第3章立体投影

1、第第3章章 立体的投影立体的投影 本章主要介绍了：基本几何体的三面投影特性、投影本章主要介绍了：基本几何体的三面投影特性、投影图画法及其表面取点的方法；切割体和相贯体的投影特性图画法及其表面取点的方法；切割体和相贯体的投影特性及其投影图画法；基本几何体及其切割体体、相贯体的尺及其投影图画法；基本几何体及其切割体体、相贯体的尺寸标注方法。寸标注方法。学习目标与要求学习目标与要求内容简介内容简介1. 掌握立体的三面投影特性及三面投影的作图方法；掌握立体的三面投影特性及三面投影的作图方法； 2. 掌握立体表面取点、线的方法；掌握立体表面取点、线的方法； 3. 掌握切割体截交线的求法；掌握切割体截交线

2、的求法；4. 掌握常见相贯体表面交线的求法；掌握常见相贯体表面交线的求法； 5. 学会基本几何体及其切割体体、相贯体的尺寸标注方法。学会基本几何体及其切割体体、相贯体的尺寸标注方法。重点和难点重点和难点 综合运用点、直线、平面投影的知识，掌握基本几何体综合运用点、直线、平面投影的知识，掌握基本几何体画图、读图方法，以及表面上取点、取线的作图方法；画图、读图方法，以及表面上取点、取线的作图方法； 基本体截断后其截交线的求法；基本体截断后其截交线的求法； 特殊相贯线的求法；特殊相贯线的求法； 两圆柱面正交时其相贯线的求法。两圆柱面正交时其相贯线的求法。重点：重点：难点：难点： 圆柱、圆锥、圆球表面

3、上取点、线的三面投影作图方法；圆柱、圆锥、圆球表面上取点、线的三面投影作图方法； 基本体截断后其截交线的求法。基本体截断后其截交线的求法。 第第3章章 立体的投影立体的投影3.1 3.1 基本几何体的投影基本几何体的投影3.2 3.2 切割体的投影切割体的投影3.3 3.3 相贯体的投影相贯体的投影VHWZXY一、平面立体的投影一、平面立体的投影 1.棱柱体棱柱体3 3-1 1 基本几何体的投影基本几何体的投影baecdb(c)a(d)e(f)abcd(e)(f)BECDFAOXZYWYHb(c)a(d)e(f)(1)棱柱体的三视图棱柱体的三视图adb (e)c (f)baecdf 设点设点A

4、、B在棱柱表面，且已知正面投影在棱柱表面，且已知正面投影a、b,求它求它们在其它两个面上的投影，并判别其可见性。们在其它两个面上的投影，并判别其可见性。OXZYWYHa(b)abab点点a为何在为何在这条线上这条线上?a 可见可见b 不可见不可见(2) (2) 棱柱表面的点棱柱表面的点六棱柱的投影六棱柱的投影a ab bc cd de ef fa ab bc cd d（e e）（f f）（c c ）（d d ）（e e ）a ab bf f先画先画H H面投面投影（反映六影（反映六棱柱特征）棱柱特征）积聚积聚ABCDEF六棱柱表面上取点六棱柱表面上取点a ab bc cd de ef fa a

5、b bc cd d（e e）（f f）（c c ）（d d ）（e e ）a ab bf fm mm m( )( )M M点在左点在左側，側，W W面投面投影不可见影不可见m mM M已知点已知点M M在棱柱表面在棱柱表面求其三面投影。求其三面投影。HVWXYZ画图步骤：画图步骤： 完成底面的三面完成底面的三面投影，再画出锥顶投影，再画出锥顶S S的各个投影，连接各的各个投影，连接各顶点的同面投影，即顶点的同面投影，即为正三棱锥的三视图为正三棱锥的三视图。2、 棱锥体棱锥体（正三棱锥）（正三棱锥）abcssba(c)asbASCB（1）正三棱锥的三视图）正三棱锥的三视图OXZYWYHsba(c

