第一章 引力场论xiu

1、第一章第一章 引力场引力场 1.1 万有引力定律与引力场强度万有引力定律与引力场强度1、 万有引力定律万有引力定律 万有引力定律表述式万有引力定律表述式 k是引力常数，其值为是引力常数，其值为 12123m mfkr r r2381067. 6sgcmk Z 万有引力定律表明，两个质点间的作用力大小与质点质量万有引力定律表明，两个质点间的作用力大小与质点质量之积成正比，与距离平方成反比，力的方向沿着它们的连线。之积成正比，与距离平方成反比，力的方向沿着它们的连线。 两质点之间的作用力符合两质点之间的作用力符合牛顿第三定律牛顿第三定律。 万有引力定律只能直接用于质点。所谓质点，是指当物万有引力定

2、律只能直接用于质点。所谓质点，是指当物体的线度远小于它们之间的距离时，将其质量集中于一点的体的线度远小于它们之间的距离时，将其质量集中于一点的理想化模型。理想化模型。两个物体之间的作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上.力不能离开物体单独存在。12123m mfkr r r2、 引力场强度引力场强度 用引力场强度来描述引力场。用引力场强度来描述引力场。 定义：定义：场中某点的场强度场中某点的场强度 等于一单位质点在该处所受到等于一单位质点在该处所受到的力。的力。 F000limmfFm特点：仅是坐标函数，与试探质点（质量很少，几何特点：仅是坐标函数，与试探质点（质量很少，

3、几何尺度很小）无关尺度很小）无关。由万有引力定律，在点质量由万有引力定律，在点质量m m的场中与的场中与m m相距相距r r处，试探质点处，试探质点 受受到的引力为到的引力为 0fm F03mm rfkr 3( )mF rkrr 3、 点质量场强度点质量场强度 0m注：力不是质点本身而是它们的场的作用。（用场的观念去理解）注：力不是质点本身而是它们的场的作用。（用场的观念去理解）4、场强叠加原理、场强叠加原理31( )niiiimF rkrr 对于离散的质点系，由场强叠加原理有对于离散的质点系，由场强叠加原理有对于体分布的质量，可将其视为一系列质点的叠加，把质对于体分布的质量，可将其视为一系列

4、质点的叠加，把质量体积量体积V分成无数个分成无数个dv，则，则(1)观察点观察点P在质量体外在质量体外3VrFkdvr dmdv33rrd Fkdmkdvrr 对整个体积积分得对整个体积积分得思考：场强在思考：场强在X,Y,Z三轴上投影三轴上投影Fx，Fy，Fz分别为什么？分别为什么？(2)观察点观察点P在质量体内或边界上在质量体内或边界上P点周围一变域点周围一变域V0，径度为，径度为去除奇点后去除奇点后V-V0则为则为P点外域，则场强度用点外域，则场强度用旁义（广义）积分定义：旁义（广义）积分定义：030limV VrFkdvr 可以证明若可以证明若 为连续函数，上式为一收敛性之旁义积分。为

5、连续函数，上式为一收敛性之旁义积分。( , , ) 结论：无论结论：无论P点在质量分布区以外或以内，只要点在质量分布区以外或以内，只要 为一连续函数，为一连续函数，P点的场强总可以用寻常积分或由旁义积分来表示，而旁义积分的极限值完点的场强总可以用寻常积分或由旁义积分来表示，而旁义积分的极限值完全和寻常积分相同。全和寻常积分相同。( , , ) 同理，面质量产生的引力场强度为同理，面质量产生的引力场强度为 3SrFkdsr 5、引力场分布的几何描述、引力场分布的几何描述引力场线引力场线 引力场线方程引力场线方程 (力线上的线元力线上的线元 应该平行应该平行 )0F dl引力场线分布引力场线分布d

