D7-4区间估计

1、第四节 区间估计一、置信区间的定义一、置信区间的定义二、求置信区间的方法二、求置信区间的方法三、小结三、小结 前面，我们讨论了参数点估计前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算它是用样本算得的一个值去估计未知参数得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷弥补了点估计的这个缺陷 .引言引言一、一、 置信区间定义置信区间定义 满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给

2、定, 0 X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的两个统计量若由样本若由样本1P 12(,)n XXX 12(,)n XXX () 和和 分别称为分别称为置信下限置信下限和和置信上限置信上限. 则称区间则称区间 是是 的置信水平（置信度的置信水平（置信度 )为为 的的置信区间置信区间. 1( , ) 关于定义的说明关于定义的说明.) ,( , , , 是是随随机机的的而而区区间间没没有有随随机机性性但但它它是是一一个个常常数数虽虽然然未未知知被被估估计计的的参参数数 : 1),(),(2121的本质是的本质是因此定义中下表达式因此定义中下表达式 nnXXXXXXP). ,(1 ,1 ) ,( 的

3、的概概率率落落入入随随机机区区间间以以而而不不能能说说参参数数的的真真值值的的概概率率包包含含着着参参数数以以随随机机区区间间 : 1),(),(2121还可以描述为还可以描述为另外定义中的表达式另外定义中的表达式 nnXXXXXXP若反复抽样多次若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等各次得到的样本容量相等,都是都是n) ), ,( 间间每每个个样样本本值值确确定定一一个个区区按按伯努利大数定理伯努利大数定理, 在这样多的区间中在这样多的区间中, .%100 ,)%1(100 不不包包含含的的约约占占真真值值的的约约占占包包含含 , 的的真真值值的的真真值值或或不不包包含含每每个个这这样样的的

4、区区间间或或包包含含 例如例如 , 1000 0.01, 次次反复抽样反复抽样若若 .10 1000 个个真真值值的的约约为为个个区区间间中中不不包包含含则则得得到到的的 这里有两个要求这里有两个要求:由定义可知，由定义可知， 对参数对参数 作区间估计，就是要设法找出两个作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限只依赖于样本的界限(构造统计量构造统计量). 一旦有了样本，就把一旦有了样本，就把 估计在区间估计在区间 内内 . 12(,)n XXX 12(,)n XXX () ( , ) 可靠度与精度是一对矛盾，一般是可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高在保证可靠度

5、的条件下尽可能提高精度精度.1. 要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间 内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大 .即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠. ( , ) P 2. 估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则尽可能短，或能体现该要求的其它准则. 1.对一个正态总体对一个正态总体21222222112131定定理理一一：设设是是来来自自正正态态总总体体的的一一个个样样本本，则则 （），且且与与相相互互独独立立,( ,)( ,);()( )();( ) ()./nXXXNXNnnS

6、nXSXt nSn ),(/10NnX回忆回忆解解.1 , , , ),(,2221的置信区间的置信区间为为的置信水平的置信水平求求为未知为未知为已知为已知其中其中的样本的样本是来自正态总体是来自正态总体设设 NXXXn , 的无偏估计的无偏估计是是因为因为 X),1 , 0(/ NnXU 且且 ,)1 , 0(/数数的的是是不不依依赖赖于于任任何何未未知知参参NnX 例例1二、求置信区间的方法 ,1/2/ znXP,1 2/2/ znXznXP即即 分位点的定义知分位点的定义知由标准正态分布的上由标准正态分布的上 ., 1 2/2/ znXznX的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信

7、水平为于是得于是得这样的置信区间常写成这样的置信区间常写成.2/ znX其置信区间的长度为其置信区间的长度为. 22/ zn 求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤( (共共3步步) ). )(,);,(:, )1(2121 包包括括数数且且不不依依赖赖于于任任何何未未知知参参的的分分布布已已知知并并且且其其中中仅仅包包含含待待估估参参数数的的函函数数寻寻求求一一个个样样本本ZXXXZZXXXnn .1);,( ,1 )2(21 bXXXZaPban使使出出两两个个常常数数定定对对于于给给定定的的置置信信度度. 1 ),( ,),(, ),( , );,( )3(212121的置信区间的置信