6、)asbcabcs平面平面SAC的的投影为什么投影为什么是一条线？是一条线？HVWXYZabssbaasbASBC Cc c（2） 棱锥表面上的点棱锥表面上的点 如图：如图：点点M M在在SABSAB上的，试求上的，试求点点M M、的投影（利、的投影（利用辅助线法）用辅助线法）。11MmmmOXZYWYHsba(c)asbcabcs11mn(n)mnm已知点已知点M M、N N的正面投影的正面投影mm、n,n,求其它两面投影。求其它两面投影。N N点在哪点在哪个面上个面上VHZXYW二、曲面立体的投影二、曲面立体的投影1、圆柱体、圆柱体 OOAB母线母线素线素线ABCabcda(c)b(d)最

7、左轮最左轮廓素线廓素线最前轮最前轮廓素线廓素线a(b)c(d)（1）圆柱的投影图）圆柱的投影图abcda(c)b(d)a (b)c(d)YWYHXZo（2）分析圆柱轮廓素线的投影）分析圆柱轮廓素线的投影V面投影面投影轮廓素线轮廓素线圆柱轮廓圆柱轮廓素线素线(转向转向轮廓线）轮廓线）YWYHXZo（3）圆柱体表面上取点）圆柱体表面上取点 若已知圆柱体表面的点若已知圆柱体表面的点M M的正面投影的正面投影mm，求另两面投影，求另两面投影。 根据所给定的根据所给定的m 的位的位置，可断定点置，可断定点M在前半圆柱在前半圆柱的左半部分的左半部分. 因圆柱的水平投影有积因圆柱的水平投影有积聚性，故聚性，

8、故m在前半圆周的左在前半圆周的左部。部。 m(可见）可由可见）可由m和和m求得。求得。 注意：判别可见性。注意：判别可见性。 mmm例：圆柱表面上取点例：圆柱表面上取点a ab ba aa aABC(c(c) )c cc c(b(b) )b bZVWYXHcsda(b)2.圆锥体圆锥体 形成：形成：锥面可看作直线锥面可看作直线SASA绕与它相交的轴线旋转而成。绕与它相交的轴线旋转而成。视图分析：视图分析：圆锥俯视图是圆锥俯视图是一个圆线框，主、左视图一个圆线框，主、左视图是两个全等的三角形线框。是两个全等的三角形线框。构成：构成：圆锥体由圆锥面，底面（平面）所围成。圆锥体由圆锥面，底面（平面）

9、所围成。cabdasbc(d)OOSA母线母线素线素线SAC最前轮最前轮廓素线廓素线最左轮最左轮廓素线廓素线(1)圆锥体的投影图圆锥体的投影图圆锥轮廓圆锥轮廓素线的投影素线的投影圆锥轮圆锥轮廓素线廓素线最左最左最右最右最前最前最后最后(2) 圆锥表面上的点圆锥表面上的点已知圆锥表面点已知圆锥表面点M的正面投影的正面投影m，求，求m和和m。 方法方法 1：辅助素线法辅助素线法m11mmossss sXZOYHYWM方法方法2： 辅助圆法辅助圆法MXZOYHYWsss smmm形成：形成：圆球可看作是一圆圆球可看作是一圆(母线母线)围绕直径回转而成。围绕直径回转而成。投影：投影：球体的各面投影为三

10、个不同的回转圆。球体的各面投影为三个不同的回转圆。回转轴回转轴素线圆素线圆ZYXVHW主视轮廓圆主视轮廓圆平行平行V面面左视轮廓圆左视轮廓圆平行平行W面面俯视轮廓圆俯视轮廓圆平行平行H面面3.圆球圆球母线圆母线圆（1）圆球的投影图形）圆球的投影图形YHXZOYW回转圆的回转圆的另两面投另两面投影分别在影分别在中心线上！中心线上！YHXZOYW（2）球体表面的点）球体表面的点已知圆球表面点已知圆球表面点M的水平投影的水平投影m，求其他两面投影。，求其他两面投影。 方法：方法：辅助圆法辅助圆法。过点过点M在球面上作一平行于投影面的辅在球面上作一平行于投影面的辅助圆。点的投影必在辅助圆的同面投影上。

11、助圆。点的投影必在辅助圆的同面投影上。mmmd（d）（d ）M3-2 切割体的投影切割体的投影一、切割体及截交线的概念、切割体及截交线的概念 切割体：切割体：基本体被截切后的部分称为切割体。基本体被截切后的部分称为切割体。 截平面：截平面：用来截切立体时的平面称为截平面。用来截切立体时的平面称为截平面。 截断面：截断面：立体被截切后的断面称为截断面立体被截切后的断面称为截断面。 截交线：截交线：截平面与立体表面的交线称为截交线截平面与立体表面的交线称为截交线。截交线的性质：截交线的性质：（1）截交线是截平）截交线是截平面与立体表面的共面与立体表面的共有线；有线；（2）由于任何立体）由于任何立体