6、lF例例1 求薄球壳的场强求薄球壳的场强 1.2 引力场第一基本定律（场强度的通量和散度）引力场第一基本定律（场强度的通量和散度）1、质点的场强通量、质点的场强通量 场强度场强度F的通量是这样规定的，等于场强度的法线分量面积分的通量是这样规定的，等于场强度的法线分量面积分 将一点质量的场强度公式代入上式，即得将一点质量的场强度公式代入上式，即得32cos()SSSr nNF ndskmdsrn rkmdsr SNF nds 规定立体角的正负号如下：如果从角点看到的是规定立体角的正负号如下：如果从角点看到的是dsds的内的内侧，则为正，相反为负。侧，则为正，相反为负。立体角立体角22cos()n

7、 r dsdsdrr 2244QSSSrNF ndskmdkmkmkmr （ 点在 面内部）4SNF ndskm （高斯定理）2cos()Sn rNkmdsr 质点的场强通量质点的场强通量SSNF ndskmdkm 当当S为一闭合面时：为一闭合面时：120 QSSSNF ndskmdkm （） （ 点在 面外部） 这就是引力场强第一定律（高斯定理），其含义为场强矢量这就是引力场强第一定律（高斯定理），其含义为场强矢量F 对于任意一闭合面对于任意一闭合面S的通量的通量S等于等于S所包围质量的所包围质量的 倍。倍。4 k2、任意分布质量场强通量、任意分布质量场强通量4iSiF ndskm iiFF

8、其中其中一组质点一组质点体分布质量体分布质量VVmdV4SVF ndskdV 代入高斯定理得代入高斯定理得0limSVF ndsFV 4sVVF dVF ndskdV 3、引力场的散度、引力场的散度4Fk 散度的定义散度的定义所以引力场场强的散度所以引力场场强的散度根据根据散度定理散度定理：结论：场中每一点上场强度散度只与该点质量密度成比例，结论：场中每一点上场强度散度只与该点质量密度成比例，引力场场源点在场强散度不为零之处。引力场场源点在场强散度不为零之处。 1.3 引力场第二基本定律（场强度的环流和旋度）引力场第二基本定律（场强度的环流和旋度）dAF dl1、场力所作的功、场力所作的功 L

9、AF dl对于单位质量，场力作的功为对于单位质量，场力作的功为当移动路径为当移动路径为L 对一质点对一质点m的场来说的场来说2、功与路径无关、功与路径无关 32cosmmF dlkr dlkdlrr 因为因为 cosdldr2()mkmF dlkdrdrr3mFkrr 11()()BArrABLkmAF dldkmrrr 式中式中rA、rB分别表示点质量分别表示点质量m到路径到路径L的起点的起点A和终点和终点B的距离。的距离。结论：该式表明点质量沿任意路径在引力场中作的功结论：该式表明点质量沿任意路径在引力场中作的功与路径的起点和终点位置有关，而与路径的形状无关。与路径的起点和终点位置有关，而

10、与路径的形状无关。引力场的场强度的环流等于零，这就是引力场第二定律引力场的场强度的环流等于零，这就是引力场第二定律。引力场第二定律实质上是能量守恒定律在引力场的特殊形引力场第二定律实质上是能量守恒定律在引力场的特殊形式。式。3、场强度的环流、场强度的环流 0LF dl由斯托克斯定理斯托克斯定理得 0limLSdlFFS 式中式中S S是以回路是以回路L L为周界的任意曲面。为周界的任意曲面。4、场强度的旋度、场强度的旋度 ()0SLdlFndsF0rotFF引力场的旋度等于零，即引力场是无旋的场。引力场的旋度等于零，即引力场是无旋的场。5、 引力场的基本方程引力场的基本方程引力场是无旋的场引力

11、场是无旋的场0rotFF 引力场是有散的场，产生引力场的源是质量引力场是有散的场，产生引力场的源是质量4VdivFFkdV 1.4 引力场的势及梯度引力场的势及梯度1、势的定义、势的定义 00( )()PPAF dlU PU P00( )()PPdlU PU PF( )( )PPdldlU PUFF 或或选取无穷远处为势为选取无穷远处为势为零零场中任意场中任意P点的势等于将一单位质量从无限远处移至点的势等于将一单位质量从无限远处移至P点时点时场力所作的功。场力所作的功。( )( )PPdldlU PUFF 势的特点：势的特点：A、势的单值性、势的单值性B、势的相对性、势的相对性将点质量的场强代