8、区间的一个置信度为的一个置信度为是是就就那么那么都是统计量都是统计量其中其中不等式不等式得到等价的得到等价的若能从若能从 nnnXXXXXXbXXXZa2211【例例】设设总总体体，已已知知，未未知知， 求求的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间。( ,)XN );,(/101NnXX，且，且的无偏估计为的无偏估计为）分析：分析：122/ZnXP）23/ZnX）置信区间为）置信区间为未未知知2)(/1ntnSX)(/12ntnSXP)(/12ntnSX10 0912 6 13 4 12 8 13 20 95【例例 】改改进进）设设总总体体，测测得得一一组组样样本本观观测测值值为为 。试试

9、求求总总体体均均值值的的置置信信水水平平为为 的的置置信信区区间间。( , .). ,. ,. ,.XN9619501409002502.Zn，解解：已已知知1321381241361241.x的置信区间为的置信区间为的置信水平为的置信水平为故故950.294.13706.1296. 123 . 0132/， znx三、小结三、小结 点估计不能反映估计的精度点估计不能反映估计的精度, 故而本节引入故而本节引入了区间估计了区间估计.求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤(分三步分三步).1 , )( ),( P有有意的意的即对于任即对于任置信水平置信水平数具有预先给定的概率数具有预先给定的概率

10、它覆盖未知参它覆盖未知参间间置信区间是一个随机区置信区间是一个随机区课后作业 习题七（Page175）： 16二、典型例题.1,),( ,)0(, 021的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为求求给定给定的样本的样本是来自总体是来自总体未知未知其中其中上服从均匀分布上服从均匀分布在在设总体设总体 XXXXXn解解, ,max 21nhXXXX 令令由上节例由上节例4可知可知, ,1的无偏估计的无偏估计是是 hXnn 的概率密度为的概率密度为因为因为hX ., 0,0,)(1其他其他 xnxxfnn例例1, hXZ ., 0, 10,)(1其他其他znzzgn其概率密度为其概率密度为 ,

11、)10(, baba可定出两个常数可定出两个常数对于给定的对于给定的 ,1 bXaPh满足条件满足条件,d1 1nnbanabznz 即即,1 aXbXPhh.,为置信区间为置信区间 aXbXhh 的随机变量的随机变量考察包括待估参数考察包括待估参数 ,05. 0 , 1 ,16 2 n中取中取如果在例如果在例,96. 1 025. 02/ zz 查表可得查表可得.1.961610.95 X的置信区间的置信区间得一个置信水平为得一个置信水平为由一个样本值算得样本均值的观察值由一个样本值算得样本均值的观察值,20. 5 x则置信区间为则置信区间为),49. 020. 5( ).69. 5,71.

12、 4(即即 .1 :的置信区间是不唯一的的置信区间是不唯一的置信水平为置信水平为注意注意 ,05. 0 2 中如果给定中如果给定在例在例 ,95. 0/ 01. 004. 0 znXzP 则又有则又有,95. 0 04. 001. 0 znXznXP 即即 .0.95, 04. 001. 0的置信区间的置信区间为为的置信水平的置信水平也是也是故故 znXznX其置信区间的长度为其置信区间的长度为. )(01. 004. 0zzn 比较两个置信区间的长度比较两个置信区间的长度, 4.08)(01. 004. 02nzznL ,3.922025. 01nznL . 21LL 显然显然置信区间短表示估计的精度高置信区间短表示估计的精度高.说明说明: 对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标轴对称的情况轴对称的情况, 易证取易证取a和和b关于原点对称时关于原点对称时,能使能使置信区间长度最小置信区间长度最小.今抽今抽9件测量其长度件测量其长度, 得数据如下得数据如下(单位单位:mm): 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160. 解解, 1 22/