12、都有一定大小和形都有一定大小和形状，截交线。一定状，截交线。一定是闭合的平面图形。是闭合的平面图形。二、平面立体的截交线二、平面立体的截交线 由于平面立体的表面都是由平面所组成的，所由于平面立体的表面都是由平面所组成的，所以它的截交线是由直线围成的封闭的平面图形。其以它的截交线是由直线围成的封闭的平面图形。其作图方法如下：作图方法如下： 3.3.完善投影轮廓。完善投影轮廓。将切除部分的轮廓线擦去，将其将切除部分的轮廓线擦去，将其余轮廓线描深。余轮廓线描深。2.2.将求出的各个交点依次连接成平面多边形。将求出的各个交点依次连接成平面多边形。可见可见的线段用粗实线连接，不可见的线段用虚线连接。的线

13、段用粗实线连接，不可见的线段用虚线连接。1.1.求出有关棱线及底边与截平面的交点并判断交点求出有关棱线及底边与截平面的交点并判断交点的可见性。的可见性。若截平面相交，则还要利用立体表面取若截平面相交，则还要利用立体表面取点的方法点的方法,求出两截平面的交线与有关棱面的交点。求出两截平面的交线与有关棱面的交点。1.求求棱柱截切后的投影棱柱截切后的投影例例1 1：求正五棱柱被截切后的俯视图和左视图。：求正五棱柱被截切后的俯视图和左视图。C 求截交线求截交线C 完善轮廓完善轮廓C 检查检查 注意截交线投影的类似性注意截交线投影的类似性注意可见性注意可见性C 空间分析和投影分析空间分析和投影分析3 3

14、 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 3 3 5 .4 4 P3241 15(5(5 ) )51234. 2 A,B,CA,B,C在棱线上在棱线上P Pq qqqPPa ae ec cb bd db be e(d d)f f(g g)a a(c c)PP侧垂面侧垂面qq正平面正平面g g aabbc c d d eef f 例例2例例3 注意：注意：要逐个截平面分析和绘制要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后体被截切，求出截交线后再取局部。再取局部。补全六棱柱被截切后的俯视图和左视图。补全六棱柱被

15、截切后的俯视图和左视图。1(3)1(3)2(4)2(4)1 1 (2(2 ) )221 1 3 3 (4(4 ) )5 5 (6(6 ) )334466555 56 62.求斜切六棱锥的投影求斜切六棱锥的投影依次连接各点同面投影，依次连接各点同面投影，即为截交线的投影即为截交线的投影求截交线各顶点的水平求截交线各顶点的水平和侧面投影和侧面投影此截交线各顶点是截平面与立体棱线的交点。此截交线各顶点是截平面与立体棱线的交点。3.三棱锥台开槽后的投影三棱锥台开槽后的投影补完整三棱锥的投影补完整三棱锥的投影 用水平面切割用水平面切割 用侧平面切割用侧平面切割例例 已知带切口的正已知带切口的正六棱柱的正

16、面投六棱柱的正面投影，求作其另两影，求作其另两投影。投影。 例例已知带切口的三棱锥已知带切口的三棱锥的正面投影，补全其的正面投影，补全其水平及侧面投影。水平及侧面投影。 例例求四棱台开槽后的投影。求四棱台开槽后的投影。 三、曲面立体的截交线 平面截切曲面立体，所得截交线一般为封闭平面截切曲面立体，所得截交线一般为封闭的平面曲线；在特殊情况下，也可能由平面曲线的平面曲线；在特殊情况下，也可能由平面曲线和直线或完全由直线围成。因此，求曲面立体的和直线或完全由直线围成。因此，求曲面立体的截交线应先求出截平面与曲面立体上某些素线的截交线应先求出截平面与曲面立体上某些素线的交点，然后依次光滑连接并判断可

