）方向，互电阻全部为方向，互电阻全部为“-”没有受控源时没有受控源时+us1+us2+us3R1R2R3im1im2i1i3i2 32222111ssssssuuuuuu 2222212111212111smmsmmuiRiRuiRiR电压升电压升：us11， us22为网孔内电压源的代数和，各电压为网孔内电压源的代数和，各电压源产生的电流和网孔电流相同时取源产生的电流和网孔电流相同时取“+”，也就是电，也就是电

32、压升为压升为“+”1.自电阻网孔电流自电阻网孔电流+互电阻相邻网孔电流互电阻相邻网孔电流 =该网孔中电压源电压升之和该网孔中电压源电压升之和 2.自电阻为正，互电阻有正有负，两网孔电流流过互电阻时自电阻为正，互电阻有正有负，两网孔电流流过互电阻时方向相同取正方向相同取正, 方向相反时取负。方向相反时取负。 写出通式：写出通式：smmmmmmmmmmsmmmmmsmmmmmuiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR .2211222222121111212111（2）按照网孔电流方程的一般形式列出各网孔电）按照网孔电流方程的一般形式列出各网孔电 流方程。自电阻始终取正值，互电阻前的符流方程。自电

33、阻始终取正值，互电阻前的符 号由通过互电阻上的两个网孔电流的流向而号由通过互电阻上的两个网孔电流的流向而 定，两个网孔电流的流向相同，取正；否则定，两个网孔电流的流向相同，取正；否则 取负。等效电压源是理想电压源的代数和，取负。等效电压源是理想电压源的代数和， 电压升为电压升为“+”。（3）联立求解，解出各网孔电流。）联立求解，解出各网孔电流。（4）根据网孔电流再求待求量。）根据网孔电流再求待求量。（1）选定各网孔电流的参考方向。）选定各网孔电流的参考方向。求解步骤求解步骤（2）按照网孔电流方程的一般形式列出各网孔电）按照网孔电流方程的一般形式列出各网孔电 流方程。自电阻始终取正值，互电阻取负

34、。流方程。自电阻始终取正值，互电阻取负。 等效电压源是理想电压源的代数和，电压升等效电压源是理想电压源的代数和，电压升 为为“+”。（3）联立求解，解出各网孔电流。）联立求解，解出各网孔电流。（4）根据网孔电流再求待求量。）根据网孔电流再求待求量。（1）选定各网孔电流的参考方向为瞬时针方向。）选定各网孔电流的参考方向为瞬时针方向。例：用网孔分析法求解各支路电流。用网孔分析法求解各支路电流。 已知已知R1 = 5 、R2 = 10 、R3 =20 。R1R3R2 +20V + 10VIm1Im2i1i3i2第一网孔的自电阻： R11 = R1 + R3 = 25第一和第二网孔的互电阻： R12

35、= R21 = 20第二网孔的自电阻： R22 = R2 + R3 = 30Us11 = 20VUs22 = 10V得网孔方程为：25Im1 20 Im2 = 20 20 Im1 + 30Im2 = 10无电流源受控源无电流源受控源Im1 =1.143AIm2 = 0.429AI1 = Im1I2 = Im2I3 = Im2 Im1R1R3R2 +20V + 10VIm1Im2i1i3i2I1 = 1.143AI2 = 0.429AI3 = 0.714A+-us1+-us5i5R3R5R6i3i4im2im3R1R2R4im1i2i1535642643642643212122121)()(0)

36、()()()()(smmmmmsmmuiRRRiRRiRRiRRRRiRuiRiRR网孔电流方程：不含电源、受控源电路不含电源、受控源电路例+-us1+-us5R2R4R3im1im2R1+-us4+-us6R6im3例：电路如图所示，试求流经30电阻的电流 I 。20 +40V 2A5030IIm1Im2解：本题电路含电流源，并且不能转换为电压源由于Im2是唯一流过包含电流源支路的网孔电流，且所选方向于电流源电流方向相反，故Im2=-2A。即网孔电流Im2不必再去求解，其值是已知的。网孔 1 的方程为：50Im1 - 30 Im2 = 40将Im2= 2A代入，得：50Im1 + 60 =