12、入势的定义中，即得点质量将点质量的场强代入势的定义中，即得点质量m的场中任一点的场中任一点P点的势点的势32( )PPPdlkmkmU PFrdldrrr 2 2、点质量的势、点质量的势或或,0mUkrr对于一质点组而言，场中任一对于一质点组而言，场中任一P点的势点的势iiimUkr3 3、体质量分布的势、体质量分布的势VdvUkrP点在质量分布区域外P点在质量分布区域内00limV VUkdvr旁义积分（收敛）旁义积分（收敛）BABBAAUUF dlF dlF dl当当B无限靠近无限靠近A时，此增量可写成一微分时，此增量可写成一微分ldUF dlFdl4 4、势的梯度与场强度的关系、势的梯度

13、与场强度的关系 在直角坐标系中，场强度沿坐标轴的三分量应为在直角坐标系中，场强度沿坐标轴的三分量应为 ,.xyzUUUFFFxyzUUUdUdxdydzxyz 根据梯度定义根据梯度定义 根据全微分定义根据全微分定义FgradUUUUUgradUUijkxyz我们有我们有 引力场中任一点的场强引力场中任一点的场强F F等于该点的势的梯度等于该点的势的梯度 ldUF dlFdl() ()xyzxyzF dlF iF jF kdxidy jdzkF dxF dyF dz5、等势面、等势面 凡势之值相等的各点所构成的曲面称为等势面。凡势之值相等的各点所构成的曲面称为等势面。 ( , , )()U x

14、y zc常数0dU 即即等势面上任意两点间的势差为零。等势面上任意两点间的势差为零。 UUUdUdxdydzUdlxyz 而而 0Udl 所以在任意点的所以在任意点的F F恒与通过该点的等势面垂直，即恒与通过该点的等势面垂直，即力线与等势面正交。力线与等势面正交。 00Udl 所以所以 0UdlUdl与垂直 例题例题 求一点质量场的等势面求一点质量场的等势面 设点质量位于直角坐标系原点（设点质量位于直角坐标系原点（0，0，0），则它在），则它在任意点任意点P(x,y,z)的势：的势： 等势面时等势面时其方程为其方程为222mkmUkrxyz222kmUCxyz 因而等势面的方程式为因而等势面的

15、方程式为表示球心位于原点的球面方程式，因此点质量周围场表示球心位于原点的球面方程式，因此点质量周围场中的等势面为以该质点为中心的球面。中的等势面为以该质点为中心的球面。222kmUCxyz222221()xyzCkmC 1.5 1.5 引力场场强通过面分布的连续性引力场场强通过面分布的连续性或 F1F2214nnFFk 1、引力场场强法向分量的连、引力场场强法向分量的连续条件续条件214()SSF dSk mF dSFn SF nSNmS 侧21()4nFFk 在面质量两边相邻两点上的场强矢量在面质量两边相邻两点上的场强矢量F的法线分量发生一突变，的法线分量发生一突变，其值等于面质量密度的其值

16、等于面质量密度的引力场法向分量的边界条件用引力势可表示为引力场法向分量的边界条件用引力势可表示为或 21()4nFFk 4k倍214UUknn 214nnFFk2、引力场场强度切向、引力场场强度切向分量的连续条件分量的连续条件212100llttF dlF dlFlFlFF 210ttFF即即12ttFF此式表明：此式表明：在任意曲面质量两侧，在任意曲面质量两侧，引力场场强度的切向分量引力场场强度的切向分量是连续的是连续的。 例例2 一均匀圆薄板的场强和势，面质量密度为一均匀圆薄板的场强和势，面质量密度为 1.6 1.6 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程1、泊松方程和拉普拉斯方程、