17、见性。交点，然后依次光滑连接并判断可见性。 1.1.先求特殊位置点。（一般为截平面与轮廓素线先求特殊位置点。（一般为截平面与轮廓素线的交点）的交点）2.2.再求一般位置点。（以便确定曲线的凹向）再求一般位置点。（以便确定曲线的凹向）3.3.依次将相邻各点连成光滑曲线，并判断可见性。依次将相邻各点连成光滑曲线，并判断可见性。（可见的用粗实线连接，不可见的用虚线连接）（可见的用粗实线连接，不可见的用虚线连接）PVPVPH截平面与截平面与轴线垂直轴线垂直截平面与截平面与轴线倾斜轴线倾斜截平面与截平面与轴线平行轴线平行圆柱体的各种截交线形式圆柱体的各种截交线形式1.圆柱体的切割圆柱体的切割例例4 求斜

18、截圆柱体的投影求斜截圆柱体的投影PV步骤：步骤：（1）求特殊点；（）求特殊点；（2）求一般点；）求一般点； （3）光滑连接）光滑连接各点并完善图形。各点并完善图形。例例5（2 2）1 111221122例例6空间及投影分析空间及投影分析求截交线求截交线完善圆柱轮廓完善圆柱轮廓截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：解题步骤： 同一立体被多同一立体被多个平面截切，要逐个平面截切，要逐个截平面进行截交个截平面进行截交线的分析和作图。线的分析和作图。1(2)1(2)3(4)3(4)11224(2)4(2)3(1)3(1)3344 4 42 2

19、1 13 3: :求作圆柱切口开槽后的视图求作圆柱切口开槽后的视图例例73(4)3(4)1(2)1(2)1 12 2(3(3) )(4(4) )（3 3）（4 4）1122例例通孔通孔1(2)2121例例2 . 圆锥体的截交线圆锥体的截交线圆圆椭椭 圆圆抛物线抛物线双曲线双曲线三角形三角形形式形式轴轴 测测 图图投投 影影 图图PVPVPVPVPV例例8abcabcbac特殊点特殊点辅助圆定点辅助圆定点dd椭圆另两椭圆另两个顶点个顶点描深图线描深图线d例例9 9123(4)132132分析：圆锥台的切口分析：圆锥台的切口由三个平面切割而成，由三个平面切割而成，分析各截交线的空间分析各截交线的空

20、间形状和投影特性。形状和投影特性。求作切口圆锥台的左、俯视图。求作切口圆锥台的左、俯视图。3. 圆球的截交线圆球的截交线 用任何位置的截平面截割圆球，用任何位置的截平面截割圆球，截交线的截交线的形状都是圆。形状都是圆。 当截平面当截平面平行于平行于某一投影面时，截交线在某一投影面时，截交线在该投影面该投影面上的投影为上的投影为圆圆的实形，的实形，其它两面其它两面投影投影积聚为积聚为直线直线。例例10 求半球体被截后的俯视图和左视图。求半球体被截后的俯视图和左视图。4.组合回转体被截切后的投影分析组合回转体被截切后的投影分析P圆锥圆锥圆柱圆柱1圆柱圆柱2双曲线双曲线直线直线直线直线截面截面顶点顶

21、点3-3 相贯体的投影相贯体的投影一、相贯体及相贯线的概念一、相贯体及相贯线的概念 相贯体：相贯体：两立体相交形成的几何体。两立体相交形成的几何体。 相贯线：相贯线：相贯体表面的交线。相贯体表面的交线。 相贯体类型：相贯体类型： 两平立体相交两平立体相交 平面立体与曲面立体相交平面立体与曲面立体相交 两曲面立体相交两曲面立体相交一般所说相贯线指两曲面立体相交的交线。一般所说相贯线指两曲面立体相交的交线。二、相贯线的性质二、相贯线的性质（1 1）相贯线上所有点一定是两曲面立体的共有点，）相贯线上所有点一定是两曲面立体的共有点，相贯线也是两回转体表面的分界线；相贯线也是两回转体表面的分界线；（2 2）一般情况下，相贯线是封闭的空间曲线，特殊）一般情况下，相贯线是封闭的空间曲线，特殊时是平面曲线或直线。时是平面曲线或直线。三、求相贯线的方法三、求相贯线的方法1.1.积聚性法：积聚性法：当两圆柱体的轴线正交时，相贯线的两面投影具当两圆柱体的轴线正交时，相贯线的两面投影具有积聚性，并且已知其投影，由时