37、40Im1 =40 6050= 0.4AI = Im1 - Im2 = 0.4 -（- 2 ）= 1.6A50Im1 - 30 Im2 = 4020 +40V 2A5030IIm1Im2例:电路如图所示，试列网孔方程。解：网孔方程为3Im1 Im2 2Im3 + U = 7 Im1 + 6Im2 3Im3 = 02Im1 3Im2 + 6Im2 U = 0Im1 Im3 = 7如果有受控源？如果有受控源？电流源两端有电压，列电流源两端有电压，列方程时考虑，注意符号方程时考虑，注意符号因为增加了一个未知量，因为增加了一个未知量，需要增加一个方程需要增加一个方程7A +7V Im2Im3Im1 +

38、 21123U7A（补充方程）解：R1R3im1im2+-us2R2i2+-u2ri2gu2控制量：含受控源电路网孔电流方程的列写222321221)(smmmui riRRiRugi2212212)(Riiuiiimmmm消去u2、i2 ，整理得：若电路中含有受控源，列方程时可先将受控电流（压）源看作独立电流（压）源，列完方程后再将控制变量消去。2232122212)()(0)1 (smmmmuirRRiRriRgiRg10 +6V 24+ 4V +8Ix Im1Im2Ix解：首先把受控源看成独立源，写出网孔方程，再把受控源的控制量用网孔电流表示，可得到：例：求 Ix。12Im1 2Im2

39、= 6 8Ix 2Im1 + 6Im2 = 4 + 8IxIx = Im212Im1 + 6Im2 = 6 2Im1 2Im2 = 4Ix = 3AIm2 = 3A习题习题: 3-7, 3-8 3-5 3-5回路电流法回路电流法 上节中，我们讨论网孔电流法，它适用平面电上节中，我们讨论网孔电流法，它适用平面电路，网孔电流是一组独立的变量。能否寻找一组另路，网孔电流是一组独立的变量。能否寻找一组另外的独立变量，对非平面电路同样适用。外的独立变量，对非平面电路同样适用。 我们知道独立回路的一组电流也是独立的变量，我们知道独立回路的一组电流也是独立的变量，回路电流是在回路中连续流动的假想电流，通常我

40、回路电流是在回路中连续流动的假想电流，通常我们选基本回路作为独立回路。回路电流就是相应的们选基本回路作为独立回路。回路电流就是相应的连支电流。连支电流。 b-(n-1)个连支电流是一组完备的独立变量个连支电流是一组完备的独立变量！ 回路电流法是一种适应性很强并获得广泛应用回路电流法是一种适应性很强并获得广泛应用的分析方法。的分析方法。 如果，如果，4，5，6为树，回路为树，回路1，2，3，为单连支基本回路，连支，为单连支基本回路，连支电流的参考方向即为回路电流的电流的参考方向即为回路电流的参考方向。参考方向。 一个具有一个具有 b 条支路、条支路、 n 个节点个节点的网络，有的网络，有n-1个

41、树支、个树支、b-(n-1)个连个连支，因而就有支，因而就有b-(n-1)个连支电流。个连支电流。支路支路4：为回路：为回路1和和2共有，共有，3 3 1 2 4562142li1li3li214lliii 支路支路5：为回路：为回路1和和3共有，支路共有，支路5电流参考方向和回路电流参考方向和回路1相反，相反，和回路和回路2相反相反315lliii 支路支路4电流参考方向和回路电流参考方向和回路1相反，和回路相反，和回路2相同相同支路支路6：为回路：为回路1，2和和3共有，支路共有，支路6电流参考方向和回路电流参考方向和回路1相相同，和回路同，和回路2，3相反相反3216llliiii 21