17、泊松方程和拉普拉斯方程40FkF 24FUUk 因为因为而而所以所以FU 若讨论的区域若讨论的区域=0=0（没有质量分布），（没有质量分布）， 则泊松方则泊松方程变为拉普拉斯方程程变为拉普拉斯方程 在直角坐标系中，在直角坐标系中， 24Uk 22222224UUUUkxyz 泊松方程泊松方程 20U2、引力场的边值问题、引力场的边值问题A、正演问题：已知体密度和面密度时，可根据边界条、正演问题：已知体密度和面密度时，可根据边界条件对泊松方程和拉普拉斯方程求解，确定出场的势，进件对泊松方程和拉普拉斯方程求解，确定出场的势，进而求出场强。而求出场强。B、反演问题：已知场的势或场强时，可根据泊松方程

18、、反演问题：已知场的势或场强时，可根据泊松方程来确定场中某点的体质量密度及面质量密度。来确定场中某点的体质量密度及面质量密度。214Uk1214UUknn 24Uk正演和反演是地球物理理论研究两大核心内容正演和反演是地球物理理论研究两大核心内容3、唯一性定理唯一性定理：如果在空间中某一区域：如果在空间中某一区域v内，各点的内，各点的质量密质量密度度和该区域和该区域边界面边界面S上各点的上各点的势势为已知时，那么这个区域内由为已知时，那么这个区域内由泊松方程求解的泊松方程求解的势势是唯一的是唯一的证明（反证法）：假设满足上述条件的解不是唯一的，而是有两组解证明（反证法）：假设满足上述条件的解不是

19、唯一的，而是有两组解U1U1和和U2,U2,只要证明只要证明U1=U2U1=U2即可。即可。设区域内解不唯一为 U1和 U2, U=U1-U2, U1和U2都满足泊松方程，则22211440UkUkU，sVAdvA nds 设( ,VvSA UgradVU V U 为 内 上任意两个连续函数）2(U)UUVAVVUVA nV nUn 2UsVVVUV dvUdsn2UsVVVUV dvUdsn因为U,V是任意函数，设U=V=U2 2U() sVUUUdvUdsn 2()sVUUdvUdsn进一步在S面上为已知值，且已知值只有一个，所以S面上U=U1-U2=00sUUdsn所以 2()00VUd

20、vU则(c所以U常数） （求解区域内）当点由任意方向趋向S面时，U=c=U边界=012c0UU所以如果在空间中某一区域如果在空间中某一区域v内，各点的内，各点的质量密度质量密度和该区域和该区域边界面边界面S上各点的上各点的场强度场强度为已知时，那么这个区域内由泊松方程求解为已知时，那么这个区域内由泊松方程求解的的场强度场强度是唯一的，但是唯一的，但势势可以相差任一常数可以相差任一常数2()00sVUUdvUdsUn S面上面上场强度场强度为已知，则为已知，则120UU已知， UV内内12120UUUFF 12UUc地球物理反演具有多解性地球物理反演具有多解性? ?例、用泊松方程（拉普拉斯方程）

21、求解均匀质量球体的场例、用泊松方程（拉普拉斯方程）求解均匀质量球体的场 解：解： 由于质量分布是球对称，势只与离开由于质量分布是球对称，势只与离开O点的距离点的距离r有关，有关，即即U=U(r)。引入球坐标系，则。引入球坐标系，则2221UUrrrr 1.7 1.7 重力场重力场1、重力及重力场的概念、重力及重力场的概念 地球的重力主要是由地球内部质量的万有引力和因地球地球的重力主要是由地球内部质量的万有引力和因地球自转所引起的离心力二者所决定自转所引起的离心力二者所决定：即：即 fFCmg 即：即：0limmfGgm 由于离心力的存在，重力一般不指向地心。由于离心力的存在，重力一般不指向地心。重力概念中包含了试验质量重力概念中包含了试验质量m的因素，消除的因素，消除m的影响可得的影响可得重力场强度：重力场强度：重力场强度等于物体受重力产生的重力加速度，其中第一重力场强度等于物体受重力产生的重力加速度，其中第一项为引力加速度，第二项为离心力加速度，项为引力加速度，第二项为离心力加速度，即即 GgFC即：即：23vrdvgkRr 重力场强度的变化可以分为在空间上的变化和在时间上