42、4lliii 315lliii 3216llliiii 3 3 1 2 4562142li1li3li可见，树支电流可以用回路电可见，树支电流可以用回路电流表示，如果我们对结点流表示，如果我们对结点1，2，3应用应用KCL，可得可得32132163131521214llllllliiiiiiiiiiiiiiiii 可见，回路电流的假设自动满足可见，回路电流的假设自动满足KCL方程，只需要列方程，只需要列KVL方程即可。方程即可。n=4,b=6,树支树支3，连支，连支3，基本回路数，基本回路数3i5R1R5R2R3 us1+ us2R4R6us4+ +-+-us3+us1R5R3+us2 R4R

43、6 us4 + + us3 il1il3il2R1R2(R1+R2+R6+R4) il1 (R6+R4)il2 (R2+R6)il3= us1 us2 us4 (R4+R6)il1 + (R3 +R4 +R6)il2 + R6il3 = us3 + us4 (R2+R6) il1 + R6il2 + (R2 +R5 +R6)il3 = us2回路 I回路III回路 IIR31il1+R32il2+R33il3= us33R21il1+R22il2+R23il3= us22R11il1+R12il2+R13il3= us11进一步整理后得(R1+R2+R6+R4) il1 (R6+R4)il2

44、(R2+R6)il3= us1 us2 us4 (R4+R6)il1 + (R3 +R4 +R6)il2 + R6il3 = us3 + us4 (R2+R6) il1 + R6il2 + (R2 +R5 +R6)il3 = us2回路 I回路III回路 II自电阻：R11、R22、R33。它们分别是各个回路内所 有电阻之和，如： R11= R1+R2+R6+R4；6523354322RRRRRRRR R31il1+R32il2+R33il3= us33R21il1+R22il2+R23il3= us22R11il1+R12il2+R13il3= us11+us1R5R3+us2 R4R6 u

45、s4 + + us3 il1il3il2R1R2互电阻：互电阻：R12、R13、R32。回路之回路之间的共同电阻，无共同电阻者为零；间的共同电阻，无共同电阻者为零；互电阻的极性：互电阻的极性：由由相关两个回路电流流经这些支路的方相关两个回路电流流经这些支路的方 向是否一致决定，一致为正，相反为负；向是否一致决定，一致为正，相反为负；例如：例如：1，3两个回路共同流过两个回路共同流过R2，R6两个支路，方向相反两个支路，方向相反“-”6213RRR +us1R5R3+us2 R4R6 us4 + + us3 il1il3il2R1R2例如：例如：1，2两个回路共同流过两个回路共同流过R4，R6两

46、个支路，方向相反两个支路，方向相反“-”6412RRR +us1R5R3+us2 R4R6 us4 + + us3 il1il3il2R1R2例如：例如：2，3两个回路共同流过两个回路共同流过R6支路，方向相同支路，方向相同“+”623RR R31il1+R32il2+R33il3= us33R21il1+R22il2+R23il3= us22R11il1+R12il2+R13il3= us11+us1R5R3+us2 R4R6 us4 + + us3 il1il3il2R1R2互电阻的对称性：R12=R21、R32= R23电压升：us11、us22、us33 。回路内电压源的代数和， 电压

47、升的取正。233432242111ssssssuuuuuuuuu R11il1+R12il2+R1milm= us11R21il1+R22il2 +R2milm=us22Rm1il1+Rm2il2+Rmmilm= usmm一般回路方程：有m个基本回路的电路，按照相同的 规则可得m个方程如下：例VuVuRRRRRRss2,42151654321 要先确定树要先确定树1li2li3li+-R1+-R2R3R4R5R6us1us51li2li3li+-R1+-R2R3R4R5R6us1us5回路回路1 (1,6,5,4) 电流方向和连支电流方向和连支1相同相同213456回路回路2 (2,5,4)

48、电流方向和连支电流方向和连支2相同相同回路回路3 (3,5,6) 电流方向和连支电流方向和连支3相同相同 52215221722216533345222456111RRRRRRRRRRRRRVuuVuuVuuusssssss2225335225111 1li2li3li+-R1+-R2R3R4R5R6us1us5 24453223653113542112RRRRRRRRRRR回路回路1,2 (4,5) 电流方向相同电流方向相同 +回路回路1,3 (5,6) 电流方向相反电流方向相反 -回路回路2,3 (5) 电流方向相反电流方向相反 -R11il1+R12il2+R1milm= us11R21

49、il1+R22il2 +R2milm=us22Rm1il1+Rm2il2+Rmmilm= usmm252422542447321321321 llllllllliiiiiiiii例：选4、5、6为树支，取各基本回路电流参考方向与其连支电流 一致。+-us1+-R1R2R6R4R5us5R3126453电路中有电流源时如何处理？电路中有电流源时如何处理？ 电路中如果有电流源和电阻的并联组合，可等电路中如果有电流源和电阻的并联组合，可等效为电压源和电流的串联组合。效为电压源和电流的串联组合。 电路中存在无伴电流源时，可增加一个变量，电路中存在无伴电流源时，可增加一个变量，就是电流源两端的电压，但因

50、为电流源所在支路的就是电流源两端的电压，但因为电流源所在支路的电流是已知的，因此增加了一个回路电流的附加方电流是已知的，因此增加了一个回路电流的附加方程，下面举例说明：程，下面举例说明：4A30V5I 1+25V19V241.5I 14A30V5I 1+25V19V241.5I 1U1U2n=3, b=5树支树支2, 连支连支3基本回路基本回路34A30V5I 1+25V19V241.5I 1U1U2 44642462411524231312332211RRRRRR1li2li3li45 . 15 . 125444625194663625301946112113132122321321llll

51、llllllllIIIIUIIIUUIIIIII4A30V5I 1+25V19V241.5I 1U1U2 44642462411524231312332211RRRRRR 在电路中任意选择一个结点为参考点，其它在电路中任意选择一个结点为参考点，其它结点与参考点之间的电压，称为该结点的结点电结点与参考点之间的电压，称为该结点的结点电压。显然一个压。显然一个n个结点的电路有个结点的电路有n-1个结点电压。个结点电压。 结点电压的参考方向是由独立结点指向参考结点电压的参考方向是由独立结点指向参考结点，也就是参考结点为负，独立结点为正。结点，也就是参考结点为负，独立结点为正。 3-6 3-6结结 点点

52、 电电 压压 法法is1i1i6is6i5i3i2+-us3R1R2R3R4R5R61230123456is1i1i6is6i5i3i2+-us3R1R2R3R4R5R61230123456 电路有电路有4个结点，参考点为个结点，参考点为0，独立结点为，独立结点为1，2，3，它们对结点它们对结点0的电压分别用的电压分别用un1,un2,un3表示表示 支路支路1的电压的电压u1=un1 ，支路，支路2的电压的电压u2=un2 支路支路3的电压的电压u3=un3，支路，支路4的电压的电压u4=un1- un2 支路支路5的电压的电压u5=un2- un3 ，支路，支路6的电压的电压u6=un1-

53、 un3有有6条支路条支路任一支路电压等于其两端结点电压之差。任一支路电压等于其两端结点电压之差。1230123456u1=un1 ，u2=un2 ， u3=un3，u4=un1- un2u5=un2- un3 ，u6=un1- un3可见，各支路电压均可以用结点电压表示可见，各支路电压均可以用结点电压表示对三个网孔应用对三个网孔应用KVL001221124 nnnnuuuuuuu002332235 nnnnuuuuuuu0)(0313221654 nnnnnnuuuuuuuuuKVL自动满足，因此只需要对自动满足，因此只需要对n-1个结点应用个结点应用KCL，待求量结点电压，未知数待求量结点

54、电压，未知数n-1，方程个数方程个数n-1 结点电压法是以结点电压为未知量，利用基尔结点电压法是以结点电压为未知量，利用基尔霍夫电流定律导出（霍夫电流定律导出（）个以独立结点电压为未）个以独立结点电压为未知量的方程，联立求解，得出各结点电压。然后进知量的方程，联立求解，得出各结点电压。然后进一步求出各待求量。一步求出各待求量。 结点电压法适用于结点少、回路多的电路的分结点电压法适用于结点少、回路多的电路的分析求解。析求解。 为了应用为了应用KCL，必须将各支路电流用结点电压必须将各支路电流用结点电压表示。表示。is1i1i6is6i5i3i2+-us3R1R2R3R4R5R6123012345

55、63333333222221111111RuuRuuiRuRuiiRuiRuisnsnsns 66316666532555421444snnsnnnniRuuiRuiRuuRuiRuuRui 123012345633332221111RuuiRuiiRuisnnsn 6631653254214snnnnnniRuuiRuuiRuui 对结点应用对结点应用KCL 000653542641iiiiiiiii0006631532333532421226631421111 snnnnsnnnnnnsnnnnsniRuuRuuRuuRuuRuuRuiRuuRuuiRu336365325163525421

56、461362416416631532333532421226631421111)111(1101)111(111)111(000RuiuRRRuRuRuRuRRRuRiiuRuRuRRRiRuuRuuRuuRuuRuuRuiRuuRuuiRussnnnnnnssnnnsnnnnsnnnnnnsnnnnsn 65333542226411133636532516352542146136241641)(0)()(GGGGGGGGGGGGuGiuGGGuGuGuGuGGGuGiiuGuGuGGGssnnnnnnssnnn 自导，自导，G11和结点和结点1有关联的有关联的电导，总是正的。电导，总是正的。

57、G11和结点和结点1有关联的电导，有关联的电导，G22和结点和结点2有关联的电导有关联的电导G33和结点和结点3有关联的电导，有关联的电导，is1i1i6is6i5i3i2+-us3R1R2R3R4R5R61230123456is1i1i6is6i5i3i2+-us3R1R2R3R4R5R6结点结点1，2之间有之间有G4相联系相联系G12=G21=-G4，互导总是负的互导总是负的33636532516352542146136241641)(0)()(ssnnnnnnssnnnuGiuGGGuGuGuGuGGGuGiiuGuGuGGG 5322363113GGGGGG 1230123456123

58、0123456的的为为负负的的为为正正，流流出出结结点点流流入入结结点点的的为为负负的的为为正正，流流出出结结点点流流入入结结点点3301163333226111sssssssiuGiiiii is1i1i6is6i5i3i2+-us3R1R2R3R4R5R633636532516352542146136241641)(0)()(ssnnnnnnssnnnuGiuGGGuGuGuGuGGGuGiiuGuGuGGG 进一步整理后得：G31un1+G32un2+G33un3= is33G21un1+G22un2+G23un3= is22G11un1+G12un2+G13un3= is11 G11u

59、n1+G12un2+G1(n-1)un(n-1) = is11 G21un1+G22un2 +G2(n-1) un(n-1) = is22. G (n-1)1un1+G (n-1)2un2+G (n-1)(n-1) un(n-1) = is (n-1)(n-1)一般结点电压方程：有n个结点的电路，按照相同 的规则可得(n-1)个方程如下：例例列列出出结结点点方方程程,3,cos4,4,cos25 . 017313487436321VutVuAitAiRRRRRRRRssss 410321R2R3R4R5R6R7R8R7su+-+3su4si13si9,5 bn33442242322344114

60、311312112743446323352122841110, 0,GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG ttuGiuGituGiiitiiissssssssssscos8cos26cos42404cos233477443313332213411 例例5101055, 53/155 . 021, 05 . 0)3161(, 121211312161, 1312161332211322331132112332211 sssiiiGGGGGGGGG+-UO15V 3 2 2 2 6I1I2I310AI45AI512355 . 00105 . 05 . 0505 . 032